Problema palabra matematicas

EJERCICIO: Se colocan ( al azar) en línea las letras de la palabra “matemáticas”. ¿Cuál
es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? ¿Y por
dos vocales? ¿y la de que empiece por vocal y termine por consonante?
SOLUCIÓN:
a1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes?
Diagrama de árbol
Dentro de la palabra “MATEMÁTICAS” tenemos:
2
3
2
1
1
1
1
M
A
T
E
I
C
S
4
3
6
5
11
CONSONANTES DISTINTAS
VOCALES DISTINTAS
CONSONANTES TOTAL
VOCALES TOTAL
LETRAS TOTAL
Preparamos el diagrama de árbol para la elección de las dos primeras letras de todas las
posibles palabras. Se entiende que las palabras resultantes no tienen porque tener sentido
ortográfico ni semántico. Aleatoriamente escogeremos letras de las que componen la palabra
“matemáticas”. El problema plantea preguntas sobre las probabilidades del orden en que salgan
las letras atendiendo a si son vocales o consonantes. Por tanto:
ESCOGEMOS LA
ESCOGEMOS LA
PRIMERA LETRA
SEGUNDA LETRA
VOCAL
VOCALES TOTAL
VOCAL
VOCALES TOTAL
LETRAS TOTAL
LETRAS TOTAL
5
11
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
M,A,T,E,M,A,T,I,C,A,S
4
10
6
10
VOCAL
VOCALES TOTAL
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
LETRAS TOTAL
6
11
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
5
10
5
10
En la primera elección puede salirnos una vocal o una consonante. La probabilidad de cada
caso es el número de elementos del tipo buscado entre el total de los elementos existentes con
probabilidad de ser escogidos. En la segunda elección, para todos los casos queda un elemento
menos en el total (que será el escogido en la primera elección) y dependiendo del punto del
camino en el que nos encontremos tendremos un elemento menos de los buscados o no.
Por ejemplo: Para que salgan dos consonantes seguidas, la primera elección deberá ser una
consonante. La probabilidad de salir primero una consonante será 6 (número total de consonantes
dentro de la palabra “matemáticas”) entre 11 (número total de letras dentro de la palabra
“matemáticas”). La segunda elección deberá ser otra consonante. La probabilidad de salir en la
segunda elección una consonante será 5 (número total de consonantes dentro de la palabra
“matemáticas” menos la consonante que nos debería salir en la primera elección) entre 10
(número total de letras dentro de la palabra “matemáticas” menos la consonante que nos debería
salir en la primera elección).
REGLA NEMOTÉCNICA: “En probabilidad, cuando tenemos una Y multiplicamos. Cuando tenemos
una O sumamos”
¿Cuál es la probabilidad de que en la primera elección salga una consonante Y en la
segunda elección salga una consonante? La probabilidad de la primera elección POR la
probabilidad de la segunda elección.
6 5
30
3
⋅ =
= =0,2727
11 10 110 11
Es decir: un 27,27%
Se puede comprobar que hemos planteado bien el diagrama de árbol. Sabemos que la
suma de todas las probabilidades que dan lugar a un suceso debe de ser 1 (100 %). Según esto, la
probabilidad de que la primera letra escogida sea una consonante O una vocal es la suma de sus
probabilidades y deberá ser igual a 1 (100 %).
5
6 11
+ = =1
11 11 11
La suma de las probabilidades de todos los caminos posibles también debe ser 1 (100 %). Es
decir:
(
5 4
5 6
6 5
6 5
20
30
30
30 110
⋅ )+( ⋅ )+( ⋅ )+( ⋅ )=
+
+
+
=
=1
11 10
11 10
11 10
11 10 110 110 110 110 110
a2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes?
Ley de Laplace
Según Laplace “la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos
favorables al suceso y el número de casos posibles”.
P ( A)=
Casos favorables
Casos posibles
Los casos favorables será la suma de las combinaciones de cada una de las consonantes de
la palabra “matemáticas” con las otras consonantes. Como hay letras que se repiten, las
nombramos de forma distinta porque al haber más elementos de un tipo, éste tendrá más
probabilidades de ser escogido.
Si colocamos las 6 consonantes en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el
número total de casos favorables. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos
eliminarlas ya que no son posibles. Por ejemplo, la combinación CC no es posible ya que en la
palabra “matemáticas” solo tenemos una C. La MM tampoco es posible, pero MM2 si es viable y
esta es la razón por la que nombramos de manera distinta a los elementos que se repiten.
M
M
T
M2
T2
C
S
T
MT
TM
M2 M
T2 M
CM
SM
M2 T
T2 T
CT
ST
M2
M M2
T M2
T2
M T2
T T2
M2 T2
T2 M2
C M2
S M2
C
MC
TC
M2 C
T2 C
C T2
S T2
S
MS
TS
M2 S
T2 S
CS
SC
En la figura anterior tenemos 6 filas y 6 columnas. Es decir:
6⋅6=36 casos
Como no podemos combinar un elemento con él mismo, restamos los 6 casos sombreados
en la tabla:
36−6=30 casos favorables
Los casos posibles será la suma de las combinaciones de cada una de las letras de la palabra
“matemáticas” con las otras letras. Como hay letras que se repiten, las nombramos de forma
distinta porque al haber más elementos de un tipo, éste tendrá más probabilidades de ser
escogido.
Si colocamos las 11 letras en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el número
total de casos posibles. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya que
no son posibles.
M
M
A
T
E
M2
A2
T2
I
C
A3
S
AM
TM
EM
M2 M
A2 M
T2 M
IM
CM
A3 M
SM
A
MA
TA
EA
M2 A
A2 A
T2 A
IA
CA
A3 A
SA
T
MT
AT
ET
M2 T
A2 T
T2 T
IT
CT
A3 T
ST
E
ME
AE
TE
M2 E
A2 E
T2 E
IE
CE
A3 E
SE
M2
M M2
A M2
T M2
E M2
A2 M2
T2 M2
I M2
C M2
A3 M2
S M2
A2
M A2
A A2
T A2
E A2
M2 A2
T2 A2
I A2
C A2
A3 A2
S A2
T2
M T2
A T2
T T2
E T2
M2 T2
A2 T2
I T2
C T2
A3 T2
S T2
I
MI
AI
TI
EI
M2 I
A2 I
T2 I
CI
A3 I
SI
En la figura anterior tenemos 11 filas y 11 columnas. Es decir:
(11⋅11)−11=121−11=110 casos posibles
C
MC
AC
TC
EC
M2 C
A2 C
T2 C
IC
A3 C
SC
A3
M A3
A A3
T A3
E A3
M2 A3
A2 A3
T2 A3
I A3
C A3
S A3
S
MS
AS
TS
ES
M2 S
A2 S
T2 S
IS
CS
A3 S
Y según la ley de Laplace:
P ( A)=
Casos favorables 30
3
=
= =0,2727
Casos posibles
110 11
Es decir: un 27,27%
a3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes?
Ley de Laplace y Variaciones
*Variación con repetición:
VRn ,m =nm
Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras
que se pueden formar con n elementos combinando cada elemento también consigo mismo.
En nuestro ejemplo:
Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de 2 en 2 para dar las
combinaciones posibles de escoger dos consonantes seguidas.
VRn ,m =nm →VR6,2=62 =36 casos
El problema es que estamos obteniendo también las combinaciones de cada
elemento consigo mismo. Como se ha visto en el apartado anterior debemos
desestimar esas combinaciones porque no son posibles. Por esto debemos utilizar la
Variación SIN repetición.
*Variación sin repetición:
V n ,m=n (n−1)...(n−m+1)
Variaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras
que se pueden formar con n elementos sin combinar cada elemento consigo mismo.
En nuestro ejemplo:
Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de 2 en 2 para dar las
combinaciones posibles de escoger dos consonantes seguidas.
V n ,m=n (n−1)...(n−m+1) → V 6,2 =6(6−1)...(6−2+1)=6⋅5=30 casos
Otros ejemplos del cálculo de variación sin repetición:
V 6,3 =6⋅5⋅4=120
V 7,3 =7⋅6⋅5=210
V 7,4 =7⋅6⋅5⋅4=840
V 8,2 =8⋅7=56
Para la resolución de nuestro problema usaremos la Ley de Laplace colocando la variación
sin repetición de las 6 consonantes tomadas de 2 en dos que son los casos favorables. En el
denominador colocaremos los casos posibles que son la variación sin repetición de las 11 letras de
la palabra “matemáticas” tomadas de 2 en 2.
P ( A)=
Casos favorables V 6,2
6⋅5
30
3
=
=
=
= =0,2727
Casos posibles
V 11,2 11⋅10 110 11
Es decir: un 27,27%
b1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales?
Diagrama de árbol
Dentro de la palabra “MATEMÁTICAS” tenemos:
2
3
2
1
1
1
1
M
A
T
E
I
C
S
4
3
6
5
11
CONSONANTES DISTINTAS
VOCALES DISTINTAS
CONSONANTES TOTAL
VOCALES TOTAL
LETRAS TOTAL
Preparamos el diagrama de árbol igual que el que hemos usado para el caso de las
consonantes. En esta ocasión escogemos los caminos que nos llevan a la elección de 2 vocales
seguidas. Por tanto:
ESCOGEMOS LA
ESCOGEMOS LA
PRIMERA LETRA
SEGUNDA LETRA
VOCAL
VOCALES TOTAL
VOCAL
VOCALES TOTAL
LETRAS TOTAL
LETRAS TOTAL
5
11
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
M,A,T,E,M,A,T,I,C,A,S
VOCAL
VOCALES TOTAL
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
LETRAS TOTAL
6
11
CONSONANTE
CONSONANTES TOTAL
LETRAS TOTAL
4
10
6
10
5
10
5
10
Para que salgan dos vocales seguidas, la primera elección deberá ser una vocal. La
probabilidad de salir primero una vocal será 5 (número total de vocales dentro de la palabra
“matemáticas”) entre 11 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas”). La segunda
elección deberá ser otra vocal. La probabilidad de salir en la segunda elección una vocal será 4
(número total de vocales dentro de la palabra “matemáticas” menos la vocal que nos debería salir
en la primera elección) entre 10 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas” menos
la vocal que nos debería salir en la primera elección).
¿Cuál es la probabilidad de que en la primera elección salga una vocal Y en la segunda
elección salga una vocal? La probabilidad de la primera elección POR la probabilidad de la segunda
elección.
5 4
20
2
⋅ =
= =0,1818
11 10 110 11
Es decir: un 18,18%
b2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales?
Ley de Laplace
P ( A)=
Casos favorables
Casos posibles
Si colocamos las 5 vocales en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el número
total de casos favorables. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya
que no son posibles.
A
A
E
A2
I
A3
EA
A2 A
IA
A3 A
E
AE
A2 E
IE
A3 E
A2
A A2
E A2
I A2
A3 A2
I
AI
EI
A2 I
A3
A A3
E A3
A2 A3
I A3
A3 I
En la figura anterior tenemos 5 filas y 5 columnas. Es decir:
5⋅5=25 casos
Como no podemos combinar un elemento con él mismo, restamos los 6 casos sombreados
en la tabla:
25−5=20 casos favorables
Colocamos las 11 letras en una fila y en una columna como en el apartado a, fácilmente
podemos ver el número total de casos posibles. Las combinaciones de una letra con ella misma
debemos eliminarlas ya que no son posibles.
M
M
A
T
E
M2
A2
T2
I
C
A3
S
AM
TM
EM
M2 M
A2 M
T2 M
IM
CM
A3 M
SM
A
MA
TA
EA
M2 A
A2 A
T2 A
IA
CA
A3 A
SA
T
MT
AT
ET
M2 T
A2 T
T2 T
IT
CT
A3 T
ST
E
ME
AE
TE
M2 E
A2 E
T2 E
IE
CE
A3 E
SE
M2
M M2
A M2
T M2
E M2
A2 M2
T2 M2
I M2
C M2
A3 M2
S M2
A2
M A2
A A2
T A2
E A2
M2 A2
T2 A2
I A2
C A2
A3 A2
S A2
T2
M T2
A T2
T T2
E T2
M2 T2
A2 T2
I T2
C T2
A3 T2
S T2
I
MI
AI
TI
EI
M2 I
A2 I
T2 I
CI
A3 I
SI
C
MC
AC
TC
EC
M2 C
A2 C
T2 C
IC
A3 C
SC
A3
M A3
A A3
T A3
E A3
M2 A3
A2 A3
T2 A3
I A3
C A3
S
MS
AS
TS
ES
M2 S
A2 S
T2 S
IS
CS
A3 S
S A3
En la figura anterior tenemos 11 filas y 11 columnas. Es decir:
(11⋅11)−11=121−11=110 casos posibles
Y según la ley de Laplace:
P ( A)=
Casos favorables 20
2
=
= =0,1818
Casos posibles
110 11
Es decir: un 18,18%
b3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales?
Ley de Laplace y Variaciones
P ( A)=
Es decir: un 18,18%
Casos favorables V 5,2
5⋅4
20 2
=
=
=
= =0,1818
Casos posibles
V 11,2 11⋅10 110 11
c1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por vocal y termine por
consonante?
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol necesario para llegar hasta la última elección de las 11 posibles letras
de la palabra “matemáticas” tendría 2048 posibilidades en la columna 11. Esto hace poco viable
resolver la cuestión que nos plantean por este método. Pero, ¿podemos resolverlo sin hacer el
diagrama de árbol? ¿Depende la probabilidad de que la letra se escoja al principio o al final de la
palabra? Vamos a verlo con una palabra más sencilla, de 4 letras, por ejemplo la palabra “casa”.
Dentro de la palabra “CASA” tenemos:
1 C
2 A
1 S
2
1
2
2
4
1ª
LETRA
CONSONANTES DISTINTAS
VOCALES DISTINTAS
CONSONANTES TOTAL
VOCALES TOTAL
LETRAS TOTAL
2ª
3ª
LETRA
LETRA
4ª
LETRA
V
VOCS
V
VOCS
LETRAS
LETRAS
X
2
C
CONS
V
VOCS
LETRAS
V
VOCS
LETRAS
LETRAS
1
3
2
4
V
VOCS
C
CONS
LETRAS
C,A,S,A
LETRAS
2
2
C
CONS
LETRAS
V
VOCS
V
VOCS
LETRAS
LETRAS
1
2
C
CONS
C
CONS
LETRAS
LETRAS
2
3
X
1
X
1
1
1
X
1
1
1
V
VOCS
COMO BUSCAMOS LA PROBABILIDAD DE
COMENZAR POR VOCAL DESHECHAMOS
EL CAMINO DE COMENZAR POR
CONSONANTE
X
1
C
CONS
LETRAS
LETRAS
1
2
C
CONS
LETRAS
1
1
X
1
Aparecen 2 caminos posibles para comenzar por vocal y terminar por consonante.
Multiplicamos las probabilidades de cada camino y luego sumamos las 2.
2 1 2 1
2 2 1 1
4
4
8 1
( ⋅ ⋅ ⋅ )+( ⋅ ⋅ ⋅ )=( )+( )= = =0,3333
4 3 2 1
4 3 2 1
24
24 24 3
Ley de Laplace y Variaciones para el ejemplo de la palabra CASA
Para los casos favorables tenemos 2 vocales tomadas de una en una y 2 consonantes
tomadas de una en una. Sumamos la variaciones. En los casos posibles tenemos 4 letras tomadas
de 2 en 2.
P ( A)=
Casos favorables V 2,1+V 2,1 2+2 4 1
=
=
= = =0,3333
Casos posibles
V 11,2
4⋅3 12 3
Es decir: un 33,33%
Análogamente, para la palabra “MATEMATICAS”:
Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de una en una y 5 vocales
tomadas de una en una. Sumamos la variaciones. En los casos posibles tenemos 11 letras tomadas
de 2 en 2.
P ( A)=
Casos favorables V 6,1 +V 5,1 6+5
11
1
=
=
=
= =0,10
Casos posibles
V 11,2
11⋅10 110 10
Es decir: un 10,00%