Representacin de una Onda

APÉNDICE A
Representación de una Onda
Una onda es una perturbación auto sostenible del medio por el que se propaga, ya sea
un cordón o la magnitud de un vector eléctrico. Es el campo magnético asociado con
una onda electromagnética o hasta la amplitud de probabilidad cuántica de una onda de
materia3. Existen dos maneras de clasificar una onda tomando en cuenta dicha
perturbación. Es llamada longitudinal cuando las partículas del medio son perturbadas
en dirección paralela a la de propagación de dicha onda y es denominada transversal
cuando la perturbación es dirección perpendicular a la de propagación4. El tipo de onda
de interés es aquel que se propaga causando perturbaciones en dirección perpendicular
como es la luz u onda electromagnética.
Debido a que la perturbación tiene un movimiento específico es función de la
posición y el tiempo y va a ser representada de la siguiente manera:
u ( r , t ) = f ( r ± vt )
(A.1)
Esta es la llamada función de onda dependiente del tiempo, que representa el perfil de
la onda en el tiempo t desplazándose en sentido positivo cuando f(r-vt) y en sentido
negativo cuando f(r+vt). La cual, por definición, debe mantener su forma o perfil
aunque sea desplazada vt , de ahí ese término en la ecuación 2.1, r es el radio vector del
origen de un sistema de referencia a cualquier punto en la onda, r = (x, y, z) y v es la
velocidad de la onda o también llamada velocidad de fase.
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Cuando el perfil de la onda es una curva de la forma seno o coseno, se conoce como
una onda armónica y se puede sintetizar cualquier otro perfil deseado con la
superposición de varias de éstas. La representación matemática que facilita los cálculos
es la denominada compleja donde u es en general de la forma:
u ( r , t ) = Ae iα ( r ,t ) , para ondas planas.
u (r, t ) =
B iα ( r ,t )
, para ondas esféricas.
e
r
u (r, t ) ≈
B iα ( r ,t )
, para ondas cilíndricas
e
r
cuando r es muy grande.
α (r , t ) = (k ·r ± wt + ε )
(A.2)
(A.3)
(A.4)
(A.5)
La función 2.5 representa la fase de la onda, que a su vez está definida por el vector
de propagación k, el radio vector r, la frecuencia angular w = k·v, el tiempo t y una fase
inicial ε. El coeficiente A es la amplitud de la onda y B es la llamada fuerza de la
fuente.En un tiempo dado, la superficie que une a todos los puntos que tienen la misma
fase es denominada frente de onda. Cuando el frente de onda es un plano que satisface
la condición k·(r-ro) = 0, donde ro es el radio vector de cualquier otro punto localizado
en el mismo plano, se denomina onda plana que se propaga en la dirección k. De
manera más concisa, son aquellos puntos situados en un plano cuyo vector de posición
de cada uno tiene la misma proyección en la dirección k. o sea:
k·r = constante
(A.6)
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ψ(r) = 0
ψ(r) = λ/2
ψ(r) = λ
k
ψ(r) = λ/4
ψ(r)
A
ψ(r) = −λ/4
o
-A
λ
r
Fig. 2.1 Frentes de onda de una onda harmónica plana
ψ (r , t ) = Ae i ( k·r ± wt )
(A.7)
La representación matemática viene dada por la ecuación 2.7 y gráficamente puede
ser visualizada con la figura 2.1.
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