Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales. - OCW-UV

Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.1. Campos.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
1
6.A.1. Campos.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
Introducción. Concepto de campo.
Campo:función que depende de la posición.
T(x,y,z)
h(x,y,z)
Foco calor
Campo escalar: temperatura.
Campo escalar: altitud.
r
v ( x, y, z )
Campo vectorial: velocidad líquido en tubería.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.1. Campos.
Líneas de campo:
- Las líneas de campo se dibujan tangentes al campo eléctrico.
r
E
q
q
Representación con vectores campo
Representación con líneas de campo
- Condición matemática tangencia:
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.1. Campos.
- El número de líneas de campo por unidad de superficie es proporcional al campo:
q
2q
- Las líneas de campo no pueden cruzarse...
r
E1
r
E2
... ya que en ese caso tendríamos dos valores del
campo en un mismo punto
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.2. Gradiente.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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6.A.2. Gradiente.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Gradiente:
- En 1D el cambio de una función lo determinamos con la derivada:
f
dx
df
x
- Si tenemos una función T(x,y,z) (un campo escalar):
Desplazamiento
Gradiente de T
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.2. Gradiente.
- Interpretación geométrica:
r
∇T
θ
- Cuanto mayor sea
r
dl
r
| ∇T | más variará la función
- Si θ=0 el aumento es
máximo
- Si θ=90 no hay variación
La dirección del gradiente
coincide con la del aumento
máximo de la función.
- Ejemplo: Esquiador en lo alto de una cadena montañosa.
r
v1
r
∇h
r
v2
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.2. Gradiente.
- Ejemplo: Gradiente de la función T=1/r.
T=8
r
∇T
En la dirección perpendicular al gradiente no hay cambio.
T=4
T=2
T=1
8
6.A.2. Gradiente.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- El operador gradiente:
Operador gradiente
r
∇
T
r
∇
es un operador hambriento de funciones.
- Teorema:
b
r
∇T
r
dl
G
( Análogo en 3D de:
)
a
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.3. Divergencia.
- Flujo:
Agua
r
v
r
n
A1
(¡Flujo de agua!)
r
n
A2
θ
h1 θ h
2
r
v
a
r
dA
r
n
r
v
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6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Divergencia:
- La divergencia actúa sobre un vector y devuelve un escalar.
- Regla mnemotécnica: es como si multiplicáramos escalarmente dos vectores:
- T. de Gauss:
Superficie cerrada
r
dA
τ
Flujo de v a través de A
Interpretación de la divergencia:
volumen.
rr
∇v es el flujo por unidad de
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.3. Divergencia.
- Ejemplo:
3
2
1.5
2
1
0.5
ִ
ִ
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-3
-3
-1.5
-2
-1
0
1
2
-2
-2
3

-1
0
1

2
- Ejemplo:
2.5
1.5
2
1
1.5
1
0.5
ִ
ִ
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
-2
-2.5
-2
-1
0
1

2
3
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5

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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.3. Divergencia.
- Ejemplo:
3
2
1.5
2
1
0.5
ִ
ִ
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-3
-3
-1.5
-2
-1
0
1
2
-2
-2
3
-1
0
1


2
- Ejemplo:
2
1
1
ִ
ִ
0.5
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-2
-3
-1
0
1
2

-2
-1
0

1
2
3
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.3. Divergencia.
- Visión intuitiva del T. de Gauss:
- Descomponemos el volumen τ en volúmenes muy pequeños.
- La divergencia da el flujo que sale de cada elemento de
volumen.
τ
- Consideramos el flujo a través de la
superficie común de dos cubos
contiguos:
r
dA2
1
r
v r
dA1
2
- Cuando sumamos el flujo de todos los cubos, la contribución al flujo de las caras comunes se
anula, y sólo queda el flujo a través de la superficie exterior.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
- Circulación:
- Imaginemos que tenemos un líquido que se está moviendo arbitrariamente.
Líquido
congelado
- Congelamos instantáneamente todo el líquido
salvo un tubo. Si la velocidad del líquido está
organizada de modo coherente en el tubo, existe
una circulación de líquido por el tubo.
Líquido
r
v r
r dl
vt
r
v
r
vt r
dl
- Matemáticamente se define la circulación a lo
largo de una trayectoria G como:
r
v t dlr
Γ
(se suma la componente tangencial del campo a
lo largo de la trayectoria)
r
v
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
- Rotacional:
- T. de Stokes.
r
A
Γ
r
dl
r
dl
- El rotacional da la circulación por unidad de superficie.
- Si v es un campo de velocidades, como en un fluido, el
rotacional de v es distinto de cero en los ptos. en los que, si
dejáramos una hoja, ésta giraría.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
- Ejemplo:
3
2
1.5
2
1
0.5
ִ
ִ
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-3
-3
-1.5
-2
-1
0
1
2
-2
-2
3
-1
0
1


2
- Ejemplo:
2.5
1.5
2
1
1.5
1
0.5
ִ
ִ
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
-2
-2.5
-2
-1
0
1

2
3
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5

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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
- Ejemplo:
3
2
1.5
2
1
0.5
ִ
ִ
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-1.5
-3
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-2
3

-1
0

1
2
- Ejemplo:
2
1
1
ִ
ִ
0.5
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-2
-3
-1
0
1
2

-2
-1
0

1
2
3
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A.4. Rotacional.
- Interpretación intuitiva del T. de Stokes:
- Descomponemos la superficie en elementos muy
pequeños.
- El rotacional da la circulación en cada lazo .
- Consideramos la circulación en el
segmento común de dos lazos
contiguos:
1
r
vt
r
dl 1
r
v
r 2
dl 2
- Cuando sumamos la circulación de todos los lazos, la contribución a la circulación de los
lados comunes se anula, y sólo queda la circulación a través del lazo exterior.
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