ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS El objetivo de estas notas

ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
CÉSAR ROSALES.
TOPOLOGÍA II
El objetivo de estas notas es recoger una serie de herramientas algebraicas que se utilizarán
a lo largo de la asignatura. Expondremos las diferentes secciones en el orden en el que serán
necesarias conforme avancemos en la exposición. Comenzaremos repasando algunas nociones
y resultados básicos sobre grupos.
1.
Grupos y homomorfismos
Recordemos que un grupo es un conjunto no vacío G con una operación G × G → G que es
asociativa, tiene neutro y tiene inversos. Denotaremos de forma multiplicativa la operación
de G. Así, el resultado de aplicar la operación sobre un par (x, y) con x, y ∈ G se escribirá
x · y. Que la operación sea asociativa significa que (x · y) · z = x · (y · z), para cada x, y, z ∈ G.
Que haya neutro significa que existe un elemento (único) e ∈ G tal que x · e = e · x = x, para
cada x ∈ G. Que haya inversos quiere decir que para cada x ∈ G existe un elemento (único)
x−1 ∈ G tal que x · x−1 = x−1 · x = e. Es fácil comprobar que (x · y)−1 = y −1 · x−1 , para
cada x, y ∈ G. Se dice que un grupo G es abeliano cuando la operación es conmutativa, es
decir, x · y = y · x, para cada x, y ∈ G.
k
z }| {
Sea G un grupo y x ∈ G. Dado k ∈ N denotamos xk := x · . . . · x. Si k ∈ Z y k < 0
denotamos xk := (x−1 )−k . Por último, establecemos que x0 := e.
Ejercicio 1 (Producto directo). Sea {Gi }i=1,...,n una familia finita de grupos. Probar que
el producto cartesiano G := G1 × . . . × Gn es un grupo cuando se define la operación entre elementos componente a componente. Este grupo se llama producto directo de la familia
{Gi }i=1,...,n . Demostrar que G es abeliano si y sólo si lo es cada Gi .
Ejemplo 1.1. Denotaremos por Z al grupo de los números enteros con la suma usual. Tomando Gi = Z para cada i = 1, . . . , n tenemos el producto directo Zn con la operación que
se realiza sumando componente a componente. Este grupo es abeliano.
Un homomorfismo (de grupos) es una aplicación f : G → G0 entre dos grupos G y G0
de forma que f (x · y) = f (x) · f (y), para cada x, y ∈ G. Las siguientes propiedades de un
homomorfismo son fáciles de comprobar:
(i) f (x1 · . . . · xn ) = f (x1 ) · . . . · f (xn ), para cada x1 , . . . , xn ∈ G,
(ii) f (e) = e0 , donde e y e0 son los neutros de G y G0 , respectivamente,
(iii) f (xk ) = f (x)k , para cada x ∈ G y cada k ∈ Z.
Ejemplo 1.2. Si G y G0 son dos grupos siempre tenemos el homomorfismo trivial G → G0 ,
que aplica cada x ∈ G en el elemento neutro e0 ∈ G0 .
Ejemplo 1.3. Si G es un grupo, la aplicación identidad IG : G → G es un homomorfismo.
Ejemplo 1.4. Si f : G → G0 y g : G0 → G00 son homomorfismos, entonces la composición
g ◦ f : G → G00 también lo es.
2
CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
Un homomorfismo f : G → G0 es un monomorfismo (resp. epimorfismo) si la aplicación f
es inyectiva (resp. sobreyectiva). Un isomorfismo es un homomorfismo f : G → G0 en el que
f es biyectiva (es decir, f es a la vez monomorfismo y epimorfismo). En tal caso decimos que
G es isomorfo a G0 y escribimos G ∼
= G0 . Es fácil probar que la composición de isomorfismos
es un isomorfismo, que el homomorfismo identidad IG es un isomorfismo, y que el inverso de
un isomorfismo es un isomorfismo.
Ejemplo 1.5 (Isomorfismos de conjugación). Sea G un grupo y x ∈ G. Entonces, la aplicación φx : G → G dada por φx (y) := x · y · x−1 es un isomorfismo. Además, se cumplen las
igualdades φx·y = φx ◦ φy , φe = IG y (φx )−1 = φx−1 , para cada x, y ∈ G.
Ejercicio 2. Sean f : G → G0 y g : G0 → G00 homomorfismos tales que g ◦ f : G → G00 es
un isomorfismo. Probar que f es un monomorfismo y g es un epimorfismo.
Si f : G → G0 es un homomorfismo, se llama núcleo de f al conjunto
Ker(f ) := f −1 (e0 ) = {x ∈ G / f (x) = e0 }.
Es sencillo ver que f es un monomorfismo si y sólo si Ker(f ) = {e}. La imagen de f es el
conjunto
Im(f ) := f (G) = {f (x) / x ∈ G}.
Es obvio que f es un epimorfismo si y sólo si Im(f ) = G0 .
2.
Subgrupos
Sea G un grupo. Recordemos que un subgrupo de G es un subconjunto no vacío H ⊆ G
que es un grupo con la operación de G. Esto lo denotamos H 6 G y equivale a lo siguiente:
si x, y ∈ H, entonces x · y −1 ∈ H. Si H 6 G entonces la inclusión iH : H → G es un
monomorfismo.
Ejemplo 2.1. Todo grupo G tiene al menos los subgrupos triviales H = {e} y H = G.
Ejemplo 2.2. Sea f : G → G0 un homomorfismo. Si H 6 G, entonces f (H) 6 G0 . En particular, Im(f ) 6 G. Además, si H 0 6 G0 , entonces f −1 (H 0 ) 6 G. En particular, Ker(f ) 6 G.
Ejemplo 2.3. Los subgrupos de Z son exactamente todos los subconjuntos de la forma
nZ := {n · m / m ∈ Z}, con n ∈ Z.
Sea G un grupo.
T Es fácil comprobar que si {Hi }i∈I es una familia con Hi 6 G para cada
i ∈ I, entonces i∈I Hi 6 G (el mayor subgrupo de G contenido en todos los Hi ).
Si A ⊆ G es un subconjunto cualquiera, el subgrupo generado por A se define como:
\
A :=
H.
A⊆H6G
Diremos que A
es
un conjunto de generadores de A . Cuando A = ∅ se tiene que A = {e}.
Es obvio que
A es el menor subgrupo de G que contiene a A. Se puede dar una descripción
explícita de A cuando A 6= ∅ mediante la igualdad:
(2.1)
A = {xk11 · xk22 · . . . · xkmm / m ∈ N, xi ∈ A, ki ∈ Z, ∀i = 1, . . . , m},
lo
la terminología “subgrupo generado por A”. Cuando A = {x} entonces
que justifica
A = x = {xk / k ∈ Z}, que es el subgrupo cíclico
de G generado por a. Diremos que
G es un grupo cíclico si existe x ∈ G tal que G = x . Por ejemplo Z es un grupo cíclico
generado por ±1.
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
3
Nota 2.4. Para probar la igualdad (2.1) vemos primero que, si denotamos por H
al conjunto
de la derecha, entonces H es un subgrupo
de
G
con
A
⊆
H.
Esto
implica
que
A ⊆ H. La
otra inclusión es inmediata al ser A 6 G y A ⊆ A .
0
Ejercicio
3. Sea
f :
G→ G un homomorfismo y A ⊆ G. Demostrar que se cumple la
igualdad f (A) = f A .
3.
Subgrupos normales y grupos cociente
Dado un grupo G y un subgrupo H 6 G introducimos en G la siguiente relación: x ∼ y si
x · y −1 ∈ H, es decir, existe z ∈ H tal que y = z · x. Esta relación es de equivalencia en G. La
clase de equivalencia de x ∈ G, llamada clase lateral izquierda asociada a x, está dada por:
x = Hx := {z · x / z ∈ H}.
Nótese que e = H. Denotaremos por G/H al cociente G/∼. El cardinal de G/H se llama
índice de H en G. Para introducir una operación en G/H lo natural es definir:
x · y = x · y.
Esta ley no depende de representantes cuando H es un subgrupo normal de G, es decir,
x · z · x−1 ∈ H, para cada x ∈ G y z ∈ H. Esto se representa también como xHx−1 ⊆ H
(equivalentemente xHx−1 = H), para cada x ∈ G. Cuando H es un subgrupo normal de G
escribimos H E G. En tal caso G/H se convierte en un grupo, cuyo neutro es e. Nótese que
x = e, para cada x ∈ H, lo que significa que cada clase de equivalencia de x ∈ H produce el
neutro en G/H. Además, la proyección p : G → G/H dada por p(x) := x es un epimorfismo.
Ejemplo 3.1. Todo grupo tiene al menos dos subgrupos normales triviales, que son H = {e}
y H = G. Los cocientes asociados son isomorfos a G y {e}, respectivamente.
Ejemplo 3.2. En un grupo abeliano todos los subgrupos son normales.
Ejemplo 3.3. Si f : G → G0 es un homomorfismo entonces Ker(f ) E G. Además, la
aplicación f : G/Ker(f ) → Im(f ) dada por f (x) = f (x) es un isomorfismo. Por tanto,
G/Ker(f ) ∼
= Im(f ) (primer teorema de isomorfía).
Ejemplo 3.4. Como Z es abeliano todos sus subgrupos nZ son normales. El grupo cociente
Z/nZ se denota Zn y es un grupo cíclico de orden n generado por ±1.
Ejercicio 4. Sea f : G → G0 un homomorfismo y H E G tal que H ⊆ Ker(f ). Entonces,
existe un único homomorfismo f : G/H → G0 tal que f ◦ p = f .
Ejercicio 5. Sea f : G → G0 un isomorfismo y H E G. Denotemos H 0 := f (H). Entonces
H 0 E G0 y existe un único isomorfismo f : G/H → G0 /H 0 tal que f ◦ p = p0 ◦ f .
El hecho de que un subgrupo sea normal se puede caracterizar mediante una condición
que involucra a su clase de conjugación. Si G es un grupo y H, H 0 6 G, decimos que H es
conjugado con H 0 si existe x ∈ G tal que xHx−1 = H 0 . Esto equivale a que φx (H) = H 0 ,
donde φx : G → G es el isomorfimo definido en el Ejemplo 1.5. La relación de conjugación
es de equivalencia en la familia de todos los subgrupos de G. La clase de equivalencia de
H 6 G por esta relación se denota Conj(H) y se llama clase de conjugación de H en G.
Evidentemente, viene dada por:
Conj(H) = {φx (H) / x ∈ G} = {xHx−1 / x ∈ G}.
Es claro entonces que H E G si y sólo si Conj(H) = {H}. En particular, en un grupo abeliano
tenemos Conj(H) = {H}, para cada H 6 G.
4
CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
T Dado G un grupo y {Hi }i∈I una familia con Hi E G para cada i ∈ I, se cumple que
i∈I Hi E G (el mayor subgrupo normal de G contenido en todos los Hi ). Si A ⊆ G es un
subconjunto cualquiera, el subgrupo normal generado por A se define como:
\
H.
A N :=
A⊆HEG
Cuando A = ∅ tenemos A N = {e}. Algunas propiedades elementales de A N son:
(i) A N es el menor subgrupo normal de G que contiene a A,
(ii) A ⊆ A N , con igualdad si y sólo si A E G,
(iii) si G es abeliano, entonces A = A N ,
(iv) A N = A N .
Se tiene además la siguiente descripción de A N en términos de su conjunto generador:
−1
Lema 3.5.
Sea
G ungrupo y A ⊆ G no vacío. Denotemos B = {x · a · x / x ∈ G, a ∈ A}.
Entonces A N = B . Como consecuencia:
−1
km
A N = {x1 · ak11 · x−1
1 · . . . · xm · am · xm / m ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ G, ki ∈ Z, ∀i = 1, . . . , m},
lo que justifica la terminología de “subgrupo normal generado” por A.
Demostración. Como A N E G y A ⊆ A N , entonces B ⊆ A N y, por tanto B ⊆ A N .
Para la otra inclusión basta ver que B E G con A ⊆ B . Que A ⊆ B es obvio, pues
A ⊆ B. Dado b ∈ B con b = x · a · x−1 y z ∈ G, se tiene:
z · b · z −1 = z · (x · a · x−1 ) · z −1 = (z · x) · a · (z · x)−1 ∈ B.
Esto significa que B es cerrado por conjugación. Veamos a partir de aquí que B E G. Sea
c ∈ B con c = bk11 · . . . · bkmm . Dado x ∈ G, nótese que:
x · c · x−1 = x · bk11 · . . . · bkmm · x−1 = (x · bk11 · x−1 ) · . . . · (x · bkmm · x−1 )
= (x · b1 · x−1 )k1 · . . . · (x · bm · x−1 )km ,
que
está
la descripción explícita
en B por ser B cerrado para la conjugación.
Finalmente,
de A N en el enunciado se sigue de la descripción de B sin más que tener en cuenta que
(x · a · x−1 )k = x · ak · x−1 , para cada a ∈ A y cada x ∈ G.
0
Ejercicio
6. Sea
f : G → G un epimorfismo y A ⊆ G. Demostrar que se cumple la igualdad
f (A) N = f A N .
Terminaremos este apartado con la noción de normalizador de un subgrupo. Sea G un
grupo y H 6 G. Buscamos un subgrupo H 0 6 G tal que H E H 0 . Obviamente el propio H
cumple que H E H. Nos interesa el mayor subgrupo H 0 6 G tal que H E H 0 . Si este subgrupo existe entonces, por cumplirse H E H 0 , tenemos que xHx−1 = H para cada x ∈ H 0 .
Esto nos lleva a definir el normalizador de H en G como el conjunto dado por:
Nor(H) := {x ∈ G / φx (H) = H} = {x ∈ G / xHx−1 = H}.
Es claro que Nor(H) = G si y sólo si H E G. En particular, si G es abeliano, entonces
Nor(H) = G para cada H 6 G. El siguiente ejercicio es sencillo a partir de la propia definición de normalizador.
Ejercicio 7. Demostrar que Nor(H) 6 G y que H E Nor(H). Además, si H 0 6 G y H E H 0
entonces H 0 ⊆ Nor(H) (es decir, Nor(H) es el subgrupo más grande de G que contiene a H
como subgrupo normal).
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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Es importante no confundir Nor(H) con H N . En general, no es cierto que Nor(H) sea
un subgrupo normal de G, mientras que H N sí lo es.
4.
Producto libre de grupos
A partir de una familia arbitraria de grupos definiremos otro grupo, que contenga copias
isomorfas de cada uno de los grupos y que cumpla una propiedad universal de extensión de
homomorfismos.
Sea {Gi }i∈I una colección disjunta de grupos (esto significa que Gi ∩ Gj = ∅ si i 6= j,
∼
aunque puede
S ocurrir Gi = Gj ). Denotamos por ei al neutro de cada Gi . Llamamos letra
a cada x ∈ i∈I Gi . Llamamos palabra a una yuxtaposición finita de letras, es decir, una
expresión formal w := x1 x2 · · · xn , donde n ∈ N ∪ {0} y cada xl está en algún Gil . El número
n es la longitud de w. La palabra vacía 1 es la única con n = 0. Llamamos sílaba a cada
palabra con n = 2. Sean w1 = x1 · · · xn y w2 = y1 · · · ym dos palabras. Diremos que w1 = w2
si n = m y xl = yl para cada l = 1, . . . , n.
Ejemplo 4.1. Algunos ejemplos de palabras pueden ser x x x x, e2 e10 y x x−1 . Si x, y ∈ Gi
con x 6= y, entonces, x y e y x no son sílabas iguales.
Dos palabras w1 = x1 x2 · · · xn y w2 = y1 y2 · · · ym pueden operarse por yuxtaposición dando lugar a una nueva palabra w1 w2 := x1 x2 · · · xn y1 y2 · · · ym . Esta operación no produce
una estructura de grupo en el conjunto de las palabras. Aunque es asociativa y tiene neutro (la
palabra vacía), no tiene inversos. Intuitivamente, la inversa de una palabra w = x1 x2 · · · xn
−1
debería ser x−1
n · · · x1 . Para conseguir esto debemos “reducir las palabras” de forma que una
−1
sílaba x x se transforme en ei y todos los ei se eliminen.
Diremos que una palabra w es reducida si w = 1 o w cumple dos reglas:
(i) no contiene sílabas xk xk+1 cuyas letras estén en el mismo grupo Gi ,
(ii) ninguna de sus letras es un neutro ei .
Ejemplo 4.2. Supongamos dos grupos disjuntos G1 y G2 . Sean x1 , y1 ∈ G1 − {e1 } y
x2 , y2 ∈ G2 − {e2 }. Entonces, la palabra x1 e1 x2 y2 no es reducida, mientras que x1 y2 y
x2 y1 sí lo son. La palabra x1 (x2 · y2 ) será reducida si y sólo si x2 · y2 6= e2 .
Parece claro que toda palabra se puede “reducir” mediante dos operaciones de reducción:
(i) reemplazar las sílabas xk xk+1 con xk , xk+1 ∈ Gi por la letra xk · xk+1 ,
(ii) eliminar todos los ei .
Sin embargo, no es sencillo probar la unicidad de la palabra reducida a la que se llega realizando sucesivamente este tipo de transformaciones.
Sea W el conjunto de las palabras reducidas. Dadas w1 = x1 x2 · · · xn y w2 = y1 y2 · · · ym
en W , su yuxtaposición w1 w2 = x1 x2 · · · xn y1 y2 · · · ym no tiene por qué ser reducida (el posible problema estaría en la sílaba xn y1 ). Para obtener una única palabra reducida a partir
de la anterior realizamos operaciones de reducción como sigue:
(i) Si la sílaba xn y1 no tiene sus letras en el mismo Gi , entonces ya se tiene una palabra
reducida (por ser w1 y w2 reducidas). De lo contrario, sustituimos xn y1 por xn · y1 .
(ii) Si xn · y1 6= ei ya tenemos una palabra reducida (por ser w1 y w2 reducidas). En caso
contrario eliminamos xn · y1 .
(iii) Nos fijamos en la sílaba xn−1 y2 y procedemos igual que arriba.
Repitiendo este proceso una cantidad finita de veces se obtiene una única palabra reducida
que denotamos w1 w2 . Así w1 w2 se calcula yuxtaponiendo primero y reduciendo después.
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CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
Ejemplo 4.3. Supongamos dos grupos disjuntos G1 y G2 . Sean x1 , y1 ∈ G1 − {e1 } y
x2 , y2 ∈ G2 − {e2 }. Es obvio que w1 = x1 x2 x−1
∈ W y w2 = x1 x−1
∈ W . Además
1
2
−1
−1
w1 w2 = x1 mientras que w2 w1 = x1 x2 x1 x2 x1 . Así w1 w2 6= w2 w1 .
Es claro que define una operación en W . Nos preguntamos qué propiedades cumple.
Lema 4.4. La operación convierte en grupo a W .
Demostración. La operación tiene neutro, pues 1 w = w 1 = w, para cada w ∈ W . Ade−1 −1
más, hay inversos: si w = x1 x2 · · · xn es reducida, entonces w0 = x−1
n · · · x2 x1 es reducida
0
0
y w w = w w = 1.
La prueba de la asociatividad es más complicada. Dada una letra x ∈ Gi , el producto por la
izquierda asociado a x es la aplicación Lx : W → W dada por Lx (w) := xw. Usando la asociatividad del grupo Gi se prueba que Lx·y = Lx ◦Ly si x, y ∈ Gi . Además, Lei = IW . En particular, cada Lx es una biyección en W con inversa Lx−1 . Si P (W ) = {f : W → W biyectiva},
la aplicación Li : Gi → P (W ) dada por Li (x) := Lx está bien definida y es un homomorfismo. En general, definimos L : W → P (W ) como Lw := Lx1 ◦ . . . ◦ Lxn si w = x1 · · · xn ∈ W .
Definimos L1 = IW . Se cumplen estas propiedades:
(i) L|Gi = Li , para cada i ∈ I,
(ii) Lw1 w2 = Lw1 ◦ Lw2 , para cada w1 , w2 ∈ W ,
(iii) L es inyectiva: si Lw = Lw0 , entonces Lw (1) = Lw0 (1) y, por tanto, w = w0 .
Supongamos ahora que w1 , w2 , w3 ∈ W . Si usamos (ii) tenemos:
L(w1 w2 )w3 = Lw1 w2 ◦ Lw3 = (Lw1 ◦ Lw2 ) ◦ Lw3 = Lw1 ◦ (Lw2 ◦ Lw3 )
= Lw1 ◦ Lw2 w3 = Lw1 (w2 w3 ) ,
lo que implica por (iii) que (w1 w2 ) w3 = w1 (w2 w3 ).
Definición 4.5. El grupo (W, ) es el producto libre de la familia {Gi }i∈I , denotado ∗i∈I Gi .
Nota 4.6. Se debe destacar que ∗i∈I Gi no es en general abeliano aunque cada factor lo sea.
Ejercicio 8. ¿Qué es el producto libre asociado a un único grupo? ¿Y G1 ∗ {e2 }?
Ejercicio 9. Demostrar que el producto libre de dos copias disjuntas de Z2 está formado
por yuxtaposiciones finitas y alternadas de los generadores.
Veamos que cada grupo Gl tiene una copia isomorfa en ∗i∈I Gi . Dado x ∈ Gl con x 6= el
podemos considerar la palabra reducida w = x en ∗i∈I Gi . Cuando x = el asociamos w = 1.
Esto produce un monomorfismo hl : Gl → ∗i∈I Gi , cuya imagen es un subgrupo isomorfo a
Gl (formado por las letras de Gl y la palabra vacía). Nótese que, aunque los grupos Gl son
disjuntos, sus copias isomorfas dentro de ∗i∈I Gi no lo son (todas contienen a 1).
La propiedad universal de ∗i∈I Gi establece que una familia de homomorfismos desde los
factores Gl se extiende de forma única a un homomorfismo sobre el producto libre.
Lema 4.7 (Propiedad universal del producto libre). Sea {Gi }i∈I una familia disjunta de
grupos y fl : Gl → G una familia de homomorfismos que llegan a un grupo G. Entonces,
existe un único homomorfismo f : ∗i∈I Gi → G con f ◦ hl = fl para cada l ∈ I.
Demostración. Probemos la existencia. Sea w = x1 x2 · · · xn una palabra cualquiera. Definimos f (w) := fi1 (x1 ) · fi2 (x2 ) · . . . · fin (xn ), donde il ∈ I es el único índice tal que xl ∈ Gil .
Definimos f (1) = e (el neutro de G). Claramente (f ◦hl )(x) = f (x) = fl (x) para cada x ∈ Gl .
Veamos que f : ∗i∈I Gi → G es un homomorfismo de grupos. Sea w = x1 · · · xn una palabra. Supongamos que xk = ei . Sea w0 la palabra obtenida al eliminar xk de w. Por definición
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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de f y por ser fi un homomorfismo se tiene que f (w) = f (w0 ). Así, el valor de f se mantiene al suprimir eventuales elementos neutros en una palabra. Supongamos ahora que en w
hay una sílaba xk xk+1 con xk , xk+1 ∈ Gi . Si w0 es la palabra obtenida al cambiar xk xk+1
por xk · xk+1 entonces f (w) = f (w0 ) por ser fi un homomorfismo. Por tanto, el valor de
f no cambia cuando sustituimos una sílaba xk xk+1 con letras en el mismo Gi por la letra
xk · xk+1 . Dadas w1 = x1 · · · xn y w2 = y1 · · · ym en W , sabemos que w1 w2 se obtiene de
w1 w2 mediante una cantidad finita de operaciones de reducción. Por lo probado antes:
f (w1 w2 ) = f (x1 · · · xn y1 · · · ym ) = fi1 (x1 ) · . . . · fin (xn ) · fj1 (y1 ) · . . . · fjm (ym )
= f (x1 · · · xn ) · f (y1 · · · ym ) = f (w1 ) · f (w2 ).
Probemos la unicidad. Sea g : ∗i∈I Gi → G otro homomorfismo con g ◦ hl = fl para cada
l ∈ I. Dada un palabra reducida w = x1 x2 · · · xn , se tiene:
g(w) = g(x1 x2 . . . xn ) = g(x1 ) · g(x2 ) · . . . · g(xn )
= fi1 (x1 ) · fi2 (x2 ) · . . . · fin (xn ) = f (w).
Esto concluye la demostración.
Definición 4.8. En las condiciones del lema previo, diremos que f es el homomorfismo que
extiende a la familia de homomorfismos fl : Gl → G.
Nota 4.9. Existen otras formas de asociar a cada familia de grupos {Gi }i∈I otro grupo
que contenga copias isomorfas de cada Gi y que cumpla una propiedad universal como la
anterior. Para una familia finita esto lo satisface el producto directo G1 × . . . × Gn con la
operación definida componente a componente. La diferencia sustancial entre G1 ∗ . . . ∗ Gn
y G1 × . . . × Gn es que el segundo es abeliano cuando todos los Gi lo son, mientras que el
primero no lo es.
Ejercicio 10. Este ejercicio sirve para comparar el producto libre con el producto directo de
familias finitas. Sean {Gi }i=1,...,n grupos disjuntos y fi : Gi → G1 × . . . × Gn las inclusiones
naturales. Por el Lema 4.7 existe un único homomorfismo f : G1 ∗ . . . ∗ Gn → G1 × . . . × Gn
tal que f ◦ hi = fi , para cada i = 1, . . . , n. Describir f y probar que es un epimorfismo. ¿Es
un isomorfismo? Si la respuesta en negativa, encontrar algunos elementos de Ker(f ).
5.
Grupos libres
Vamos a particularizar la construcción del producto libre de grupos cuando cada factor es
una copia de Z, esto es, Gi ∼
= Z para cada i ∈ I.
Definición 5.1. Sea {a} un conjunto con un único elemento. Definimos el conjunto a
formado por las potencias formales de a con exponente entero, esto es:
a := {ak / k ∈ Z}.
Operamos dos elementos de a sumando exponentes. El neutro se obtiene para k = 0 y el
inverso de ak es a−k . El grupo resultante se llama grupo libre de rango uno generado por a.
Es obvio que a ∼
= Z mediante el isomorfismo ak 7→ k.
Definición 5.2. Sea {Gi }i=1,...,n una familia finita disjunta
de grupos,
donde Gi = ai
para cada i = 1, . . . , n. El producto libre ∗ni=1 Gi se denota
a1 , . . . , an y se llama grupo libre
de rango n generado por {a1 , . . . , an }. A veces se escribe a1 , . . . , an ∼
= Z ∗ . . . ∗ Z.
Ejemplo
5.3.
son los elementos de a, b ? Deben ser palabras reducidas cuyas letras
¿Cómo
están en a o b , es decir, cada letra es una potencia de a o b con exponente no nulo.
Algunos ejemplos son a5 b−7 a−3 , a b, b a o b3 a−2 b.
8
CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
Ejemplo 5.4. ¿Cómo
son
los
elementos
de
a
,
.
.
.
,
a
? Deben ser palabras reducidas cuyas
1
n
letras están en algún ai . Por tanto:
k
k
k
a1 , . . . , an = {ai1i1 ai2i2 · · · aimim / m ∈ N ∪ {0}, il ∈ {1, . . . , n}, kil ∈ Z − {0}, ∀l = 1, . . . , m},
donde además cada par de índices consecutivos son distintos. Además, hay que añadir la
palabra vacía.
Nota 5.5. No es verdad que a1 , . . . , an ∼
= Zn si n > 2. De hecho, el primer grupo no es
n
abeliano
mientras
que Z sí lo es. Enseguida analizaremos mejor la relación que hay entre
a1 , . . . , an y Zn .
Usando el Lema 4.7 sabemos
que cadafamilia de homomorfismos fi : ai → G extiende
a un único homomorfismo f : a1 , . . . , an → G. Nótese que fi está determinado por fi (ai )
al ser un homomorfismo.
Esto nos lleva al siguiente corolario, afirmando que para definir un
homomorfismo de a1 , . . . , an a G basta con dar las imágenes de los generadores (de forma
similar a lo que ocurre con las bases y las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales).
Corolario 5.6 (Propiedad universal
del grupo
libre). Sea G un grupo y x1 , . . . , xn ∈ G.
Existe un único homomorfismo f : a1 , . . . , an → G con f (ai ) = xi , para cada i = 1, . . . , n.
Ejemplo 5.7. Sean
0) y u2 = (0, 1) en Z2 . Por el corolario previo, existe un único ho
u
1 = (1,
2
momorfismo f : a, b → Z con
f (a) = u1 y
f (b)
= u2 . Es fácil ver que a b a−1 b−1 ∈ Ker(f ).
Llamemos H := a b a−1 b−1 N . Entonces a, b /H es un grupo abeliano y podemos pasar
f al cociente definiendo f : a, b /H → Z2 como f (w) = f (w). Así, obtenemos un homomorfismo de grupos
que en realidad es un isomorfismo. Para
construir
el inverso, definimos
g : Z2 → a, b /H como g(n, m) = p(an bm ), donde
p
:
a,
b
→
a, b /H es la proyección.
Que g es un homomorfismo se debe a que p lo es y a, b /H es abeliano. Finalmente, es fácil
comprobar que g es el inverso de f .
Ejercicio 11. Sea G = a1 , . . . , an /H, donde H es el subgrupo normal generado por todas
−1
las palabras wij = ai aj a−1
con i 6= j. Construir un isomorfismo entre G y Zn .
i aj
En realidad, todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre (quizás de rango
infi
nito). Si ponemos S = {a1 , . . . , an } y tomamos R ⊆ S , el grupo cociente G := S / R N
se denota S; R . Diremos que S; R es una presentación de G. Los elementos de S se llaman generadores
y los
de R relaciones. Un grupo puede admitir varias presentaciones (por
ejemplo a ∼
= a, b; b ∼
= Z); de hecho, un problema difícil consiste en decidir sin dos presentaciones distintas producen el mismo grupo salvo isomorfismos. También es difícil identificar
una presentación dada con un grupo conocido.
Ejemplo 5.8. El grupo a; an es isomorfo a Zn . Para probarlo, basta seguir la
idea
del
Ejemplo 5.7 o aplicar el primer teorema de isomorfía al único homomorfismo f : a → Zn
con f (a) = 1. Algunas presentaciones sencillas son las siguientes:
(i) a, b; an ,bm ∼
= Zn ∗
Zm , a, b; an , bm , ab a−1 b−1 ∼
= Zn × Zm .
(ii) a, b; an ∼
= Zn ∗ Z, a, b; an , a b a−1 b−1 ∼
= Zn × Z.
(iii) a, b; bm ∼
= Z ∗ Zm , a, b; bm , a b a−1 b−1 ∼
= Z × Zm .
−1 −1 ∼ 2
(iv) a, b; a b a b
Z .
=
−1
∼ n
(v) a1 , . . . , an ; {ai aj a−1
i aj / i 6= j} = Z .
Ejemplo 5.9. Veamos que a; a2 y b, c; b c b c son dos presentaciones de Z2 . Ya sabemos
que
lo es. Definamos un isomorfismo entre la primera y la segunda. Sea
la primera
f : a → b, c el único homomorfismo con f (a) = b c. Como f (a2 ) = b c b c entonces se
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
9
puede pasar f a los cocientes
definiendo
f (p(w)) = p0 (f (w)), donde p y p0 son las proyec
ciones. Sea ahora g : b, c → a el único homomorfismo con g(b) = a y g(c) = 1. Como
g(b c b c) = a2 podemos pasar g a los cocientes definiendo g(p0 (w0 )) = p(g(w0 )). Se comprueba
de forma sencilla a través de los generadores que g es el inverso de f .
Terminamos este apartado utilizando la propiedad universal para probar que dos grupos
libres de rango finito son isomorfos si y solamente si sus rangos coinciden (compárese con el
resultado análogo de espacios vectoriales).
0
Corolario 5.10. a1 , . . . , an ∼
= a1 , . . . , a0m si y sólo si n = m.
Demostración. Llamemos G := a1 , . . . , an y G0 := a01 , . . . , a0m . Probemos primero la implicación de derecha a izquierda. Supongamos que n = m. Por el Corolario 5.6 existe un
único homomorfismo f : G → G0 tal que f (ai ) = a0i para cada i = 1, . . . , n. Análogamente,
existe un único homomorfismo g : G0 → G tal que g(a0i ) = ai para cada i = 1, . . . , n. Nótese
que g ◦ f = IG , ya que ambos homomorfismos coinciden sobre los generadores de G. Del
mismo modo g ◦ f = IG0 . Así, f es un isomorfismo y G ∼
= G0 .
Ahora probaremos la implicación de izquierda a derecha. Lo haremos a través del resultado
de álgebra lineal que afirma que si dos espacios vectoriales finitamente generados sobre un
mismo cuerpo son isomorfos, entonces tienen la misma dimensión. Veamos cómo podemos
asociar a cada grupo libre de rango finito un espacio vectorial finitamente generado sobre Z2
(el papel de Z2 lo puede jugar cualquier cuerpo conmutativo).
Sea Hom(G, Z2 ) el conjunto de los homomorfismos ϕ : G → Z2 . Dados ϕ1 , ϕ2 , ϕ ∈
Hom(G, Z2 ) y λ ∈ Z2 , definimos (ϕ1 + ϕ2 )(x) := ϕ1 (x) + ϕ2 (x) y (λ · ϕ)(x) := λ · ϕ(x), para
cada x ∈ G. Se demuestra fácilmente que ϕ1 +ϕ2 , λ·ϕ ∈ Hom(G, Z2 ), y que estas operaciones
convierten a Hom(G, Z2 ) es un espacio vectorial sobre Z2 . Veamos que dimZ2 Hom(G, Z2 ) = n.
Por el Corolario 5.6, para cada i = 1, . . . , n, existe un unico homomorfismo ϕi : G → Z2 tal
que ϕi (aj ) = δij . Afirmamos que la familia B := {ϕ1 , . . . , ϕn } es una base de Hom(G, Z2 ).
Supongamos que λ1 · ϕ1 + . . . + λn · ϕn = ϕ0 . Aplicando esta igualdad sobre cada aj y
utilizando que ϕi (aj ) = δij , concluimos que λ1 = . . . = λn = 0. Así, B es una familia linealmente independiente en Hom(G, Z2 ). Veamos que es también un sistema de generadores.
Sea ϕ : G → Z2 un homomorfismo y llamemos λi := ϕ(ai ), para cada i = 1, . . . , n. Entonces
ϕ = λ1 ·ϕ1 +. . .+λn ·ϕn puesto que son homomorfismos de G en Z2 que coinciden claramente
sobre los generadores de G.
Supongamos por último que f : G0 → G es un isomorfismo. Definimos F : Hom(G, Z2 ) →
Hom(G0 , Z2 ) como F (ϕ) := ϕ ◦ f . Es fácil probar que F es una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre Z2 . Por otro lado, si G : Hom(G0 , Z2 ) → Hom(G, Z2 ) se define como
G(ψ) := ψ ◦ f −1 tenemos una aplicación lineal que además es la inversa de F . De aquí deducimos que Hom(G, Z2 ) y Hom(G0 , Z2 ) tienen la misma dimensión como espacios vectoriales
sobre Z2 . Así, n = m y se concluye la demostración.
Nota 5.11. Con argumentos similares se puede demostrar que Zn ∼
= Zm si y sólo si n = m. La
n
parte clave es la propiedad universal de Z como grupo abeliano libre: dado un grupo abeliano
G, y elementos x1 , . . . , xn ∈ G, existe un único homomorfismo f : Zn → G tal que f (ui ) = xi
(aquí ui := (0, . . . , 1, . . . , 0)). Explícitamente se tiene f (k1 , . . . , kn ) = k1 · x1 + . . . + kn · xn .
6.
El abelianizado de un grupo
En este apartado veremos cómo convertir un grupo no abeliano en otro que sí lo es, de
modo que en el proceso no perdamos demasiada información (en el sentido de que si dos
grupos son isomorfos sus abelianizados también lo sean).
10
CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
Recordemos que un grupo G es abeliano si x · y = y · x, para cada x, y ∈ G. Esto equivale
a que x · y · x−1 · y −1 = e, para cada x, y ∈ G (como siempre e denota el neutro de G).
Sea G un grupo. Dados x, y ∈ G se llama conmutador de x e y al elemento de G dado por
[x, y] := x · y · x−1 · y −1 . Este elemento sirve para medir si x e y conmutan en G, puesto que
x · y = y · x si y sólo si [x, y] = e. Se llama subgrupo conmutador de G al subgrupo generado
por todos los conmutadores, esto es:
[G, G] := A , con A = {[x, y] / x, y ∈ G}.
A continuación probaremos que el subgrupo conmutador es un subgrupo normal de G.
Lema 6.1. Si G es un grupo, entonces [G, G] E G.
Demostración. Queremos ver que a [G, G] a−1 ⊆ [G, G], para cada a ∈ G. Tomemos primero
un generador [x, y] de [G, G] y a ∈ G. Es fácil probar que se cumple la igualdad:
a · [x, y] · a−1 = [a · x, y] · [y, a],
y, por tanto, a · [x, y] · a−1 ∈ [G, G]. Ahora, es muy fácil verificar que:
a · [x, y]k · a−1 = (a · [x, y] · a−1 )k , para cada k ∈ Z,
por lo que a · [x, y]k · a−1 ∈ [G, G]. Finalmente, sea a ∈ G y z ∈ [G, G]. Pongamos
z = [x1 , y1 ]k1 · . . . · [xm , ym ]km con m ∈ N, xi , yi ∈ G y ki ∈ Z para cada i = 1, . . . , m.
Entonces, se tiene que:
a · z · a−1 = (a · [x1 , y1 ]k1 · a−1 ) · . . . · (a · [xm , ym ]km · a−1 ).
Como [G, G] 6 G y cada factor está en [G, G], se sigue que a · z · a−1 ∈ [G, G].
El resultado anterior implica que la operación de G se induce sobre G/[G, G] resultando
así un grupo cociente. Este grupo se llama abelianizado de G y se denota Ab(G). Obviamente Ab(G) es un grupo abeliano; en efecto, la igualdad x · y = y · x se cumplirá si y sólo si
x · y = y · x. Y esto equivale a su vez a que [x, y] ∈ [G, G], lo cual es obvio. Denotaremos por
p : G → Ab(G) a la proyección dada por p(x) := x.
Ejercicio 12. Demostrar que un grupo G es abeliano si y sólo si [G, G] = {e}. En tal caso,
se cumple que Ab(G) ∼
= G.
Establecemos ahora una propiedad del abelianizado que será de gran utilidad a la hora de
calcularlo.
Proposición 6.2 (Propiedad universal del abelianizado). Sea f : G → G0 un homomorfismo
con G0 abeliano. Entonces, existe un único homomorfismo f : Ab(G) → G0 tal que f ◦ p = f .
Demostración. Teniendo
en cuenta el Ejercicio 4 bastará comprobar que [G, G] ⊆ Ker(f ). Y
como [G, G] = A con A = {[x, y] / x, y ∈ G}, es suficiente verificar que A ⊆ Ker(f ). Sean
x, y ∈ G. Usando que f es un homomorfismo y que G0 es abeliano, se tiene que:
f ([x, y]) = f (x · y · x−1 · y −1 ) = f (x) · f (y) · f (x)−1 · f (y)−1
= f (x) · f (x)−1 · f (y) · f (y)−1 = e0 · e0 = e0 ,
como se quería.
También es fácil probar que la propiedad del isomorfismo se conserva al abelianizar.
Proposición 6.3. Sea f : G → G0 un isomorfismo. Entonces, existe un único isomorfismo
f : Ab(G) → Ab(G0 ) tal que f ◦ p = p0 ◦ f . Así, si G ∼
= G0 entonces Ab(G) ∼
= Ab(G0 ).
ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
11
Demostración. Teniendo en cuenta el Ejercicio 5 basta con ver que f ([G, G]) = [G0 , G0 ]. Pro0
0
−1
baremos únicamente
la inclusión f ([G, G]) ⊆ [G
,G ] (la
otra es análoga usando f ). Como
[G, G] = A con A = {[x, y] / x, y ∈ G} y f ( A ) = f (A) , es suficiente con verificar que
f (A) ⊆ [G0 , G0 ]. Pero esto es sencillo, puesto que si x, y ∈ G, entonces:
f ([x, y]) = f (x · y · x−1 · y −1 ) = f (x) · f (y) · f (x)−1 · f (y)−1 = [f (x), f (y)],
que obviamente es un elemento de [G0 , G0 ].
El anterior resultado nos da un criterio útil para decidir si dos grupos son isomorfos a partir de sus abelianizados. El resultado es bastante práctico, pues usualmente es más sencillo
estudiar si dos grupos son isomorfos cuando estos son abelianos.
Corolario 6.4. Sean G y G0 dos grupos tales que Ab(G) no es isomorfo a Ab(G0 ). Entonces,
G no es isomorfo a G0 .
Veamos ahora cómo se puede usar la Proposición 6.2 para obtener el abelianizado de un
grupo libre de rango finito.
Ejemplo 6.5. Tomemos un grupo libre a1 , . . . , an . Recordemos que todo elemento no
k
k
k
trivial de a1 , . . . , an es del tipo ai1i1 ai2i2 · · · aimim , donde m ∈ N ∪ {0}, il ∈ {1, . . . , n},
kil ∈ Z − {0}, y cada par de índices consecutivos son distintos. Al abelianizar, los elementos
ai conmutan, lo que permite reagrupar las potencias con la misma base. Así, todo elemento
de Ab a1 , . . . , an se escribe como ak11 ak22 · · · aknn con ki ∈ Z, para cada i = 1, . . . , m.
n
propiedad universal de
Denotemos
por ui al elemento (0, . . . , 1, . . . , 0) de Z . Por la
a1 , . . . , an existe un único homomorfismo f : a1 , . . . ,
an → Zntal que f (ai ) = ui , para
cada i = 1, . . . , m. Y por la propiedad universal de Ab a1 , . . . , an , existe un único homo
morfismo f : Ab a1 , . . . , an → Zn tal que f ◦ p = f . En particular, se tiene que f (ai ) = ui ,
para cada i = 1, . . . , m. Veamos que f es un isomorfismo, lo que probaría que:
Ab a1 , . . . , an ∼
= Zn .
Sea u = (k1 , . . . , kn ) ∈ Zn . Entonces, se tiene que:
f (ak11 · · · aknn ) = k1 f (a1 ) + . . . + kn f (an ) = k1 u1 + . . . + kn un = u,
de donde f es un epimorfismo. Sea x ∈ Ker(f ). Si ponemos x = ak11 ak22 · · · aknn , entonces:
(0, . . . , 0) = f (x) = f (ak11 ak22 · · · aknn ) = k1 u1 + . . . + kn un = (k1 , . . . , kn ),
y, por tanto, ki = 0 para cada i = 1, . . . , m. Así, x = 1 y se concluye.
Como todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre y sabemos abelianizar grupos libres, es natural plantarse cómo se puede abelianizar un grupo cociente. Esto nos lleva
al siguiente resultado.
Proposición 6.6. Sea G un grupo y H E G. Entonces:
Ab(G/H) ∼
= Ab(G)/p(H),
donde p : G → Ab(G) es la proyección (nótese que p(H) E Ab(G)) por ser Ab(G) abeliano.
Demostración. Para esta demostración es conveniente realizar diagramas con todos los grupos y homomorfismos que intervienen.
Sean q : G → G/H, h : G/H → Ab(G/H) y j : Ab(G) → Ab(G)/p(H) las correspondientes proyecciones a los cocientes. Vamos a construir primero un homomorfismo
f : Ab(G/H) → Ab(G)/p(H). Es obvio que H ⊆ Ker(j ◦ p). Así, el Ejercicio 4 garantiza la
12
CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II
existencia de un único homomorfismo s : G/H → Ab(G)/p(H) tal que s ◦ q = j ◦ p. Ahora, la
propiedad universal de Ab(G/H) nos dice que existe un único f : Ab(G/H) → Ab(G)/p(H)
tal que f ◦ h = s. En particular, tenemos:
(6.1)
f ◦ h ◦ q = j ◦ p.
Seguiremos una idea similar para construir el que luego será f −1 . Por la propiedad universal de Ab(G), existe un único homomorfismo t : Ab(G) → Ab(G/H) tal que t ◦ p = h ◦ q.
Nótese que p(H) ⊆ Ker(t), pues t ◦ p = h ◦ q y q(H) = {e}. Por el Ejercicio 4, existe un único
homomorfismo g : Ab(G)/p(H) → Ab(G/H) tal que q ◦ j = t. En particular, tenemos:
(6.2)
g ◦ j ◦ p = h ◦ q.
Sustituyendo (6.2) en (6.1) y viceversa, llegamos a las igualdades:
(f ◦ g) ◦ (j ◦ p) = j ◦ p,
(g ◦ f ) ◦ (h ◦ q) = h ◦ q.
Utilizando que las aplicaciones j ◦ p y h ◦ q son sobreyectivas junto con el ejercicio de abajo,
se concluye que g = f −1 y se acaba.
Ejercicio 13. Sean ϕ : X → X y ψ : Y → X dos aplicaciones entre conjuntos de forma que
ψ es sobreyectiva y ϕ ◦ ψ = ψ. Demostrar que ϕ = IX .