guía del alumno 1º de bachillerato matemáticas i materias propias

BACHILLERATO SEMIPRESENCIAL Y A DISTANCIA
GUÍA DEL ALUMNO
1º DE BACHILLERATO
MATEMÁTICAS I
MATERIAS PROPIAS DE MODALIDAD
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
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MATEMÁTICAS 1
-Es autor de esta guía Miguel Ares Diñeiro.
1. LA MATERIA.
De una forma cada vez más frecuente, las matemáticas están consideradas como una
herramienta sumamente útil y eficaz, aplicable a los más diversos y variados aspectos
de la realidad, un instrumento potente y capaz de resolver problemas en los distintos
ámbitos de la actividad humana, no sólo en la científica y tecnológica, sino también en
los aspectos sociales, económicos, laborales, ... etc.
Las matemáticas son útiles cuando responden a las necesidades sociales, y estas
necesidades no se limitan a las destrezas aritméticas sino que son habilidades de
índole más general que pueden desarrollarse trabajando con las matemáticas.
La formación matemática que vas a adquirir a lo largo de estos dos cursos te debe
servir, entre otras cosas, para tomar decisiones, enfrentarte a nuevas situaciones y a
desarrolar tu capacidad de razonamiento, no sólo el deductivo, sino también el
inductivo y el intuitivo, ya que todos ellos juegan un papel importante en el trabajo y en
la vida diaria.
La asignatura tiene una orientación eminentemente práctica que, como tendrás
ocasión de comprobar a lo largo del curso, queda perfectamente reflejada en las
distintas unidades que lo componen, pero no debes descuidar los aspectos teóricos
que son los que en definitiva te permitirán adquirir los conocimientos y destrezas
necesarios para abordar los distintos problemas que se te van a plantear.
La materia está agrupada en cuatro bloques temáticos: aritmética y álgebra,
geometría, funciones y gráficas y estadística y probabilidad con un total de quince
unidades didácticas.
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Las matemáticas estudian las relaciones, y gran parte de estas relaciones se expresan
de forma algebraica, de ahí la importancia de introducir símbolos que sustituyan a
objetos con el fin de representar una situación y comunicar información sobre ella,
simbolizar cantidades conocidas y desconocidas, pero determinadas -incógnitasmediante letras, expresar algebraicamente enunciados de problemas y obtener
métodos de resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y de
sistemas de ecuaciones e inecuaciones para resolverlos.
GEOMETRÍA
La geometría consiste en el estudio de las figuras, sus propiedades y relaciones; con
el estudio de la trigonometría aprenderemos a resolver situaciones en las que
intervienen triángulos generales; en cuanto al estudio de la geometría en el plano,
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
debemos indicar la importancia de las rectas en muchos problemas geométricos: su
comportamiento refleja el de fenómenos o magnitudes que varían de forma lineal.
Si bien es cierto que las rectas tienen una forma muy especial y, por tanto, cabría
esperar que rara vez aparecieran como formulación de un proceso natural, se da la
circunstancia de que, a parte de una serie de fenómenos sencillos que tienen carácter
lineal evidente, otros más complejos también se comportan, cuando se analizan en un
pequeño intervalo de valores, de forma lineal
FUNCIONES Y GRÁFICAS
El análisis es de gran utilidad para describir, ilustrar, interpretar, predecir y explicar
fenómenos muy diversos: económicos, sociales, físicos...,mediante tablas, gráficas y
modelos matemáticos. Hay que prestar especial atención a la confección e
interpretación de gráficas por su gran eficacia para comunicar información.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
La estadística es el campo de la matemática que trata de encontrar las leyes que rigen
el mundo del azar a fin de tomar las decisiones oportunas en aquellos aspectos de
nuestro entorno que parecen estar dominados por lo aleatorio. La estadística trata en
primer lugar, de acumular la masa de datos numéricos provenientes de la observación
de multitud de fenómenos procesándolos de modo razonable. Mediante la teoría de la
probabilidad, analiza y explora la estructura matemática subyacente al fenómeno del
que estos datos provienen, y mediante el conocimiento de tal estructura, trata de sacar
conclusiones y predicciones que ayudan al mejor aprovechamiento del fenómeno para
los fines que de él se pueden pretender.
La estadística es de enorme interés por sí misma y por la utilización que hacen de ella
las demás disciplinas. Nos capacita para tomar decisiones cuando sólo disponemos
de datos variables y afectados de incertidumbre, y proporciona una filosofía del azar
de gran alcance en el mundo actual.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Se incluyen a continuación los objetivos que se pretenden conseguir con el estudio de
estos bloques.
- Conocer los diferentes tipos de números y operar correctamente con ellos.
- Adquirir la suficiente destreza y habilidad para realizar las diferentes
operaciones matemáticas con polinomios y fracciones algebraicas.
- Resolver con suficiente soltura ecuaciones de primer y segundo grado.
- Interpretar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres
incógnitas.
- Traducir al lenguaje algebraico situaciones cotidianas formulando y
resolviendo problemas que originen sistemas de ecuaciones lineales.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
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- Emplear métodos algebraicos, gráficos y numéricos para hallar la solución,
interpretarla dentro de la situación formulada y valorar si es adecuada al
problema planteado.
- Resolver inecuaciones con una incógnita.
- Interpretar y resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos
incógnitas.
- Identificar y distinguir las sucesiones de números reales.
- Identificar, analizar, interpretar y conocer las distintas propiedades de las
progresiones aritméticas y geométricas.
- Conocer y utilizar correctamente las propiedades de los logaritmos.
- Describir y estudiar procesos naturales mediante funciones exponenciales.
- Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
- Conocer las formas binomial, polar y trigonométrica de los números complejos
y aprender las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos,
eligiendo la forma más conveniente para realizarlas.
- Aprender el significado de las razones trigonométricas y aprender a
calcularlas.
- Establecer relaciones básicas entre las razones trigonométricas.
- Resolver ecuaciones en las que intervienen razones trigonométricas.
- Conocer los teoremas del seno y coseno y aplicarlos a la resolución de
triángulos en situaciones prácticas de estimación de longitudes, alturas y
ángulos.
- Conocer y manejar las distintas ecuaciones de la recta.
- Conocer el significado de la pendiente de una recta y establecer con rigor las
condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
- Determinar las posiciones relativas de rectas en el plano.
- Calcular el ángulo que forman dos rectas, las bisectrices y obtener fórmulas
para hallar distancias entre puntos y rectas.
- Reconocer determinadas rectas y curvas en el plano como lugares
geométricos.
- Definir y estudiar las propiedades de la circunferencia, elipse, hipérbola y
parábola.
- Emplear con precisión los conceptos y la terminología relacionada con las
funciones.
- Conocer e interpretar diferentes aspectos de una función con el estudio de su
gráfica.
- Distinguir si una gráfica define o no una función.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
- Representar gráficamente funciones lineales y cuadráticas.
- Plantear y resolver problemas sencillos asociados a situaciones reales que
puedan ser descritos mediante funciones lineales o cuadráticas.
- Conocer y trabajar con funciones específicas -polinómicas y racionales,
exponenciales y logarítmicas, periódicas- y resolver problemas sencillos que
se ajusten a este tipo de funciones.
- Calcular límites de las funciones más usuales, hallar límites laterales y
resolver indeterminaciones.
- Estudiar la continuidad de una función y clasificar sus discontinuidades.
- Manejar e interpretar los conceptos de tasa de variación media y tasa de
variación instantánea.
- Conocer el significado geométrico de la derivada y utilizarlo para calcular la
ecuación de la tangente y normal a una curva en un punto.
- Obtener las derivadas de las funciones elementales y sus composiciones.
- Estudiar las características de una función mediante el estudio de su
derivada, y con ellas obtener su representación gráfica.
- Plantear y resolver con ayuda de las derivadas problemas sencillos de
optimización .
- Leer, confeccionar e interpretar una tabla de frecuencias.
- Confeccionar e interpretar los gráficos estadísticos usuales.
- Calcular e interpretar las medidas de centralización y dispersión más usuales.
- Estudiar distribuciones entre dos variables.
- Aprender a descubrir la dependencia estadística entre dos variables.
- Entender el significado de la correlación lineal.
- Estimar el valor aproximado de la correlación lineal a partir de la nube de
puntos.
- Saber que la correlación lineal puede medirse mediante el coeficiente de
correlación.
- Emplear la recta de regresión para hacer estimaciones.
- Aprender a calcular números combinatorios y su utilidad en el cómputo de
sucesos.
- Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.
- Hallar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
- Distinguir los distintos tipos de sucesos y las operaciones con ellos.
- Calcular probabilidades y probabilidades condicionadas.
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- Calcular la probabilidad de la unión e intersección de sucesos distinguiendo si
son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes.
- Adquirir la noción de distribución de probabilidad.
- Conocer la función de masa de probabilidad y la función de distribución de
una variable aleatoria discreta.
- Calcular e interpretar la media y la varianza de una función de probabilidad
discreta.
- Conocer las características de una distribución binomial.
- Calcular probabilidades de fenómenos que se ajusten a una distribución
binomial.
- Conocer las características de la función de densidad y de la función de
distribución de una variable aleatoria continua.
- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria continua.
- Conocer las características de una distribución normal.
- Tipificar una variable N ( µ , σ ) y calcular probabilidades de fenómenos que se
ajusten a ella.
- Calcular la probabilidad de sucesos de origen binomial con la ayuda de la
distribución normal.
2. EL LIBRO DE TEXTO
El libro de texto que se ha utilizado para la elaboración de esta guía y recomendado
para el estudio de la asignatura es:
Matemáticas 1
Autores: Andrés Nortes, Pedro Jiménez, Francisco Lozano, Antonio Miñano y
José A. Ródenas.
Editorial Santillana.
Para preparar la asignatura sirve cualquier otro libro que cubra los objetivos señalados
en la guía.
2.1. Estructura del libro
Cada una de las unidades didácticas está estructurada de la siguiente forma:
1.- Esquema de la unidad: en él aparecen claramente definidos los objetivos
de aprendizaje que se deben alcanzar en la unidad, junto con un esquema
gráfico que indica el orden temporal de los contenidos. Este orden también
se hace explícito de forma escrita mediante un breve texto introductorio.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
2.- Evaluación inicial: con ella se pretende explorar los conocimientos previos
de los alumnos, tanto de la unidad como de conceptos relacionados e
importantes para su comprensión.
3.- Información básica: en ella se desarrollan los aspectos teóricos,
generalmente a partir de contextos problemáticos.
4.- Actividades de pie de página: al pie de cada página se ofrecen una serie
de actividades para practicar los conceptos y procedimientos vistos. Tienen
por objeto reforzar la comprensión y asegurar el dominio de las técnicas
esenciales.
5.- Lo más importante: una vez concluida la información básica de la unidad,
se ofrece un resumen de las ideas y conceptos claves de ésta; con ello se
pretende recordar estos aspectos y facilitar el autoanálisis del nivel de
conocimientos.
6.- Ejercicios y problemas resueltos: al final de cada unidad se ofrecen
cuatro páginas de ejercicios y problemas resueltos. Con estas páginas se
pretende dejar totalmente claros los procedimientos vistos en la unidad,
resolviendo todos los problemas paso a paso. El alumno debe intentar
resolverlos por sí mismo, y luego comprobar la solución encontrada.
7.- Ejercicios y problemas propuestos: similares a los anteriores de los que
se seleccionan las actividades para enviar al tutor; con ellos se practican
todos los conceptos y técnicas claves de la unidad.
2.2. Método de trabajo recomendado
En primer lugar, debes abordar esta asignatura con optimismo y convencido de que,
aunque en su estudio surgirán dificultades, con esfuerzo y constancia las podrás
superar. Piensa que las matemáticas tienen unas reglas lógicas y que las cosas no
suceden porque sí, sino que tienen un por qué lógico.
Utiliza siempre en tu estudio lápiz y papel. No te limites a leer, tienes que hacer, ya
que como mejor asimilarás y consolidarás los conceptos estudiados será haciéndolos,
pues lo que se oye, se olvida, lo que se ve se recuerda, pero lo que se hace se sabe.
Debes tener la suficiente destreza y habilidad para hacer con soltura las diferentes
operaciones matemáticas. Si no la tienes, debes repasar estos aspectos hasta
alcanzarla.
En cada unidad, y una vez conocidos los objetivos que se persiguen, comienza con el
estudio de los aspectos teóricos y procura resolver los ejercicios de aplicación de esos
conceptos.
En el apartado problemas resueltos, estos están clasificados por tipos y cubren los
aspectos más interesantes de cada unidad. Primero intenta hacerlos sin ayuda del
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libro y si ves que no eres capaz, recurre a él y no te desanimes, al principio es normal
que pase eso, pero poco a poco comprobarás tus progresos. Aprende las estrategias
usadas para resolverlos y trata de aplicarlas a los del apartado de ejercicios y
problemas propuestos, te servirán para que compruebes el grado de asimilación de los
conceptos estudiados. En este apartado de ejercicios y problemas propuestos
encontrarás diferentes tipos de ejercicios: los de aplicación inmediata de los
conocimientos y destrezas estudiadas, y otros, que llamaremos problemas, que
resultan algo más complejos porque requieren un planteamiento previo y, por tanto, un
estudio más profundo. Para resolver este tipo de problemas debes elaborar una
estrategia que contemple las siguientes etapas:
1.- Comprender el problema
Para entender el problema, hay que leer muy despacio, e incluso varias veces, su
enunciado. A continuación debes plantearte las siguientes cuestiones: ¿Qué me
preguntan? ¿Qué datos me dan? ¿Cuál es la incógnita? ¿Qué condición relaciona
unas cosas con otras? ¿Es condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es
insuficiente? (faltan datos) ¿Es redundante? (sobra algún dato) ¿Es contradictoria?
2.- Idear un plan
Ahora, se trata de relacionar los datos con las incógnitas, pero puede ser que esto no
resulte tan sencillo; en ese caso adopta la siguiente estrategia: ¿Me encontré alguna
vez con un problema semejante? ¿Me enfrenté otras veces al mismo problema
presentado de forma diferente? ¿Conozco algún problema relacionado con este? En el
apartado de problemas resueltos hay un problema parecido a este, ¿podría usarlo?
¿Podría usar su resultado? ¿Podría emplear su método o tendría que introducir algún
elemento auxiliar para poder emplearlo? ¿Conozco alguna propiedad o teorema que
pueda aplicar a este problema? ¿Podría enunciar el problema de forma diferente y
más parecida a otro similar que ya está resuelto? ¿Puedo resolver una parte del
problema? ¿Empleé todos los datos? ¿Empleé todas las condiciones?
3.- Ejecutar el plan
Una vez concebido el plan parece que todo es sencillo, pero no te confies y presta
especial atención en utilizar correctamente los medios de los que dispones, no te
confundas en las operaciones, asegúrate de la corrección de cada uno de los pasos
que das, y no te saltes las reglas del lenguaje matemático ni cometas errores
absurdos a la hora de realizar los cálculos.
4.- Examinar la solución alcanzada
Una vez encontrada la solución cabe preguntarse: ¿La solución alcanzada responde a
lo que me pedían? ¿Puedo comprobarla? ¿Es lógica o carece de sentido? ¿Es
coherente o se contradice con alguno de los teoremas o propiedades que conozco? Si
es así habrá que revisar todo el proceso. También es posible que el problema esté mal
enunciado o tenga erratas.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Aún siendo correcta la solución alcanzada, cabe preguntarse si se podía haber
obtenido de forma más clara y con menos esfuerzo empleando otro método o si se
puede emplear este método en otros problemas.
Las actividades que se proponen en cada unidad para enviar al tutor, están sacadas
del apartado problemas propuestos y, aunque no es obligatorio, si es aconsejable su
envío periódico al tutor, pues aunque no van a determinar la calificación de la
asignatura, sirven para comprobar la evolución del alumno y para corregir los posibles
errores.
Las actividades de autoevaluación que se proponen en cada unidad y cuya solución
aparece en el solucionario al final de la guía, están sacadas del apartado problemas
propuestos del libro de texto y deben servir para que el alumno compruebe los
conocimientos y habilidades adquiridas con el estudio de la unidad.
2.3. Distribución trimestral de los contenidos
Como ya se dijo al principio de esta guía, la materia está agrupada en cuatro bloques
temáticos con un total de quince unidades didácticas. La distribución temporal de
estas unidades a lo largo del curso será la siguiente:
PRIMER TRIMESTRE (primera evaluación): Unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
SEGUNDO TRIMESTRE (segunda evaluación): Unidades 8, 9, 10, 11 y 12
TERCER TRIMESTRE (tercera evaluación): Unidades 14, 15 y 16
Criterios de evaluación
La evaluación está encaminada a saber hasta que punto se asimilaron los
conocimientos y se alcanzaron los objetivos marcados. Se valoran los conocimientos
teórico prácticos del alumno, el empleo adecuado de las herramientas matemáticas,
así como el rigor en los razonamientos desarrollados y la terminología empleada. En el
desarrollo de los ejercicios y problemas se valoran los siguientes aspectos:
- La coherencia ordenada y razonada de la respuesta.
- La claridad en la exposición.
- La utilización de una adecuada terminología y notación matemática.
- La facilidad, precisión y simplificación en la realización de los cálculos.
- Si en el desarrollo de un ejercicio, bien por un mal planteamiento o por errores
en los cálculos, el alumno obtiene un resultado absurdo (el seno de un ángulo
mayor que uno, por ejemplo), se valora positivamente que se percate de ese
hecho y ponga de manifiesto lo absurdo de tal resultado.
- También se valora positivamente que el alumno explique cada uno de los
pasos que da en la solución de los ejercicios.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
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En cada evaluación habrá un examen que consistirá en resolver una serie de
ejercicios de características similares a los que figuran en el libro de texto
recomendado.
Los alumnos que aprueben las tres evaluaciones, tienen aprobada la asignatura. Si no
las aprueban todas, en la convocatoria final del mes de junio tendrán que examinarse
de las evaluaciones suspensas. De no aprobar en esta convocatoria, en septiembre
deberán examinarse de toda la materia aunque tuviesen aprobada alguna de las
evaluaciones.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
3.- PROGRAMACIÓN. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES.
BLOQUE 1: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.
UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES.
Con esta unidad se pretende repasar, profundizar y consolidar aspectos estudiados en
cursos anteriores. Se inicia recordando los conceptos de números naturales y enteros.
A continuación se estudian los números racionales y los reales y sus operaciones.
Criterios de evaluación.
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Distinguir los diferentes tipos de números.
- Realizar correctamente las operaciones usuales.
- Realizar con precisión las diferentes operaciones con potencias y radicales.
- Conocer las propiedades del valor absoluto y calcular la distancia entre dos
puntos de la recta real.
Actividades para enviar al tutor
1. Halla los valores de a y b para que se cumpla la relación siguiente:
a b 13
+ =
3 a 6
2. Dado un cuadrado de 36 cm de lado, se quiere construir otro cuya área sea el
doble. ¿Por cuánto habrá que multiplicar el lado?
3. Suma los siguientes
semejantes:
a)
radicales
24 + 7 6 − 2 486
reduciéndolos
b)
3
previamente
a
radicales
108 − 23 32
Actividades de autoevaluación
1. ¿Cómo se pueden repartir equitativamente 30 salchichas iguales entre 18
personas, realizando el menor número posible de cortes? ¿Cuál es el mínimo
número de trozos que se necesitan hacer?.
2. Calcula el factor por el que hay que multiplicar la expresión
3
a2 ⋅ 4 a3 ⋅ 5 a4
para que el resultado sea 1.
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UNIDAD 2.- ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS.
En esta unidad estudiarás métodos algebraicos y geométricos para la resolución de
ecuaciones e inecuaciones, y el planteamiento y resolución de problemas de
aplicación de estos métodos. La mayoría ya son conocidos de cursos anteriores,
ahora se trata de afianzarlos y de corregir los posibles errores.
También vas a estudiar los diferentes métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas e interpretar gráficamente la
compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas. Debes recordar la representación gráfica de rectas en el plano, que
también utilizarás en la resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con
dos incógnitas.
Por último debes ser capaz de plantear y resolver problemas resolubles con estas
técnicas.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Resolver ecuaciones de primer y segundo grado y las que se puedan reducir
a ellas.
- Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.
- Representar gráficamente los intervalos solución de estas inecuaciones.
- Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo
grado.
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
- Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas: interpretarlo geométricamente.
- Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
- Plantear y resolver sistemas asociados a problemas reales: valorar la
solución.
Actividades para enviar al tutor
1. Un número capicúa de cinco cifras verifica:
a) La suma de sus cifras es 9.
b) La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las unidades y de la de
las decenas.
c) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número resultante
disminuye en 9.
Encuentra el número.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Actividades para enviar al tutor (continuación)
2. Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, a 9,8 euros/kg; el B, a 8,75
euros/kg; y el C, a 9,5 euros/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de
café para suministrar un pedido de 1.050 kg a un precio de 9,4 euros/kg.
¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe
poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?.
Actividades de autoevaluación
1. Una tienda vende una clase de calcetines a 12 euros el par. Al llegar las rebajas,
durante el primer mes realiza un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el
segundo mes un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un
total de 600 pares de calcetines por 5.976 euros y que en las rebajas ha vendido
la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el
descuento del 40%?.
2. Dos ciudades A y B distan 380 km. Si al mismo tiempo sale un coche de A en
dirección a B con una velocidad de 110 km/h, y un camión sale de B en
dirección a A con una velocidad de 85 km/h, ¿a qué hora se encuentran los dos
vehículos y cuál es la distancia recorrida por ambos hasta encontrarse?.
UNIDAD 3.-
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.
En esta unidad, igual que ocurría con la 1, se trata de repasar y afianzar
conocimientos estudiados en cursos anteriores. Comenzará con el estudio de los
polinomios y las operaciones usuales entre ellos: suma, resta, producto y cociente,
dedicando una atención especial a la regla de Ruffini, a la obtención de las raices de
un polinomio y a la factorización de polinomios. Finalmente se estudian las fracciones
algebraicas poniendo especial cuidado en las operaciones con fracciones y en
simplificar los resultados.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Realizar con soltura las diferentes operaciones con polinomios, empleando en
su caso la regla de Ruffini.
- Conocer y aplicar el teorema del resto y su relación con el valor numérico de
un polinomio.
- Calcular las raices y factorizar polinomios.
- Realizar con fluidez las distintas operaciones con fracciones algebraicas
simplificando los resultados.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
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Actividades para enviar al tutor.
1. El polinomio P( x) = x 3 + mx + nx + 4 es divisible por x − 1 y da el mismo resto
al dividirlo entre x − 2 y x + 3 . Calcula m y n .
x2 −1 x2 + 6
x +1
3
2. Realiza las operaciones que se indican:
+ 2
+ 3
−
x + 3 x − 9 x − 9x x − 3
Actividades de autoevaluación
1. Calcula un polinomio P (x) tal que, al dividirlo entre x 2 − x + 3 da de cociente
x 3 − 2 x 2 + 4 x − 5 y de resto 7.
2. Factoriza el siguiente polinomio: x 3 − 6 x 2 + 3x + 10 . ¿Cuáles son sus raíces?.
UNIDAD 4.- SUCESIONES NUMÉRICAS. LOGARITMOS.
En esta unidad aprenderás a identificar y distinguir las sucesiones de números reales
y a trabajar con un tipo particular de ellas: las progresiones aritméticas y geométricas
de gran importancia en muchos aspectos de la vida.
Se estudiarán también las funciones exponenciales que sirven de modelo a
fenómenos tan dispares como la evolución de poblaciones, desintegración radiactiva,
intereses financieros, etc.
Se estudiarán también los logaritmos que durante siglos fueron instrumento esencial a
la hora de realizar cálculos complicados. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que
les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican
números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos
sísmicos, etc.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Determinar el término general de sucesiones de números reales sencillas.
- Determinar el término general y la suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética o geométrica.
- Determinar el producto de los n primeros términos de una progresión
geométrica.
- Obtener logaritmos de números en distintas bases.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
- Plantear y resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como base o
argumento de un logaritmo o como exponente de una potencia.
- Plantear y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Actividades para enviar al tutor
1. Una persona envía una carta a dos amigos, pidiéndoles que, a su vez, cada uno
de
ellos envíe una copia de dicha carta a otros dos amigos, y así
sucesivamente. Después de 10 envíos, ¿cuántas copias se han hecho de la
carta?.
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
 x+ y=7

log x + log y = 1
b)
 2 x − 2 ⋅ 3 y = 10
 x−2
y −1
2 + 3 = 25
Actividades de autoevaluación
1. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre los números comprendidos entre 100 y
1000?.
2. Un depósito de vino contiene 4.096 litros. Si un día se saca la mitad del
contenido, al día siguiente se vuelve a sacar la mitad de lo que quedaba, y así
sucesivamente todos los días, ¿qué cantidad de vino se sacó el undécimo día?.
UNIDAD 5.- NÚMEROS COMPLEJOS.
En esta unidad estudiarás unos números que los matemáticos tardaron años en
admitir, por eso se les llamó "complejos" e "imaginarios". A pesar de estar en
apariencia desligados por completo del mundo real, los números complejos intervienen
en la descripcción de movimientos ondulatorios, circuitos eléctricos, etc.
Criterios de evaluación.
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Identificar los números complejos y representarlos en el plano.
- Conocer las distintas formas de expresar los números complejos, así como
pasar de una a otra forma.
- Elegir la forma más conveniente para realizar las operaciones y operar
correctamente.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
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- Calcular potencias y raices n-ésimas de números complejos.
Actividades para enviar al tutor
1. Calcula el valor de x para que el complejo
a)
2 − 3xi
3 + 4i
Sea un número real.
b) Sea un número imaginario puro.
c)
Su afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante.
2. Resuelve la ecuación (2 − 3i )x + 4 − 2i = 5 x + 3 . Expresa la solución en forma
polar.
Actividades de autoevaluación
1. El número 3i es una raiz cúbica de un número complejo, calcula las otras raíces
y el número complejo.
2. Calcula el valor de x para que el afijo del cociente
2x − i
se encuentre en:
3 − 2i
a) El eje de abscisas.
b) El eje de ordenadas.
c) En la bisectriz del cuarto cuadrante.
BLOQUE 2. GEOMETRÍA.
UNIDAD 6.- TRIGONOMETRÍA.
En esta unidad se estudian las distintas unidades de medida de ángulos, se introducen
las razones trigonométricas y se establecen las relaciones existentes entre ellas, así
como los teoremas del seno y coseno, instrumentos fundamentales para la resolución
de triángulos.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Conocer las razones trigonométricas y las relaciones entre ellas. Reducción al
primer cuadrante.
- Conocer las razones trigonométricas de los ángulos notables.
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Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
- Resolver ecuaciones trigonométricas.
- Resolver cualquier tipo de triángulos y situaciones prácticas de cálculo de
alturas, distancias y ángulos utilizando las fórmulas adecuadas.
Actividades para enviar al tutor
1. Una calle de una gran ciudad tiene una anchura de 24 m. Un edificio de dicha
calle tiene 40 m de altura. En un momento del día en el que los rayos del sol
forman un ángulo de 60º con la horizontal, ¿llegará el sol a iluminar el pavimento
de la calle?.
2. Desde un punto del suelo a 10 m de la pared en la que hay colgado un cuadro,
se ve la parte inferior de éste con un ángulo de elevación de 24º, y la parte
superior con un ángulo de 37º. ¿Qué altura tiene el cuadro?.
Actividades de autoevaluación
1. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: 5 − 7 senx − 2 cos 2 x = 0 .
2. Comprueba si es cierta o no la igualdad:
cos 2a + cos 2 a + 1
= 3 cos a
cos a
UNIDAD 7.- VECTORES EN EL PLANO.
En esta unidad se estudian las características de un vector fijo que permitirán
introducir el concepto de vector libre. Con vectores libres se realizan las operaciones
de suma de vectores y producto por un escalar.
Termina la unidad con la introducción del producto escalar de vectores, el estudio de
sus propiedades y su aplicación a la determinación del módulo de un vector y el
ángulo que forman dos vectores de gran importancia para la siguiente unidad.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Operar con vectores libres.
- Estudiar la dependencia e independencia lineal.
- Determinar las coordenadas de un vector en una base.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
17
- Hallar el módulo de un vector y el ángulo que forman dos vectores utilizando
el producto escalar.
Actividades para enviar al tutor
→
→
→
→
1. Dados los vectores u = (− 1,2 ) y v = (3, x ) , determina x para que u y v :
a) Sean paralelos.
b) Sean perpendiculares
c) Formen un ángulo de 30º
→
2. Determina el vector u sabiendo que forma un ángulo de 45º con (1,2) y es
unitario.
Actividades de autoevaluación
1. Determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de extremos
A(0,-2) y B(9,7) en tres partes iguales.
→
2. Determina el vector u sabiendo que tiene módulo 2 y forma un ángulo de 90º
con (2,-1).
UNIDAD 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.
En esta unidad se estudia la geometría en el plano estudiando las distintas ecuaciones
de la recta. Se estudia la posición relativa de rectas en el plano, el ángulo de dos
rectas, distancia entre puntos, entre un punto y una recta y entre dos rectas, punto
medio de un segmento, elementos notables de un triángulo (medianas, mediatrices,
alturas y bisectrices), punto medio de un segmento, etc.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Conocer las distintas ecuaciones de la recta y elegir la más adecuada en
cada caso.
- Establecer con rigor las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
- Estudiar la posición relativa de rectas en el plano.
- Calcular el ángulo de dos rectas y las distancias entre puntos y rectas.
- Calcular alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo.
18
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Actividades para enviar al tutor
1. Dadas las rectas:
r1 : 3x − 2 y + 5 = 0, r2 : 2 x − y + 3 = 0
y
r3 : kx − 2 y − 5 = 0,
halla k para que:
a) r2
b) r2
y
y
r3 sean paralelas.
r3 sean perpendiculares.
c) Las tres rectas pasen por un punto.
d) r1 y r3 formen un ángulo de 45º.
2. Un triángulo isósceles ABC tiene como vértices del lado desigual los puntos
A(3,1) y B(6,3), y el tercer vértice C se encuentra en la recta cuya ecuación es
y = x + 5 . Halla:
a) Las coordenadas del punto C.
b) La altura correspondiente al lado AB.
c) El área del triángulo.
Actividades de autoevaluación
1. Calcula en los siguientes casos el valor de k para que la recta x + ky + 1 = 0 .
a)
b)
c)
d)
Tenga pendiente 3.
Pase por el punto (2,1).
Sea paralela a la recta x + 2 y − 5 = 0 .
Sea perpendicular a la recta 2 x − y + 4 = 0 .
2. Los vértices de un triángulo son A(1,1) ; B(5,2) y C(4,6).
a) ¿Es equilátero, isósceles o escaleno?
b) ¿Es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?
UNIDAD 9.- LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS.
Las curvas llamadas cónicas tienen esta denominación porque se obtienen cortando
mediante planos en diferentes posiciones una superficie cónica.
En esta unidad estudiaremos el concepto de lugar geométrico como el conjunto de
puntos del plano que verifican una determinada propiedad. Se estudiará con más
detalle la circunferencia y se introducirán los conceptos de elipse, hipérbola y
parábola, sus elementos característicos y la forma de obtener sus ecuaciones.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
19
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Reconocer determinadas curvas y rectas como lugares geométricos.
- Estudiar las posiciones de una recta y una circunferencia.
- Caracterizar las rectas tangente y normal a la circunferencia.
- Hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia y el eje radical de
dos circunferencias.
- Estudiar la elipse, hipérbola y parábola, sus elementos característicos y las
distintas formas de expresar su ecuación.
Actividades para enviar al tutor
1. Halla la ecuación de una elipse cuyos focos son F(2, 0) y F´(-2, 0) y su
excentricidad es e =
1
.
2
2. Halla la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P(4, 3) y tal que la
distancia entre sus vértices es 8.
Actividades de autoevaluación
1. Obtén la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas
y por el punto (-5, 8) y tiene el centro en el eje de las ordenadas.
2. Halla la ecuación de la parábola de vértice (3, -1), de eje la recta y + 1 = 0 y que
pasa por el punto (2, -2).
BLOQUE 3.- FUNCIONES Y GRÁFICAS.
UNIDAD 10.- FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
El concepto de función es muy importante en matemáticas, interviene en todo tipo de
fenómenos científicos y puede utilizarse para modelizar muchos de carácter social.
Con las funciones intentamos representar y estudiar cuantitativamente el cambio que
experimenta una magnitud determinada cuando varía otra.
En esta unidad estudiarás las propiedades generales, analíticas y gráficas, que debe
cumplir una expresión algebraica o una curva para definir una función.
20
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Las funciones polinómicas tienen unas propiedades que las hacen adecuadas para
cuantificar muchos fenómenos sociales y económicos: oferta y demanda, ingresos y
gastos..., además explican cuestiones matemáticas y físicas notables como
longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas, el espacio recorrido por un
móvil, la altura que alcanza un objeto lanzado al aire ...
Las funciones racionales -cociente de dos funciones polinómicas- también describen
situaciones cotidianas como la proporcionalidad inversa.
Otras funciones importantes que se estudiarán en esta unidad son las funciones
circulares y la función exponencial y logarítmica, fundamentales para estudiar
determinados procesos ligados a la economía y las ciencias sociales.
El concepto de límite es uno de los más importantes del cálculo infinitesimal y el
fundamento de la mayoría de sus resultados. Se trata de encontrar, si existe, el valor
al que se acerca una función cuando la variable independiente toma valores cada vez
más próximos a uno determinado.
Unido al concepto de límite está el de continuidad cuyo significado coincide con el de
una curva sin cortes en su gráfica.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Conocer el concepto de función.
- Representar gráficamente funciones sencillas.
- Saber interpretar una gráfica.
- Distinguir si una gráfica define o no una función.
- Vincular las funciones a procesos de carácter económico (oferta, demanda,
ingresos, gastos, beneficios ...).
- Resolver problemas sencillos con ayuda de las funciones.
- Conocer las funciones exponenciales y logarítmicas, sus características y
representación gráfica.
- Emplear estas funciones para resolver problemas sencillos asociados a
situaciones reales.
- Manejar la calculadora para realizar los cálculos.
- Identificar las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente y comprobar
su periodicidad.
- Tener la noción intuitiva del concepto de límite de una función en un punto.
- Calcular límites de funciones elementales.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
21
- Resolver indeterminaciones sencillas de la forma
0 ∞
,
e ∞−∞.
0 ∞
- Calcular límites laterales y conocer la condición necesaria y suficiente para la
existencia del límite de una función en un punto.
- Comprender el significado gráfico de la continuidad de una función.
- Estudiar y clasificar las discontinuidades de una función.
Actividades para enviar al tutor
1. En un aparcamiento se debe abonar 1 euro por cada hora o fracción hasta un
máximo de 15 euros al día. Haz una gráfica que represente las cantidades a
abonar por un vehículo que está aparcado entre 0 y 48 horas.
2. Dada la función
x−2

f (x ) =  x − 2
 0
si
x≠2
si
x=2
estudia su continuidad.
Actividades de autoevaluación
1. Calcula el siguiente límite: lim
x →3
9 − x2
2 − x2 − 5
2. Se considera la función f (x) definida por:
si
x<0
 −x

f ( x) = 3 x + b si 0 ≤ x < 2
 ax 2
si
x≥2

Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua.
UNIDAD 11.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
La observación de un fenómeno, de un cambio, conduce a una función. Cuando los
científicos decidieron interesarse no sólo por los cambios que se efectúan en las
cosas, sino por lo más o menos rápidamente que las cosas cambian, comienza el
estudio de las derivadas.
Los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea -la derivadaes la ayuda que la matemática presta a la ciencia para medir e interpretar la magnitud
de los cambios.
22
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Intuitivamente, una función con derivada en cada punto es aquella en la que la gráfica
no varía bruscamente de dirección en ningún punto.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Manejar los conceptos de tasa de variación media e instantánea.
- Conocer el significado geométrico de la derivada.
- Calcular la ecuación de la tangente a una curva en un punto.
- Conocer la relación entre continuidad y derivabilidad.
- Calcular la derivada de una función a partir de la definición.
- Calcular la derivada de funciones sencillas y de sus composiciones.
-
Calcular derivadas laterales.
Actividades para enviar al tutor
1. Determina a y b para que la función
2 x 3 + ax 2 − 1 si
x ≤ −1
a

f ( x) = 
si − 1 < x ≤ 1
2
x
 x −1
si
1< x
 e + 2b
sea continua en x = −1 y x = 1 .
Para los valores de a y b obtenidos anteriormente, estudia si
derivable en x = 1 .
2. Dada la función f ( x) =
f (x) es
x
, determina:
1+ x2
a) Las coordenadas de los puntos de la misma, en los que las tangentes forman
un ángulo de 45º con la parte positiva del eje de abscisas.
b) La ecuación de la tangente en el punto de abscisa x = 3 .
c) La ecuación de la recta normal a la curva en dicho punto.
Actividades de autoevaluación
1. Dada la función polinómica de segundo grado y = ax 2 + bx + c , determina los
coeficientes a , b y c si se sabe que la gráfica de esta función pasa por los
puntos (1, 2) y (2, 6) y que, en este último punto, la recta tangente a la curva
tiene como ecuación: 7 x − y − 8 = 0 . Explica de manera razonada los cálculos
efectuados.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
23
Actividades de autoevaluación (continuación)
2. Considera la curva de ecuación f ( x) = x 2 − 2 x + 3 .
a) Halla una recta que sea tangente a dicha curva y que forme un ángulo de 45º
con el eje de abscisas.
b) ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? En
caso afirmativo, halla la ecuación de dicha recta tangente, y en caso negativo
explica por qué.
-
UNIDAD 12.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.
Se estudian en esta unidad dos de las aplicaciones más importantes de las derivadas:
el comportamiento de una función a lo largo de su dominio para obtener su
representación gráfica, y el planteamiento y resolución de problemas de optimización
de funciones.
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,
concavidad y convexidad, puntos de inflexión.
- Representar gráficamente una función.
- Plantear y resolver problemas de optimización vinculados a situaciones
reales.
Actividades para enviar al tutor
1. Halla el dominio de definición, máximos y mínimos e intervalos de crecimiento
y decrecimiento de la función f ( x) =
1
x −4
2
y encuentra las asíntotas y
posibles simetrías de la curva que representa.
2. Descompón un segmento de 20 m de longitud en cuatro partes para obtener un
rectángulo de la mayor área posible.
Actividades de autoevaluación
1. Se ha de editar un libro y cada hoja debe contener 18 centímetros cuadrados de
texto. Los márgenes superior e inferior de cada hoja han de tener 2 cm cada
uno, y los márgenes laterales, 1 cm cada uno. Calcula las dimensiones de cada
hoja del libro para que el gasto de papel sea mínimo.
24
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
BLOQUE 4.- ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.
UNIDAD 14.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL.
La tarea de describir y procesar de modo adecuado la masa de datos proveniente de
las observaciones y experimentos es el objeto de la estadística descriptiva. Se realiza
mediante gráficos o bien mediante números o parámetros estadísticos que
esquematizan la información.
En esta unidad empezaremos recordando la organización de un conjunto de datos
mediante tablas y gráficos, así como la obtención de las medidas de centralización y
de dispersión más usuales.
La mayoría de los conceptos que constituyen la estadística elemental son fáciles de
manejar y no requieren en general cálculos difíciles. Sin embargo, la interpretación de
su significado, o la utilización de los valores que toman en un problema estadístico
concreto con el fin de llegar a conclusiones y tomar decisiones, exige un cierto
cuidado.
Continuaremos con el estudio de relaciones de tipo estadístico entre dos variables y
procuraremos determinar procedimientos que nos permitan, con el menor riesgo de
error posible, hallar el valor de una variable a partir de la otra.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Confeccionar e interpretar tablas de frecuencias y los gráficos estadísticos
usuales.
- Calcular e interpretar las medidas de centralización y dispersión.
- Calcular y conocer el significado del coeficiente de variación de un conjunto
de datos.
- Distinguir entre relaciones funcionales y estadísticas.
- Comprender el concepto de correlación lineal.
- Entender que el grado de correlación informa sobre la influencia de una
variable sobre otra.
- Decidir, según el valor de r, si puede hacerse una estimación fiable.
- Utilizar la recta de regresión para estimar una variable a partir de otra.
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
25
Actividades para enviar al tutor
1. Una persona se somete durante cinco semanas a una dieta de adelgazamiento
bajo control médico. Su peso al término de cada una de esas semanas viene
dado en la siguiente tabla:
Semana de dieta
Peso en kilos
1
2
3
4
5
88,5
87
84
82,5
79
a) Calcula el coeficiente de correlación.
b) A partir del valor de la correlación lineal, ¿resultaría adecuado utilizar la recta
de regresión para hacer predicciones en la evaluación del peso a medida que
se prolonga la dieta?
c) Ajusta la mencionada recta de regresión.
d) ¿Qué peso cabe esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta
durante dos semanas mas? ¿Y si prolonga la dieta durante 25 semanas?
Actividades de autoevaluación
1. Las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en matemáticas y estadística han
sido:
Matemáticas
2
4
6
5
6
8
9
10
Estadística
3
4,5
7
5,5
6
8,5
10
1
a) Halla el coeficiente de correlación entre ambas calificaciones para los siete
primeros alumnos
b) Calcula también el coeficiente de correlación entre las notas de las dos
asignaturas para todos los alumnos.
c) Justifica la diferencia entre los resultados obtenidos.
UNIDAD 15.- PROBABILIDAD.
La teoría de la probabilidad que estudiarás en esta unidad trata de establecer y
analizar matemáticamente los extraños modos a través de los cuales, lo que es
imprevisible y azaroso en un fenómeno o suceso individual debido a la multitud de
causas diversas que en él intervienen y que no podemos controlar, pasa a ser
previsible, ordenado, sujeto a leyes matemáticas, cuando se considera la repetición,
por muchas veces de ese mismo fenómeno. No sabemos lo que saldrá al lanzar un
dado una vez, pero sabemos que si lo lanzamos 60.000 veces, cada número saldrá
aproximadamente 10.000 veces.
26
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio.
- Asignar probabilidades a sucesos y hacer operaciones con ellos.
- Distinguir los distintos tipos de sucesos y evaluar la influencia de un suceso
en la probabilidad de la realización de otros.
- Entender el significado de la independencia e incompatibilidad entre sucesos.
- Calcular probabilidades condicionadas.
Actividades para enviar al tutor
1. En una universidad existen tres facultades A, B y C. En A hay matriculadas 150
chicas y 50 chicos, en B hay 300 chicas y 200 chicos, y en C 150 chicas y 150
chicos.
a) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea chico.
b) Si un estudiante elegido al azar resulta ser chico, ¿cuál es su facultad más
probable?.
2. En una ciudad, el 35% de los censados vota al partido A, el 45% al partido B y el
20% se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de
los de B y el 15% de los que se abstienen son mayores de 60 años. Elegido al
azar un vecino de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60
años?.
Actividades de autoevaluación
1. En un banco hay dos sistemas de seguridad A y B. El sistema A funciona 90 de
cada 100 veces, y el B, 80 de cada 100 veces, y los dos a la vez 75 de cada
100. ¿Cuál es la probabilidad de que no funcione ninguno de los dos sistemas?.
2. El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10%
de las que resultaron positivas lo fueron como consecuencia de errores
aritméticos en la realización de la declaración. Si hay un 5% de declaraciones
con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de éstas resultaron positivas?.
UNIDAD 16.- COMBINATORIA. DISTRIBUCIONES.
Una distribución de probabilidad no es más que la asignación a cada posible suceso
de un experimento aleatorio de la probabilidad que le corresponde. Esto tiene un
sentido aceptable cuando los sucesos posibles en un experimento son unos pocos, es
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
27
decir: hay un número finito. Cuando esto es así, la variable que estudiamos es
discreta. Entre todas las distribuciones de probabilidad discreta, la binomial es la más
sencilla y la más básica.
Cuando el experimento a estudiar puede tomar, al menos teóricamente, un número
infinito de valores, la variable que estudiamos es continua. La curva normal es la
representación de probabilidad continua que aparece con mayor frecuencia en las
exploraciones de las que ordinariamente se ocupan científicos tales como sociólogos,
psicólogos, geógrafos ..., debido a la enorme complejidad de las causas que
intervienen en las situaciones que estudian las ciencias sociales y humanas.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:
- Aprender a calcular números combinatorios.
- Aplicarlos al binomio de Newton.
- Resolver problemas de uso frecuente.
- Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.
- Conocer las características de una distribución de probabilidad discreta.
- Asignar probabilidades a sucesos de los que se conoce su distribución de
probabilidad.
- Conocer las características de una distribución binomial y distinguir este tipo
de distribuciones.
- Conocer los parámetros de la distribución binomial y su significado.
- Asignar probabilidades a sucesos mediante la distribución binomial.
- Conocer las características de una distribución continua.
- Manejar la función de densidad y la función de distribución.
- Conocer las características básicas de la distribución normal.
- Tipificar una variable normal y con la ayuda de la tabla normal tipificada,
calcular probabilidades asociadas a ella.
- Utilizar, cuando sea adecuado, la distribución normal como aproximación de
la binomial.
Actividades para enviar al tutor
1. Un examen de opción múltiple está compuesto por ocho preguntas, con cuatro
posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase
que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente
preguntas?.
al menos 7
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?.
28
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
Actividades para enviar al tutor (continuación)
1. En cierta población, la edad de los individuos tiene una distribución normal con
una media de 32 años y una desviación típica de 8 años.
a) Halla la proporción de individuos menores de 18 años.
b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el número
aproximado de personas mayores de 60 años.
Actividades de autoevaluación
1. La lotería primitiva consiste en elegir 6 números del 1 al 49, pero también se
admiten apuestas múltiples, pudiendo señalar 7, 8, 9 , 10 u 11 números en cada
bloque.
c) Si señalas 8, ¿a cuántos boletos sencillos equivale? ¿Qué probabilidad tienes
de acertar?
d) Si cada boleto sencillo cuesta 1 euro, ¿cuánto costará un boleto múltiple de
10 números?
 0
 x
2. Sea f ( x) = 1 −
 2
 0
si
x≤0
si 0 < x ≤ 2 la función de densidad de una cierta variable
si
x>2
aleatoria X. Halla la función de distribución F (x) .
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
29
SOLUCIONARIO
UNIDAD 1
1.
30
12
2
2
=1+
= 1 + ⇒ a cada persona le corresponde una salchicha y ⇒ si se da
18
18
3
3
una salchicha a cada persona quedan 30-18=12 salchichas para cortar, y como a
2
más, habrá que cortar cada una de las 12
3
1
2
salchichas en dos trozos de
y
respectivamente y dar a 12 personas un trozo
3
3
2
1
de
a cada una y a las 6 restantes dos trozos de
a cada una.
3
3
cada persona le corresponde
En total 12 cortes y 24 trozos.
2. Reduciendo previamente los radicales a índice común obtenemos:
3
a 2 ⋅ 4 a 3 ⋅ 5 a 4 = 60 a 40 ⋅ 60 a 45 ⋅ 60 a 48 = 60 a 133 = a 2 60 a 13 ⇒ el factor por el que
1
hay que multiplicar esa expresión para que el resultado sea 1 es
a 2 60 a 13
.
UNIDAD 2
1. Si llamamos x a los pares de calcetines vendidos con un descuento del 40%, las
condiciones del problema nos dicen que se venden 300 pares a 12 euros y 300 − x
pares con un descuento del 30%, con lo cual se obtiene la ecuación:
12 ⋅ 300 + 0,7 ⋅ 12 ⋅ (300 − x) + 0,6 ⋅ 12 ⋅ x = 5976
que da como resultado: x = 120 pares vendidos con un descuento del 40%.
También puedes intentar hacerlo planteando un sistema de ecuaciones.
2. Se encontrarán en un punto C situado a x km de A y a 380 − x km de B. Como
ambos móviles llevan circulando el mismo tiempo hasta su encuentro, igualando
sus tiempos obtenemos la ecuación:
x
380 − x
=
cuya solución es x = 214,36 km ⇒ se encuentran a 214,36 km de A,
110
85
y a 380 − 214,36 = 165,64 km de B, y el tiempo que tardan en encontrarse es
214,36
t=
= 1,95 horas = 1hora 56 minutos 55,41seg.
110
30
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
También puedes hacerlo igualando a 380 la suma de los espacios recorridos por
los dos móviles. Inténtalo.
UNIDAD 3
1. Como sabemos, dividendo = divisor . cociente + resto, con lo cual:
P ( x) = ( x 2 − x + 3) ⋅ ( x 3 − 2 x 2 + 4 x − 5) + 7 = x 5 − 3x 4 + 9 x 3 − 15 x 2 + 17 x − 8
2. Utilizando la regla de Ruffini obtenemos que las raíces del polinomio son –1, 2 y 5
y, por tanto, la factorización es: x 3 − 6 x 2 + 3x + 10 = ( x + 1)( x − 2)( x − 5) .
UNIDAD 4
1. El primer múltiplo es a1 = 102 y el último a n = 999 y forman una progresión
aritmética de diferencia 3.
Como a n = a1 + (n − 1)d ⇒ 999=102+ (n − 1) 3 ⇒ n = 300 .
2. Se
trata
de
una
progresión
geométrica
de
razón
r=
1
2
y
a1 = 4096 ;
10
a11 = a1 ⋅ r
10
212
1
= 4096 ⋅   = 10 = 4 litros.
2
 2
UNIDAD 5
( )
1. Si 3i = 3 90 º 0 es una raíz cúbica, el complejo es 3 900
cúbicas
tienen
270º + k ⋅ 360º
α=
3
2.
de
módulo
3
27 = 3
3
= 27 2700 y las otras raíces
y
de
argumentos
k = 0,1,2 ⇒ las raíces son : 390 0 , 31100 y 3 3300 .
2 x − i (2 x − i )(3 + 2i ) 6 x + 2 4 x − 3
=
=
+
i
3 − 2i (3 − 2i )(3 + 2i )
13
13
a) Para que su afijo se encuentre en el eje de abscisas, la parte imaginaria debe
ser 0, con lo cual
4x − 3
3
= 0 ⇒ 4x − 3 = 0 ⇒ x = .
13
4
b) Para que el afijo se encuentre en el eje de ordenadas, la parte real debe ser 0,
con lo cual
6x + 2
1
= 0 ⇒ 6x + 2 = 0 ⇒ x = − .
13
3
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
31
c) Para que el afijo esté en la bisectriz del cuarto cuadrante, la ordenada y la
abscisa deben ser opuestas, con lo cual
6x + 2
4x − 3
1
=−
⇒ 6 x + 2 = 3 − 4 x ⇒ 10 x = 1 ⇒ x =
13
13
10
UNIDAD 6
1. 5 − 7 senx − 2 cos 2 x = 0 ⇒ 5 − 7 senx − 2(1 − sen 2 x) = 0 ⇒ 2 sen 2 x − 7 senx + 3 = 0 .
Resolviendo esa ecuación de segundo grado en senx se obtiene que senx = 3 ,
senx =
1
2
La solución senx = 3 no corresponde a ningún ángulo porque el seno de un ángulo
no puede ser mayor que 1.
Con la otra solución senx =
2.
1
se obtiene x = 30º +360º⋅k
2
k ∈Z .
cos 2a + cos2 a + 1 cos2 a − sen 2a + cos2 a + 1 2 cos2 a + (1 − sen 2a )
=
=
=
cos a
cos a
cos a
3 cos2 a
=
= 3 cos a
cos a
La igualdad es cierta.
UNIDAD 7
1. Si llamamos C ( x1 , y1 ) y
D( x 2 , y 2 ) a los puntos buscados, se tiene que cumplir:
1
1
AC = AB , ⇒ ( x1 , y1 + 2) = (9,9) = (3,3) , ⇒ x1 = 3, y1 = 1
3
3
→
→
2
2
AD = AB, ⇒ ( x 2 , y 2 + 2) = (9,9) = (6,6), ⇒ x 2 = 6, y 2 = 4
3
3
Las coordenadas de los puntos buscados son: (3,1) y (6,4) .
→
→
→
2. Si denotamos u = ( x, y ) , por ser ortogonal al vector (2,-1) su producto escalar ha
de ser 0, con lo cual ( x, y ) ⋅ (2,−1) = 0, ⇒ 2 x − y = 0, ⇒ y = 2 x. ⇒ Los vectores
ortogonales a (2,-1) son de la forma λ (1,2), λ ∈ R .Como ha de tener módulo 2, ⇒
 2 4 
 o
,
x 2 + y 2 = 4, ⇒ x 2 + 4 x 2 = 4, ⇒ x = 4 . El vector buscado es 
5
 5 5
 − 2 − 4

 .
,
 5 5
32
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
UNIDAD 8
1. La pendiente de la recta dada es −
1
1
1
, y para que − = 3 ⇒ k = − .
k
k
3
a) El punto (2,1) debe cumplir la ecuación de la recta: 2 + k + 1 = 0,
b) La pendiente de la recta x + 2 y − 5 = 0 es −
la misma pendiente, −
⇒ k = −3 .
1
y como rectas paralelas tienen
2
1
1
=− ,⇒k =2.
k
2
c) La pendiente de la recta 2 x − y + 4 = 0 es 2, y para que sea perpendicular a la
dada ha de ser −
2. a) d ( A, B ) = 17 ;
isósceles.
1
⋅ 2 = −1, ⇒ k = 2 .
k
d ( A, C ) = 34 ; d ( B, C ) = 17 .
Dos
lados
iguales:
es
b) d ( A, C ) 2 = d ( A, B ) 2 + d ( B, C ) 2 : es rectángulo.
UNIDAD 9
1. Si el centro está en el eje de ordenadas, es de la forma (0, b) ; como pasa por el
origen de coordenadas, el radio es b ; por pasar por (-5,8):
d ((−5,8), (0, b) ) = 25 + (8 − b) 2 ; resolviendo esa ecuación obtenemos b =
89
. Así
16
89
 89 
. La ecuación de la circunferencia es:
 y el radio es
16
 16 
pues el centro es  0,
2
2
89 

 89 
x +y−  =  .
16 

 16 
2
2. Como el eje es la recta y = −1 , paralela al eje OX, y el vértice es (3,-1),su ecuación
será de la forma ( y − (−1) ) = 2 p ( x − 3) . Y como pasa por (2,-2), se ha de cumplir
2
que: (−2 + 1) 2 = 2 p (2 − 3) , con lo cual p =
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
−1
, y la ecuación es ( y + 1) 2 = −( x − 3)
2
33
UNIDAD 10
1. Se trata de resolver una indeterminación de la forma
lim
x →3
9 − x2
2− x −5
2
= lim
x →3
(9 − x )(2 +
(2 −
2
)(
x2 − 5
)
x −5 2+ x −5
2
2
)
0
.
0
)
(
= lim 2 + x 2 − 5 = 4
x →3
2. Para que una función f (x) sea continua en x = a , tiene que cumplirse que
lim f ( x) = lim− f ( x) = f (a) . Los puntos donde puede haber problemas de
x→a +
x →a
continuidad son x = 0 y x = 2 .
f (0) = b ; lim− f ( x) = lim− (− x) = 0 ;
x →0
x →0
lim f ( x) = lim+ (3x + b) = b . Por tanto, para
x →0 +
x →0
que la función sea continua en x = 0 debe ser b = 0 .
f (2) = 4a ; lim− f ( x) = lim− (3x + 0) = 6 ;
x→2
x→2
lim f ( x) = lim+ ax 2 = 4a . Para que la
x→2+
función sea continua en x = 2 debe ser 6 = 4a
x →2
⇒a=
3
.
2
Así pues para que sea continua en todos sus puntos debe ser a =
3
y b = 0.
2
UNIDAD 11
1. Si su gráfica pasa por (1,2) ⇒ 2 = a + b + c .
Si su gráfica pasa por (2,6) ⇒ 6 = 4a + 2b + c .
Si en (2,6) su tangente es la recta 7 x − y − 8 = 0 cuya pendiente es 7, la derivada
en x = 2 tiene que ser 7. Como y´= 2ax + b, y´(2) = 4a + b = 7 . Resolviendo el
sistema formado por esas tres ecuaciones se obtiene a = 3, b = −5 y c = 4 .
2. a) Las rectas que forman un ángulo de 45º con el eje de abscisas tienen de
pendiente tg 45º = 1 . Como la pendiente de la tangente a una curva en un punto
es el valor de la derivada en ese punto, se trata de hallar el valor de x para el
3
. El punto de tangencia es
2
9 
3
La recta tangente es y − =  x −  ⇒ 4 x − 4 y + 3 = 0 .
4 
2
cual f ´(x) = 2 x − 2 = 1, ⇒ x =
 3  3   3 9 
 , f    =  , .
 2  2   2 4 
b) Las rectas horizontales (paralelas al eje OX) tienen pendiente 0. Se trata de ver
si hay algún punto de la curva en el que la derivada sea cero
⇒ f ´(x) = 2 x − 2 = 0, ⇒ x = 1.
El punto de tangencia es (1, f (1) ) = (1,2) y la ecuación de la tangente es y = 2.
34
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
UNIDAD 12
1. Si llamamos x e y al ancho y alto de cada hoja, hay que minimizar la función
S = xy .
Por las condiciones del problema, sabemos que ( x − 2)( y − 4) = 18 , con lo cual
obtenemos que y =
18
+ 4 . Sustituyendo ese valor en la expresión de S ,se
x−2
18 x
+ 4 x .Para hallar el mínimo derivamos esa expresión e igualamos
x−2
− 36
a cero. S´=
+ 4 = 0, ⇒ x = 5, x = −1. La solución x = −1 no sirve para el
( x − 2) 2
problema. Comprobamos con el signo de la segunda derivada si el valor x = 5
72
, y S´´(5) > 0 ⇒ Para x = 5 el gasto de
corresponde a un mínimo. S´´=
( x − 2) 3
papel es mínimo. Las dimensiones de la hoja son 5cm × 10cm.
obtiene S =
UNIDAD 14
1. a) Si consideramos los 7 primeros alumnos y llamamos x = matemáticas e
y = estadística obtenemos:
x
y
x2
y2
xy
2
3
4
9
6
4
4,5
16
20,25
18
6
7
36
49
42
5
5,5
25
30,25
27,5
6
6
36
36
36
8
8,5
64
72,25
68
9
10
81
100
90
40
44,5
262
316,75
287,5
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
40
= 5,7
7
_
44,5
y=
= 6,4
7
262
− (5,7) 2 = 2,2
σx =
7
_
x=
316,75
− (6,4) 2 = 2,1
7
287,5
− 5,7 ⋅ 6,4 = 4,59
σ xy =
7
σ xy
4,59
r=
=
= 0,99
σ x ⋅ σ y 4,62
σy =
35
b) Si consideramos todos los alumnos obtenemos:
x
y
x2
y2
xy
2
3
4
9
6
4
4,5
16
20,25
18
6
7
36
49
42
5
5,5
25
30,25
27,5
6
6
36
36
36
8
8,5
64
72,25
68
9
10
81
100
90
10
1
100
1
10
50
45,5
362
317,75
297,5
50
= 6,3
8
_
45,5
y=
= 5,7
8
362
− 6,32 = 2,4
σx =
8
_
x=
317,75
− 5,7 2 = 2,7
8
297,5
− 6,3 ⋅ 5,7 = 1,28
σ xy =
8
σ xy
1,28
r=
=
= 0,197
σ x ⋅ σ y 2,4 ⋅ 2,7
σy =
c) En el primer caso la correlación es fuerte y en el segundo débil. En el segundo
caso hay mayor dispersión en x y en y . Las calificaciones del último alumno no
siguen la tónica de los anteriores.
UNIDAD 15
(
)
1. P ( A ∪ B ) = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − P ( A) − P ( B ) + P ( A ∩ B = 1 − 0,9 − 0,8 + 0,75 = 0,05
c
2. P ( positiva / errores) =
P(errores / positiva) ⋅ P( positiva) 0,1 ⋅ 0,4
=
= 0,8 .
P(errores)
0,05
UNIDAD 16
1. a) Se trata de formar con 8 números grupos de 6 sin que importe el orden:
C 8, 6 = 28. Equivale a 28 boletos. Como el número de combinaciones posibles es
C 49,6 = 13.983.816 , la probabilidad de acertar es
28
.
13.983.816
b) Un boleto múltiple de 10 números equivale a C10, 6 = 210 boletos sencillos y
costará 210 euros.
36
Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
2. F ( x ) =
∫
x
0
 0
t
x2
x2


1 −  dt = x − , ⇒ F ( x ) =  x −
4
4
 2

1

Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno.
si
x≤0
si 0 < x ≤ 2
si
x>2
37