3-Formas Canonicas

ELO211: Sistemas Digitales
Tomás Arredondo Vidal
1er Semestre – 2009
Este material está basado en:
❒ textos y material de apoyo:
Contemporary Logic Design 1st / 2nd edition. Gaetano
Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005
❒ material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva
❒ material en el sitio http://es.wikipedia.org
3: Canónicas
1
3-Formas Canonicas
3.1 Expresiones canónicas: minterminos y
maxterminos
3.2 Expansión a las formas canónicas
3.3 Síntesis de las formas canónicas
3.4 Diseño lógico y simplificación
3: Canónicas
2
Expresiones Canónicas
❒ Existen dos formas básicas de expresiones
canónicas que pueden ser implementadas en
dos niveles de compuertas:
suma de productos o expansión de minterminos
❍ producto de sumas o expansión de maxterminos
❍
❒ Permiten asociar a una función una
expresión algebraica única
❒ La tabla de verdad también es una
representación única para una función
booleana
3: Canónicas
3
Suma de productos
❒ También conocida como expansión de
minterminos
F = 001
011
101
110
111
F = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
0
1
0
1
1
1
F’
1
0
1
0
1
0
0
0
F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’
3: Canónicas
4
Suma de productos
❒ Términos son productos (o minterms)
❍
❍
A
0
0
0
0
1
1
1
1
productos AND de literales – para las combinacion de input para
los que el output es verdad
en cada producto cada variable aparece exactamente una ves
(puede estar invertida)
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
minterms
A’B’C’ m0
A’B’C m1
A’BC’ m2
A’BC m3
AB’C’ m4
AB’C m5
ABC’ m6
ABC
m7
F en forma canónica:
F(A, B, C) = Σm(1,3,5,6,7)
= m1 + m3 + m5 + m6 + m7
= A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC
forma canónica ≠ forma minima
F(A, B, C) = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC + ABC’
= (A’B’ + A’B + AB’ + AB)C + ABC’
= ((A’ + A)(B’ + B))C + ABC’
= C + ABC’
= ABC’ + C
forma corta de escribir minterms
= AB + C
3: Canónicas
5
(ejemplo de 3 terminos o 23 = 8 minterms)
Producto de sumas
❒ También conocida como expansión de
maxterminos
F=
000
010
100
F = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
0
1
0
1
1
1
F’
1
0
1
0
1
0
0
0
F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)
3: Canónicas
6
Producto de sumas
❒ Términos son sumas (o maxterminos)
❍
❍
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
suma OR de literales – para las combinacion de input para los
que el output es falso
en cada producto cada variable aparece exactamente una ves
(puede estar invertida)
C
0
1
0
1
0
1
0
1
maxterms
A+B+C
A+B+C’
A+B’+C
A+B’+C’
A’+B+C
A’+B+C’
A’+B’+C
A’+B’+C’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
F en forma canónica:
F(A, B, C) = ΠM(0,2,4)
= M0 • M2 • M4
= (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
forma canónica ≠ forma minima
F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
= (A + B + C) (A + B’ + C)
(A + B + C) (A’ + B + C)
= (A + C) (B + C)
forma corta de escribir minterminos
(ejemplo de 3 términos o 23 = 8 minterminos)
3: Canónicas
7
Conversión entre formas canónicas
❒ Es posible convertir entre ambas formas canónicas
❒ Para n variables (0 ≤ i ≤ 2n-1)
mi = Mi
Mi = m i
∑ mi = ∏ Mi
∏ Mi = ∑ mi
3: Canónicas
8
Conversión entre formas canónicas
❒ Suma de productos
❍
F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’
❒ Usando de Morgan’s: f’(X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+)
❍
❍
(F’)’ = (A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’)’
F = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
❒ Producto de sumas
❍
F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)
❒ Usando de Morgan’s
❍
❍
(F’)’ = ( (A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B + C’)(A’ + B’ + C)(A’ + B’ + C’) )’
F = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC
3: Canónicas
9
Conversión entre formas canónicas
❒ Conversión de minterminos a maxterminos
❍
❍
usar maxterminos cuyos índices no aparecen en expansión
de minterminos
e.g., F(A,B,C) = Σm(1,3,5,6,7) = ΠM(0,2,4)
❒ Conversión de maxterminos a minterminos
❍
❍
usar minterminos cuyos índices no aparecen en expansión
de maxterminos
e.g., F(A,B,C) = ΠM(0,2,4) = Σm(1,3,5,6,7)
❒ Conversión de expansión de minterminos de F a F’
❍
❍
usar minterminos cuyos índices no aparecen
e.g., F(A,B,C) = Σm(1,3,5,6,7)
F’(A,B,C) = Σm(0,2,4)
❒ Conversión de expansión de maxterminos de F a F’
❍
❍
usar maxterminos cuyos índices no aparecen
e.g., F(A,B,C) = ΠM(0,2,4)
F’(A,B,C) = ΠM(1,3,5,6,7)
3: Canónicas
10
Implementaciones alternativas
en dos niveles
❒ Ejemplo: F=ab+c
A
suma de productos
B
F1
C
suma de productos minimizada
F2
producto de sumas
F3
producto de sumas minimizada
F4
3: Canónicas
11
Señales para las cuatro alternativas
❒ Esencialmente idénticas
❍ excepto por perturbaciones
❍ retardos son muy similares
❍ otros ejemplos mas adelante
3: Canónicas
12
3-Formas Canonicas
3.1 Expresiones canónicas: minterminos y
maxterminos
3.2 Expansión a las formas canónicas
3.3 Síntesis de las formas canónicas
3.4 Diseño lógico y simplificación
3: Canónicas
13
Expansión a las formas canónicas
❒ Cualquier función booleana puede ser
representada en forma canónica.
❒ El proceso de obtener la forma canónica se
denomina expansión
❒ Un método directo consiste en obtener la
tabla de verdad, y luego identificar los
mintérminos o los maxtérminos
❒ Otra posibilidad, que se estudia a
continuación, es mediante un desarrollo
algebraico basado en los postulados y
teoremas del álgebra de Boole
3: Canónicas
14
Expansión a suma de productos
❒ Basado en el uso repetitivo del teorema de
unificación:
❍
a = ab + ab’
❒ Ejemplo: f(a, b, c) = a + bc’ + abc
Término a:
a = ab + ab’
= (ab + ab’)c + (ab + ab’)c’
= abc + ab’c + abc’ + ab’c’
= m7 + m5 + m6 + m4
Término bc’: bc’ = abc’ + a’bc’
= m6 + m2
Entonces, f(a, b, c) = m2 + m4 + m5 + m6 + m7
3: Canónicas
15
Expansión a productos de sumas
❒ Basado en el uso repetitivo del teorema de
unificación:
❍
a = (a + b)(a + b’)
❒ Ejemplo: f(a, b, c) = (a + b)(b + c’)
Término (a+b): (a+b) = (a+b+c)(a+b+c’)
= M0 M1
Término (b+c’): (b+c’) = (a+b+c’)(a’+b+c’)
= M1 M5
Entonces, f(a, b, c) = M0 M1 M5
3: Canónicas
16
3-Formas Canonicas
3.1 Expresiones canónicas: minterminos y
maxterminos
3.2 Expansión a las formas canónicas
3.3 Síntesis de las formas canónicas
3.4 Diseño lógico y simplificación
3: Canónicas
17
Síntesis usando suma de productos
❒ Dada una función mediante una suma de
productos, ésta puede implementarse usando
un OR de AND's
❒ Ejemplo: implementación en dos niveles de
f(a, b, c, d) = ab + cd, se logra directamente
3: Canónicas
18
Síntesis usando suma de productos
❒ Una red es de n niveles, cuando una señal
de entrada debe pasar a través de n
compuertas para llegar a la salida.
❒ La señal de entrada que recorra más
compuertas hasta llegar a la salida, es la
que define la cantidad de niveles; el
recorrido se denomina ruta crítica y define
el retardo de propagación de la red.
❒ Debe notarse que se considera que se
dispone de entradas invertidas (e.g. b‘) ya
que si sólo se dispone de variables (e.g. b)
se requiere un nivel adicional.
3: Canónicas
19
Síntesis usando suma de productos
❒ También puede implementarse usando
solamente compuertas NAND
❍
Ejemplo: f = ab’+cd
3: Canónicas
20
Síntesis usando suma de productos
❒ La técnica anterior se denomina método de
doble complementación:
❒ Se puede visualizar en forma gráfica según:
❒ El siguiente es el equivalente grafico del
Teorema de De Morgan:
3: Canónicas
21
Conversión de producto de sumas a
suma de productos
❒ Si tenemos una función de tipo producto de sumas se
puede convertir usando doble complementación en
suma de productos
A
B’
f
C
D
A
B’
C
D
❒ Aplicando De Morgan y complementando:
A’
A
B
B’
f
C
D
f
f’
C’
D’
3: Canónicas
22
Conversión de producto de sumas a
suma de productos
❒ Hay que notar que la implementación como suma de
productos tiene todas las variables de entrada y
salida complementadas respecto a su forma inicial.
❒ También se puede convertir una expresión de tipo
suma de productos a la forma producto de sumas al
cambiar los ANDs del primer nivel por ORs y en el
segundo nivel los ORs por ANDs además de
complementar variables de entrada y salida.
3: Canónicas
23
3-Formas Canonicas
3.1 Expresiones canónicas: minterminos y
maxterminos
3.2 Expansión a las formas canónicas
3.3 Síntesis de las formas canónicas
3.4 Diseño lógico y simplificación
3: Canónicas
24
Diseño lógico: fan-in y fan-out
❒ Las compuertas lógicas tienen ciertas características
concretas dadas por su implementación física. Dos de
ellas son el fan
- in y el fan
- out.
❒ Fan
- in es el numero de circuitos o compuertas de
entrada (e.g. de dos entradas) que puede soportar
una compuerta.
❒ Una compuerta con un fan
- in mayor tienden a ser mas
lentas por que se incrementa la capacitancia de la
compuerta.
3: Canónicas
25
Diseño lógico: fan-in y fan-out
❒ Fan
-
out es el numero de compuertas que pueden ser
alimentadas o comandada por una salida de la
compuerta.
❒ Un mayor numero de niveles en un circuito causa que
este tenga un comportamiento mas lento ya que la
conmutación debe propagarse a través de mas
compuertas.
❒ Un menor numero de niveles requiere compuertas con
un mayor fan
- in lo que generalmente implica ocupar
mas pastillas en la implementación.
3: Canónicas
26
Funciones incompletamente
especificadas
❒ Ejemplo: Numero binarios codificados (BCD) incrementado por 1
❍
A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
BCD codifica números decimales 0 – 9 en los patrones de bits
0000 – 1001
B
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
W
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
X
X
X
X
X
X
X
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
X
X
X
X
X
X
Y
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
X
X
X
X
X
X
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
X
X
X
X
X
X
off-set de W
on-set de W
don’t care (DC) set d W
estos patrones de input nunca
se deberían encontrar en la
practica – "don’t care" sobre sus
valores de salida se pueden utilizar
en la minimización
3: Canónicas
27
Descripción de funciones
incompletamente especificadas
❒ Formas canónicas y don’t cares (X)
❍
❍
❍
hasta ahora solo han representado on-set
formas canónicas también representan conjunto don’t-care
se necesitan dos de los tres conjuntos (on-set, off-set, dc-set)
❒ Representación canónicas de la función BCD incrementada por 1:
❍
❍
❍
❍
Z = m0 + m2 + m4 + m6 + m8 + d10 + d11 + d12 + d13 + d14 + d15
Z = Σ [ m(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) ]
Z = M1 • M3 • M5 • M7 • M9 • D10 • D11 • D12 • D13 • D14 • D15
Z = Π [ M(1,3,5,7,9) • D(10,11,12,13,14,15) ]
3: Canónicas
28
Simplificación de lógica
combinacional de dos niveles
❒ Encontrar una realización mínima de suma de productos o
productos de suma
❍ explotar información X (don’t care) en el proceso
❒ Simplificación algebraica
❍
❍
no hay procedimiento algorítmico/sistemático
¿como se sabe cuando la mínima realización se encontró?
❒ Herramientas computacionales
❍
❍
soluciones precisas requieren tiempos de computación largos
especialmente para funciones con muchos inputs (> 10)
heurísticas se usan para encontrar “buenos” resultados
(generalmente no son el optimo global)
3: Canónicas
29
Simplificación de lógica
combinacional de dos niveles
❒ Métodos a mano son relevantes
❍
❍
para encontrar las herramientas automáticas y sus
fuerzas y debilidades
se pueden verificar resultados (en casos pequeños)
3: Canónicas
30
Simplificación de lógica combinacional
de dos niveles
❒ Teorema de unificación, clave para la simplificación :
A (B’ + B) = A
❒ Esencia de la simplificación de lógica de dos niveles
❍
encontrar (o crear) subconjuntos de dos elementos del onset en los cuales solo una variable cambia de valor – esta
variable puede ser eliminada y un termino puede
remplazar al los dos termimos previos
F = A’B’+AB’ = (A’+A)B’ = B’
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
B tiene el mismo valor en las dos filas– B se
mantiene
A tiene valores diferentes en ambas filas– A
se elimina
3: Canónicas
31
Simplificación de lógica combinacional
de dos niveles
❒ Usando teoremas para minimizar (e.g. idempotencia, commutatividad,
distributividad, unificación, complementariedad, identidad,...)
❒ Ejemplo:
Cout
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
A’ B Cin + A B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
(A’ + A) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
(1) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
B Cin + A B’ Cin + A B Cin + A B Cin’ + A B Cin
B Cin + A (B’ + B) Cin + A B Cin’ + A B Cin
B Cin + A (1) Cin + A B Cin’ + A B Cin
B Cin + A Cin + A B (Cin’ + Cin)
B Cin + A Cin + A B (1)
sumar terminos para
B Cin + A Cin + A B
factorizar
3: Canónicas
32
Diseño lógico: perturbaciones
❒ Implementaciones de circuitos lógicos pueden
incluir condiciones que causan perturbaciones
(como resultados de carreras) en los outputs
de implementaciones de circuitos
❒ En circuitos con mas de dos niveles pueden
generarse perturbaciones con mas de un
cambio momentáneo
3: Canónicas
33
Ejemplo: perturbaciones
❒ Implementaciones de circuitos lógicos pueden
incluir condiciones que causan perturbaciones
(como resultados de carreras) en los outputs de
implementaciones de circuitos
❒ Una perturbación estática es un cambio
momentáneo de un nivel constante en el output
(un falso cero o un falso uno)
❒ En circuitos con mas de dos niveles pueden
generarse perturbaciones con mas de un cambio
momentáneo
❒ Una perturbación dinámica es una perturbación
que ocurre durante el cambio de una variable de
salida
3: Canónicas
34
Diseño lógico: perturbaciones
❒ Ejemplo: P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ =
A’(AB’+C’D)
❍
Con {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} se presentan
perturbaciones en el canto de bajada de A atrasado
A
B
P
C
D
❒ Actividad: Mostrar porque y como ocurre esto
e indicar como eliminar el problema
3: Canónicas
35
Actividad: Diseño lógico y perturbaciones
❒ ¿Porque ocurre las perturbaciones? Recordemos que
las perturbaciones ocurren cuando una misma señal
tiene múltiples caminos que causan carreras en los
inputs a una compuerta.
X
X’
X
X’
3: Canónicas
36
Actividad: Diseño lógico y perturbaciones
❒ Ejemplo: z = x + x’
❍
❍
En una tabla de verdad se aprecia que y nunca debería ser 0
Pero dado que hay carreras z si es 0 en el diagrama temporal
(perturbación)
X’
Carrera en señales de entrada
X
Z
t
X
X’
Z
perturbación
3: Canónicas
37
Actividad: Diseño lógico y perturbaciones
❒ Análisis: Si se hace una tabla de verdad se puede
apreciar que la salida P nunca es igual a 1
X
Y
X'
A
B
C
D
P
Z
❒ Cuando A = 1 y {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} después de
un tiempo de propagación X = 1 y X’ = 0
❒ Después del cambio de a A = 0 y de una propagación
en la ruta mas rápida X = 0 y X’ = 0
❒ Es durante este tiempo de propagación que P se
convierte en 1 causando la perturbación
3: Canónicas
38
Actividad: Diseño lógico y perturbaciones
❒ Solución: Para eliminar la perturbación se puede
simplificar más (para eliminar la carreras de X con X’...):
❒ P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ = A’(AB’+C’D)
= A’AB’ + A’C’D = A’C’D
A
B
P
C
D
A’
C’
D
P
❒ Mas ejemplos en los apuntes...
3: Canónicas
39