Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Área bajo una curva
Nosotros conocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas.
Por ejemplo, para calcular el área A de un triángulo con base b y altura h, usamos la fórmula:
A=
b·h
2
Pero no sabemos cómo calcular el área que hay entre la parábola y = x2 , el eje x y las rectas
verticales x = 0 y x = 1.
y = x2
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
Sin embargo, podemos aproximar el valor de esta área si vamos seccionando el
intervalo (0, 1) y dibujamos rectángulos con altura igual a la ordenada yi = xi2 .
Para esto tenemos dos opciones, bien dibujamos los rectángulos de manera que una parte del
mismo quede por encima de la parábola, bien los dibujamos de manera que una parte quede por
debajo de la parábola.
La aproximación que hagamos tendrá, en el primer caso un error por exceso, es decir, será mayor
al valor del área que buscamos. En el segundo caso el área aproximada será un poco menor al
área debajo de la parábola.
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y = x2
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
Podemos calcular el área de cada rectángulo que queda por encima de la parábola y de los que
quedan por debajo y ordenar esta información en una tabla:
i
Ain f
Asup
1
2
3
4
5
0.0
0.0080
0.032
0.072
0.128
0.0080
0.032
0.072
0.128
0.2
Totales:
0.24
0.44
El tamaño del error dependerá de la cantidad de rectángulos que dibujemos para hacer la aproximación. A mayor cantidad de rectángulos, las regiones de cada rectángulo que queden por encima
o por debajo serán cada vez más pequeños que la suma de todos esos errores será despreciable:
y
y = x2
1
y
y = x2
1
1
x
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1
x
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y
y = x2
y
1
y = x2
1
1
y
x
1
y = x2
y
1
x
y = x2
1
1
x
1
x
En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos para diferente número de rectángulos
(n) en el intervalo (0,1):
n
Totales:
Ain f
Asup
10
20
30
40
50
100
0.285
0.309
0.317
0.321
0.323
0.328
0.385
0.359
0.350
0.346
0.343
0.388
De la tabla se hace evidente que el área tiende a un número A que satisface:
0.328 ≤ A ≤ 0.388
Si dibujamos más rectángulos obtendremos una mejor aproximación.
Entonces, si encontramos el límite de la suma de las áreas de todos los rectángulos que dibujamos
bajo la curva cuando el número de rectángulos tiende a infinito, debemos obtener el área bajo la
curva y = f ( x ) desde desde x = a hasta x = b. Es decir,
n
b−a
A = lim ∑ f ( xi )
n→∞
n
i =1
representa el área que buscamos.
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Observa que la base del rectángulo mide ∆x = (b − a)/n porque hemos decidido hacer n particiones del mismo tamaño todas y que la altura del rectángulo puede ser calculada utilizando la
función: f ( xi ).
y = x2
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
f ( xi )
0.3
0.2
0.1
−0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
∆x
Cuando el número de particiones (n) crece, el error que se comete al aproximar el área bajo la
curva con el área del rectángulo, cada vez es más pequeño y cuando n tiende a infinito, ∆x tiende
a cero. Debido a esto decimos que el área bajo la curva es:
n
A = lim
n→∞
∑ f ( xi )
i =1
b−a
n
Calcula el área bajo la parábola y = x2 en el intervalo (0, 1) usando el límite:
n
Ejemplo 1
A = lim
n→∞
∑
xi2
i =1
• Por definición:
n
A = lim
n→∞
∑
i =1
1
n
xi2
1−0
n
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• Primero haremos la suma y después vamos a calcular el límite cuando n tiende a infinito.
n
∑ xi2
i =1
1
n
=
=
=
2 2 2
1
1
1
2
1
3
1
n 2
+
+
+···+
n
n
n
n
n
n
n
n
h
i
1
12 + 22 + 32 + · · · + n2
n3
n
1
i2
n3 i∑
=1
• Pero ya habíamos mencionado que:
n
∑ i2 =
i =1
n (n + 1)(2 n + 1)
6
• Entonces, podemos sustituir esto y obtener:
n
lim
n→∞
∑
i =1
xi2
1
n
=
=
lim
n→∞
lim
n→∞
n
(n + 1)(2 n + 1)
∑ i = nlim
→∞
6 n2
i =1
!
1
2 n2 + 3 n + 1
1
1
1
= lim
+
+
=
2
2
n
→
∞
3 2n 6n
3
6n
1
n3
2
• Entonces, el área bajo la parábola y = x2 desde x = 0 hasta x = 1 es 1/3 exactamente.
Este mismo procedimiento es el que realmente hacemos cuando calculamos la integral definida,
pues esta es la forma como se define.
Observa que de acuerdo a la tabla dada en la página 3, 1/3 siempre cumple: Ain f < 1/3 < Asup ,
como era de esperar.
Diferencial de área
Si consideramos un par rectángulos con base común que usamos para aproximar el área bajo la
curva, vemos que la base es ∆x, la altura del rectángulo de mayor área es f ( xi + ∆x ) y la altura
del otro es f ( xi ).
El área bajo la curva es mayor que el área del rectángulo que queda por debajo de la curva y a su
vez menor que el área del rectángulo que queda por encima. Algebraicamente:
(∆x ) · f ( x ) ≤ ∆A ≤ (∆x ) · f ( x + ∆x )
Al dividir la desigualdad entre ∆x, obtenemos:
f (x) ≤
∆A
≤ f ( x + ∆x )
∆x
Si hacemos que ∆x tienda a cero, obtenemos que la derivada de la función que calcula el área
debajo de la función y = f ( x ) es igual a f ( x ):
f (x) ≤
dA
≤ f (x)
dx
⇒
dA
= f (x)
dx
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En palabras, la derivada de la función que da el área bajo la gráfica de la función y = f ( x ) y por
encima del eje x, es igual a la función y = f ( x ). Esto es, si queremos calcular el área debajo de la
curva de una función dada, tenemos que integrarla, dado que la operación inversa de derivar es
integrar.
Y esta integral está definida por el límite:
n
lim
n→∞
∑ f ( xi )
i =1
b−a
n
=
Zb
f ( x ) dx
a
que incluye información acerca de los límites de integración, es decir, en qué intervalo queremos
calcular el área bajo la curva, por eso se llama integral definida.
R
De hecho, el símbolo de integración representa una “S” estirada, para representar la suma de las
áreas de los rectángulos que se dibujan (mentalmente) cuando hacemos que n tienda a infinito.
Así que para calcular áreas vamos a utilizar las mismas reglas de integración que hemos estado
utilizando hasta ahora.
Integral definida
La integral definida de la función contínua y = f ( x ) desde a hasta b,
Zb
Definición
1
n
f ( x ) dx = lim
n→∞
a
∑
f ( xi )
i =1
b−a
n
representa el área bajo la curva y = f ( x ), el eje x y las rectas x = a y x = b, supuesto que f ( x ) > 0 en
el intervalo ( a, b).
Ejemplo 2
Calcula el área bajo la curva y = x2 y sobre el eje x en el intervalo (0, 1).
• Calculamos la integral:
Z1
1
x3 x dx =
3
2
0
0
• Ahora hacemos la evaluación.
• Primero evaluamos el límite de integración superior y después el límite inferior:
1
x3 13
03
1
−
=
=
3
3
3
3
0
• Entonces, el área bajo la curva y = x2 desde x = 0 hasta x = 1 es igual a 1/3.
• Compara este resultado con los resultados que se muestran en las tablas anteriores.
Ahora, para calcular la integral definida vamos a utilizar las reglas de integración inmediata.
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Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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