RESUMEN_Deducción de las leyes de reflexión y

18/08/2016
Deducción de las leyes de reflexión y refracción
Imagen de un objeto puntual: refracción en una
superficie esférica
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Deducción de las leyes de reflexión y refracción
Mucho antes de que Maxwell desarrollara su teoría de las ondas
electromagnéticas, la propagación de la luz y otras ondas fue descrita
empíricamente por dos principios interesantes y muy distintos atribuidos al físico
holandés Christian Huygens (1629-1695) y al matemático francés Pierre de Fermat
(1601-1665)
Principio de Huygens
Cada punto de un frente de onda primario sirve como foco (o fuente) de ondas
esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la
onda primaria. El frente de onda primario al cabo de un cierto tiempo es la
envolvente de estas ondas elementales.
Principio de Fermat
La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro es aquella para la
cual el tiempo de recorrido es un mínimo. O lo que es mismo, la luz tiende a recorrer
el camino óptico por el que tarda el mínimo tiempo.
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Deducción de las leyes de reflexión y refracción
Las leyes de reflexión y refracción pueden deducirse mediante el principio de
Huygens o mediante el principio de Fermat.
B
Principio de Huygens
Cada punto de un frente de onda primario sirve
como foco (o fuente) de ondas esféricas
secundarias que avanzan con una velocidad y
frecuencia igual a las de la onda primaria. El
frente de onda primario al cabo de un cierto
tiempo es la envolvente de estas ondas
elementales.
A
A’
B’
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Para deducir la ley de reflexión a partir del principio de Huygens, consideremos
una onda plana que se acerca a una superficie reflectante plana.
onda plana reflejada en un espejo plano
ƒ el frente de onda A´ incide inicialmente en
el espejo en el punto A
ƒel efecto de la superficie reflectante consiste
en cambiar la dirección de propagación de
las ondas secundarias que inciden en ella
ƒdespués de un tiempo t, la onda secundaria
de Huygens procedente del punto P incide
en el espejo en el punto B y la de A alcanza
el punto B"
ƒlos triángulos APB y BB"A son congruentes
AB
AB" = BP = ct
ley de reflexión
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La ley de refracción se deduce con un procedimiento similar.
onda plana que incide sobre una
superficie plana aire-vidrio
ley de Snell
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La propagación de la luz se puede también describir por el principio de Fermat.
Principio de Fermat
La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro es
aquella para la cual el tiempo de recorrido es un mínimo. O lo que es
mismo, la luz tiende a recorrer el camino óptico por el que tarda el
mínimo tiempo.
El camino óptico, definido como el espacio en el que la luz emplea menos
tiempo en su recorrido, no siempre coincide con el de menor distancia.
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Construcción geométrica para la deducción de la ley de la reflexión a
partir del principio de Fermat
¿En qué punto P de la figura debe incidir la luz sobre el espejo de forma que el recorrido entre los puntos A y B se realice en el menor tiempo posible?
ƒ la luz se mueve dentro del mismo medio
ƒ el tiempo será mínimo cuando la distancia sea
mínima
LA'PB = LAPB
LA'PB = mínima ⇒
ley de reflexión
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Construcción geométrica para la obtención de la ley de la refracción
a partir del principio de Fermat
ƒ trayectos posibles para que la luz se
propague desde le punto A en el aire
hasta el punto B en el vidrio
ƒ AP1B ≠ menor tiempo de recorrido
ƒ APminB = mínimo tiempo
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L 1 , n1 , L2 , n2
En función de la distancia x:
y
Puede verse la curva del tiempo en función de x. Para el valor de x en que el
tiempo es mínimo, la pendiente de esta curva es cero:
Derivando respecto a x e igualando el resultado a cero:
Calculando tenemos:
o
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Pero x/L1 es precisamente el senθ1 el ángulo de incidencia. Por lo tanto,
senθ1
Análogamente,
o bien
senθ2
De aquí que la ecuación
Sustituyendo obtenemos,
donde θ2 es el ángulo de refracción
se pueda escribir:
senθ1
senθ1
-senθ2
senθ2
ley de refracción o ley de Snell
El tiempo es un mínimo en el punto en que los ángulos de incidencia y de
refracción obedecen la ley de Snell.
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Reflexión total
total interna
interna
Reflexión
En ciertas circunstancias, toda la luz se puede reflejar en la interfase, sin que se
transmita nada de ella, aún si el segundo material es transparente. Esta situación,
llamada reflexión total interna, sólo ocurre cuando un rayo incide sobre la
interfase con un segundo material cuyo índice de refracción es menor que el del
material.
senθ1
senθ2
n 1 / n2 > 1
θ2 = 90°
sen θ2 = 1
sen θcrit = (n2 / n1)
ángulo crítico para la reflexión total interna
θi > θc ⇒ TIR
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Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie
esférica
Convención de signos
s: posición del objeto (positiva en el espacio objeto, negativa en el espacio imagen)
s’: posición de la imagen (positiva en el espacio imagen, negativa en el espacio objeto)
y,y’: alturas del objeto y de la imagen (positivas hacia arriba)
R: radio de curvatura (positivo si en centro de curvatura C está en el espacio imagen)
f, f’: distancias focales objeto e imagen (la misma convención de signos que s y s’)
n, n’: índices de refracción del espacio objeto e imagen, respectivamente
φ: potencia de la dioptra (positiva implica dioptra convergente; negativa para dioptra
divergente)
m, aumento lateral
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Tenemos una superficie esférica de radio R que forma una interfaz entre dos
materiales con índices de refracción diferentes na y nb. La superficie forma una
imagen P‘ de un punto de objeto P; nos proponemos averiguar cuál es la relación
entre las distancias de objeto y de imagen (s y s').
ƒ na < nb
ƒ R es positivo
ƒ rayo PV incide en el vértice V y es perpendicular a la superficie
ƒ rayo PB, que forma un ángulo α con el eje, incide a un ángulo θa con respecto a la normal,
y se refracta a un ángulo
ƒ estos rayos se intersecan en P', a una distancia s' a la derecha del vértice
ƒ probaremos que si el ángulo α es pequeño, todos los rayos provenientes de P se
intersecan en el mismo punto P', por lo que P' es la imagen real de P.
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Aplicamos el teorema según el cual el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los
dos ángulos internos opuestos; la aplicación de esto a los triángulos PBC y P'BC da lo
siguiente:
Según la ley de refracción,
Las tangentes de α, β y φ son
La sustitución de esto da,
Como aproximación del seno y de la tangente de φ,
Despreciando la pequeña distancia δ;
Combinando esto con la primera de las ecuaciones
Por último,
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