Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Integración aproximada: Regla del trapecio
Algunas veces no es nada sencillo calcular la antiderivada de una función dada. En esos casos es
mejor hacer una aproximación al valor del área debajo de la curva utilizando métodos numéricos
ampliamente conocidos.
La regla del trapecio consiste utilizar trapecios en lugar de rectángulos al hacer la aproximación
del área bajo la curva.
En la sección ?? hicimos la primera aproximación del valor del área bajo la parábola y = x2 desde
x = 0 hasta x = 1.
Ahora vamos a hacer la misma aproximación usando trapecios.
y = x2
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Ahora, la comparación de las aproximaciones al área bajo la curva usando rectángulos por un
lado y trapecios por otro, se muestra enseguida:
Usando rectángulos:
Usando trapecios:
i
Ain f
Asup
i
dA
1
2
3
4
5
0.0
0.0080
0.032
0.072
0.128
0.0080
0.032
0.072
0.128
0.2
1
2
3
4
5
0.0040
0.02
0.052
0.1
0.164
Totales:
0.24
0.44
Totales:
0.34
Solo para ver la diferencia, recuerda que el área bajo la curva es exactamente de 1/3.
Si comparas esta gráfica con la de la página ??, donde utilizamos rectángulos en lugar de trapecios,
verás por qué esta nueva aproximación es mucho mejor: los trapecios se acercan mucho mejor a
la curva que los rectángulos.
Esa es la idea que está detrás de la regla del trapecio.
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Calcula el área bajo la curva de la función:
f (x) = √
1
2π
e− x
2 /2
Ejemplo 1
desde x = 0 hasta x = 1.
• Geométricamente, tenemos que calcular la siguiente área:
y
0.5
y= √
0.25
1
2π
e− x
2 /2
x
0
0.5
1
2
1.5
• Si intentamos calcular la antiderivada para aplicar el teorema fundamental del cálculo tendremos serias dificultades.
• En términos de integral definida, el problema se puede pronunciar como:
Calcular:
√
Comentario
1
2π
Z1
e− x
2 /2
dx
0
• Calcular la antiderivada de esta función es posible a través de métodos de cálculo avanzado.
• Así que lo más recomendable por ahora es hacer una aproximación.
• Podemos hacer una primera aproximación ocupando rectángulos como hicimos en la sección
?? (página ??).
• Pero podemos mejorar la solución si en lugar de dibujar rectángulos en su lugar utilizamos
trapecios como se muestra enseguida:
y
0.5
y= √
0.25
1
2π
e− x
2 /2
x
0
0.5
1
• Usando dos trapecios en el intervalo obtenemos los siguientes resultados:
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i
dA
1
2
0.18775
0.14851
Total:
0.33626
• Igual, podemos aumentar el número de particiones y comparar los resultados.
• Vamos a utilizar n = 5 para hacer la comparación con la aproximación anterior (n = 2).
y
0.4
y= √
0.3
1
2π
e− x
2 /2
0.2
0.1
x
0
0.5
1
• Y las áreas de cada una de las particiones es:
i
dA
1
2
3
4
5
0.079
0.07593
0.07015
0.06229
0.05317
Total:
0.34054
• Si ahora hacemos n = 25 obtenemos una muy buena aproximación al valor real:
y
0.4
y= √
0.3
1
2π
e− x
2 /2
0.2
0.1
x
0
0.5
1
• En la siguiente tabla se muestran las áreas de cada trapecio dibujado en la gráfica anterior.
i
dA
1
2
3
4
5
0.01595
0.01593
0.01588
0.0158
0.0157
i
6
7
8
9
10
dA
0.01557
0.01542
0.01525
0.01506
0.01484
i
11
12
13
14
15
dA
0.01461
0.01435
0.01408
0.01379
0.01349
i
16
17
18
19
20
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dA
0.01317
0.01283
0.01249
0.01213
0.01177
i
21
22
23
24
25
dA
0.0114
0.01102
0.01064
0.01026
0.00987
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• Y la aproximación del área bajo la curva en este caso es: 0.34131 unidades de área.
Utiliza la regla del trapecio para aproximar la integral definida:
Z1
Ejemplo 2
2
e x dx
−1
• El cálculo de esta integral de manera analíica es imposible por los métodos que hemos
estudiado.
• Así que empezamos definiendo n = 10:
y
y = ex
2.5
2
2
1.5
1
0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
i
dA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.46148
0.33298
0.26068
0.22143
0.20408
0.20408
0.22143
0.26068
0.33298
0.46148
Total:
2.96131
x
• Y haciendo n = 20, obtenemos:
y
y = ex
2.5
2
2
1.5
1
0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
x
• Y el valor de esta aproximación es: 2.93435 unidades de área.
• El valor del área buscada (correcto a 8 decimales) es de 2.925303492 unidades de área.
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Observa que para calcular el área dA de un trapecio utilizamos la fórmula:
f ( xi ) + f ( xi + ∆x )
dA =
· ∆x
2
y para calcular la aproximación del área debajo de la curva usando trapecios en lugar de rectángulos ocupamos la sumatoria de todas las áreas de los n trapecios que hemos dibujado debajo de
la curva:
Zb
n f ( xi ) + f ( xi + ∆x )
· ∆x
f ( x ) dx ≈ ∑
2
i =1
a
donde ∆x = (b − a)/n.
Si definimos: xi+1 = xi + ∆x, podemos reescribir la expresión anterior de la siguiente forma:
Zb
n
f ( x ) dx
≈
a
=
=
=
=
f ( xi ) + f ( xi + ∆x )
· ∆x
∑
2
i =1
n f ( x i ) + f ( x i +1 )
· ∆x
∑
2
i =1
∆x
· ([ f ( x1 ) + f ( x2 )] + [ f ( x2 ) + f ( x3 )] + · · · + [ f ( xn−1 ) + f ( xn )])
2
∆x
· [ f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + · · · + 2 f ( xn−1 ) + f ( xn )]
2
f ( x1 ) + f ( x n )
(∆x ) · ( f ( x2 ) + f ( x3 ) + · + f ( xn−1 )) + (∆x ) ·
2
Mucho software computacional que se utiliza para calcular integrales utiliza algún método como
el que se acaba de explicar.
La computadora es programada para realizar los cálculos. El usuario solamente debe indicar el
número de intervalos que desea utilizar.
Utiliza la regla trapezoidal para aproximar:
Z2
Ejemplo 3
1
dx
x
haciendo n = 10.
• Nosotros haremos n = 10, luego:
∆x =
2−1
= 0.1
10
• De acuerdo a la regla trapezoidal, tenemos:
Zb
f ( x ) dx
≈
a
=
f ( x1 ) + f ( x n )
(∆x ) · ( f ( x2 ) + f ( x3 ) + · + f ( xn−1 )) + (∆x ) ·
2
f (1) + f (2)
(0.1) [ f (1.1) + f (1.2) + · · · + f (1.9)] + (0.1)
2
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• En este caso particular, f ( x ) = 1/x, así que:
Z2
1
dx
x
≈
=
f (1) + f (2)
(0.1) [ f (1.1) + f (1.2) + · · · + f (1.9)] + (0.1)
2
1
1
1
1 + 0.5
(0.1)
+
+···+
+ (0.1)
1.1 1.2
1.9
2
(0.1)(6.187714032) + (0.1)(0.75)
=
= 0.6187714032 + 0.075 = 0.6937714032
• Nosotros ya sabemos que:
Z2
1
2
dx
= ln x = ln(2) − ln(1) ≈ ln 2 = 0.6931471806
x
1
• Así que hemos una aproximación correcta hasta 3 decimales.
• Representa geométricamente la aproximación que hemos calculado usando la regla del
trapecio en papel milimétrico.
Aplicando la regla del trapecio aproxima:
Ejemplo 4
Zπ
2
sin
√ x dx
0
• Geométricamente, tenemos que calcular el área sombreada en la siguiente gráfica:
y
1.0
0.8
0.6
y = sin
√ x
0.4
0.2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Observa que el integrando se hace cero exactamente en π 2 :
√ sin
π 2 = sin π = 0
• Empezamos la primera aproximación haciendo n = 10.
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• Entonces, ∆x = 0.1 π 2 , y sustituyendo en la regla del trapecio obtenemos:
Zπ
2
√ sin
x dx
≈ ( f ( x2 ) + f ( x3 ) + · + f ( xn−1 )) +
0
=
√
sin
0.2 π 2 + · · · + sin
√
f ( x1 ) + f ( x n )
2
sin(0.1 π 2 ) + sin(π 2 )
0.9 π 2 +
2
= 6.0706 unidades de área.
• Si usamos n = 20 obtenemos una mejor aproximación: 6.20862 unidades de área.
• Por otra parte, para n = 50 obtenemos: 6.26451 unidades de área.
• El área buscada es exactamente: 2 π ≈ 6.283185307 unidades cuadradas.
Utiliza la regla del trapecio para aproximar:
Zπ
0
Ejemplo 5
sin x
dx
x
• Geométricamente, tenemos:
y
1.0
0.8
0.6
y=
sin x
x
0.4
0.2
x
0
1
2
3
• Observa que el integrando no está definido para x = 0.
• Pero eso no es problema, porque podemos acercarnos tanto como queramos a x = 0, pero
sin llegar a cero.
• Podemos, por ejemplo, empezar desde x = 0.0001 y el error cometido al hacer la aproximación es muy pequeño, además de que el integrando sí está definido en ese punto.
• Empezamos haciendo n = 10, con lo que obtenemos la primera aproximación: 1.84921
unidades de árera.
• Para n = 20 obtenemos: 1.85118 unidades de área.
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• Para n = 50 obtenemos: 1.85173 unidades de área.
• El valor aproximado de esta integral definida es: 1.851837052 unidades de área.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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