MA02_07_05_12

Curso: Matemática
Material Nº 02
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES
Los elementos del conjunto IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} se denominan “Números Naturales”.
Los números cardinales corresponden a la unión del conjunto de los Números Naturales con
el cero. IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} IN0 = IN  {0}
NÚMEROS ENTEROS 
Los elementos del conjunto  = {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números Enteros”.
OPERATORIA EN 
ADICIÓN
Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el
signo común.
 Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

OBSERVACIÓN:
El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite el signo.
El valor absoluto de +5 o de -5 es 5.
MULTIPLICACIÓN


Si se multiplican dos números de igual signo el resultado
es siempre positivo.
Si se multiplican dos números de distintos signo el
resultado siempre es negativo.
OBSERVACION:
·
·
·
·
+
–
+
–
En la división se cumple la regla de los signos de la multiplicación.
EJEMPLOS
1.
+
+
–
–
Al calcular -9 + (-28) se obtiene
A) -37
B) -19
C) 19
D) 21
E) 37
1
=
=
=
=
+
–
–
+
2.
Al calcular 18 + -27 se obtiene
A) -11
B) -9
C)
9
D) 11
E) 45
3.
El cuociente entre -145 y -5 es
A) -29
B) -27
C) 27
D) 28
E) 29
4.
Al calcular (-12.435 + 9.123) : 3 se obtiene
A) -7.186
B) -1.104
C)
-114
D) 7.186
E) 9.936
5.
Se define a  b = 2a + b – 5. Si m = 3n – 9 y n = 2  4, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
m es un número natural.
n es un número entero.
m – n es un número natural.
I
II
III
I y II
II y III
(-2) · 2 · 2 · (-2) · 2 · (-2) =
A) 26
B) 20
C) -23
D) 2-6
E) -26
2
Definición: sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2.
OBSERVACIÓN:
Son cuadrados perfectos los enteros de la forma n2, con n  lN:
1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …
EJEMPLOS
1.
Si al antecesor de -3 se le resta el sucesor de -6, se obtiene
A) -9
B) -7
C) 1
D) 2
E) 3
2.
Si al doble de 17 se le resta el antecesor del triple de 9, resulta
A) 6
B) 7
C) 8
D) 30
E) 60
3.
La suma de tres números consecutivos es -60. ¿Cuál es el sucesor del número mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
-22
-21
-20
-19
-18
3
4.
Al dividir el antecesor del triple de -4 con el sucesor del doble de 6, resulta
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) ninguna de las anteriores.
5.
Joaquín debe resolver la siguiente situación: “Se sabe que p + 5 = 8, q – 6 = -1 y
r – 9 = -15, entonces p + q + r =”
A) -34
B) -8
C) -4
D)
2
E) 14
6.
El producto del cuadrado perfecto de 7 con el cuadrado perfecto de 2 es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
7·2
72 · 2 2
4·7
52
22 · 7
Si 7x + 2 = -5, entonces el cuádruplo de x es
A) -4
B) -2
C) -1
D) 2
E) 4
4
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.
EJEMPLOS
1.
4 · (-22 ) + 1=
A) -15
B) -12
C)
1
D) 15
E) 17
2.
Al desarrollar 5 · (-12) : 4 + 6 · 3 se obtiene
A) -27
B) -18
C) -3
D)
3
E) 18
3.
Al resolver (-2)4 + 5 – (12 – 14 : 2)2 se obtiene
A) -35
B) -12
C) -4
D) 20
E) 21
5
4.
(-3)3 + 2 (5 – (-4))2 =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
-27
-25
-9
135
153
-(22 + 3)2 – 4 (1 + 2(-2 – 3)) =
A) -85
B) -43
C) -13
D) 11
E) 29
6.
6{-(2 – 9) – 2[5 - 8 – (-9 – 2)]} =
A) -210
B) -102
C) -54
D)
18
E) 240
7.
Si a = 15 – 6 · 4 : 8 + 2 , b= -10 : 5 · 2 + 1 – 1 : 1 y c = -22 + (3 – 5)3. Al ordenar
en forma decreciente resulta
A)
B)
C)
D)
E)
c, a, b
c, b, a
a, b, c
a, c, b
b, c, a
6
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o
bien b y c son divisores o factores de a.
ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
POR
2
3
4
5
6
8
9
CUANDO
Termina en cifra par.
La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.
Termina en 0 o 5.
Es divisible por dos y por tres a la vez.
Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8.
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
EJEMPLOS
1.
El triple de 146 es divisible por
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si
M(4)
corresponde
al
conjunto
de
los
múltiplos
positivos
de
4,
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}. La cuarta parte de la suma de los primeros cuatro
múltiplos de cuatro es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
4
5
6
7
8
6
10
14
18
20
Para qué valor de m la expresión
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
m2
 m es divisible por 6
3
3
9
12
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
7
4. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar Z, para que el número 38Z6 sea divisible por
3?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
0
1
2
3
4
La suma de tres números múltiplos consecutivos de 3 es siempre un número divisible
por
I)
II)
III)
3
8
9
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si 4 · 3 · (x + 3) = 72, entonces x es divisor de
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
1
2
3
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas
¿Cuál de los siguientes pares de números debe colocarse en los cuadrados vacíos, para
que el número de 6 cifras 7 201
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
3
4
5
y
y
y
y
y
sea divisible por 9?
0
9
3
5
3
8
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
(El 1 y el mismo número).
Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…
 Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores. Los primeros números
compuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…

Observación: El 1 no es número primo ni compuesto.
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores
de números primos.
EJEMPLOS
1.
¿Cuántos números primos son mayores que 8 y menores que 40?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
2.
La diferencia entre el mayor número primo menor que 10 y el menor número
compuesto, disminuido en 4 es
A) -7
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
3.
Al sumar los 6 primeros números primos, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
29
30
40
41
42
9
4.
Al descomponer 540 en factores primos resulta
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Si p = -2,
A)
B)
C)
D)
E)
6.
2 · 33
22 · 3 · 5
22 · 3 2 · 5
22 · 3 2 · 52
22 · 3 3 · 5
q = -1 y
r = 1 entonces 3r – [r – (p – q)] representa un número
primo.
compuesto.
antecesor de 0.
sucesor de 1.
antecesor de 2.
El cuádruplo de la suma de dos números primos consecutivos es igual al doble de 10. Si
uno de esos números es par, ¿cuál es el otro número?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 12
E) Falta información.
7.
Al descomponer en un producto de factores primos el número 4.356 se puede afirmar
que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
tiene solo tres factores primos.
es un cuadrado perfecto.
su raíz cuadrada es el antecesor par de 17 · 22.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
10
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0.
-3
-2
-1
0
-3 = 3
DEFINICIÓN:
 n,
|n| = 
 -n,
si n  0
si n < 0
Si z = -6 entonces 2z + z – -z
A) -24
B) -12
C)
0
D) 12
E) 24
2.
-3 · 5 – 4 – -5 =
A) -8
B) -2
C) 1
D) 2
E) 8
3.
2
3 = 3
EJEMPLOS
1.
1
-4 – 9 – -12 + -9 =
A) 16
B) 8
C) 2
D) -2
E) -8
11
3
4.
Dado los números enteros p = -12, q = -2, r = --8 y s = -(--6), el orden
decreciente de ellos es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
p, r, s, q
q, r, s, p
p, s, q, r
p, s, r, q
s, p, q, r
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) con respecto a la
expresión a > b?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
a>b
b>a
la distancia de a al cero es mayor que la distancia de b al cero.
I
II
III
I y III
II y III
El valor de -9 – 3 – -9 – -6 es
A) -9
B) -3
C) 0
D) 3
E) 9
7.
Si a = -2 y b = 3, entonces el valor de la expresión a – b – –b · b – a + -a es
A) -22
B) -18
C) -8
D) 18
E) 22
12

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor entero positivo que es múltiplo común de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor entero positivo que es divisor común de dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Se debe descomponer los números dados en factores primos.
El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso de
existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando
aquel que posea el exponente menor.
EJEMPLOS
1.
El m.c.m. entre 5 y 7 es
A) 1
B) 5
C) 7
D) 35
E) 70
2.
El M.C.D. de 3 y 5 es
A) 1
B) 3
C) 5
D) 10
E) 15
3.
Si A = 23 · 34 y
respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
23
22
23
22
23
·
·
·
·
·
33
33
34
33
34
y 22
·5 y
·5 y
y 23
·5 y
B = 22 · 33 · 5, entonces el m.c.m
· 33 · 5
2 2 · 33
2 2 · 33
· 34 · 5
2 2 · 33 · 5
13
y el
M.C.D. de A y B son
EJERCICIOS
1.
3 – 2(2 · 3 – 2 · 4) =
A) -29
B) -15
C) -2
D)
2
E)
7
2.
Con respecto a |-18| se puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
3.
|-18|
|-18|
|-18|
|-18|
|-18|
< 18
> 18
= 18
= (-18)
< -18
[-3 + (-5) · 6] : (-3) =
A) -16
B) -11
C)
9
D) 11
E) 16
4.
-2 · {3 -4 – 1 – -2 } =
A) -34
B) -26
C) -19
D) 26
E) 34
5.
-1 + {2 [23 – (3 + 4)] – 8} =
A)
B)
C)
D)
E)
15
23
30
32
39
14
6.
En la siguiente secuencia numérica 1, -3, 5, -7, 9, -11, el duodécimo término es
A) -23
B) -21
C) -19
D) 19
E) 21
6.
Si al cubo de -2 se le suma el cuádruplo de -3 y al resultado se le agrega el cuádruplo
de 4, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
7.
-4
-2
22
24
36
Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s ,entonces r – s es
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
8.
Si (m – 7) es el antecesor de 12, entonces el antecesor de m es
A)
B)
C)
D)
E)
9.
17
18
19
20
21
Si p y q son números enteros y el sucesor de p es q y el antecesor de p es -9,
entonces p + q =
A)
B)
C)
D)
E)
-14
-15
-16
-18
-20
15
10. Si 2n representa un número par y m un número impar, ¿cuál de las siguientes
opciones corresponde a un número par?
A)
B)
C)
D)
E)
2n + m
2n – m
m – 2n + 2
10n + 3m
m – 1 + 2n
11. Si a y b son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica están
representados en la figura 1, entonces siempre se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
a·b>0
-a : b < 0
a+b>0
a–b>0
a : -b > 0
a
0
b
fig. 1
12. Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene a3b2c. Entonces,
a + b – c es igual a
A) -4
B) 0
C) 4
D) 6
E) 10
13. Si a es un número compuesto impar menor que 10, entonces a – 1 es
I)
II)
III)
primo.
compuesto.
impar.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y II
II y III
14. La descomposición del número 2.160 en sus factores primos es
A)
B)
C)
D)
E)
22
23
22
24
24
·
·
·
·
·
32
32
33
32
33
·
·
·
·
·
5
52
5
5
5
16
15. Si x es un número primo menor que tres, entonces x es
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
3
ninguno de ellos.
16. Si a > 0 y a > b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?
A) b > 0
B) a < b
C) -a < -b
D) b < 0
E) -a > -b
17. Las luces de una vitrina encienden en lapsos distintos de tiempo, las luces amarillas se
encienden cada 24 segundos y las rojas cada 32 segundos. Si ambos colores se
encuentran encendidos a las 10 horas y 15 minutos, ¿a qué hora se encuentran
nuevamente ambos encendidos?
A)
B)
C)
D)
E)
10
10
10
10
10
hr,
hr,
hr,
hr,
hr,
15
16
16
16
17
min
min
min
min
min
y
y
y
y
y
32
06
24
36
36
seg
seg
seg
seg
seg
18. Para que el número de cuatro cifras 6_22 sea divisible por 6, ¿cuál es el número que
se debe colocar en el espacio en blanco?
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
3
4
19. Si p es el menor número primo no par, q es el sucesor primo de p y r es el antecesor
de q , entonces el resultado de 2r + 3p – q es
A)
B)
C)
D)
12
13
17
20
17
E) 25
20. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por
I)
II)
III)
2
3
6
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
21. Si n es un número natural impar, entonces el sucesor impar del sucesor de n + 1 está
representado por
A)
B)
C)
D)
E)
2n + 4
2n + 2
n+2
n+3
n+4
22. Si p es un número entero impar y q es un número entero par consecutivo a p,
entonces ¿cuál (es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
p – 1 es impar.
(p – q)2 es igual a 1.
-q2 es un número entero positivo.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
23. La figura 2 muestra una secuencia de diagramas en la cual el número de celdas negras
(n) y blancas (b) están relacionadas por una fórmula. ¿Cuál es la fórmula que
relaciona n con b?
fig. 2
A)
B)
C)
D)
E)
b
b
b
b
b
=
=
=
=
=
2n
2n – 1
n+2
n–2
2n + 1
18
24. El diagrama que se muestra en la figura 3 está formado por segmentos que van
creando triángulos. ¿Cuántos segmentos se necesitan para formar el diagrama número
85?
fig. 3
1
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
240
329
339
340
440
25. Se puede ordenar en forma creciente a, b y c si se sabe que :
(1) a + 1 = b
(2) el antecesor de c es b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
26. Sea r un número primo comprendido entre 30 y 50. Se puede determinar el valor
exacto de r si:
(1) La suma de sus dígitos es menor a 10.
(2) La suma de sus dígitos es un número primo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. Sean x e y números naturales distintos. Si (x + y) es un número par, entonces se
puede determinar el valor de x e y si :
(1) x < y e y  4
(2) y – x = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
19
28. Sea n un numero entero, se puede determinar que n – 1 es par si :
(1) 2n es un número par.
(2) n + 2 es impar
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. Se puede determinar el valor numérico de (s – t) · (s – t) si :
(1) (s + t) · (s – t) = 21
(2) s = 7 – t
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS
Ejemplo
EJERCICIOS PÁG. 14
1
2
3
4
5
6
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
A
C
A
C
C
B
B
C
D
B
C
A
E
E
C
E
D
E
B
B
D
B
E
C
B
D
C
D
E
C
E
B
C
C
B
D
13
D
A
C
Págs.
7
A
C
E
E
C
1. E
2. C
11. E
12. E
21. B
22. E
3. D
13. B
23. B
4. B
5. B
14. B
15. E
24. C
25. C
6. A
7. A
16. C
17. C
26. C
27. E
8. A
18. D
28. E
9. A
10. B
19. C
20. A
29. B
30. C
DMDOMA02
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