Aproximaciones a la distribucibn finita de criterios Ji

ESTADISTICA ESPAÑOLA
núm. 103, 1984, págs. 109 a 122
Ap roxi macion es a l a d istribucib n fin ita de criterio s
J i-cuad rado : u na nota i ntrod ucto ria
par 1GNAC10 MA^ ULEQN
Servicio de Estudios
Banoo de España
RESUMEN
E^te tr^ih^iju e^ unri ^ntruciuCCll)n ^^ la^ ^^^ru^^mac^^ane^ en mue^tr^^^
finitas de criterios econométricos que están distribuidos asintóticamente
como una Ji-cuadrado. Sin desarrollar todos los detalles se presenta el
modo de probar un teorema de validez de la aproximación y la técnica de
obtención de la misma. Se discuten algunos resultados obtenidos con la
mis^na y la aplicabilidad de la aproximación.
Palahrus c•la^^e: Ji-cuadrado, muestras finitas, Edgeworth, funciones características, polinomios Hermite, momentos muestrales.
I.
I N ^I^KOUl!(..'C'ION *
En Estadística y en Econometría, en particular, uno de los campos más inexplorados
es el de las distribuciones en muestras finitas. Los resultados asintóticos están muy
desarrollados y se dispone de ellos con facilidad para casi todas las situaciones. Sin
embargo, cualquier simulación con datos artificiales, por ingenud que sea, muestra los
errores a veces muy considerables, cometidos por las aproximaciones asintáticas . Estos
* EI trabajo a que aquí se hace referencia es la tesis doctoral del autor, realizada bajo la
supervisión de J. D. Sargan.
110
ESTADIST7CA ESPAÑOLA
errores a veces se atenúan considerablemente mediante la introducción de factores de
corrección, pero generalmente no es asi.
En los últimos años, una c^rriente sustancial de investigación se ha centrado en este
campo (por ejemplo, Sargan, Phillips, Rothenberg, por citar sólo algunos nombres, han
publicado numerosos trabajos sobre este tema). Aunque los resultados no están todavía
t©talmente dispo^ nibles para su aplicación en general, en muchos casos los resultados de
estas investigaciones empiezan a ser fructíferos.
Esta nota recoge los puntos esenciales de una contribución a este campo, realizada
por el autor. La nota es un resumen de la prueba de un teorema, de la obtención de la
correspondiente aproximación, y de un planteamiento general del problema. La aproximación que se obtiene es del tipo
P[Te(q) ^ r^^ _ ^(r2) + ,j^(r2)W(r) + O(T-3i2)
donde Te{q) es e! criterio cuya distribución finita se trata de aproximar, ^(.) y f^(.) son,
respe^tivamente, las funciones de distribución y densidad de una distríbución Jicuadrada (Xk) de k grados de libertad, y W(.) es un polinomio finito cuyos coeficientes
dependen de las derivádas de e(.) y de !os cumulantes del vector q.
!l.
DERIVACI41'^i DE LA APR(JXIMACION
E1 método rnás conocido para obtener aproximaciones a funciones de distribución de
probabilidad desconocidas es, probablemente, el de Edgeworth. Este método puede ser
resumido brevemente del modo siguiente y está basado en la inversión de la función
característica aproximada, de la variable cuya distribución se quiere aproximar ( puede
verse también [ l0i). Llamando a esta variable v y a su función de densidad h( y), su
función caracteristica está definida, como de costumbre, por
+x
e ^sVh ( ,, ) dy
^ts)-x
que también puede ser escrita como
^
^,
^ (s) _ ^° ^^ I Kr r^
donde
_
d'
r
lLW (s}^s-O
Kr
dsr
^s decir, el cumulante de orden r, y donde hemos supuesto que todos ellos existen.
(^)
APRC)XIMAC'[C)IYFS A LA DISTRIBUCION FINITA [)^: C'R[Tf:RIC)s 11-CUAURAUC)
111
C'on^icieremo^ ahora otra variable .r, con funcione^ de dentiidad y función cardcterítitica ^^(.^-) y c^(.,^), respectivamente, y definamos su^ cumulantes, ,,^r, de modo que
X
sr
^
^ (.s^ ) - e
r^i Yr ^i
tz)
De (1) y(2) obtenemos ahora fácilmente
X
^
= (^r= 1 (Kr-Yr)sr/r!
`i' (S^)
• ^ (s )
(3)
Supongamos que _r ha sido escogida adecuadamente de modo que ^ Kr - y,^ = 0
(T^12r) (ver también [S^). Por ejemplo, si }^ es asintóticamente normal, K, -^ 0, dr > 3,
cuando T--♦ r_ , puesto que la función característica de una normal sólo tiene primeros
y segundos cumulantes distintos de cero, ya que es igual a
P rs'rn +^'s'Esi2
1.^^, prrmer^^^ c:r,n^r^l^tnte, ^^^n I.r^ n^tdr^t^ y I^^, ^egr^n^i^^^ I^r m^itrir de CO^t^rl^inl^^ti.
En este sentido, los cumulantes de orden mayor que e! segundo, distintos de cero,
pueden ser considerados como un relajamiento del supuesto de normalidad. En este
ejemplo si y es ^sintóticamente normal, una elección adecuada para .x es, precisamente,
la distribución normal.
Fxpandiendo el exponente de (3) es fácil ver que puede obtenerse la expresión del
tipo
Qr(,,,} ^---1 /2r
y ( .+ 1 = 1 I +
\
^ (S } -^ (T-1/2(k+^))
(4)
r=
donde Qr(.s' ) es un polinomio en (is } con coeiicientes de orden uno en T. Ahora,
invirtiendo la aproximación de (4) obtendremos una aproximación a la función de
densidad de v, es decir
(
1
2^
+X
-x
E^ -^^ y
k
1 + ^ Q r ( s. } -I- - [ /z r ^ ( s^ ) citi^
r=1
El problema que queda es ccimo obtener explícitamente esta integral. Para ello
consideremos la inversa de c^ (s^>
+ X.
P -,s^x ^ ( .s• ) c^s = ( 2 n ) ^' ( x )
-x
ESTADISTICA ESPAÑULA
y tc^memos derivadas con respecto a.ti', r veces, con lo que obtenemos
+a
^, -rsx(!.1 ^r^ (.^^ ^^t'
= (2 ^ ) ( ^ ^ ^r^ d'k (-x ) ^
(5 bis)
_x
lo que nos dice directamente que (i.^^ )'c^ (s) es la función característica de {--1)'D ^k (^r )
Pero la aproximación de (d) es precisamente una suma de términos del tipo [(is )'c^ (.s )],
con lo que ya hemos obtenido una expresión para (S), es decir, para la densidad
aproximada de v, en t^rminos de D'k (x ). Ahora, a no ser que ^j (.z ) tenga una forma
especial, ^uele ser posible escribir
(ó)
D'k (-z ) = P,(x }^,' (x )
dc^nde P,(.^ ) es un polinomio en x de orden r.
Sustituyendo finalmente (6) en (5 bis) y éste en (4) obtenemos la expresión explícita
rt^r^^ l^^ tunc^^^n ^íe den^^^i^^J ^^pr^^^^m^^^i^^ c^^mc^
k
^(v) ^ ) ^ ^ N ^(v).j,-r^^, x(y) ^ 0 {T--I^^x+Ir
._ ^
donde ahora N,(y> es un polinomio en y, cuyos coefcientes dependen de los cumulantes de ^^. Es decir, requerimos un conocimiento explícito de los cumulantes de v para
poder evaluar (7) (los de x se supone que son fácilmente deducibles).
La apraximacicín a la función de distribución de y puede ser obtenida de un modo
similar, o simplemente integrando (7), lo que nos da
k
F(vÍ - `f'(v^
^
+ \' ^r(v)•^.-1/2r
+ O (-I--r12(/^+1I)
(g)
r=l
donde ^(y) es la función de distribución conocida de x. Es decir, la distribución finita
de y puede ser aproximada por un primer término que es la distribución asíntótica rnás
una suma de términos de orden decreciente en T, con la prapiedad de que el orden del
término de error es el mismo que el del último término no considerado en la aproximación. En este sentido se puede decir que la distribución de v para T finito posee una
expansíón asintótíca váiida.
Alternativamente y como a los polinomios ^.,(y) hemos Ilegado después de realizar
la sustitución D`^ (y) = P,{y )X ( y), se puede expresar (8) del modo siguiente
F(Y) _ ^(Y) + 8(Y>S
^ _
^*(y)T-r/z.
+ ^ (.^.-r/Z^x+»)
(9)
APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCION FTNITA DE C'RITERIOS J1-CUADRADO
^^3
yuc,' c.'^ rin trp^^ ^1t^ t^^^re^r^ ^ n m^i^ ^rmrl^iC^ ^iI ^^ht^enr^^^ ri^u^ilr^^ente t^n I^i Irtt^r^it^ir^t cc^^n^ ^ ntétrica (ver, por ejemplo, [3], [2]).
Si la «función de desarrollo» en (3}, es decir, c^ (s>, es la función característica de
una distribución normal obtenemos la expansión clásica de Edgeworth. Pero esta metodología puede ser utilizada con atras distribuciones, y así, si utilizamos las distribuciones Y o R, los polinomiso de (6) serían los de Laguerre y Jacobi, respectivamente,
mientras que en el caso de la distri bución normal corresponden a los bie n conocidos
polinomios de Hermite. Estos polinomios están discutidos en [8].
En el ca5a
•, que nos ocup•a padríamos utilizar una Y
1
K
.
2, 2 para aproxrmar la dis-
tribución de v si su límite asintótico es Xk. Sin embargo, debido a consideraciones de
tipo fundamentalmente algebraico, la expansión en este caso es más sencillo obtenerla
por otros métodos. Más concretamente, lo que tenemos es una expresión del tipo y=
= Ietqi. ^ie^n^ie q e^ un^^ ^^^rr^^hle ^^le^turra rnultrti^rr^inte cun una den^r^l^^^f t^^nrt^i
^ie^cunucr^i^^, ^^eru yue ^^^imrte un^s etpan^rón ^^^int^ít^ca ^iel trt^c^ indica^i^^ en (7). 1.^^
^arr^ihie v e^t^ir^i ^ir^tnhur^i^i ti^^nt^^trcamente cumu una Xk y par^i ^ipru^rmar ^u drtitrrh^acr^^ n c^^n^r^ler^iremc^^ prrmeru una ^i^ru^rmacrún ^^ I^, ^ientii^i^^^1 t^rnita ^ie q y, pc^titeriurrnente, una ^i^re^^rm^^cr^^n ^ie
I^etq r c.^umu un rulrnumiu en y.
Es interesante ver a través de un ejemplo c^ ^ m^^ un test Xk puede ser escrito de esta
forma. Consideremos el madelo
E, - N(0, 6^ )
Yt = aYr_ i+ X;^3 + E^
(10)
_ ^ fy + ^,
E(E^T ) _ ()
t
^ t
donde los x`s son no estocásticos (o alternativamente, el análisis es condicional a sus
valores observados, lo que no quita generalidad al planteamiento). E1 test de a= 0
puede escribirse camo
4
A
C_(R - a^ ^^x' ^ Yx> (^ -- R) Ax^
^^
k
a
donde á 2=(E'^E / T- K)
M,, _{I - Y_i(Y' ^ Y_
-^Y^ ^
-r
o alternati vamente
C - (E'^yX)(X'M.rX)
k^
A2 ^^(X'MyE ) _Ax2
Q
FS?ADIS77CA ESPAÑOLA
Consideremos ahora los siguientes momentos muestrales
y ^ = (Y'Y)^T
y2 = (Y ` IY_^)IT
q; = (Y' IY)/T
(12)
= f?^'Y)/T
yk+S
IX'i^ -1)^ ^
^2ik+ 4
Parece claro ahora que podernos escribir
q = fq^, ..., q^ ♦ a)
C = Te(q)
es decir, que C puede, de hecho, definirse como una función de estos momentas. En
general, los tests standard en Econometría van a depender de este tipo de momentos, así
que e! planteamiento es genera! [4j. Sin embargo, un requerimiento importante que no
siempre es cumplido es que la dimensión de q sea independiente de T(por ejemplo,
falla en modelos de medias móviles).
Consideremos ahora
Z'E
Z `Y
Z'Zy
T
T
T
y como E(Z'E )= 0, puede obtenerse con faciiidad
Z'E
A fq -- µ )
(13)
donde µ = Eq y A es una matriz cuyos elementos son funciones del vector de
parámetros del modelo. Definiendo la matriz de seiección S=(0, [^) y
1'1
.I
^
p l^m M = M
= M
podemos escribir
A
A
^ = SM^^Z'y^/T
A
- a + sM -' A(q - µ )
{14)
APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCI()N FINTTA DE CR(TER10S JI-CL'ADRADn
l IS
^
Y :i,í , e, c:l^ir^^ ^ yr^e ^3 = ^31y ^ y ytrt^ ^i1µ ^ = ^3. ^)t^ r^t^^^l^^ :in:ilc^^;i^ ^^ t^t^^it^ ^ t'r^,t yut^
c^^(µ )= a2, cuando no se corrige por grados de libertad, y que será el estimacior que
consideraremos en lo sucesivo.
_
Ue e,te rn^^d^^ e, t^icrl ^ er que I^i ^^^rr^^nl^i it,rlltlitlC:a ^1e ^ e, A ti'1 ^a -^3 r^, 1 1=
= n lírn c^ Z 1^.M -^^^ ^ . Y a,í el te,t X 2 puede e,crrhrr,e ^fe un rnc^^i^^ ma, c^^nL enrente
µ:ir^i nrre^tr^^, pr^^p^^^rt^^, c^^mc^
C -
{y - µ)`A'M-^S'[SM-^s,^-rSM-^A(y _ µ)
•
(15)
^^ihem^^, y^^e ty - µ i^ ^^^U. SZ r^^^r re,ult^i^i^^, ^tnerale^ de e,t^i^ií,trc^i. A,í. t1e
( l3) es evidente que
6^M = AS3A'
(16)
De hecho, si lim S2T = S2, puede verse para este casv que
T-+ x
„
M(µ ) = AS2fA'
Escribiendo ahora ( 15) en la forma
C _ (X,L-^,A,(62M)_^s,^s(a2M)-^S,^-iS(^2M)_rAL-iX)-I-
(l^)
donde X= L(y - µ) y S2 T^ = L'L, vemos que X^ N(o, i).
Además, utilizando ta propiedad (16) es fácil ver que la matriz de (17) evaluada en
Eq = µ, es idempotente y de rango K. Es evidente que
C(y = µ)= 0
s C/Sq Q^r, = 0,
y escribiendo
S2C
- C^ -
^qsq' q^^
obtenemos expandiendo C(q ) alrededor de µ
C(q ) = X'C^ X + 0(1 !^/rT )
= S T -^- 4(1 ^)
(18)
Como C^ es idempotente, X'C^X = Y'Y, donde Y es de dimensi©n K. Y ahora
podemos definir ó=+(Y'Y)^^2, µ= Y/b . Así, sT^'xk y el término de 0(l ^T) será una
funcián de b y de µ.
116
ESTADISTICA E:sPA2^1C)L.A
E sta va a ser, en lineas generales, la forma de apraximar T^ (y ) como función de las
variab[es y. A,ntes de obtener,la expansión pdra T^(y) requerimos la aproximación del
tipo Edgeworth para la densidad finita de y. La expansión asintótica par•a y la obtendremos basándonos en la función de desarrollo normal (ver (7}), puesto que y es
asintóticamente normal. Para ello requerimos [os cumulantes de q y la función característica para obtenertos por derivación ( ver 9 ^ ,
Definienda las matrices H, , r= 1, 2, 3 del modo
y, =(Y;Y/T) = Y°'H=Y°
(19)
donde Y°' _ (YT, ..., Y,, Ya)
_
1
H, = - (H^ + H; )
2
L
^J
( y simi larmente H 2 y H,), y los vectores GQ , a= 4, ..., K + 4, qa +4 = GQY°
G^; _ (X^T, ..., X^,, 0). etc.
la función característica de los momentos muestrales q, es
^ +a
B^H^ Y° +
,^
^ ^aG^,Y°
a^s
(2C1)
Corno Y° tiene una distribucián normal, esta esperanza puede ser obtenida fácilmente. En particular, requerimos las medias de Y° y su matriz de covarianzas, lo que
puede ser obienido como sigue:
Y, = m ^ + V,
,
m, _ «m, _, + X,^3
(21)
v, _ «v, _, + E,
de modo que la varianza de Y° es simplemente la de un proceso autorregresi vo de
orden uno. Existe un problema con las medias iniciales que no son observadas, en este
caso m°. Hay diversos métodos de estimarlas, pero esto es ya un problema que excede
el nivel de esta introducción.
Derivando ahora (20), los cumulantes se obtienen con facilidad. La solución explicita
puede verse en [1 ]. De este rnodo, puede obtenerse explicitamente la aproximación del
APROXIMACIUt^TES A LA DISTRIBUCION FINITA DE CRITERIOS J1-CUADRAr^^C)
1 17
tipo Edgeworth a la distribución tinita de y, hasta el orden de error en T que se de^;ee.
La función característica del criterio T^(y> puede escribirse
+x
t^ T^ (,S )
_
^, ^s r^ ^q ^ uf F( T^ )
(22)
e^rrcq^f'(yk,^^
(23)
- . x:
o equivalentemente
+ ,^.
^rt(s) =
- x:
La idea es ahora expandir Te(y) por Taylor, expandir el exponente, sustituir,^`(y) por
su aproximación, e integrar término a término. La inversa de esta función característica
aproximada es la función de distribución aproximada de Te(y). La prueba de que el
término de error no altera su orden de magnitud en T, a través de las suce^ivas
^ntegr^^c^^^ne^, e^ c^^mpl^c^^da. ^e reyu^eren c^erta^ c:^^nd^c^une^ en la^ ^ier^^ad^^^ ^ie ^[P ^
que aseguren que puede ser aproximado por Taylor, y ciertas condiciones en la función
característica de q, ^Q(s), que permitan aproxirnar su función de densidad por una
expansión asintóticamente válida. Las condiciones no tienen una interpretación intuitiva
sencilla y se omiten. De todas formas, una explicación intuitiva del teorema puede ser
de utilidad.
Supongamos que se desea aproximar P[Te(q) ^ r2 ] cuando Te(y) ,,^ x^ y q es un
vector de variables escogidas adecuadamente. El teorema requiere la definición de una
variable cS a partir de las variables y^ , tal que S 2 ^ X ^ . Se establece un e ntorno del
origen µ, en el que (Te) es invertible respecto a S, entorno que será creciente con T. Es
decir, Te(q) = Te*(S, K^) donde w incluye el resto de las variables. En el entorno en que
(Te) es invertible podemos escribir
P [ Te (9 ) ^ r 2 ] ^` P [S 2 ^ ^ (r, w' ) ^ = J f ^ ^r' w ^^f^{S , w )db d w
( ^4 )
donde ^r (.) es la in versa para S, es decir, la solución a r 2= Te *(b , K^ ) y donde hemos
supuesto que la probabilidad de que q esté fuera de este espacio puede ser desechada.
Bajo ciertas condiciones, podremos obtener una aproximación a la densidad de (S , w),
^`k(b ,»^). También es posible bajo otras condiciones aproximar ^(r , w) por un polinamio
Q(r , w), de modo que ^(r, w) ^^- Q^(r, w} [7]. Entonces puede escribirse
{24) ^- jj^'^w}f^{ó, w)c^.^S, dw = f h[Q(r, ^^v), wldw
Es decir, integramos primero respecto a S, y obtenemos una expresión que es
integrada finalmente con respecto a las variables Kmarginales» w, para obtener 1a
I1K
ESTADiS"i1C^A F tiPA.^lt)I_A
aprc^ximación tinal. La difrcultad etitriba, pur supuesto, en probar que en cada paso el
térm^no desecht.do es del orden de magnituci requerido en T.
Una vez que fa validez del teorema ha sida probado es máti conveniente presentar la
expansión de un modo alternativo que facilite el álgebra. Concretamente, la idea aquí e^
obtener la función característica aproximada de T^(y) ^expanciiendo todo» por Taylor,
e integra.r térrnino a término. Finalmente, invirtiendo esta aproximación obtendremos
una expresión explícita para la aproximación a la probabilidad hnita que buscamos.
Más concretamente, consideremos la función característica de Te(y) tal como ha
sido expresada en (23)
+,
E, es Tr (q )t ^(y ^y
=
W Te (-S )
-x
La expansión ha sido obtenida hasta un error O{T "3'2) por razones que luego serán
patentes. Bajo las condiciones del T`"", puede escribirse
Te (^ , Z ) = b 2 + R , (ó , K^ ) fT + R ^ (b , K^ ) ! T + p( T -;'2)
( 26)
donde R^ y R2 son términos que dependen de las derivadas de e(.) hasta el orden
cuarto, y están evaluadas en Ey = µ.
por otra parte, aplicando la idea descrita a1 principio se obtiene con facilidad la
aproximación a la densidad de X=^%^T L(y - µ}[recordando X^(i^i{U, I)] .
.j-(X) = a(X) {1 + a^(X)^,l 1 + ^32(X}!T} + Q(T-3'2}
(27)
y donde
a(X) - N(a, I)
Como (ó , ^^) es una simple transformación de X, la aproximación a su densidad es
sencilla de obtener. La expansión del exponente no entraña ahora ninguna dificultad
especial. Finalmente, se desechan todos los términos cruzados de orden inferior a
t^(T ^^'2) antes de integrar la expansión.
La expansión en sí misma es muy complicada y costosa de obtener. AI final ,
^^htc.^nc.=r^i^^^ un^i et^re^^^^n yue e^ tuncr^^n ^fe I^^^ ^ier-r^^^c1t^, ^ie ^ I e^ h^^^t^^ el ^^r^ien cuartu,
y de los cumulantes, también hasta orden cuarto, de y. Hay problemas adicionales en la
obtención de una matriz 4, tal que
1 C ,- 6 = U(l,j T)
2
^
(28)
APROXIMAC"IOIYFS A L.A DISTRIBUCIO^I I"ZNITA DE C'RITF.RIOS Jl-('t'ADRAIX)
119
y que IS21'^)S21 2) sea idempotente y de rangu h. E^^t^^ cundición, en el c^^su visto arriha
y en hastanteti situaciones reales, tie va a cumplir cc^n i,^ualdad. Pero, en general , es un
prohlema el obtener esas derivadas.
Finalmente, la expresión para 1a aprc^ximación es de la forma
+ p(T --^^^)
P[Te(y) <_ r2] = ^a2(rz) + ,/^^z(r2)*W(r)
(^9)
W(r ) = n(r),^ T + ^i(r)iT
n(r ) _ ^. ^r _ I + a^ zr
^3(r)
=
S
^ h rtz -s ^
^ ^
^=I
donde^;^=(.) es la función de distribución de una X ^ , y ,/i2^.) la correspondiente función
de densidad. Los coeficientes (^;, h;) dependen de las derivadas y curnulantes mencionados más arriba. Existen transformaciones d^ esta aproximación diseñados para asegu; ar un comportamiento mejor en muestras finitas, pero la expresión ( 29) es, por así
decirlo, la «generadorrd de aproximaciones» y por ésto la clave. La aproximación ha
sido obtenida hasta un orden O(T -3'2) por dos razones: primero, obtener un arden T^^
requería evaluar términos demasiado complicados, y, segundo, el término A(r ) depende
de ^(µ ), eQ y ^ e^- - H, pero estos términos son con frecuencia nulos, de modo que el
error de las aproximaciones asintóticas no es de orden ( l y` T), sino de orden (1 /T) en
muchas ocasiones .
Las derivadas del criterio pueden ser evaluadas numéricamente, la que plantea otra
serie de interesantes problemas de tipo numérico que están discutidos en [ 1]. La
aproximación puede ser utilizada con parámetros estimados, obteniéndose un error
O(T -3'2) si n(r )= 0. Tarnbién puede utilizarse sencillamente para estimar el intervalo
correspondiente a una probabilidad dada, manteniéndose el orden de error T!3'2
La expansión obtenida en [I ] ha sido desarrollada bajo una serie de supuestos de
derivabilidad en la función Te(.) que no son restrictivos. E1 más importante es que el
número de momentos no dependa de T(no cumplido por procesos de medias móviles).
E-;I i^eyuer-Im^ent^j h^^^^c:^^ par^^ la^ ^^lrl^^hle^ y e^ yue ^^, tunc:^ein de den^^d^^^J ^e^^
aproximable por una expansión de Edgeworth y que sea asintóticamente normal, consecuentemente. Esta condición parece bastante general y en principio no requiere la
normalidad del componente de error en el modelo original (10).
De todas formas, la investigación empírica realizada se ha Ilevado a cabo en modelos autorregresivos (uni y biecuacionales) comprobando restriccianes lineales y no
lineales, y suponiendo que los errores del modelo son normales, con lo que se pueden
^^STAI^IST7(_^A ESPANC)I.A
12U
uhtener expretiione^ algehráicas explícitati para lo^ cumulantes de N hasta el c^rden
cie^et^du.
Una cie !a^ conclu^iones empíricds ohtenidas sistemáticamente en lo^+ experimentos
de Mc^nte Carlo es que la aproximación asintótica tiene unas colas demasiado delg,adas.
La forma general de las distribuciones parece ser:
I
1
- Asintótica.
11
- 1~inita (cierta).
l i l- Aproximación a la finita.
Este resultado, para T alto también puede derivarse teóricamente requiriendo b^ > 0
( ver [29 ]). Esta condición, por otra parte, se requiere para la validez misma de la
aproximación, y empíricamente siempre se ha cumplido,
EI probiema entonces es que los tests de hipótesis se llevan a cabo en las colas. Una
pequeña diferencia de probabilidad supone una variación porcentual de a veces el cien
por cien en el intervalo de confianza.
Las aproximaciones a la verdadera distribución derivadas en (I ], por otra parte,
cometen errores mucho menores y en muchos casos prácticamente nu I^^^.
111.
CONCLUSION
La aproximación obtenida es muy ajustada a ia distribución finita, de acuerdo a
todas las pruebas realizadas. Además, es de aplicabilidad bastante general, pues la
APROXIMAC'IO:YI:S A LA D[STRIBUCION 1^T1^TTA DE: CRI7FRi()5 ll•CL'ADRACK)
I't~'^trll'^It^rt
121
^t' n^^l•t11^t^t^^^i^ t'n ^t^^ t'rl^t^l^t'^ rUC't^t' ^t't' I^tt~IIt11t'nIt' I^t'l^t.^.i^^i. 1't^r t)tt•ai ^^trtt'.
en aplicaciones práctic•as suele ser más importante determinar ei orden de la correlación
serial que su forma. Es decir, que un MA(1) puede ser apruximado pur un AR(11, a nu
ser que la raíz sea cercana al círculo unidad. La implicación de este hec ho es que las
aproximaciones aquí resumidas pueden ser aplicables también en estos casos.
Excepto en casos sencillos es difícil obtener resultados analíticos de la compardción
de las expansiones correspondientes a diferentes criterios con igual distribución asintótica. Sin embargo, en algunos casos de relevancia práctica, la comparación puede ser
Ilevada a cabo, y el autor está actualmente trabajando en ello. La aproximación puede
ser calculada sin dificultad para criterios generales, mediante un programa escrito como
parte de esta investigación, y que pronto estará disponible para su uso público. EI
programa no es excesivamente caro en términos de tiempo de ordenador y, actualmente, J. D. Sargan está trabajando en la simplificación de las partes más costosas de la
evaluación de las aproxirnaciones de Edgeworth en general.
En resumen, es probable que en un plazo relativamente corto, las aproximaciones a
I^t^ ^1t,trthuctt^nt'^ I^n^t^i, ^it' este ttpt^ p^^^en a e,t^ir dtspe^nthle^ p^ir^i st.i ^^^^^ genNr^iltf^id^^
c.'n c^^^^lyu^et^ ttp^^ de rrt^hletl1^is.
REFERENCIAS
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SUMMARY
APPROXIMATIONS TO THE FINITE SAMPLE DISTRIBUTIC)N tJF
CHI-S^U ARED CR[TERIA: INTRODUCTOR.Y NOTE
This paper presents an introduction to the finite sample disiribution of
econometric criteria of the chi-squared type. The paper is intended to
give a heuristic introduction to the topic. Detailed proofs are therefore
omitted. The technique to obtain the expansion is outlined and several
empirical results are fully discussed.
K^v K}t^rd.ti: Chi-squared, finite samples, Edgeworth, characteristic functions, Hermite polynomials, sample moments.
A.M.S. 19H0. Subject classifcationt 62E2U; ó2P20.