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Matemáticas Discretas
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Análisis Combinatorio
Actividades de Análisis Combinatorio
Solución
1. ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pueden formar con 4 personas?
1 grupo de 4, 4 grupos de 3 y 6 grupos de dos = 11 grupos
2. ¿Cuántos son los números enteros positivos de dos o tres dígitos?
Dos dígitos: 10 – 99 = 90 números
Tres dígitos: 100 – 999 = 900 números
Total = 990 números
3. ¿De cuántas maneras se pueden formar en fila 5 estudiantes?
5 × 4 × 3 × 2 = 120 formas
4. ¿De cuántas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer
premio y un segundo premio en una clase de 25 alumnos?
25 × 24 = 600 formas
5. ¿Cuántos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dígitos distintos?
9 × 9 × 8 = 648 enteros
6. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar usando sólo los dígitos
3, 7 y 8? (Incluir todos los números con dígitos repetidos).
3 × 3 × 3 = 27 números
7. ¿Cuántas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se
pueden formar a partir de 6 hombres y 5 mujeres?
6 × 5 = 30 parejas
8. ¿Cuántos tríos diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un
niño se pueden formar a partir de 4 hombres, 5 mujeres y 3 niños?
4 × 5 × 3 = 60 tríos
9. En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras
distintas. ¿De cuántas maneras se puede elegir una fruta y una verdura?
5 × 3 = 15 formas
10. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con
las letras: A, L, E y C, sin que ninguna letra se repita ni falte?
4 × 3 × 2 = 24 palabras
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11. ¿Cuántas permutaciones simples (sin repetición) pueden hacerse con las
letras de la palabra LEGAR?
5 × 4 × 3 × 2 = 120 permutaciones
a. ¿Cuántas de esas permutaciones inician con una consonante?
3 × 4 × 3 × 2 = 72 permutaciones
b. ¿Cuántas inician con una vocal?
2 × 4 × 3 × 2 = 48
c. ¿Cuántas inician con la letra A?
1 × 4 × 3 × 2 = 24
12. Se tienen 10 bolitas de igual tamaño, 3 son de color rojo, 2 de color
azul y 5 de color verde. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden
ordenar en fila esas 10 bolitas?
10!
= 2,520
3!2!5!
a. ¿Cuántas de esas permutaciones inician con una bolita verde?
5 × 9!
= 6,300
3! 2! 4!
b. ¿Cuántas terminan con una bolita roja?
3 × 9!
= 2,268
2! 5! 2!
c. ¿Cuántas inician con una bolita azul y terminan con una bolita verde?
2 × 8!×5
= 2,800
1! 4! 3!
13. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos:
1, 2, 3, 4 y 5?
5 × 4 × 3 = 60
14. ¿Cuántas palabras de 3 letras diferentes, con o sin significado, pueden
formarse con las letras de la palabra COMA?
4 × 3 × 2 = 24
15. Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. ¿Cuántos tipos diferentes de
boletos, donde se indique la estación de salida y de llegada, deben
imprimirse?
6 × 5 = 30
16. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos: 5, 6, 7,
8 y 9 (con repetición)?
5 × 5 × 5 = 125
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17. ¿Cuántos números de 2 cifras pueden formarse con los diez dígitos, sin
repetición?
10 × 9 = 90
18. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de
miembros a partir de 8 de personas?
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6,720
5
a. Si una persona determinada debe estar siempre incluida
1 × 7 × 6 × 5 × 4 = 840
b. Si una persona determinada debe estar siempre excluida
7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2,520
c. Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra
siempre excluida
1 × 6 × 5 × 4 × 3 = 360
d. Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa
comisión
2 × 6 × 5 × 4 × 3 = 720
19. ¿Cuántas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y
mujeres, pueden formarse, a partir de 10 hombres y 12 mujeres?
10 × 9 × 12 × 11 × 10 = 118,800
3
20. ¿Cuántas palabras de 7 letras distintas ( 4 consonantes y 3 vocales ),
con o sin significado, pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5
vocales, todas diferentes?
⎛ 6 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 7 ⎞
P⎜⎜ ⎟⎟ P ⎜⎜ ⎟⎟ P ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠
21. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de
cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un
estante.
3 × 2 ×1 = 6
22. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular
de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete
dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.
7 × 6 × 5 = 210
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23. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra
BONDAD?
6!
= 360
1!×2!
24. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra
AMASAS?
6!
= 60
3!×2!
25. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas
para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?
⎛ 21⎞
21!
= 1330
C ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 3 ⎠ 3!×18!
26. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no
hay distinción de personas?
4 × 3 × 2 = 24
27. Durante una campaña local, ocho candidatos republicanos y cinco
demócratas se nominan para presidentes del consejo escolar
a. Si el presidente va a ser alguno de estos candidatos, ¿cuántas
posibilidades hay para el posible ganador?
8 + 5 = 13
b. ¿Cuántas posibilidades hay para que una pareja de candidatos (uno
de cada partido) se opongan entre sí en la elección final?
⎛8⎞ ⎛ 5⎞
8!
5!
*
= 8 × 5 = 40
C ⎜⎜ ⎟⎟ * C ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ 1!*7! 1!*4!
c. ¿Qué principio del conteo se usó en la parte (a)?, ¿en la parte (b)?
Suma en la parte a, producto en la parte b
28. Los automóviles Buick se fabrican en 4 modelos, 12 colores, 3 tamaños de
motor y 2 tipos de transmisión.
a. ¿Cuántos Buick distintos se pueden fabricar?
4 × 12 × 3 × 2 = 288
b. Si uno de los colores disponibles es el azul, ¿cuántos Buick azules
diferentes se pueden fabricar?
4 × 1 × 3 × 2 = 24
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29. El consejo directivo de una empresa farmacéutica tiene 10 miembros. Se
ha programado una próxima reunión de accionistas para aprobar una
nueva lista de ejecutivos (elegidos entre los 10 miembros del consejo).
a. ¿Cuántas listas diferentes, formadas por un presidente, un
vicepresidente, un secretario y un tesorero, puede presentar el
consejo a los accionistas para su aprobación?
10!
P (10,4) =
= 5040
6!
b. Tres miembros del consejo de directores son médicos. ¿Cuántas listas
de la parte (a) tienen
i. ¿Un médico nominado para la presidencia?
9!
3 ∗ P (9,3) = 3 * = 1512
6!
ii. ¿Exactamente un médico en la lista?
3! 7!
4 * C (3,1) * P (7,3) = 4 *
* = 2520
1!*2! 4!
iii. ¿Al menos un médico en la lista?
⎛ 3⎞
⎛3 ⎞
⎛ 3⎞
C ⎜⎜ ⎟⎟ * P(7,3) + C ⎜⎜ ⎟⎟ * P(7,2) + C ⎜⎜ ⎟⎟ * P(7,1)
⎝ 3⎠
⎝ 2⎠
⎝1 ⎠
30. Un sábado, cuando iban de compras, Juana y Teresa vieron a dos
hombres alejarse en automóvil de la fachada de una joyería, justo antes
de que sonara una alarma contra robos. Aunque todo ocurrió muy
rápido, cuando fueron interrogadas las dos jóvenes, pudieron dar a la
policía la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos
letras seguidas de cuatro dígitos) del automóvil que huyó. Teresa estaba
segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el
último dígito era un 3 o un 8. Juana dijo que la primera letra de la placa
era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
26 letras 10 dígitos
2 × 2 × 1× 10 × 10 × 2
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31. Con el fin de juntar fondos para una nueva alberca municipal, la cámara
de comercio de cierta ciudad patrocina una carrera. Cada participante
paga una cuota de inscripción de $5 y tiene la probabilidad de ganar uno
de los trofeos de distinto tamaño que se entregarán a los primeros ocho
corredores que lleguen a la meta.
a. Si 30 personas entran a la carrera, ¿de cuántas formas será posible
entregar los trofeos?
P (30,8)
b. Si Roberta y Clara son dos de los participantes en la carrera, ¿de
cuántas formas se pueden otorgar los trofeos de modo que ellas
queden entre los tres primeros lugares?
6 * 28 * P ( 27 ,5)
32. La cafetería Paty tiene ocho tipos diferentes de pasteles y seis tipos
diferentes de bollos. Además de las piezas de pastelería, es posible
adquirir vasos pequeños, medianos o grandes de las siguientes bebidas:
café (negro, con crema, con azúcar, o con crema y azúcar), té (solo, con
crema, con azúcar, con crema y azúcar, con limón o con limón y azúcar),
chocolate caliente y jugo de naranja. Cuando Carolina va a la cafetería
Paty, ¿de cuántas formas puede ordenar?
a. ¿Una pieza de pastelería y una bebida mediana para ella?
14 × 12
b. ¿Una pieza de pastelería y un vaso de café para ella, y un bollo y un
vaso de té para su jefe, la señora Dueñas?
14 × 12 × 6 × 18
c. ¿Una pieza de pastelería y un vaso de té para ella, un bollo y un vaso
de jugo de naranja para la señora Dueñas y una pieza de pastelería y
un vaso de café para cada uno de sus asistentes, el señor Torres y la
señora Gil?
[14 × 6 × 3]∗ [6 × 3]∗ [14 × 4 × 3] ∗ [14 × 4 × 3]
33. Pamela tiene 15 libros distintos. ¿De cuántas formas puede colocar sus
libros en dos repisas de modo que haya al menos un libro en cada una?
(Tenga en cuenta que los libros, en cualquier disposición, están
ordenados uno junto a otro, y el primer libro de cada repisa queda en el
lado izquierdo de la misma).
n
para n libros :
∑ P(n, n − i) * P(i, i)
i =1
15
para 15 libros :
∑ P(15,15 − i) * P(i, i)
i =1
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34. 8. Escribir un algoritmo para calcular los coeficientes de (ax + by ) donde
a y b son números reales y n es un entero.
n
n
(ax + by )n = ∑ a k b n−k C ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ x k y n−k
k =0
⎝k ⎠
n
35. Obtén una fórmula para la suma de los n primeros enteros positivos
pares.
n −1
∑ (2 + 2i)
i =0
36. Usa la inducción matemática para demostrar la formula que has
obtenido en el problema anterior.
n −1
∑ (2 + 2i)
i =0
n = 1:
0
∑ (2 + 2i) = 2
i =0
n = 2:
1
∑ (2 + 2i) = 2 + 4
i =0
n = 5:
4
∑ (2 + 2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10
i =0
37. Obtén una fórmula para 1/2+1/4+1/8+...+1/2n y demuéstrala.
n = 2:
n = 3:
n = 4:
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1 1 3
+ =
2 4 4
1 1 1 7
+ + =
2 4 8 8
1 1 1 1 15
+ + +
=
2 4 8 16 16
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1
2n − 1
=
∑
2n
i =1 i (i + 1)
n
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38. Obtén una fórmula para
n = 1:
n = 2:
n = 3:
n = 4:
1
1
1
y demuéstrala.
+
+L+
1⋅ 2 2 ⋅ 3
n(n + 1)
1
1
=
1⋅ 2 2
1
1
4
+
=
1⋅ 2 2 ⋅ 3 6
1
1
1
9
+
+
=
1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 12
1
1
1
1
n2
+
+
+
=
1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 n(n + 1)
1
n2
=
∑
n(n + 1)
i =1 i (i + 1)
n
39. Para las cuatro ecuaciones siguientes deduce la fórmula general
(1)
1=1
(2)
2+3+4=1+8
(3)
5+6+7+8+9+=8+27
(4)
10+11+12+13+14+15+16=27+64
#
n
=
1:
1=1
0
1
0 +1
2 + 3 + 4 = 1+ 8
2:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27
3:
4 : 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64
n 2 + 2 n +1
∑i
1
3
1 + 23
2
5
2 3 + 33
3
7
33 + 4 3
= n 3 + ( n + 1) 3
i = n 2 +1
40. Para las siguientes ecuaciones, deduce la fórmula general
A
12
32
52
72
92
112
B
02
42
12 2
24 2
40 2
60 2
C
12
52
13 2
25 2
412
612
n
0
1
2
3
4
5
A
0 +1
1+ 2
2+3
3+ 4
4+5
n + (n + 1) =
B
2 ⋅ 0 ⋅1
2 ⋅1⋅ 2
2⋅2⋅3
2 ⋅3⋅ 4
2⋅4⋅5
2n(n + 1)
C
2 ⋅ 0 ⋅1 + 1
2 ⋅1 ⋅ 2 + 1
2⋅3⋅ 4 +1
2n(n + 1) + 1
2n + 1
(2n + 1)2 + [2n(n + 1)]2 = [2n(n + 1) + 1]2
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