Elección Bajo Incertidumbre: Utilidad Esperada Nosotros

Elección Bajo Incertidumbre: Utilidad Esperada
Nosotros conocemos la teoría de la elección cuando los agentes tienen
certeza sobre las canastas que consumen.
Sin embargo, existen muchas situaciones en las cuales esto no ocurre:
Consumo de loterías y apuestas, elección de partidos políticos, la compra de
seguros, las transacciones en la bolsa.
En esta parte del curso estudiaremos las decisiones bajo incertidumbre.
I.
Dos conceptos que usted ya conoce.
La probabilidad:
En términos generales, es la frecuencia con la que un evento ocurre.
Puede ser objetiva o subjetiva.
El valor esperado:
El valor esperado de una lotería cuyos premios sean X 1, X 2 ,…, X N y cuyas
probabilidades de ganar sean  1 , 2 ,…, N , con
n1 n  1, es:
N
VE   nN1 n X n
La versión continua del valor esperado es:

xf  x dx

VE  
con



f x  1
II. Preliminares
Denotaremos con X el conjunto de posibles resultados (pagos monetarios,
canastas de consumo, estados de salud). Este conjunto es finito.
Los resultados los indexamos con n  1,..., N : X 1, X 2 ,…, X N .
Supondremos que las probabilidades con la que estos resultados se dan son
objetivas y conocidas.
Definición 1: Una lotería L es una lista L   1 ,...,  N  con  n  0 n y
n1 n  1, donde  n se interpreta como la probabilidad de que el resultado
N
n ocurra.
Ejemplo:
Existen tres posibles pagos monetarios: X 1  100 , X 2  10 , X 3  0
(Puede pensar en acciones que ofrecen estos pagos bajo 3 posibles estados de
la naturaleza: auge, normalidad, recesión).
Existen dos loterías: L  0,1,0  y L'  .10,.89,.01
Podríamos calcular el valor esperado de cada lotería:
VE L  0 *100  1*10  0 * 0  10
VE L '  0.1*100  0.89 *10  0.01* 0  18.9
¿Podemos decir que un individuo prefiere la lotería L' a la L ?
Antes de la teoría de UE, los economistas pensaban que el valor esperado de
los pagos (y quizás la varianza) eran suficientes para tomar decisiones. Sin
embargo, una paradoja propuesta por Bernoulli cambió esta visión.
Experimento: Se tira una moneda al aire hasta que salga cara. Si sale cara
por primera vez en la n-ésima tirada el jugador recibe $ 2 n .
Los pagos del juego son: X 1  2 , X 2  4 , …, X n  2 n .
1
1
1
La las probabilidades son:  1  ,  2  , …,  n  n .
2
4
2
1
VE de la lotería: VE L  in1 i X i  in1 i 2i  n . Si n    VE L  
2
Si le decimos a alguien que decida entre pagar $1000 y jugar esta lotería o no
jugarla (cuyo VE=0), la gente preferiría lo segundo!
La teoría de UE ayuda a resolver esta paradoja: Lo importante es la utilidad
esperada por los pagos y no los pagos en sí.
III. Teoría de la utilidad esperada
Von-Newman y Morgenstern, plantearon que los agentes bajo situaciones de
incertidumbre basaban sus decisiones en la utilidad esperada.
Para mostrar que su teoría era válida, tuvieron que recurrir a los axiomas
básicos de la teoría de la elección.
Denotaremos por  el conjunto de todas las loterías sobre el conjunto de
outcomes X.
Nuestro objetivo es construir una teoría de elección entre loterías L   .
Supuestos de las preferencias  sobre  :
 Racionales: i.e.  es completa y transitiva.
 Continuas: Pequeños saltos en las probabilidades no cambian el orden de
las preferencias entre las loterías.
 Axioma de independencia: Para L , L' , L' '   y   0,1 se tiene que LL'
si y solo si L  (1   ) L' ' L' (1   ) L' ' .
Comentarios:
 La continuidad implica la existencia de una función de utilidad que
representa : U :    , tal que LL' si y solo si U  L   U  L'.
 El axioma de independencia es el más crítico. Luego veremos un ejemplo
en el cual esto no se cumple.
Definición 2: La función de utilidad U :    tiene la forma de utilidad
esperada si existe una asignación de números u1 ,..., u N  para los N outcomes
tal que, para cada lotería L   1 ,...,  N    , tenemos:
U  L   u1 1  ...  u N  N
A esta función de utilidad se le llama función de utilidad esperada de von
Neuman-Morgenstern.
Proposición 1: (Teorema de la utilidad esperada) Suponga que las
preferencias  sobre el espacio de loterías  satisfacen los axiomas de
continuidad e independencia. Entonces  admite UNA representación en
términos de utilidad con la forma de la utilidad esperada.
Esto es, podemos asignar UN número u n a cada outcome n  1,..., N de tal
manera que, para cualquier par de loterías
L   1 ,...,  N  y
L'   '1 ,...,  ' N , tenemos:
LL'
si y solo si

N
n 1 u n n
 nN1 u n ' n
En palabra este teorema nos dice que, bajo los supuestos enunciados, las
preferencias de los individuos sobre diferentes loterías pueden ser
representadas por una única función de utilidad que posee la forma de
utilidad esperada.
La prueba de este teorema es compleja así que la omitiremos.
El corolario de este teorema es que podemos utilizar la utilidad esperada para
modelar las decisiones de los agente bajo situaciones de incertidumbre.
Este resultado es el más importante en la teoría de elección bajo
incertidumbre y ha sido usado en “infinitas” aplicaciones económicas.
Sin embargo,
independencia.
el
resultado
depende
crucialmente
del
axioma
de
Muchos experimentos han demostrado que este axioma no se cumple en
situaciones extremas.
III. Crítica a la Teoría de Utilidad Esperada
La crítica más famosa a este teorema la hizo Allais (1953).
Esta es un experimento que se conoce como la paradoja de Allais y que
muestra que el axioma de independencia se viola bajos ciertas
circunstancias.
Considere que hay tres premios en dólares (es decir N=3):
$2.500.000
$500.000
$0
A los individuos se les ofrece dos juegos:
Juego 1: Deben escoger entre las siguientes loterías
L1  0,1,0 
L'1  .1,.89,.01
Juego 2: Deben escoger entre las siguientes loterías
L2  0,.11,.89 
L' 2  .1,0,.9 
En experimentos, la gente escoge mayoritariamente lo siguiente:
L1  L'1
L' 2  L2
Este tipo de decisiones no son consistentes con la teoría de utilidad esperada.
Llamemos u 25 , u 05 y u 0 a la utilidad directa de los pagos.
En este caso es posible mostrar que existe una lotería L3 tal que:
L1  (1   ) L3  L2
L'1 (1   ) L3  L'2
Así, si el axioma de independencia se cumple, deberíamos observar:
Si L1  L'1 entonces L2  L' 2
Lo anterior se puede ver de la siguiente forma. Bajo la teoría de utilidad
esperada, L1  L'1 implica:
u 05  .10u 25  .89u 05  .01u 0
Sumando .89u 0  .89u 2 a ambos lados, obtenemos (ver nota técnica):
.11u 05  .89u 0  .10u 25  .90u 0
Lo que bajo la teoría de utilidad esperada implica L2  L' 2 .
Nota técnica: Note que lo anterior es como crear un nuevo permio que da
utilidad esperada igual a .89u 0  .89u 2 con probabilidad 1. Esa lotería ( L3 )
debería ser irrelevante si se cumple el axioma en cuestión.
III. Aversión al riesgo
De ahora en adelante supondremos que los agentes tienen funciones de
utilidad v.N-M.
Las funciones de utilidad esperada son clasificadas en tres categorías,
dependiendo de la disposición de los individuos a afrontar riesgo.
Aversión al riesgo: Un individuo tiene aversión al riesgo si un outcome
seguro es siempre preferido a una lotería con el mismo pago esperado pero
algo de varianza. Esto es similar a decir que u  X i  es cóncava. (Ver gráfica)
Neutralidad al riesgo: Un individuo es neutral al riesgo si un outcome seguro
es indiferente a una lotería con el mismo pago esperado pero algo de
varianza. Esto es similar a decir que u  X i  es lineal. (Ver gráfica)
Gusto al riesgo: Un individuo es amante al riesgo si una lotería con varianza
es siempre preferida a un outcome seguro con el mismo pago esperado. Esto
es similar a decir que u  X i  es convexa. (Ver gráfica)
Un individuo que tiene aversión al riesgo siempre está dispuesto a pagar una
prima para no participar en ninguna lotería.
Introducimos dos conceptos adicionales:
Equivalencia segura (c): Es la cantidad de dinero para la cual el individuo es
indiferente entre una lotería y un outcome seguro c. (ver gráfica). En otras
palabras, para una lotería no degenerada L, c es tal que:
u c   U  L 
Importante: Esto explica porque la gente está dispuesta a comprar seguros.
Ejemplo:
 Usted tiene un apartamento de $50.000 y otros activos por $50.000.
 Hay una probabilidad de desastre del 10% que puede destruir su apto.
 El individuo tiene aversión al riesgo.
El valor esperado de esta lotería es:
U ( L)  .10 * u (50.000)  .90 * u (100.000)
El valor esperado de los outcomes es:
VE ( X )  .10 * 50.000  .90 *100.000  95.000
(Ver gráfica) La equivalencia segura (c) se calcula resolviendo:
u (c)  .10 * u (50.000)  .90 * u (100.000)
Medidas de aversión al riesgo
Existen muchas medidas para medir la aversión al riesgo de una persona.
Mediada Arrow-Pratt: Dada una función de utilidad (índice de utilidad) por
dinero doblemente diferenciable, el coeficiente de aversión absoluta al
u' ' x
riesgo está dado por r  x   
.
u' x
 Si el individuo tiene aversión al riesgo, u ' ' .  0 y así r  x   0 .
 Si el individuo es neutral al riesgo, u ' ' .  0 y así r  x   0 .
 Si el individuo es amante del riesgo, r  x   0
r  x  es una mediada de la curvatura de u ..
Si tenemos dos individuos con u1 . y u 2 ., decimos que 1 posee más
aversión al riesgo que 2 si: r  x, u1   r  x, u 2  x .
Ejemplos:
 u w  a  bx  cx 2 , con a, b y c >0:
r (.)  
 u w  ln  x , x  0 :
1


r. 
2c
b  2cx
x
 u w   exp ax , a  0 :
r .  a
Nota:
Se puede demostrar que r . (usualmente no observado) es proporcional a la
prima de riesgo que los individuos están dispuestos a pagar (observado).
IV. Aplicación: Compra de Seguros
Suponga un individuo con aversión al riesgo en la siguiente situación:
 w: riqueza inicia
 D : ingresos con riesgo de pérdida (decide comprar un carro que cuesta D
y tiene una probabilidad de perdida).
  : probabilidad de pérdida (accidente).
El individuo puede comprar un seguro con las siguientes características:
 q : precio por unidad de seguro, el cual paga $1 si la pérdida ocurre.
  : unidades compradas del seguro.
Si no hay pérdida, la riqueza del individuo será: w  q
Si hay pérdida, la riqueza del individuo será: w  D  q  
Note que la riqueza esperada del individuo es:
1   w  q    w  D  q     w  D   (  q)
El individuo debe decidir la cantidad de seguro que compra tal que maximice
su utilidad esperada:
Max

1   u w  q   u w  D   (1  q) 
s.t.   0
F.O.C.:




 q1   u ' w  q *   1  q u ' w  D   * (1  q ) =0
Diremos que el seguro es actuarialmente justo si su precio por unidad (la
prima de riesgo que paga el individuo) es igual a la perdida esperada por
unidad de activo.
 q
Esto implica:
Si esto ocurre, la F.O.C. se puede reescribir como:

 
u ' w  D   * (1   )  u ' w   *

Como u ' . es estrictamente decreciente, la F.O.C. se cumple si y solo si:
w  D   * (1   )  w   *
Resolviendo, obtenemos:
*  D
Por eso llamamos seguro actuarialmente justo cuando   q , porque en este
caso el individuo se asegura completamente.