1. Resolución. Lista I OI. Cuestiones preliminares.

1. Resolución. Lista I OI. Cuestiones preliminares.
1. (Cabral, p.24) Demuestre que  = 1 + ( ), siendo  el índice de Herfindahl,
 el número de empresas y  ( ) la varianza de las cuotas de mercado.
Resolución:
 ( ) =
_
donde  =
_

X
( − )2
=1
P

=1 


=
1

Entonces:

X
1 2
1
2
)=+ −
(2 + ( )2 −
 ( ) =


 
=1
Despejando  tenemos
1

2. (Cabral, p.23) Considere estos tres requisitos sobre índices de concentración.
a-Transferencias: Esa medida debe aumentar cuando crece la cuota de mercado de una empresa grande a costa de una pequeña.
b-Monótona en el número de empresas. Si las  empresas de la industria
tuviesen cuotas de mercado iguales, entonces la medida debe decrecer al aumentar
.
c-Cardinalidad: Si se dividiese cada empresa en  empresas iguales, esa medida
debería decrecer en la misma proporción.
Compruebe si los índices  ,  y el índice de desviación típica de las cuotas
de mercado ( ) cumplen estas condiciones.
Resolución:
a)  no lo cumple. Supogamos un mercado con cuotas 1 = 05, 2 = 03 y
3 = 02. El 2 = 08. Pasemos cuota de la segunda empresa a la primera y nos
queda 01 = 055, 02 = 025 y 03 = 02. No obstante el 2 no ha variado.
Fijado ,   y  se mueven en la misma dirección por el problema anterior.
Por lo tanto, si lo probamos para , lo habremos demostrado también para   .
Supogamos que dos mercados son iguales excepto que en el primero las empresas  y  tienen cuotas  y  respectivamente, mientras que en el segundo tienen
 =  ( ) +
cuotas  +  y  − . Tenemos que    y   0. Si se cumple el principio de
transferencia, el índice de Herfindahl tiene que ser mayor en el segundo mercado.
La diferencia entre los índices del segundo y primer mercado es:
∆ = ( + )2 + ( − )2 − 2 − 2 = 2( + ( −  ))  0
b) Para responder a esa pregunta, vamos a calcular los índices para el caso de
empresas iguales:

 = (decreciente)

1
 = (decreciente)

_
1
  = 0 ya que  =  = . No lo cumple.

c) En un mercado el índice de Herfindahl es . Si dividimos cada empresa en
 empresas iguales el índice de Herfindahl vale:
 =

X
=1

1X 2 1
( )2 =
( ) = .

 =1


r En el mercado con índice de Herfindahl , la desviación típica vale  =
 − 1
. Si dividimos cada empresa en  empresas iguales, la desviación típica

vale:
s
1
1
 − 
1
 = 
= 


 no lo cumple. Supogamos un mercado con cuotas 1 = 06, 2 = 04. El
2 = 1. Dividamos cada empresa en dos empresas iguales. En este caso tendremos
las cuotas: 01 = 03, 02 = 03, 03 = 02 y 04 = 02. El 2 = 06. No cumple el
principio porque el índice no se ha reducido a la mitad.
3. Suponga que la demanda de mercado viene dada por:
1
 () =  (−  )
  1
y el coste unitario de producción por . Halle el bienestar social dado un nivel de
producción  . ¿Cuál es el nivel de producción que maximiza el bienestar social
?
Resolución:
2
W(X ) el bienestar social es la suma del excedente del consumidor y los beneficios. El excedente del consumidor incluye la valoración que hacen los consumidores
de la cantidad consumida, que es el área por debajo de la demanda, menos lo que
pagan PX . Los beneficios incluyen los ingresos menos los costes. PX .-cX . Los
términos con el precio se cancelan y, en definitiva, el bienestar social es la valoración que hacen los consumidores del bien que consumen menos lo que cuesta
producirlo.
 ( ) =
Z
0

1
 (−  )  − 0 =
(− 1
1
0
 1−1 e
0 −  =
+ 1)
1−1

− 
− 1 + 1
Para maximizar el bienestar tenemos:
1
 0 ( ) =  (−  ) −  = 0
En la producción que maximiza el bienestar, el precio se iguala al coste marginal.
3
2. Resolución. Lista II OI. Monopolio.
1. En el modelo de monopolio analizado en clase, halle el tipo impositvo () sobre
los beneficios que proporciona los mismos ingresos tributarios que un impuesto
unitario .
¿Cuál de los dos impuestos proporciona un bienestar social superior?
Nota: Con gobierno, el bienestar social es la suma del excedente de los consumidores, los beneficios y los ingresos tributarios del gobierno.
Resolución
Para saber el ingreso presupuestario con un impuesto unitario  hay que saber
cuánto producirá la empresa:
Π() = ( −  −  − )
Π
=  −  −  −  −  = 0

 −  −  = 2 
−−
2
Por lo tanto, el ingreso impositivo será de
¶
µ
−−

2
=
Para saber cuanto ingresa con un impuesto sobre los beneficios hay que ver
cómo se comporta la empresa. Veremos que un impuesto sobre los beneficios a
una tasa  no cambia la decisión óptima del monopolio.
Π() = (1 − )( −  − )
Π
= (1 − )( −  −  − ) = 0

−
 =
2
4
El beneficio después de impuestos es:
µ
¶
µ
¶
−
−
−
) = (1 − )( − 
− )
=
Π(
2
2
2
µ
¶µ
¶
2 −  +  − 2
−
= (1 − )
=
2
2
µ
¶µ
¶
µ
¶2
−
−
1 −
= (1 − )
= (1 − )
2
2

2
Por lo tanto, el ingreso impositivo será:
µ
¶2
1 −


2
Por lo tanto, los dos impuestos ingresarán lo mismo cuando:
µ
¶
µ
¶2
−−
−
1

=
( )
2
2

Es decir, cuando
=
2( −  − )
( − )2
El bienestar es menor con el impuesto sobre la producción, porque las ventas
son menores y el poder de mercado mayor.
2. Suponga que un productor vende su producción a través de un único distribuidor. El coste de producción viene dado por () = , la distribución no
supone ningún coste y la demanda de mercado viene dada por:  () =  − .
Supongamos que el contrato de suministro puede constar de un precio por unidad
( ) y una suma constante  .
¿Qué contrato ofrece el productor al distribuidor para maximizar sus beneficios?
Resolución
Para poder calcular cuál es el contrato óptimo, hay que saber cuál será el
comportamiento del distribuidor ante un contrato. Con un contrato   +  , el
 − 
y obtendrá los beneficios
distribuidor si participa en la distribución venderá
2
¶2
µ
1
 − 
( ) −  . Le interesará distribuir el bien si la anterior expresión es
de
2

positiva.
5
El productor al escoger el contrato maximizará la expresión siguiente:
¶
µ
 − 

+
 ( − )
2
µ
¶2
 − 
1
0 ≤
( )−
2

Como escogerá la parte fija más alta compatible con que el distribuidor decida
comprarle, la restricción siempre se da en igualdad y se puede sustituir en el
objetivo:
¶ µ
¶2
µ
 − 
 − 
1

+
( )
 ( − )
2
2

La condición de primer orden del programa de maximización se iguala a:
 −  −  +  −  +  = 0
 = 
¶2
µ
1
−
( ). Los mismos que se
El productor obtiene unos beneficios de
2

obtenían con integración vertical.
3. Suponga que un monopolio opera en un mercado con demanda  =  − 
y su coste marginal de producción es  (  ). El Estado pone un impuesto por
unidad vendida de .
a. Calcule la cantidad vendida por el monopolio.
b. Calcule el valor del impuesto que maximiza el bienestar social.
c. Calcule el valor del impuesto que maximiza los ingresos del gobierno.
Resolución :
a.
Π() = ( −  −  − )
Π
=  −  −  −  −  = 0

 −  −  = 2 
=
µ
−−
 =−
2
¶
−−
2
=
2 −  +  +   +  + 
=
2
2
6
µ
¶
µ
¶
−−
−−
−−
) = ( − 
−  − )
=
Π(
2
2
2
µ
¶µ
¶
2 −  +  +  − 2 − 2
−−
=
2
2
µ
¶µ
¶
µ
¶2
−−
−−
1 −−
=
2
2

2
b.El bienestar social coincide con la diferencia entre la valoración que hacen
del bien los consumidores y el coste de producción. La valoración del bien si se
consumen X unidades es
Z 

 2
( − ) =  − 2 |
0 =  − 
2
2
0
En este caso el bienestar en función de la cantidad es:


 () =  −  2 −  = ( − ) −  2
2
2
El bienestar social en función de  se obtiene sustituyendo la cantidad por la
producción con impuesto.
¶ µ ¶µ
¶2
µ

−−
−−
−
 () = ( − )
2
2
2
− −−
+
=0
 0 () = −
2
4
µ
¶µ
¶
1
−2( − ) +  −  − 
= 0
2
2
¶
µ ¶µ
−2 + 2 +  −  − 
1
= 0
2
2
µ ¶µ
¶
1
− +  − 
= 0
2
2
 = − + 
7
El impuesto es negativo, es decir, se trata de una subvención. El precio del
monopolio se iguala a:
 =
+−+
++
=
=
2
2
El precio se iguala al coste marginal. El monopolio produce la cantidad competitiva. Comprobamos en clase que era la que maximizaba el bienestar social.
c. El ingreso presupuestario del gobierno viene dado por:
¶
µ
−−

() =
2
Esta función es cóncava en . Se la conoce como curva de Laffer. Tiene la particularidad que el ingreso impositivo puede aumentar con reducciones en el tipo
impositivo si éste es suficientemente alto:
µ ¶

1
=
( −  −  − ) = 0

2
−
 =
2
Ingreso del gobierno:
¡ ¢! µ
¶
 −  − −
−
2
2
2
¶
µ − ¶ µ
( − )2
−
2
=
=
2
2
8
−
) =
(
2
Ã
Beneficio empresa:
1
Π=

Ã
−−
2
¡ − ¢ !2
2
1
=

µ
−
4
¶2
Son los mismos beneficios que teníamos en el caso de monopolios sucesivos.
Podemos imaginar que el gobierno vende derechos de producción a un precio .
La empresa los tiene que comprar si quiere participar en el mercado.
4. En un país pequeño, suponga que un monopolio sirve un mercado con
demanda  = 100 − . La función de costes del monopolio viene dada por
() =  2 .
8
a. Encuentre el equilibrio de mercado.
b. Suponga que los consumidores consiguen abrir el mercado al comercio
internacional. Encuentre el nuevo equilibrio si el precio internacional se iguala a
25.
c. Aduciendo que la industria nacional se encuentra en peligro, el monopolista
convence al gobierno para que establezca un arancel por unidad de 25. Encuentre
el nuevo equilibrio.
d. Encuentre el equilibrio si el arancel del apartado anterior es sustituído por
una cuota que permite importar la misma cantidad que en el apartado anterior.
¿ Cómo evolucionan los beneficios del monopolio con el cambio ?
Resolución:
a.
Π() = (100 − ) −  2
Π0 () = 100 − 2 − 2 = 0
 ∗ = 25 ;  ∗ = 75
Π = 7525 − 252 = 25(75 − 25) = 2550 = 1250
b. Como el precio del apartado anterior es superior a 25, el precio interior se
igualará al internacional. En este caso, el beneficio del monopolio se iguala a:
Π() = 25 −  2
Π0 () = 25 − 2 = 0
∗ =
25
2
Π∗ = 25
25
(25)2
25
625
− ( )2 =
=
= 156 25
2
2
4
4
Las importaciones () se igualan a la demanda no satisfecha por el monopolio
a un precio de 25.
25
+
2
200 − 50 = 25 + 2
100 − 25 =
=
9
125
2
c. Es como antes pero sustituyendo 25 por 50.
Π() = 50 −  2
Π0 () = 50 − 2 = 0
 ∗ = 25
Π∗ = 50 25 − 252 = 25(50 − 25) = 252 = 625
100 − 50 = 25 + 
 = 25
d. Se importarán 25 unidades. Por lo tanto la demanda de la empresa nacional
se reducirá en es magnitud y vendrá dada por:
 = 100 −  − 25 = 75 − 
En este caso los beneficios serán:
Π() = (75 − ) −  2
Π0 () = 75 − 2 − 2 = 0
3
225
75 ∗
75
 = 75 −
= 75 =
 50
4
4
4
4
225 75
5625
75
= (
) − ( )2 =
= 703125
4 4
4
8
∗ =
Π∗
Obtiene más beneficios que en el apartado anterior. El monopolista prefiere la
cuota a un arancel aunque los dos supongan el mismo nivel de importaciones.
Con la cuota puede poner un precio superior al precio internacional. Se puede ver
gráficamente.
5. Un monopolista con coste unitario de producción constante e igual a 3,
puede distinguir entre dos grupos de consumidores con funciones de demanda
inversa:
1 = 15 − 21 y 2 = 5 − 22 
10
a. Si el monopolista puede discriminar, calcular las ventas en cada mercado,
los precios, así como los beneficios del monopolista.
b. Si el monopolista no puede discriminar, ¿venderá a los dos grupos o sólo a
uno? En cualquiera de los casos, calcule las cantidades vendidas, el/los precios y
los beneficios del monopolista.
c. Sin hacer cálculos, razone en qué caso será mayor el bienestar social, con o
sin discriminación.
d. Suponga que la inversa de demanda del segundo grupo cambia a 2 =
10 − 22  Conteste al apartado b en este caso. Calcule el bienestar asociado a los
casos de discriminación y no discriminación. ¿Cuál es mayor ahora?
Solución
a. Resolviendo los problemas en cada mercado obtenemos 1 = 3 1 = 9
2 = 12, 2 = 4 Π = 18 5
b. Sin discriminación, sólo vendería al mercado 1, siendo la solución 1 = 3
1 = 9, Π = 18
c. Con discriminación porque el mercado 1 se queda igual, pero serviría una
cantidad positiva en el mercado 2.
d. Ahora sin discriminación la solución sería vender en ambos mercados a un
precio  = 775 vendiendo la cantidad  = 475 El bienestar sale mayor en el
caso de no discriminación.
11
6. Suponga que los clientes de un monopolio son todos iguales y tienen como
demanda inversa  = 100 − 20. La función de costes del monopolio es () =
20.
a. Determine la tarifa en dos partes óptima.
b. ¿Qué beneficio adicional por consumidor obtiene con una tarifa en dos
partes con respecto a la situación con precio lineal?
Solución
a. Para calcular la tarifa óptima hay que comprobar cómo se comporta el
consumidor con una tarifa en dos partes  +  . Si decide comprar, escogerá la
cantidad que maximice su excedente del consumidor:
Z 0
2
0
(0 ) =
(100 − 20) − 0 −  = 100 − 10 2 e
0 − 0 −  = 1000 − 100 −
0
 0 (0 ) = 100 − 200 −  = 0
100 − 
0 =
20
Comprará si el excedente es positivo
100 − 
100 − 
100 −  2
100 − 
) = 100(
) − 10(
) − (
)− =
20
20
20
20
100 − 
100 −  2
1
1
(100 − )(
) − 10(
) −  = (100 − )2 ( − ) −  =
20
20
20 40
(100 − )2
2
−1
)− =
− ≥0
= (100 − )2 (
40
40
(
El programa del monopolista es

 (

(100 − )2
− ≥ 0
40
− 20)(
100 − 
)+
20
Maximiza su beneficio sujeto a que el consumidor acepte el contrato. Como escogerá la parte fija más alta compatible con que el consumidor compre, podemos
reescribir el programa como

(

− 20)(
(100 − )2
100 − 
)+
20
40
12
La condición de primer orden es:
100 − 2 + 20 100 − 
−
= 0
20
20
− + 20
= 0
20
 = 20
802
80402
(100 − 20)2
=
=
= 160
 =
40
40
40
El beneficio del monopolio es 160. Fijémonos que se consumirá la cantidad
100 − 20
eficiente
=4
20
b. Con precio lineal tenemos la situación siguiente:
Π = (100 − 20 − 20)
Π
= 80 − 20 − 20 = 0

80
 =
= 2,  = 100 − 20 2 = 60
40
Π∗ = 40 2 = 80
El consumidor ahora obtiene 0 y tenía un excedente del consumidor de 40
con precio lineal (100-60) 2/2. La ganancia de 80 del productor viene de una
transferencia del consumidor al productor de 40 y de la ganancia social de 40 por
elevar el consumo hasta el nivel eficiente (60-20) 2/2. Se puede ver gráficamente.
7) En un mercado con demanda inversa P=50-2Q la producción está en manos
de un monopolista con coste unitario de producción constante e igual a 8. El
productor no vende directamente a los consumidores, sino que lo hace a través de
una empresa distribuidora, que es a su vez monopolista y cuyo coste de distribución
unitario es constante e igual a 10. Estudiamos la situación siguiente. En primer
lugar, el productor fija el precio al que vende el bien al distribuidor. Dado este
precio, el distribuidor decide cuántas unidades vender a los consumidores.
a) Calcular la cantidad vendida en el mercado, el precio de venta final a los
consumidores, el precio al que el productor vende el bien al distribuidor y los
beneficios de la industria.
b) Calcular la cantidad vendida en el mercado y el precio de venta si las dos
empresas deciden integrarse verticalmente. ¿Son los beneficios de la industria con
integración mayores o menores que sin integración? ¿Por qué?
13
c) ¿En qué caso es mayor el bienestar social, con o sin integración? (Explique
su respuesta sin realizar cálculos adicionales).
Solución
a) Dado un precio  fijado por el productor tenemos que ver cuántas unidades
quiere vender el distribuidor. Maximiza
 = (50 − 2 − 10 −  )
La condición de primer orden es:

= 40 −  − 4 = 0

Venderá:
40 − 
4
El beneficio del productor vendrá dado por:
¶
µ
40 − 
( − 8)
Π=
4
=
(2.1)
La Condición de primer orden:
Π
= 40 −  −  + 8 = 0

48
 =
= 24
2
Sustituyendo el valor del precio en (3.9), obtenemos las cantidades vendidas:
=
40 − 24
=4
4
El precio de venta del bien se obtiene de sustituir la cantidad anterior en la
función de demanda.
 =  = 50 − 2 ∗ 4 = 42
El beneficio de la industria se obtiene (el precio menos los costes unitarios multiplicado por el nivel de producción).
(42 − 10 − 8)4 = 96
14
b) La empresa integrada maximiza:
  = (50 − 18 − 2)
La condición de primer orden
 
= 32 − 4 = 0

 = 8
El precio que paga el consumidor vale:
 = 50 − 2 ∗ 8 = 34
El beneficio de la industria vale:
(34 − 18)8 = 128
El beneficio es más grande con integración, porque se evitan las distorsiones
que provienen de dos programas de maximización sucesivos.
c) Dado que el precio siempre está por encima del coste, el bienestar será mayor
en el caso en que las ventas sean mayores, es decir, con integración.
3. Resolución Lista III. Oligopolio (estático)
1. En un mercado cuya demanda viene dada por  = 90 − , operan una
empresa dominante y 100 empresas competitivas simétricas. La función de costes
de las empresas competitivas es () = 502 y la función de costes de la empresa
dominante es () = 2. Halle el equilibrio de mercado.
Solución
Para derivar la oferta individual de cada empresa igualamos el precio al coste
marginal.
 = 100

 =
100
La oferta agregada se iguala a:
 = 
15
La función de demanda efectiva para la empresa dominante se iguala a:
 = 90 −  −  = 90 − 2

 = 45 −
2
Por lo tanto, el beneficio de la empresa dominante es


− 2) = (43 − )
2
2
Π
 
= 43 −
−
= 43 −  = 0

2
2
 = 43
Π = (45 −
La empresa dominante producirá 43 unidades. Para obtener el precio de mercado
sustituimos en la demanda efectiva de la empresa dominante la producción que
hemos obtenido
43
90 − 43
47
 = 45 −
=
=
2
2
2
El beneficio de la empresa dominante es:
Π=(
47 − 4
432
47
− 2)43 = (
)43 =
= 9245
2
2
2
47
En consecuencia, las empresas competitivas venderán
. El beneficio de una
2
empresa competitiva es:
=(
47 2
47 47
) − 50(
) = 276
200 2
200
Se cumple que la empresa dominante obtiene más beneficios que las empresas
competitivas en su conjunto.
2. Suponga que en un mercado con demanda  = 90 −  hay 100 productores
competitivos simétricos cuya función de costes viene dada por () = 502 .
a) Halle el equilibrio de mercado.
b) ¿ Cómo cambia la situación si la distribución del producto a los consumidores la hace un monopolio ? Suponga para simplicar que la distribución no
supone un coste adicional.
Solución
a) Para derivar la oferta individual de cada empresa igualamos el precio al
coste marginal.
16
 = 100

 =
100
La oferta agregada se iguala a:
 = 
La demanda se iguala a la oferta si:
 = 90 − 
 = 45
La cantidad intercambiada también se iguala a 45.
b) Lo importante es calcular la función de costes del monopolio distribuidor. Si
se compromete a comprar a un precio  , las empresas competitivas le venderán:
 = 
Es decir, para comprar  unidades tiene que poner un precio de . Por lo
tanto, su función de costes se iguala a () =  2 . La función de beneficios del
monopolio distribuidor se iguala a:
 = (90 − ) −  2

= 90 − 2 − 2 = 0

 = 225
El precio que pagan los consumidores se iguala a  = 90 − 225 = 675 y el que
reciben los productores se iguala a 225. El precio competitivo es menor que el
que pagan los consumidores y mayor que el que reciben los productores.
3. Suponga que en un mercado con demanda  =  − , la producción está
monopolizada, mientras que la distribución la realizan  empresas competitivas.
La función de costes del monopolio productor viene dada por () =  y la de
cada empresa competitiva distribuidora por () = 2 .
a. Halle el precio  al que el productor venderá el producto a las empresas
distribuidoras.
b. Si el productor se integra verticalmente con las n empresas distribuidoras,
¿Cuánto servirá en el mercado? Compárelo con su respuesta en a.
17
Solución
a. Si el productor vende a los distribuidores a un precio  , la función de oferta
de cada empresa competitiva se iguala a:
 + 2 = 
 − 
 =
2
La oferta agregada se iguala a:
µ
 − 
 =
2

El precio de mercado será el que iguale
¶
µ
 − 

2
 − 
( + 2)
¶
demanda a oferta agregadas:
−

= 2 − 2
= 2 + 
=
2 + 
 + 2
La cantidad intercambiada se iguala a:
³
´
2+
 − +2
−
 =
=
=


( −  )
( −  )
 + 2 − 2 − 
=
=
=
( + 2)
( + 2)
 + 2
 =
Esto nos define la demanda que sirve el productor, la cantidad que vende dado un
precio  . Despejando  tenemos
( + 2)
=  − 

 + 2
 =  −


En este caso el beneficio del monopolista productor se iguala a:
18
 + 2
)

Π
 + 2
 + 2
= −−
−
=0



2( + 2)
 = 0
−−

Π = ( −  −
=
( − )
2( + 2)
El precio que carga a los distribuidores se obtiene sustituyendo la producción en
la demanda de la empresa productora.
µ
¶ µ
¶
 + 2
 + 2
( − )
 =−
=
 =  −


2( + 2)
2 −  +   + 
=
 =
2
2
A partir de  podemos hallar el beneficio de la empresa productora:
µ
¶µ
¶
+
( − )
Π = ( − ) =
−
=
2
2( + 2)
¶µ
¶ µ
¶µ
¶
µ
( − )
−
( − )
 +  − 2
=
=
=
2
2( + 2)
2
2( + 2)
( − )2 
=
4( + 2)
El precio de venta final a los consumidores se obtiene de
¡ ¢
2 +  +
4 +  + 
2 + 
2
=
=
 =
 + 2
 + 2
2( + 2)
Por último podemos hallar el beneficio de cada empresa competitiva. Dado
un precio de venta P y un precio de compra  , la empresa competitiva venderá
 − 
. Sus beneficios serán los ingresos a esa cantidad menos los costes a esa
2
19
cantidad:
µ

 =
µ

=
µ

=
µ
¶
¶
µ
¶2
− 
 − 
 − 
 − 
−
=
2
2
2
¶µ
¶ µ
¶µ
¶
− 
 − 
2 − 2 −  + 
 − 
 −  −
=
=
2
2
2
2
¶µ
¶
( −  )2
 − 
− 
=
2
2
4
Para hallar los beneficios de equilibrio sustituimos  y  por sus respectivos
valores de equilibrio:
´2
´2
³
³
4++
+
4++−−−2−2
2
−
2(+2)
2
2(+2)
( −  )
=
=
=
4
4
4
³
³
´2
´2
2(−)
2−2
µ
¶2
2(+2)
2(+2)
−
=
=
=
4
4
2( + 2)
Podemos obtener el beneficio de la industria sumando el beneficio de la empresa
productora con el beneficio de la empresas competitivas distribuidoras:
¶
µ
µ
¶2
¶µ
( − )2 
( − )2 
−
 + 2 + 
=
=
+ 
4( + 2)
2( + 2)
4
( + 2)2
¶
¶µ
µ
 + 3
( − )2 
=
4
( + 2)2
b. Sería interesante comparar esta situación con la que se obtendría si el
monopolio productor se integrara verticalmente comprando las empresas competitivas. En este caso tiene que decidir, si quiere vender , qué cantidad distribuye
a través de cada uno de los  puntos de venta de que dispone. Como los costes
marginales de distribución son crecientes es fácil ver que le conviene que cada

punto de venta distribuya la misma cantidad
(ver nota al final). En este caso,

la función de costes del monopolio es:
µ ¶2

 2
() =  + 
=  +


20
Su función de beneficios se iguala a:
 2

2
 −  − 2 −
=0

( − ) − 2 − 2 = 0
(2 + 2)
( − )
2 + 2
 = ( −  − ) −

=

=
( − ) =
 =
Excepto si tenemos que  = 0, la producción es mayor con integración    .
Sin integración parte de los beneficios de las ventas va a parar a las empresas
distribuidoras. El monopolio al decidir la producción no tiene en cuenta esta
externalidad positiva que genera y acaba produciendo una cantidad menor que
con integración. Cuando  = 0, las empresas competitivas no obtienen beneficios
independientemente del nivel de producción. El monopolio productor se apropia
de todos los beneficios de la industria. En este caso, la externalidad mencionada
no existe y, en consecuencia, las dos decisiones de producción coinciden. Esta
diferencia entre las cantidades elegidas supone también que los beneficios de la
industria son mayores con integración (excepto si  = 0). Calculamos el beneficio
con integración:
³
´2
¶ µ
¶  (−)
µ
2+2
( − )
( − )
Π = ( −  − 
)
−
=
2 + 2
2 + 2

µ
¶µ
µ
¶
µ
¶¶
( − )
( − )
( − )
=
−−
−
=
2 + 2
2 + 2
2 + 2
¶µ
¶
µ
( − ) ((2 + 2) −  − )
( − )
=
=
2 + 2
2( + )
µ
¶µ
¶
( − )
( − ) ( + )
( − )2 
=
=
2 + 2
2( + )
4( + )
21
Y la comparamos con el beneficio de la industria sin integración:
¶
¶µ
µ
( − )2 
 + 3
( − )2 

−
=
Π−Π =
4
( + 2)2
4( + )
µ
¶µ
¶
( − )2 
 + 32 + 2 2 + 3 − 2 2 − 42 − 4
=
=
4
( + 2)2 ( + )
¶µ
¶
µ
−2
( − )2 
0
=
4
( + 2)2 ( + )
Los beneficios son más altos con integración.
Nota: Ahora podemos ver más formalmente cómo distribuir un nivel de producción total  entre los  puntos de venta de tal manera que se minimicen los
costes de distribución. Si llamamos a cada uno de los puntos de venta que posee
el monopolio con un número natural de 1 hasta , podemos escribir el problema
como la asignaciónP
de una cantidad  que tienen que vender el puesto de venta ,
teniendo que  = =1  . La asignación pretenderá minimizar costes, es decir,

1

X
2
=1
 =

X

=1
Construyendo el Lagrangiano tenemos:
(1  ) =

X
2
=1
+ ( −

= 2 −  = 0


 =
2

X
 )
=1
Esto implica que se asigna a cada punto de venta la misma cantidad. En conse
como habíamos deducido intuitivamente.
cuencia  =

4. Suponga un mercado con demanda  =  − . Dos empresas operan en
ese mercado. Su coste marginal de producción se iguala a . La empresa 1 es
privada y maximiza beneficios y la empresa 2 es pública y maximiza el bienestar
social.
22
Calcule el equilibrio de Cournot en este mercado.
Resolución:
En equilibrio cada empresa, tanto la pública como la privada tienen que estar
maximizando su objetivo. La empresa privada maximiza el beneficio:
1 = ( −  − 1 − 2 )1
 1
=  −  − 21 − 2 = 0
1
La empresa 2 maximiza el bienestar social:
µ ¶

(1 + 2 )2
2 = ( − )(1 + 2 ) −
2
2
=  −  − 1 − 2 = 0
2
(3.1)
(3.2)
Solucionando las ecuaciones (3.1) y (3.2) obtenemos el equilibrio:
De(3.2) obtenemos el valor de 2 en función de 1 :
2 =
 −  − 1

(3.3)
y lo sustituimos en (3.1) obteniendo
µ
¶
 −  − 1
 −  − 21 − 

 −  − 21 −  +  + 1
−1
1
=
= 0
= 0
= 0
Este valor lo sustituimos en (3.3) y obtenemos
2 =
−

El precio se iguala al coste marginal. Es la producción que maximiza el bienestar
social. Por eso la empresa privada no quiere producir.
5. (Cabral 6.4. p.118) Suponga un triopolio de Cournot con demanda  =
500 −  y costes marginales constantes 1 = 100 y 2 = 3 = 200.
23
a. Calcule el equilibrio de Cournot. Compruebe que sus beneficios son crecientes con la cuota de mercado de las empresas.
b. Suponga que se produce una fusión entre (i) la empresa 1 y la empresa 3
o (ii) la empresa 2 y la empresa 3. Compruebe que la primera fusión es rentable
mientras que la segunda no lo es. Concluya que una fusión sólo será rentable si el
aumento en eficiencia es suficientemente grande.
Resolución:
a. Econtramos, en primer lugar, el equilibrio de mercado con tres empresas.
Los beneficios de las empresas son:
Π1 = (400 − 1 − 2 − 3 )1
Π = (300 − 1 − 2 − 3 )  = 2 3
Las condiciones de primer orden son:
Π1
= 400 − 21 − 2 − 3 = 0
1
Π2
= 300 − 1 − 22 − 3 = 0
2
Π3
= 300 − 1 − 2 − 23 = 0
3
En equilibrio las dos empresas ineficientes producirán la misma cantidad 2 =
3 = . El sistema anterior nos queda reducido a:
400 − 21 − 2 = 0
(3.4)
300 − 3 − 1 = 0
(3.5)
De (3.5) obtenemos 1 en función de  :
1 = 300 − 3
Lo sustituimos en (3.4) y nos queda
400 − 2 (300 − 3) − 2 = 0
−200 + 4 = 0
 = 50
24
(3.6)
Para obtener la producción de la empresa eficiente lo sustituimos en (3.6)
1 = 300 − 150 = 150
Su solución es
2 = 3 = 50  1 = 150; 1 =
3
1
 3 = 2 =
5
5
Para obtener el beneficio hay que sustituir las producciones en las respectivas
expresiones del beneficio.
Π1 = (400 − 250)150 = 1502 = 22500
Π2 = Π3 = (300 − 250)50 = 502 = 2500
La empresa con una cuota superior obtiene también beneficios superiores.
b. Cuando la empresa 1 y la 3 se fusionan, la empresa fusiuonada produce al
coste menor de las empresas que es 100. Podemos pensar que toda la producción
se concentra en la planta de la empresa 1. Cuando la empresa 2 y 3 se fusionan
producen al coste que tenían las empresas. Por lo tanto en los dos casos después
de la fusión tendremos una empresa con coste unitario de 100 compitiendo con
una con coste unitario de 200. La empresa de coste bajo la denotamos con un
subíndice de 1 y la de coste alto con un subíndice de 2. Sus beneficios respectivos
son:
 1 = (400 − 1 − 2 )1
 2 = (300 − 1 − 2 )2
Las condiciones de primer orden respectivas son:
 1
= 400 − 21 − 2 = 0
1
(3.7)
 2
= 300 − 22 − 1 = 0
(3.8)
2
Solucionando el sistema de ecuaciones obtenemos el equilibrio de Cournot. De
(3.8) despejamos 1 y nos queda
1 = 300 − 22
25
(3.9)
Lo sustituimos en (3.7) y nos queda:
400 − 600 + 42 − 2 = 0
200 = 32
200
2 =
3
Lo sustituimos en (3.9) para hallar 1 y tenemos
1 = 300 −
400
900 − 400
500
=
=
3
3
3
El precio vale
 = 500 −
Π1
y Π2
500 200
1500 − 700
800
−
=
=
3
3
3
3
¶µ
¶ µ
¶2
500
500
800
− 100
=
=
= 27777
3
3
3
¶µ
¶ µ
¶2
µ
200
200
800
− 200
=
=
= 4444
3
3
3
µ
Lo que es importante es darse cuenta que la fusión entre 1 y 2 es rentable
mientras que la de 2 y 3 no lo es. 1 y 3 obtienen antes de la fusión conjuntamente
25000, mientras que después obtienen 27777. 2 y 3 obtienen antes de la fusión
conjuntamente 5000, mientras que después obtienen 4444.
6. Tenemos dos empresas de países distintos que compiten en el mercado
internacional de un producto cuya demanda viene dada por:  =  − . Las
dos tienen el mismo coste unitario , pero una se beneficia de un subsidio unitario
a la producción  de su gobierno.
a) Halle las cantidades producidas por las empresas si compiten a la Cournot.
b) Halle el subsidio que maximiza los beneficios (netos del subsidio) de la
empresa que lo recibe.
Resolución:
a) La empresa con subsidio la llamamos empresa 1 y la otra la llamamos
empresa 2. Sus beneficios respectivos vienen dados por:
1 = ( − (1 + 2 ) − ( − ))1
2 = ( − (1 + 2 ) − )2
26
Las condiciones de primer orden respectivas son:
 1
=  −  +  − 21 − 2 = 0
1
(3.10)
 2
=  −  − 22 − 1 = 0
2
(3.11)
Despejando de (3.11) 1 , tenemos:
1 =
 −  − 22

(3.12)
y lo sustituimos en (3.10)
µ
¶
 −  − 22
 −  +  − 2
− 2 = 0

 −  +  − 2 + 2 + 42 − 2 = 0
− +  +  + 32 = 0
2 =
−−
3
(3.13)
Sustituyéndolo en (3.12) obtenemos:
µ
¶
−−
 −  − 2
3 − 3 − 2 + 2 + 2
3
=
1 =

3
 −  + 2
3
b) El precio de mercado se iguala a
µ
¶
 −  + 2  −  − 
+
=
 =  − (1 + 2 ) =  − 
3
3
3 −  +  − 2 −  +  + 
=
=
3
1 =
 =
 + 2 − 
3
27
(3.14)
(3.15)
El beneficio de la empresa 1, neto del subsidio, se iguala a:
¶µ
¶
µ
 −  + 2
 + 2 − 
−
=
Π1 = ( − )1 =
3
3
µ
¶µ
¶
 + 2 −  − 3
 −  + 2
=
=
3
3
¶µ
¶
µ
 −  + 2
−−
=
3
3
El subsidio que maximiza el beneficio de la empresa 1, neto del subsidio,
cumple:
Π1
= − +  − 2 + 2 − 2 − 2 = 0

−
∗ =
 0
4
Le interesa al gobierno poner un subsidio positivo para aumentar los beneficios
de la empresa nacional.
Para obtener la cantidad producida por la empresa 1 sustituimos  por la
subvención óptima en (3.14) y obtenemos:
 −  + −
2 − 2 +  − 
2
=
=
3
6
3 − 3  − 
=
=
6
2
1 =
Para obtener la cantidad producida por la empresa 2 sustituimos  por la
subvención óptima en (3.13) y obtenemos:
2 =
−−
3
−
4
=
4 − 4 −  +  3( − )
−
=
=
12
12
4
Para obtener el precio sustituimos  por la subvención óptima en (3.15) y
obtenemos el precio de equilibrio:
 =
 + 2 −
3
−
4
=
4 + 8 −  +  3 + 9
 + 3
=
=
12
12
4
28
Con el precio y las cantidades podemos obtener los beneficios (netos de la subvención) de las dos empresas:
µ
¶
 + 3
−
( − )2
∗
Π1 = (
− )
=
4
2
8
µ
¶
−
( − )2
 + 3
− )
=
Π∗2 = (
4
4
16
29
La elección del subsidio permite a la empresa que lo recibe convertirse en líder,
ya que escoge el punto que prefierede la función de reacción de 2. Por eso, obtiene
el beneficio del líder y la empresa 2 el beneficio de la seguidora. Veámoslo más
claro dibujando las funciones de recación de las dos empresas. La función de
recación las obtenemos de la CPO de cada empresa. Al aumentar , la función
de reacción de 1 se desplaza hacia la derecha ya que aumenta tanto la ordenada
−+
−+
(
) en el origen como la abcisa en el origen (
) . Reduciendo 

2
la función de reacción se desplaza hacia la izquierda. El equilibrio vendrá dado,
como siempre, por el punto de cruce de las dos funciones de reacción. Por lo tanto,
escogiendo apropiadamente , puede convertir en equilibrio cualquier punto en la
función de reacción de 2. Por ejemplo ¿como puede conseguir que el punto C sea
el equilibrio del juego? Aumentando el subsidio hasta que la reacción de 1 pase
por ese punto. En conclusión la elección de 1, se reduce a elegir el punto sobre
la función de reacción de 2 que maximiza el beneficio de 1. Esto es lo mismo que
hacía el líder de Stackelberg y, en consecuencia, tenemos los mismos beneficios.
7. Comprobar que en el caso de Cournot simétrico con demanda lineal analizado en clase las fusiones de dos empresas sólo son rentables en duopolio.
Resolución
Tenemos que obtener el equilibrio con  empresas simétricas, con demanda
 =  −  y función de costes () = . Denotamos las empresas con un
número natural de 1 hasta . El beneficio de la empresa  viene dado por:
Π = ( − 

X
=1
 − )
La C.P.O. se iguala a
X
Π
=−−
 −  = 0

=1

Como las empresas son simétricas, el equilibrio será simétrico. Para obtenerlo
podemos imponer simetría en la C.P.O. anterior 1∗ =  = ∗ =  ∗ .
 −  − ( + 1)∗ = 0
∗ =
−
( + 1)
A partir de aquí se pueden calcular el precio y el beneficio de equilibrio:
30
¶
−
=
 =  − 
( + 1)
 + 
( + 1) −  + 
=
=
( + 1)
+1
µ
¶µ
¶
 + 
−
∗
∗
∗
Π = ( − ) =
−
=
+1
( + 1)
¶µ
¶ µ
¶µ
¶
µ
−
−
−
 +  − ( + 1)
=
=
=
+1
( + 1)
( + 1)
( + 1)
µ
¶2
1
−
= ( )


+1
µ
¶2
−
1
. Después
Por lo tanto, cada empresa antes de la fusión obtenía ( )

+1
de la fusión, tenemos una estructura de mercado con  − 1 empresas independientes. La µ
empresa
¶2fusionada obtendrá el beneficio de una de estas empresas, es
1 −
. La fusión será rentable si la siguiente expresión tiene signo
decir, ( )


positivo, es decir, si el beneficio de la empresa fusionada es mayor que el beneficio
que obtenían conjuntamente antes de la fusión:
µ
¶2
µ
¶2
−
2
1 −
−( )
=
( )



+1
¶
µ
( − )2 ( + 1)2 − 22
=
=

2 ( + 1)2
¶
µ
( − )2 2 + 1 + 2 − 22
=

2 ( + 1)2
¶
µ
( − )2 1 + 2 − 2
=

2 ( + 1)2
Es positiva sólo si  ≤ 2, es decir, sólo es rentable si partimos de una situación de
duopolio y la fusión nos lleva a monopolio.
8. Suponga que en un mercado operan  empresas simétricas con función de
costes () = . La demanda de mercado viene dada por:
∗
µ
1
 () =  (−  )
  1
31
a) Compruebe que  representa la elasticidad precio de la demanda.
b) Halle el equilibrio de Cournot.
c) ¿Cuál es el efecto de la elasticidad precio de la demanda sobre el precio de
mercado?
Resolución

. En este caso tenemos
a) La elasticidad se iguala a − 0
 ()
1
−
1
 (−  )
1
− 1  (−  −1) 
=
 (−  )
1
 (−  )
=
b) El beneficio de cada empresa se iguala a:
1
  = ( −  − )
1
1
 
1
= −  (−  −1)  +  −  −  = 0


Imponiendo simetría, dado que el equilibrio será simétrico tenemos que
1
1
1
− ()(−  −1)  + ()−  −  = 0

1
1
1
− ()(−  −1) () + ()−  −  = 0

1
1
1
− ()(−  ) + ()−  −  = 0

µ
¶
1
− 1
− +1 =
()

µ
¶−
1

( )
=
 − 1

1
!
õ
¶− − 


=
 =
 − 1
 − 1
c)


( − 1) − 
2  −  − 2 
=
( − 1)2
( − 1)2

= −
0
( − 1)2
=
32
El precio decrece con la elasticidad precio de la demanda. Cuanto más elástica
sea la demanda, más sensible es a cambios en el precio y más competitiva es la
situación del mercado.
9. (Cabral p. 119) Un mercado está abastecido por un oligopolio con  empresas de costes marginales iguales y constantes. El producto es homogéneo y la
elasticidad precio de la demanda es constante e igual a uno. Suponiendo que hay
competencia (i) en precios o (ii) en cantidades, determine el incremento porcentual
del precio de equilibrio si se fusionan  empresas.
Resolución.
(i) en competencia en precios, el precio no varía excepto si  = , todas las
empresas se fusionan.
(ii) La condición de primer orden de una empresa con coste  se escribe como:
 () −  = − 0 ()
− ()
), y  la cuota de mercado de
 0 ()
la empresa, la expresión anterior se puede escribir como:
Siendo , la elasticidad de demanda ( =
 () − 
− 0 ()

=
=
 ()
 ()

Como el equilibrio será simétrico antes y después de la fusión, la elasticidad
es unitaria y el coste unitario es  para todas las empresas, el precio antes (  ) y
después de la fusión (  ) cumplirán respectivamente:
 − 
1
=


 − 
1
=


−+1
(Recuerde que después de la fusión de  empresas quedan − +1 independientes
en el mercado).
Despejando tenemos:
 −  =


1
  (1 − ) = 

33
 =

−1
 −  =
  (1 −

−+1
1
) = 
−+1
( −  + 1)
−
El incremento porcentual de precios () se iguala a:
 =
 − 
=
 =

(−+1)

− −1
−

−1
=
(2 −  +  −  +  − 1 − 2 + )( − 1)
=
( − )( − 1)
−1
0
=
( − )
=
También se puede verificar que el incremento proporcional aumentaría con el

número de empresas que se fusionan ya que
 0. Se da el signo de esta

derivada porque tenemos  sumando en el numerador y restando en el denominador. Los dos cambios llevan a que aumente el cociente.
10. (Cabral p. 119) Un duopolio tiene demanda dada por:  =  − .
El coste marginal de cada empresa es constante e igual a . Suponga que las
empresas proceden a un intercambio de participaciones en capital (equity swap)de
. Determine la nueva situación de equilibrio en función de .
Resolución.
Llamemos una empresa, empresa 1 y la otra empresa 2. El beneficio de la
empresa 1 con un intercanbio de acciones de  es:
 1 = ( −  − 1 − 2 )(1 − )1 + ( −  − 1 − 2 )2
 1
= ( −  − 1 − 2 )(1 − ) − (1 − )1 − 2 = 0
1
34
Como el equilibrio es simétrico podemos imponerla (1 = 2 = ) en la condición
de primer orden para obtenerlo.
( −  − 2)(1 − ) − (1 − ) − 
( − )(1 − ) − (2(1 − ) + (1 − ) + )
( − )(1 − ) − (2 − 2 + 1 −  + )
( − )(1 − ) − (3 − 2)
=
=
=
=
0
0
0
0
(1 − )( − )
3 − 2
Si  = 0, tenemos el equilibrio de Cournot normal. Tenemos la producción de
monopolio cuando  = 12 , porque las empresas maximizan los beneficios conjuntos.
−
Cada una produce la mitad de la producción de monopolio (
). También se
4
puede ver que
−3 + 2 + 2 − 2
1

=
=
−
0

(3 − 2)2
(3 − 2)2
=
Cuanto más en cuenta tienes los beneficios del competidor, menos produces. .
11. Suponga que tenemos un duopolio de empresas que compiten en cantidades, pero una empresa (líder) escoge la producción antes que la otra empresa
(seguidora). Suponga para simplificar que no hay costes de producción. La demanda de mercado viene dada por:  = 1−. Halle las producciones que realizan
las empresas.
Resolución:
La empresa seguidora escoge su producción ( ) cuando la líder ya la ha escogido ( ). En este caso su función de beneficios es:
  = (1 −  −  )
 
= 1 −  −  −  = 0

= 1 − 2 −  = 0
Se maximiza en:
1 − 
(3.16)
2
La empresa líder tiene que tenerlo en cuenta cuando elija su producción. Su
función de beneficios teniendo en cuenta lo que va a producir la seguidora (3.16)
 =
35
es:
1 − 
 = (1 −  −
) =
2
¶
µ
1 − 

=
2
 
= 1 −  −  = 0

Se maximiza en  = 12 . Por lo tanto, la seguidora producirá  =
precio de equilibrio será
 =1−
1−
2
1
2
= 14 . El
1 1
4−2−1
1
− =
=
2 4
4
4
1
Y obtienen beneficios respectivamente de  = 14 21 = 18 y  = 14 41 = 16
.
12. Suponga que tenemos dos empresas simétricas que compiten a la Cournot
en un mercado con demanda inversa  = 1 − . Los costes de producción de las
empresas son () =  si   0 y (0) = 0. Encuentre los equilibrios de Cournot
dependiendo del valor de  .
Solución
Llame a una empresa, empresa 1 y a la otra, empresa 2.
La función de beneficios de la empresa  vale
  = (1 − 1 − 2 ) − 
La CPO de primer orden nos da la producción óptima si decide producir:
 
= 1 − 2 −  = 0

Solucionando tenemos la producción óptima si decide producir
1 − 
2
Sólo querrá producir si obtiene un beneficio produciendo mayor que F. El beneficio
es:
 =
36
1 − 
1 − 
) −  )(
) =
2
2
2 − 1 +  − 2 1 − 
)(
) =
(
2
2
(1 − (
=
µ
1 − 
2
¶2
Querrá producir si:
µ
¶2
1 − 
≥ 
2
√
1 − 
≥

2
√
 ≤ 1 − 2 
1 − 
si  ≤
Por lo tanto la función de reacción de la empresa  es  ( ) =
2
√
1−2  y  ( ) = 0 en otro caso. (  = 1√2  6= ). Esto implica que las funciones
de reacción son discontinuas en  = 1 − 2  . Para producciones mayores que la
discontinuidad la empresa  quiere producir cero.
Tenemos un equilibrio de Cournot siempre que las funciones de reacción se
cortan. Entonces, podemos distinguir diferentes casos. Se pueden entender teniendo en cuenta lo siguiente. En el equilibrio estándar de Cournot ( = 0), los
1
1
beneficios son . Seguirá siendo un equilibrio si  ≤ . El otro equilibrio que
9
9
1
puede aparecer es que una empresa produzca la cantidad de monopolio ( ) y la
2
37
otra empresa no quiera producir. Se dará si
1
≤  , porque
16
1
 = (1 −  − )
2
1

=
− 2 = 0

2
1
 =
4
1 1 1
 = (1 − − ) =
µ 4 2 ¶4
1
4−1−2 1
=
=
4
4
16
el máximo beneficio que puedes obtener si el otro produce la cantidad de mo1
nopolio es 16
. Por lo tanto uno produciendo la cantidad de monopolio y el otro
produciendo 0 es un equilibrio. Finalmente, cuando el coste fijo es mayor que
el beneficio de monopolio ninguna empresa quiere producir. Los equilibrios se
obtienen ubicando donde se encuentra la discontinuidad de la función de reacción.
√
1
1
Caso 1: Si 1 ≥ 1 − 2   o 0 ≤   
2
16
√
1−2  ≤ 1
√
0 ≤ 2 
0 ≤ 
√
1
1−2  
2
√
1
 2 
2
√
1


4
1
 
16
1
Las funciones de reacción se cruzan sólo en 1 = 2 = .
3
√
1
1
1
1
≤ ≤ .
Caso 2: Si ≤ 1 − 2  ≤ o
3
2 16
9
38
1
1
Las funciones de reacción se cruzan tres veces (1 = 2 = ), (1 =  2 = 0)
3
2
1
y (1 = 0 2 = ).
2
√
1
≤ 1−2 
3
√
2
2  ≤
3
√
1
 ≤
3
1
 ≤
9
√
1 1
1
Caso 3: Si 0 ≤ 1 − 2   o   ≤ 
3 9
4
1
Las funciones de reacción se cruzan dos veces (1 =  2 = 0) y (1 = 0
2
1
2 = ).
2
√
0 ≤ 1−2 
√
2  ≤ 1
√
1
 ≤
2
1
 ≤
4
√
1
Caso 4: Si 1 − 2   0 o   .
4
Las funciones de reacción se cruzan sólo en (1 = 0 2 = 0)Para cualquier
producción del competidor quieres producir cero.
39
13. Suponga un mercado con demanda inversa P=20-2Q que es abastecido por
dos empresas que compiten a la Cournot. La empresa 1 tiene un coste marginal
constante e igual a 5 y la empresa 2 un coste marginal constante e igual a 10.
a) Calcule las cantidades producidas por las empresas así como sus beneficios.
b) Suponga ahora que la empresa 1 (líder) decide primero su producción y, a
continuación, la empresa 2 (seguidora) decide la suya (modelo de Stackelberg).
Calcule de nuevo las producciones de ambas empresas así como sus beneficios.
Interprete el resultado.
c) ¿Es posible que la empresa líder obtenga en el modelo de Stackelberg menos
beneficios que en el modelo de Cournot? Razone su respuesta.
Resolución:
a) Los beneficios de las empresas 1 y 2 son respectivamente:
Π1 = (20 − 2(1 + 2 ) − 5)1
Π2 = (20 − 2(1 + 2 ) − 10)2
Hallamos las C.P.O. de su programa de maximización:
Π1
= 20 − 21 − 22 − 5 − 21 = 0
1
Π2
= 20 − 21 − 22 − 10 − 22 = 0
2
Π1
= 15 − 41 − 22 = 0
1
Π2
= 10 − 21 − 42 = 0
2
Para obtener las cantidades de equilibrio tenemos que solucionar el sistema de 2
ecuaciones y 2 incógnitas. Despejamos de la segunda ecuación 2 (es la función
de reacción de 2).
10 − 21
2 =
(3.17)
4
y lo sustituimos en la primera ecuación.
µ
¶
10 − 21
= 0
15 − 41 − 2
4
30 − 81 − 10 + 21 = 0
20 10
1 =
=
6
3
40
Lo sustituimos en (3.17) para obtener la producción de la segunda empresa:
¡ ¢
10 − 2 10
30 − 20
5
3
=
=
2 =
4
12
6
El precio de mercado es
µ
¶
µ
¶
10 5
20 + 5
 = 20 − 2
+
= 20 − 2
=
3
6
6
60 − 20 − 5 35
= .
=
3
3
El beneficio de la empresa 1 es
Π1 = (
10
35 − 15 10
200
35
− 5)( ) = (
)( ) =
3
3
3
3
9
El beneficio de la empresa 2 es:
5
35 − 30 5
25
35
− 10)( ) = (
)( ) =
3
6
3
6
18
b) Introducimos la función de reacción de la empresa 2 (3.17) en el problema
de maximización de la empresa 1:
¶
¶
µ
µ
10 − 21
Π1 =
− 5 1 =
20 − 2 1 +
4
µ
¶
10 − 21
=
15 − 21 −
1 =
2
µ
¶
30 − 41 − 10 + 21
=
1 =
2
¶
µ
20 − 21
1
=
2
Π2 = (
Π1
= 20 − 41 = 0
1
1 = 5
Con esta cantidad, la empresa seguidora decide no producir ya que si produjera
una sola unidad, el precio de mercado caería por debajo de 10, con lo que no
41
cubriría sus costes de producción y tendría pérdidas. Se puede ver que el precio
es 10 si la empresa líder produce 5  = 20 − 2 ∗ 5 = 10. El beneficio de la empresa
líder es
Π1 = (20 − 2 ∗ 5 − 5)5 = 25
y el de la empresa 2 (seguidora) será cero. Con respecto al equilibrio simultáneo
tenemos que aumenta el beneficio de la empresa 1 (líder) y disminuye el de la
empresa 2 (seguidora).
Esto no implica que la empresa líder sea, de hecho, un monopolista, ya que su
nivel de producción de 5 no es el nivel de producción de monopolio.
c) No; siempre podría, al menos, garantizarse los beneficios de Cournot eligiendo
como líder, la producción que llevaría a cabo en el modelo de Cournot.
14. Un mercado con demanda inversa P=100 -Q está abastecido por dos
empresas que compiten en cantidades, cuyos costes unitarios de producción son
constantes e iguales a 10.
a) Calcular la producción de cada empresa en equilibrio.
b) Calcular el nivel de producción en la industria que maximizaría el bienestar
social.
c) Calcular el subsidio o impuesto por unidad producida que llevaría a las
empresas a producir conjuntamente la cantidad maximizadora del bienestar social.
Resolución:
a) Llamamos a una empresa, empresa 1 y a la otra empresa 2. El beneficio de
la empresa 1 viene dado por:
Π1 = (100 − 1 − 2 − 10)1 =
= (90 − 1 − 2 )1
La C.P.O. es
Π1
= 90 − 21 − 2 = 0
1
Como las empresas son simétricas, podemos resolver el equilibrio imponiendo la
simetría (1 = 2 = ) en la C.P.O. anterior.
Π1
= 90 − 3 = 0
1
1 = 2 =  = 30
42
Z0
b) El bienestar social lo podemos escribir como  (0 ) = (100 − ) −
0
100  La valoración que hacen del bien los consumidores menos el coste de producción.
Z0
2 0
| − 100 =
(100 − ) − 100 = 100 −
 (0 ) =
2 0
0
20
20
 (0 ) = 1000 −
− 100 = 900 −
2
2
 0 (0 ) = 90 − 0 = 0
0 = 90
c) Tenemos que volver a resolver el equilibrio de Cournot para el caso en que
las empresas gocen de un subsidio  a la producción.
Π1 = (100 − 1 − 2 − 10 + )1 =
= (90 +  − 1 − 2 )1
La C.P.O. es
Π1
= 90 +  − 21 − 2 = 0
1
Como las empresas son simétricas, podemos resolver el equilibrio imponiendo la
simetría (1 = 2 = ) en la C.P.O. anterior.
Π1
= 90 +  − 3 = 0
1
90 + 
1 = 2 =  =
3
Entonces, imponemos que entre las dos empresas produzcan la cantidad óptima
43
desde el punto de vista social obteniendo
90 + 
3
180 + 2
− 90
3
180 + 2 − 270
−90 + 2
2
= 90
= 0
= 0
= 0
90
= 45
 =
2
15) Suponga que la demanda inversa de mercado viene dada por  =  −
. En este mercado operan una empresa dominante y  empresas competitivas
simétricas. La empresa dominante tiene un coste unitario constante e igual a ,
mientras que cada empresa competitiva tiene unos costes que vienen dados por
() =  + 2 . Calcule las ventas en equilibrio de la empresa dominante, del
sector competitivo, así como el precio de mercado.
Solucion:
Óptimamente las empresas competitivas igualan precio al coste marginal:
 =  + 2
Nos define la función de oferta individual:
 −
2
En tal caso la función de oferta agregada es:
¶
µ
 −

 =
2
 =
La función de demanda de mercado viene dada por:
 =  − 
−
=

La función de demanda efectiva para el monopolista es:
µ
¶
 −
2 +  −  (2 + )
−
−
=
=

2
2
44
(3.18)
Despejando P obtenemos:
2 = 2 +  −  (2 + )
 (2 + ) = 2 +  − 2
 =
2
2 + 
−
2 + 
2 + 
(3.19)
El beneficio de la empresa dominante se puede escribir como:
Π=(
2
2 + 
−
− )
2 + 
2 + 
La condición de primer orden:
Π
2 + 
4
=
−
−=0

2 + 
2 + 
2 +  − 4 − 2 − 
=0
=
2 + 
La producción óptima vale:
=
−
2
(3.20)
El precio lo obtenemos sustituyendo (3.20) en (3.19)
¡ ¢
2 +  2 −
 +  + 
2
 =
−
=
2 + 
2 + 
2 + 
(3.21)
La producción de las empresas competitivas se obtiene de sustituir (3.21) en
(3.18) obteniendo en este caso:


= 
Ã
µ
++
2+
2
−
−
= 
2(2 + )
¶
!
µ
 +  +  − 2 − 
=
2(2 + )
45
¶
4.
Resolución Lista IV. Oligopolio (dinámico).
1. Suponga que  empresas idénticas compiten en un mercado infinitos períodos
de tiempo. La demanda de mercado viene dada por  = − y el coste marginal
es constante e igual a . Determine los valores del tipo de interés para los cuales
se puede mantener el acuerdo colusivo. Suponga que las empresas compiten a la
Cournot.
Solución
La cantidad de monopolio se obtiene de maximizar
Π = ( −  − )
Π
=  −  − 2 = 0

−
 =
2
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶2
µ
−
−
1 −
− −
)
=
=
Π = ( −  − 
2
2
2
2

2
El acuerdo colusivo significa que cada empresa produzca la enésima parte de
la producción de monopolio
µ
¶
1 −

 =

2
obteniendo en cada período la enésima parte del beneficio de monopolio.
µ
¶2
1 −

 =

2
Los beneficios descontados de cumplir el acuerdo son:
∞
X
X

1

=

=

(1 + )
(1
+
)
=0
∞


µ
1+

¶
=
1
=0
1−
1+
Los beneficios de no cumplir el acuerdo son hoy escojo la cantidad que maximiza mis beneficios dado que los otros cumplen el acuerdo. Pero a partir de
mañana
tengo
beneficios iguales a los de la competencia a la Cournot   =
µ
¶2
1 −
, ya que todas las empresas pasan a competir libremente.
 +1
46
Vamos a calcular el beneficio que obtiene la empresa  hoy si decide desviarse
de las cantidades acordadas. El beneficio como función de la cantidad  se escribe
como:
 = ( − ( − 1) −  − )
¶¶
µ µ
1 −
−  − )
 = ( − ( − 1)

2
¶
µ
µ
¶
−1
 =
( − ) 1 −
−  
2
¶
µ
µ
¶
+1
 =
( − )
−  
2
Se maximiza en la producción que cumpla la C.P.O.:
¶
µ
+1
 
−  −  = 0
= ( − )

2
La producción óptima si se incumple el acuerdo es:
∗ =
( − )( + 1)
4
El beneficio en el periodo que se incumple el acuerdo se obtiene de sustituir ∗
en la expresión del beneficio.


µ
µ
¶
µ
¶¶ µ
¶
+1
( − )( + 1)
( − )( + 1)
=
( − )
−
2
4
4
¶¶ µ
¶
µ
µ
( − )( + 1)
2−1
=
( − )( + 1)
4
4
( − )2 ( + 1)2

162 
El beneficio que obtengo a partir de mañana incumpliendo el acuerdo es:
 =
∞
X
=1
∞
1
X
)
 ( 1+

1


=
=

=
1
(1 + )
(1 + )

=1
1−
1+
47
Le interesa cumplir el acuerdo si
µ
¶
1+

≥  +



  (1 + ) ≥   +  
  −   ≥ (  −   )

es decir, si
 =
 − 
≥
 − 
Cuanto menor sea el tipo de interés menos descontamos el futuro y más nos
interesará cumplir el acuerdo colusivo. Calculemos el valor del tipo de interés que
hace que las empresas respeten el acuerdo colusivo.


=
=
(−)2
(−)2
− (+1)
2
4
2
2
2  =
(+1) (−)
− (−)
162 
4
(+1)2 −4
162
4(+1)2
=
(+1)2 −4
4( + 1)2
162
1
1
− (+1)
2
4
2
(+1)
1
− 4
162
=
=
4
( + 1)2
Como hemos dicho antes, se mantiene el acuerdo colusivo si  ≤  . Por otro
lado tenemos que
¶
µ

( + 1)2 − 2( + 1)
=
= 4

( + 1)4
¶
µ
4(1 − )
 + 1 − 2
=
 0
= 4
3
( + 1)
( + 1)3
Es decir, cuanto mayor sea el número de empresas, más difícil será que se cumpla
la condición anterior. Por lo tanto, un aumento del número de empresas dificulta
el mantenimiento de los acuerdos colusivos. Mantener o no acuerdos colusivos es
una variable de cobducta. Por lo tanto hemos visto que la estructura (el número
de empresas) afecta a la conducta de las empresas de si sostener o no un acuerdo
colusivo.
También es interesante comparar el resultado con el que habíamos visto en
clase cuando las empresas competían à la Bertrand. En ese caso, el resultado era
48
que se mantenía el acuerdo cuando
 ≤ 
donde  =
1
−1
No está claro cuándo será más fácil cooperar, si en el caso de Bertrand o en el
caso de Cournot, porque no está claro en qué caso son mayores los beneficios de
no cumplir el acuerdo. Por un lado, el beneficio en el primer período es mayor en
Bertrand porque es más fácil conseguir clientes pero, por otro lado, el beneficio a
partir del primer período es menor porque el beneficio de Cournot es mayor que
el beneficio de Bertrand.
Efectivamente no nos sale un resultado claro, porque tenemos que
4
1

= 
−1
( + 1)2
( + 1)2  42 − 4
2 + 1 + 2  42 − 4
6 + 1  32
 =
Se cumple para  ≥ 3. Resumiendo el resultado queda:
   si  = 2
   si  ≥ 3
2. Suponga que 10 empresas idénticas compiten a la Bertrand en un mercado
durante infinitos períodos de tiempo. La demanda inversa de mercado viene dada
por P=a-bQ y el coste marginal de cada empresa es constante e igual a c. Suponga
que el tipo de interés de mercado es del 5%. ¿Podrá mantenerse un acuerdo
colusivo entre las empresas a lo largo del tiempo como un equilibrio del juego? ¿Y
si en vez de 10 hubiera 100 empresas?
Solución
+
El acuerdo colusivo consiste en poner el precio de monopolio   =

2
Suponemos que a igualdad de precios las empresas se reparten en partes iguales
la demanda. En este caso cada empresa obtiene en cada período la décima parte
Π
. El Valor Actual Neto de cumplir el acuerdo
de los beneficios de monopolio
10
es:
49
Π
¶
µ ¶µ
105
Π
10

=
1
10
005
=0
1−
105
Si decide incumplir el acuerdo lo óptimo es bajar ligerísimamente el precio de
tal manera que acapare toda la demanda y obtenga la totalidad del beneficio de
monopolio Π . Pero a partir de ese período va a obtener 0 porque las empresas
pasan a competir a la Bertrand. Entonces cumplirá el acuerdo porque se cumple
que:
µ ¶µ
¶
Π
105
= 21 Π ≥ Π
10
005
Para el caso  = 100, sólo hay que sustituir el 10 por 100 en la expresión
anterior. No se cumple el acuerdo porque tenemos que
¶
µ ¶µ
105
Π
= 021 Π  Π
100
005
∞
X
Π
µ ¶X
∞
1
10 = Π
=

(105)
10 =0 (105)
Aumentos en el número de competidores dificultan la estabilidad de los acuerdos colusivos.
3.(Deneckere (1983)) Suponga que tenemos dos empresas (empresa 1 y 2) que
compiten a la Cournot. La empresa  ( = 1 2) produce el bien  cuya demanda
que expresa el precio del producto  , en función de los niveles de produción  y
 viene dada por:
 = 1 −  − 
  = 1 2  6=  y 1 ≥   0
Es decir es el primer caso en que vemos que las empresas venden productos diferentes. Pero sus demandas están relacionadas. Cuanto más alto es  más relacionadas están las demandas. Se dice que menor es el grado de diferenciación de
los productos. En el caso extremo es cuando =1 y tenemos que las dos empresas venden el mismo producto. El otro caso extremos es cuando  = 0. En tal
caso, los bienes son independientes y sus demandas no están relacionadas. No hay
costes de producción. Las empresas compiten en el mercado infinitos períodos de
tiempo. Determine los valores del tipo de interés para los cuales se puede mantener el acuerdo colusivo. Estudie el efecto de  (grado de diferenciación) sobre
la posibilidad de sostener el acuerdo colusivo.
50
Solución
En primer lugar, derivamos los beneficios en el equilibrio de Cournot estático, con la maximización conjunta de beneficios (monopolio) y los beneficios de
desviarse de la solución de monopolio.
Equilibrio de Cournot:
Los beneficios de la empresa  vienen dados por:
  = (1 −  −  )

= 1 − 2 −  = 0

  = 1 2  6= 
(4.1)
(4.2)
Como el equilibrio será simétrico, podemos obtenerlo imponiendo simetría en la
C.P.O. 1 = 2 = .
1 − 2 −  = 0
1
 =
2+
. Entonces, los beneficios vienen dados por:
.
 = (1 − (1 + )  ) 
µ
¶µ
¶
1+
1

 =
1−
2+
2+
¶µ
¶
µ
1
1

 =
2+
2+
¶2
µ
1
 =
2+
Maximización conjunta de beneficios (monopolio):
Los beneficios conjuntos vienen dados por:
Π = (1 − 1 − 2 )1 + (1 − 2 − 1 )2
Π
= 1 − 1 − 2 − 1 − 2 =
1
= 1 − 21 − 22 = 0
51
Como la solución que maximiza el beneficio será simétrica, podemos obtenerla
imponiendo simetría en la C.P.O. 1 = 2 = .
1 − 2 − 2 = 0
 =
1
2(1 + )
Entonces los beneficios de monopolio (por empresa) vienen dados por:
  = (1 − (1 + )  )
µ
¶µ
¶
(1 + )
1


=
1−
2(1 + )
2(1 + )
¶µ
¶
µ
1
2(1 + ) − (1 + )

=

2(1 + )
2(1 + )
(1 + )
 =
4(1 + )2
1

 =
4(1 + )
Beneficios de desviarse:
Si la empresa  produce  , los beneficios de la empresa  son:
  = (1 −  −

)
2(1 + )


= 1−
− 2 = 0

2(1 + )

2(1 + ) − 
=
− 2 = 0

2(1 + )

2+
− 2 = 0
=

2(1 + )
2+
∗ =
4(1 + )
52
Entonces los beneficios de desviarse son:

) ∗
  = (1 − ∗ −
2(1 + ) 
¶µ
¶
µ

2+
2+

−
 =
1−
4(1 + ) 2(1 + )
4(1 + )
¶µ
¶
µ
2+
4 + 4 − 2 −  − 2

 =
4(1 + )
4(1 + )
µ
¶µ
¶
2+
2+
 =
4(1 + )
4(1 + )
¶2
µ
2+

 =
4(1 + )
La maximización conjunta de beneficios se puede sostener en equilibrio si:
µ
¶
1+



≥  +


es decir, si
 (1 + ) ≥  +  
 −   ≥ ( −   )
 =
 − 
≥
 − 
Cuanto menor sea el tipo de interés menos descontamos el futuro y más nos
interesará cumplir el acuerdo colusivo. Calculemos el valor del tipo de interés que
hace que las empresas respeten el acuerdo colusivo si el tipo de interés es inferior
a ese valor.
Como tenemos que:
µ
¶2
1
2+


=
−
=
 −
4(1 + )
4(1 + )
4 +  2 + 4 − 4 − 4
 −  =
=
(4(1 + ))2
2
 −  =
(4(1 + ))2
53


−

 − 
µ
¶2
1
1
−
=
=
4(1 + )
2+
4 +  2 + 4 − 4 − 4
=
=
4(1 + )(2 + )2
2
=
4(1 + )(2 + )2
Entonces,
 =
2
4(1+)(2+)2
2
(4(1+))2
 =
4(1 + )
(2 + )2
=
Tenemos que
¶
µ
(2 + )2 − 2(2 + )(1 + )

=
= 4

(2 + )4
µ
¶
µ
¶
(2 + ) − 2(1 + )
(2 + ) − 2 − 2
= 4
=4
=
(2 + )3
(2 + )3
¶
µ
−
0
= 4
(2 + )3
. Entonces cuando los bienes se vuelven más diferenciados (decrece ) se amplía
el conjunto de valores del tipo de interés para los cuales se sostiene el acuerdo
colusivo.
54
5. Resolución Lista V. Barreras de entrada.
1
1. Supongamos que la demanda de un mercado viene dada por  = . El coste

1
de instalarse se iguala a  =
. La función de costes de las empresas una
100
vez instaladas es () = , donde  es la cantidad producida. Las empresas
instaladas compiten a la Cournot. Se pregunta.
a) Halle el número de empresas activas en el equilibrio de libre entrada.
b) Calcule el número de empresas activas que maximizarían el bienestar social.
Compare el resultado con el obtenido en el primer apartado.
Resolución.
a)El beneficio de una empresa cuando han entrado  viene dado por (denotamos las empresas con un número natural de 1 hasta n):
1
  = ( P
=1

− )
 
1

= P
−  − ³P


=1 
=1

´2 = 0
Como el equilibrio será simétrico podemos obtenerlo imponiendo simetría en la
condición de primer orden anterior:
 
1
1
=
−− 2 =0



µ
1

¶µ
¶
1
1−
=

1
= 

−1
= 

−1
=
2
1 −1

−+1
1
−  = −
=
=
= 2
2
2





1−
55
El número de empresas en el equilibrio con libre entrada viene dado por:
1
1
=
2

100
 = 10
b) El bienestar social en función del número de empresas se puede escribir de
la siguiente forma:
Z −1
  − (  − 1 ) − 
 () =


100
0
El número de empresas que maximizará el bienestar social será aquél que cumpla
la Condición de Primer Orden con igualdad.
¶
µ
¶µ
 − ( − 1)

1
 − ( − 1)
0
−
−
 () =
=0
2
2
−1


100

1
1
− 2−
=0
 0 () = 2
 ( − 1) 
100
2
 −  + 1 −  (−1)
100
=0
2 ( − 1)
2
1 −  (−1)
100
=0
2 ( − 1)
Se puede comprobar que  = 5 es el único número real que satisface la ecuación
anterior. En consecuencia el número de empresas que maximizaría el bienestar
social sería 5. Vemos que con libre entrada tenemos demasiada entrada.
2. Supongamos que la demanda de un mercado viene dada por  = 10 − .
El coste de instalarse ( ) se iguala a 1. La función de costes de las empresas una
vez instaladas viene dada por () = 2
a) Halle el número de empresas activas en equilibrio de libre entrada.
b) Halle el número de empresas que maximizaría el bienestar social.
c) Obtenga el precio de la licencia que conseguiría que las empresas con libre
entrada coincidiera con el que maximiza el bienestar social.
Resolución:
a) El beneficio de una empresa cuando han entrado  viene dado por (denotamos las empresas con un número natural de 1 hasta n) :
56
Π = (10 −

X
=1
 − 2)
La condición de primer orden viene dada por:
X
Π
=8−
 −  = 0

=1

Como todas las empresas son simétricas, el equilibrio también será simétrico.
Podemos obtenerlo imponiendo simetría en la condición anterior  = :
8 − ( + 1) = 0
8
+1
Esto supone un beneficio individual de
µ
¶
8
8
)
=
Π = (8 −
+1 +1
¶µ
¶
µ
8
8( + 1) − 8
=
=
+1
+1
µ
¶µ
¶ µ
¶2
8
8
8
=
=
+1
+1
+1
=
La condición de beneficio cero nos da el
µ
¶2
8
+1
8
+1
∗
número de empresas activas:
= 1
= 1
= 7
b) El excedente social en el mercado como función de la cantidad intercambiada
57
en el mercado  se escribe como:
 () =
Z
0

(10 − ) − 2 =
2 
| − 2 =
2 0
2
− 2 =
= 10 −
2
2
= 8 −
2
= 10 −
Para escribir el bienestar social en función  hay que sustituir  por su nivel
8
) y añadir el coste fijo.
en función de  ( =
+1
 () =
=
=
=
=
0
 () =
=
=
=
=
642
64
−=
−
 + 1 2( + 1)2
64( + 1) − 322
−=
( + 1)2
642 + 64 − 322
−=
( + 1)2
322 + 64
−=
( + 1)2
32( + 2)
−
( + 1)2
¶
( + 2 + )( + 1)2 − 2( + 1)( + 2)
−1=
32
( + 1)4
µ
¶
( + 2 + )( + 1) − 2( + 2)
32
−1=
( + 1)3
¶
µ
(2 + 2)( + 1) − 22 − 4
−1=
32
( + 1)3
µ 2
¶
2 + 2 + 2 + 2 − 22 − 4
32
−1=
( + 1)3
64
−1=0
( + 1)3
µ
58
64 = 43 = ( + 1)3
4 = +1
=3
Tenemos demasiada entrada con libre entrada.
c) Tiene que ocurrir que con  = 3, los beneficios se igualen al coste de
instalación más el precio de la licencia ().
64
=1+
16
4=1+
=3
Con una licencia de 3, se logra que entren el número óptimo de empresas.
3. Hallar para qué valores de la producción , la siguiente función de costes
presenta economías
de escala:
√
() = 2  + 2
Resolución.
√
() = 2  + 2 = 212 + 2
Tenemos economías de escala si el coste marginal es menor que el coste medio:
 0 () = −12 + 2 
212 + 2
= 2−12 +  = 

  −12 =
1
12
32  1
1
Tenemos economías de escala si el coste medio es decreciente:
0 () = −−32 + 1  0
1
1  −32 = 32

32

 1
59
1
4. Si en un mercado entran  empresas, la demanda de cada una de ellas
vendrá dada por:
−
 () = P  − con   2.
(5.1)
=1 
El coste unitario de producción se iguala a   0.
Halle el número de empresas que entrarán en dicho mercado si el coste fijo de
entrada es  . Las empresas una vez en el mercado compiten en precios.
Solución:
Una vez han entrado  empresas, el beneficio de una de ellas se iguala a:
La C.P.O. se iguala a:
−
 = ( − ) P  −
=1 
⎛
−−1
⎜ −
 
−
= P  − + ( − ) ⎝

=1 
P
−
=1 
⎞
+ −−1
−

 ⎟
⎠
³P
´2

−
=1 
=0
(5.2)
Como las empresas son simétricas, el equilibrio será simétrico y podemos obtenerlo
imponiendo simetría ( =  = ) en (5.2). Simplificamos las .
¶
µ
−
−−−1 − + −2−1
= 0
+ ( − )
−
(− )2
¶
µ
−−2−1 + −2−1
1
= 0
+ ( − )

2 −2
µ −2−1
¶
(− + 1)

1
+ ( − )
= 0

2 −2
µ
¶
1
(− + 1)
+ ( − )
= 0

2 
 + (− + 1)( − ) = 0
( − ( − 1)) + ( − 1) = 0
( − 1) = −( − ( − 1))
( − 1) = (( − 1) − )
( − 1)
 =
( − 1) − 
60
Estudiamos el efecto de  sobre el precio:
µ
¶
( − 1) −  − ( − 1)

= ( − 1)
=

(( − 1) − )2
µ
¶
−
= ( − 1)
0
(( − 1) − )2

 0. Por lo tanto  mide el grado de competencia en el

mercado. Cuanto mayor sea , menor el precio y mayor la competencia en la
industria.
Como paso previo al cálculo del beneficio, computamos el margen de las empresas:
Observe que
( − 1)
−
( − 1) − 
( − 1) − (( − 1) − )
− =
( − 1) − 

− =
( − 1) − 
− =
La demanda de cada empresa en un equilibrio simétrico es
−
−

P  − = − =


=1 
Entonces, los beneficios de las empresas que han entrado se igualan a:
µ
¶µ ¶



 = ( − ) =
=
( − 1) − 

( − 1) − 
El número de empresas que entran viene dado por la condición de beneficio
61
cero:

( − 1) − 






= 
(5.3)
= ( − 1) − 
(5.4)
=  −  − 
(5.5)
= ( − 1) − 
¡  ¢
+

 =
−1
(5.6)
Vamos a estudiar el efecto de  sobre el número de empresas:
 − 1 − 
−


=
=
2

( − 1)
−1 − 

=
0
( − 1)2

 0. Cuanta mayor la competencia en el mercado, menores los

beneficios y, por lo tanto, menor el número de empresas que entran. Es un ejemplo
en que vemos que la conducta afecta a la estructura.
Se puede comprobar que incrementos en el tamaño del mercado (de 0 a 1 ,
por ejemplo) se traducen en un incremento proporcional menor del número de empresas. Eso es lo que ocurría también en el caso lineal y tenía efectos importantes
sobre como el crecimiento del mercado afectaba a la concentración. A la izquierda
de la desigualdad tenemos el incremento proporcional en el número de empresas y
en el lado derecho tenemos el incremento proporcional en el tamaño del mercado.
Observe que
62
Veremos que el lado derecho es más grande que el lado izquierdo.
! á ¢
!
á ¢
¡ 0  ¢
1 
0 
+

+

+

1 − 0


− 


−1
−1
−1
0
á ¢
! á ¢
!
0 

(1 − 0 )
+
1 − 0




−1
−1
0

¡ 0  ¢

+

1
0

¡ 0  ¢

+
 1
Esta desigualdad se cumple. Entonces todas las anteriores se cumplían. En
particular, la primera que decía que el incremento proporcional del número de
empresas era menor que el incremento proporcional del tamaño del mercado.
5. Encuentre los niveles de producción para los cuales la siguiente función de
costes es subaditiva pero no presenta economías de escala:
() =  + 2
Solución:
Presentará economías de escala si el coste medio es mayor que el coste marginal:

+


 

2  
√

 
2 
Tendremos que los costes son subaditivos cuando
 + 2  2 + 21 + 22
 = 1 + 2
La parte derecha de la desigualdad se minimiza cuando 1 = 2 =
 2
1 1
+ ( − 1 )2
63

, ya que:
2
La condición de primer orden del programa de minimización es:
21 − 2( − 1 ) = 0
41 − 2 = 0

1 =
2
Es decir, para que tengamos que los costes son subaditivos tiene que darse que:
³  ´2
 + 2  2 + 2
2
2

 + 2  2 +
2
2

 
2
√
 
2
√
√
Para     2 los costes son subaditivos pero no tenemos economías de
escala. Es decir, economías de escala implican subaditividad pero no a la inversa.
6. La tecnología única de producción del bien A consta de un coste de instalación ( ) igual a 1 y de un coste marginal constante de producción () igual a 2.
Calcule el número de empresas con libre entrada en el mercado del bien A en el
país 1 con demanda  = 9(10 −  ) y en el país 2 con demanda  = 16(10 −  ).
Calcule el número de empresas en el equilibrio con libre entrada si los dos países
deciden integrarse comercialmente. Comente el resultado. Suponga que las empresas compiten a la Cournot.
Solución:
Para poder solucionar el problema para los casos particulares que se señalan
vamos a solucionar el equilibrio de libre entrada para demandas  = ( −  ).

Despejando el precio tenemos  =  − . En la etapa de mercado, suponiendo

que han entrado  empresas, calculamos el equilibrio.
El beneficio de una de las empresas que han entrado, llamémosla , viene dado
por:
Π = ( − 2 −
64

X

=1

)
La CPO de su programa de maximización viene dado por:
X  
Π
−
= 0
=−2−



=1

(5.7)
En las producciones de equilibrio tiene que cumplirse la condición de primer
orden para cualquier empresa que haya entrado. Esto nos determina un sistema
de  ecuaciones y  incógnitas. Dada la simetría de las hipótesis, cada empresa
producirá los mismo en equilibrio. Podemos obtener ese nivel de producción imponiendo ∗1 =  = ∗ = ∗ en (5.7):
−2−
( + 1)∗
= 0

( − 2)
∗ =
( + 1)
A partir de aquí se puede calcular el beneficio de equilibrio. Como paso previo
calculamos el precio
´
³
(−2)

(+1)

 = −
=−
=


 + 2
( + 1) −  + 2
=
=
( + 1)
+1
En este caso el margen es:
 + 2
−2
+1
−2
 + 2 − 2( + 1)
=
 −2 =
+1
+1
 −2 =
Por lo tanto el beneficio que es el margen por la cantidad vale:
¶
µ
 − 2 ( − 2)
∗
Π =
 + 1 ( + 1)
¶2
µ
−2
∗
Π = 

( + 1)
65
Para obtener el número de empresas que entran hay que utilizar la condición
de beneficio cero:
µ
¶2
−2

= 1
( + 1)
µ
¶
√
−2

= 1
+1
Despejando  tenemos:
√
 = ( − 2)  − 1
Eso implica que antes de la integración en el país A había  = 8 ∗ 3 − 1 = 23
empresas y en el país B  = 8 ∗ 4 − 1 = 31.
Para ver el número de empresas activas en el equilibrio de libre entrada cuando
el mercado se integra tenemos que calcular la demanda del mercado integrado.
Será el resultado de sumar a cada precio lo que se demandaba en A y en B:
 = 9(10 −  ) + 16(10 −  ) = 25(10 −  )
Así que en el mercado integrado operarán  = (10 − 2) ∗ 5 − 1 = 39 empresas.
Podemos ver que  +   . Es decir, la integración conlleva una reducción
en el número de empresas activas. Eso supone un aumento de la concentración.
7. La tecnología única de producción de un bien consta de un coste de instalación ( ) igual a 3 y de un coste marginal constante de producción () igual a
2. La demanda del bien viene dada por  = 12(10 −  ). Calcule el número de
empresas con libre entrada entrada si las empresas que entran en el mercado:
a) compiten a la Cournot.
b) compiten a la Bertrand
c) llegan a un acuerdo colusivo.
Solución:


a) Primero hallamos la demanda inversa.
= 10− .  = 10− . Entonces,
12
12
si entran  empresas, el beneficio de una de ellas, llamémosla , viene dado por:
1 X
 )
Π = (8 − ( )
12 =1

66
Cuando compiten a la Cournot, las empresas escogen cantidades y, en equilibrio, maximizan sus beneficios individuales. Para la empresa  esto significa:
Π
1 X

=0
=8−( )
 −

12 =1
12

(5.8)
Como las empresas son iguales el equilibrio será simétrico ∗1 =  = ∗ = ∗ .
Imponiendo esta simetría en (5.8) obtenemos las cantidades de equilibrio:
8−
( + 1)∗
= 0
12
∗ =
96
( + 1)
A partir de aquí se puede calcular que el margen
 − 2 = 10 −
96
(+1)
−2=
12
8( + 1) − 8
8
8
=
=
= 8−
+1
+1
+1
y, a continuación podemos calcular el beneficio que es igual al margen por la
cantidad.
µ
¶µ
¶
µ
¶2
8
96
8
∗

= 12
Π =
( + 1)
( + 1)
( + 1)
El número de empresas que entran se obtiene a partir de la condición de beneficio
cero:
µ
¶2
8
12
= 3
( + 1)
µ
¶2
12
8
= 1
3 ( + 1)
¶
µ
8
= 1
2
( + 1)
 = 15
b) Si las empresas que entran compiten a la Bertrand, sabemos que sólo obtendrán beneficios positivos en monopolio. Siempre que entre más de una empresa,
67
el beneficio será nulo. De esta manera tenemos que  = 1 ya que es la única
manera de poder cubrir el coste fijo.
c) Si las  empresas que entran llegan a un acuerdo colusivo, cada una obtendrá la enésima parte del beneficio de monopolio (se corresponde al caso con una
empresa en el apartado a). De esta manera la condición de beneficio cero equivale
a:
12
( )16 = 3

 = 64
Se puede comprobar que cuanto más competitiva sea la conducta en el mercado,
menor será el número de empresas que entran en el mercado. Esto explica que el
precio sea menor cuando las empresas compiten a la Cournot que cuando compiten
a la Bertrand.
8. Supongamos que la demanda de un mercado viene dada por  =  − .
El coste de instalarse se iguala a  . La función de costes de las empresas una
vez instaladas viene dada por () = , donde  es la cantidad producida. Las
empresas instaladas compiten a la Cournot. Se pregunta.
a) Halle el número de empresas activas en equilibrio de libre entrada.
b) Calcule el número de empresas activas que maximizarían el bienestar social.
Resolución:
a) Si entran  empresas, el beneficio de una de ellas, llamémosla , viene dado
por:
Π = ( −

X
=1
 − )
Cuando compiten a la Cournot, las empresas escogen cantidades y, en equilibrio, maximizan sus beneficios individuales. Para la empresa  esto significa:
X
Π
=−−
 −  = 0

=1

(5.9)
Como las empresas son iguales el equilibrio será simétrico ∗1 =  = ∗ = ∗ .
Imponiendo esta simetría en (5.9) obtenemos las cantidades de equilibrio:
 −  − ( + 1)∗ = 0
∗ =
−
+1
68
En este caso, el beneficio en equilibrio se iguala a:
¶
µ
¶
−
−
− )
 = ( −  − ) = ( − 
+1
+1
¶µ
¶ µ
¶2
µ
−
−
( + 1) −  +  − ( + 1)
=
=
+1
+1
+1
µ
El número de empresas en libre entrada viene determinado por la condición de
beneficio cero:
µ
−
+1
 = 
¶2
= 
 =
−
√ −1≥1

Suponemos que al menos hay una empresa en el equilibrio con libre entrada.
b) El bienestar en la etapa de mercado dado un nivel de producción  viene
dado por:
Z

2 
| −  =
2 0
0
2
2
=  −
−  = ( − ) −
2
2
() =
( − ) −  =  −
El bienestar como función del número de empresas viene dado por:
 () = () − 
µ
¶
−
donde  = 
se iguala al nivel de ventas con  empresas.
+1
El número de empresas que maximiza el bienestar satisface:
 0 () = ( − )


−
− =0


Teniendo en cuenta que
 −  ( − )

( + 1)( − ) − ( − )
−
=
−
=
=
2
2

 + 1 ( + 1)
( + 1)
( + 1)2
69
, se puede reescribir como:
µ
¶2
( − )2 
−
− = 0
( + 1)3
µ
¶
+1−
2
( − )
− = 0
( + 1)3
( − )2
− = 0
( + 1)3
( − )23
−1
∗ =
 13
−
+1
Vamos a ver que tenemos demasiada entrada con libre entrada:

−
√

13
( − )
( − )23  12
( − )13
 16
¶13
µ
−
√

Esto se cumple porque
 ∗
( − )23

 13
 1
 1
 1
−
√  2

Era la condición que garantizaba que al menos había una empresa en el equilibrio
con libre entrada.
9. La demanda de un mercado viene dada por  = 10 − . Existe una empresa establecida que produce con coste marginal constante  = 2, y una empresa
entrante potencial que tiene un coste de entrada  y una tecnología que le permite
producir también con un coste unitario constante  = 2 Tras observar la producción de la empresa establecida, el entrante decide si entrar o no en el mercado y,
en caso de entrada, decide su producción. Calcule el rango de valores de  para
los que la empresa establecida decide acomodar la entrada.
Solución:
70
La función de beneficios de la empresa seguidora si entra en el mercado vale
 = (8 −  −  )
La CPO de primer orden nos da la producción óptima si entra en el mercado:

= 8 − 2 −  = 0

Solucionando tenemos la producción óptima
8 − 
2
Sólo querrá entrar en el mercado si obtiene un beneficio en el mercado mayor que
F. El beneficio en el mercado es:
 =
8 − 
8 − 
) −  )(
) =
2
2
16 − 8 +  − 2 8 − 
(
)(
) =
2
2
(8 − (
=
En consecuencia, le conviene entrar en el
µ
¶2
8 − 
−
2
µ
¶2
8 − 
2
8 − 
2
es decir, si 
µ
8 − 
2
¶2
mercado si:
≥ 0
≥ 
≥
√

√
 8 − 2 
Esto
√ implica que la función de reacción de la entrante es discontinua en  =
8 − 2  . Esto es lo que distingue lo que estamos estudiando con el modelo de
Stackleberg visto con anterioridad.
Entonces, si con la producción
de monopolio ( = 4), la empresa seguidora no
√
quiere producir, 4 ≥ 8 − 2   es decir,  ≥ 4, la empresa establecida produce la
71
producción de monopolio y la empresa entrante no produce (no entra). En este
caso se dice que la entrada está bloqueada.
En otro caso, si   4, la empresa líder tiene que comparar los beneficios
permitiendo que la seguidora entre en el mercado (entradada acomodada) con los
que obtendría produciendo la cantidad mínima que impediría la entrada de la
empresa seguidora (entrada impedida):
En el primer caso (entrada acomodada), la función objetivo del líder, teniendo
8 − 
en cuenta que la empresa seguidora producirá
es:
2
 = (8 −  −
8 − 
8 − 
) = (
)
2
2
(5.10)
1

= ( )(8 − 2 ) = 0

2
 = 4
Sustituimos en (5.10) la producción obtenida para calcular el beneficio de la
empresa acomodando la entrada:
4
 = ( )4 = 8
2
Si decide impedir la entrada producirá la cantidad
mínima que hace que la
√
seguidora no entre
√ en el mercado.
√
√ ( = 8√− 2  ) y obtendrá un beneficio de
  = (8 − 8 + 2  )(8 − 2  )=2  (8 − 2  )).
Para dejar que produzca tiene que ocurrir:
√
√
8 − 2  (8 − 2  ) ≥ 0
(5.11)
√
Para que nos quede una ecuación de segundo grado hacemos  =  . Tenemos
en este caso
 () = 8 − 2(8 − 2) = 8 − 16 + 42 ≥ 0
Las soluciones a la ecuación de segundo grado son
√
√
16 ± 256 − 128 16 ± 42 22 2
 =
=
=
8
√8
√
16 ± 8 2
=2± 2
=
8
72
√
√
Como  () es convexa, la desigualdad se cumple si  ≥ 2 + 2 o si  ≤ 2 −√ 2.
Para escribirlo
√ en función de  lo elevamos al cuadrado y tenemos  ≥ 6 + 4 2 y
 ≤ 6 − 4 2. La primera desigualdad no nos interesa, porque estamos viendo
√ el
caso  
√ 4 Así que la empresa establecida acomoda la entrada si  ≤ 6 − 4 2.
Si 6 − 4 2    4 la empresa líder impide la entrada.
6. Resolución Lista VI. Diferenciación de producto
1. (Cabral pp. 86-7) Supongamos que tenemos el modelo de diferenciación horizontal estudiado en clase con precio regulado  y coste unitario . Tenemos dos
empresas (A y B). La empresa A puede instalar dos tiendas, mientras que la empresa B sólo puede instalar una tienda. El coste de instalar una tienda es de  .
Se cumple que:
( − )
( − )
 
4
2
Analice el equilibrio del siguiente juego.
En una primera etapa, la empresa A escoge la ubicación de sus tiendas.
En una segunda etapa, la empresa B escoge la ubicación de su tienda.
Resolución.
Si la empresa A escoge sólo una tienda, su elección óptima será instalarse en
la mitad (como en el caso analizado en clase). La empresa B se colocará en el
( − )
mismo sitio. Cada empresa obtendrá de beneficio
−   0.
2
Pero la empresa A puede preferir instalar dos tiendas para reducir la demanda
que pueda obtener la empresa B instalando una tienda e impedir, en consecuencia,
su entrada. Supongamos que instala dos tiendas una en 1/4 y la otra en 3/4.
De esta manera la demanda que puede obtener la empresa 2 es como máximo
1/4.Veámoslo. Si se coloca entre las dos tiendas en x obtendrá como demanda la
diferencia entre el punto equidistante entre 3/4 y x y el punto equidistante entre
x y 1/4. El punto equidistante entre 3/4 y x es 34+
. El punto equidistante entre
2
+14
x y 1/4 es 2 . Su resta es
24
34 +   + 14
−
=
= 14
2
2
2
Lo mismo si se coloca en 1/4- o en 3/4+, obtiene una demanda de 1/4. Si se
coloca en 1/4 (o en 3/4) obtiene la mitad de la demanda en ese punto. La mitad
de los consumidores van a comprar en ese punto y, por esto, va a obtener una
73
demanda de 1/4. Pero con una demanda de 1/4 no le interesa entrar porque se
cumple que (−)
  . En este caso la empresa A obtiene de beneficio (−)−2 =
4
−
−
2(
− ) que es mayor que lo que obtenía colocando una sola tienda
− .
2
2
Por lo tanto, la empresa A colocará dos tiendas e impedirá la entrada.
2. Suponga que una población de consumidores se distribuye uniformemente a
lo largo de un segmento de longitud 1. Cada consumidor sólo quiere comprar una
unidad del bien. Tenemos dos empresas instaladas. La empresa A se encuentra
a una distancia  de un extremo y la empresa B se encuentra a una distancia 
(  14 ) del otro extremo. El coste unitario de producción es constante e igual
para las dos empresas y lo denotamos por . La función de costes de transporte
de cada consumidor se iguala a: () = , donde  es la distancia que tiene que
recorrer el consumidor desde su ubicación hasta la tienda.
a) Calcule las funciones de demanda de los bienes que venden las empresas en
función de los precios.
b) Calcule los precios que ponen las empresas.
Resolución.
a) Para hallar las demandas buscamos el consumidor indiferente:
 + ( − ) =  + (1 −  − )
 +  −  =  +  −  − 
2 =  −  + 
 −  1
+
=
2
2
Esta es la demanda de la empresa A y 1 −  es la demanda de la empresa B.
b) El beneficio de la empresa A viene dado por:
Π = ( − )(
 −  1
+ )
2
2
Π
 −  1  − 
=
+ −
=0

2
2
2
El equilibrio será simétrico  =  y así obtenemos el precio de equilibrio :
1 −
−
=0
2
2
=+
74
El beneficio se equilibrio es:

2
3. (Shy (1995)p.165) Suponga que una población de consumidores se distribuye uniformemente a lo largo de un segmento de longitud 1. Cada consumidor
sólo quiere comprar una unidad del bien. Tenemos dos empresas instaladas. La
empresa A se encuentra en el extremo izquierdo del segmento y la empresa B en
el extremo derecho. Como el viento sopla de derecha a izquierda, desplazarse a
la izquierda supone un coste () =  pero desplazarse hacia la derecha un coste
() = ,   1. Calcule el equilibrio en precios si no hay costes de producción.
Solución:
Calculemos en primer lugar el consumidor indiferente:
Π=
 +  =  + (1 − )
 =  −  +  − 
 +  =  −  + 
=
 −  + 
1+
µ
 −  + 
1− = 1−
1+
1 +  − 
=
1+
¶
=
1 +  −  +  − 
1+
El beneficio de las empresas A y B viene dado respectivamente por:
  = 
  = (1 − )
Las condiciones de primer orden son:
¶
µ
1
 
( − 2 + ) = 0
=

1+
¶
µ
 
1
(1 +  − 2 ) = 0
=

1+
75
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Despejando  de la primera ecuación obtenemos:
 +  = 2
 + 
 =
2
(6.4)
Y lo sustituímos en la segunda ecuación para obtener  .
 + 
− 2 = 0
2
2 +  +  − 4 = 0
2+
 =
3
1+
Sustituímos ese valor en (6.4)obtenemos  :
2+
3
+
2 +  + 3
=
=
2
6
2 + 4
1 + 2
=
=
6
3
 =
Para hallar la cantidad vendida por cada empresa en equilibrio, obtenemos la
diferencia de los precios:
 −  =
1−
2 +  1 + 2
−
=
3
3
3
Lo sustituímos en (6.3) para obtener las ventas de la empresa A:
=
1−
3
+
1 −  + 3
1 + 2
=
=
1+
3(1 + )
3(1 + )
Las ventas de la empresa B se igualan a 1 −  :
1−
1 + 2
3(1 + ) − 1 − 2
2+
=
=
3(1 + )
3(1 + )
3(1 + )
En consecuencia, los beneficios respectivos de A y B son:
(1 + 2)2
(2 + )2
y  =
 =
9(1 + )
9(1 + )
76
Obsérvese que      y que
 
4(1 + 2)(1 + ) − (1 + 2)2
(1 + 2) (4 + 4 − 1 − 2)
=
=
=
2

9(1 + )
9(1 + )2
(1 + 2)(3 + 2)
=
0
9(1 + )2
 
2(2 + )(1 + ) − (2 + )2
(2 + )(2 + 2 − 2 − )
=
=
=

9(1 + )2
9(1 + )2
(2 + )
=
0
9(1 + )2
Un incremento en  aumenta la diferenciación y estimula los beneficios.
4. (Eaton and Lipsey (1975) Review of Economic Studies; 42(1) p. 27-49).
Suponga que los consumidores están uniformemente distribuidos en el segmento
de longitud unitaria. El precio del bien está regulado a un nivel  mayor que
el coste unitario . Las empresas deciden donde colocarse (sólo pueden escoger
una ubicación). Encuentre el equilibrio si hay 4 empresas en el mercado. (Nota:
cuando tenemos más de una empresa en la misma ubicación, dichas empresas se
reparten en partes iguales la demanda en esa ubicación).
Solución:
La obtención del equilibrio surge de la observación que no puede ser que en
uno de los extremos del segmento tengamos una empresa ubicada en solitario.
Siempre ganaría acercándose al competidor. Por otro lado, la misma ubicación
para todas las empresas no puede ser de equilibrio. Cada empresa obtendría una
demanda de 14 y podría obtener 12 desplazándose hacia el lado grande del mercado.
(Hay que hacer notar ques estas dos observaciones también se aplican al caso con
3 empresas y explican que no haya equilibrio en ese caso).
De tal modo que en equilibrio las empresas tienen que estar aparejadas, dos
en el punto  y las otras dos en el punto  (  ). A continuación buscamos los
valores de  e .
Las empresas que están ubicadas en  obtienen la mitad de la demanda en ese
+
punto:
. En equilibrio no tienen que querer desviarse ni a la izquierda ni a
4
la derecha. Esto implica respectivamente lo siguiente:
+
≥ 
4
+
−
≥
4
2
77
La primera condición implica  ≥ 3 y la segunda  ≤ 3. Por lo tanto entre
las dos suponen:
 = 3
Las empresas que están ubicadas en  obtienen la mitad de la demanda en ese
punto:
1 − +
2−−
2
=
2
4
. En equilibrio no tienen que querer desviarse ni a la derecha ni a la izquierda.
Esto implica respectivamente lo siguiente:
2−−
≥ 1−
4
2−−
−
≥
4
2
La primera condición implica 3 −  ≥ 2 y la segunda 2 ≥ 3 − . Por lo
tanto, entre las dos suponen:
2 = 3 − 
1
3
De las dos condiciones obtenidas obtenemos que  = e  = . Cada empresa
4
4
obtiene una demanda de 1/4.
78
7. Investigación y Desarrollo.
1. Supongamos que tenemos una industria con demanda  =  − .  empresas
simétricas compiten à la Cournot en ese mercado. Sólo una de estas empresas
tiene la posibilidad de inventar un producto que volverá obsoleto al actual. La
demanda para ese producto vendrá dada por  =  − . Suponga que en ningún
caso, hay costes de producción.
Halle la cantidad que gastará la empresa en I+D si maximiza el beneficio
1
esperado y la probabilidad de obtener el invento viene dada por () = 1 −
,
1+
donde r es el gasto en I+D. ¿ Cómo varía esta cantidad con n ?
Resolución
¶2
µ
−
. Si lo tiene obtenSi no tiene éxito en sus investigaciones obtendrá
+1
¶2
µ
−
. Es decir sus beneficios esperados de realizar un gasto  en I+D
drá
2
son:
µ
¶2
µ
¶2
1
−
−
1
 = (1 −
)
)
+(
1+
2
1+ +1
µ
¶2
¶2
−
−
1
−
=0
2
(1 + )2  + 1
õ
¶2 µ
¶!
−
−
1
=0
−
=
(1 + )2
2
+1
µ
¶2 µ
¶
−
−
=
−
= (1 + )2
2
+1

1
=

(1 + )2
Se maximiza en:
=
µ
sµ
−
2
¶2
−
µ
−
+1
¶
−1

Tenemos que
 0, ya que aumentos en  reducen la parte negativa de la

raíz cuadrada y por ello aumenta la inversión en I+D. El nivel de gasto aumenta
con la competencia antes del invento.
2. Tenemos un mercado con demanda  = 1 − . Dos empresas operan en
ese mercado. La empresa 1 tiene un coste unitario de 01 y la empresa 2 de 04.
79
Un laboratorio de investigación dispone de una tecnología que permitirá producir
el producto a coste cero. El laboratorio piensa subastar la tecnología. ¿ Qué
empresa estará dispuesta a pujar más por la tecnología ? ¿ Tenemos persistencia
o sustitución ?
Resolución.
Cada empresa está dispuesta a pujar como máximo la diferencia entre los beneficios que obtendrá con la nueva tecnología y los que obtendrá si es el competidor
el que la utiliza. Para poder constestar lo que se nos pregunta hay que calcular
dichos beneficios. En ambas situaciones tenemos una empresa con costes nulos y
la otra tiene un coste de 01, si la empresa 2 gana la subasta, y de 04 si, por el
contrario, la gana la empresa 1.
Para poder englobar ambos casos vamos a obtener los beneficios para una
situación de mercado en que una empresa tiene coste 0 y la otra coste   0
para una demanda general  =  − . Si llamamos  a la producción de la
empresa eficiente y  a la producción de la empresa ineficiente, podemos escribir
los beneficios respectivos de la siguiente manera:
Π = ( −  −  ) y Π = ( −  −  − )
Las condiciones de primer orden de los programas de maximización respectivos
son:
Π
Π
=  −  − 2 −  = 0
=  − 2 −  = 0 y


Despejamos  de la primera ecuación y nos queda
=
 − 
2
(7.1)
Lo sustituimos en la segunda:
 − 
= 0
2
2 − 2 − 4 −  +  = 0
 − 2 = 3
 − 2
 =
3
 −  − 2 −
Lo sustituímos en (7.1) para obtener la producción de la empresa eficiente:
80
 − −2
3 −  + 2
2 + 2
+
3
=
=
=
6
6
6
3
lugar a los siguientes beneficios de equilibrio:
µ
¶
 +   − 2  + 
−
)
=
( −  −  ) = ( −
3
3
3
µ
¶µ
¶ µ
¶2
3 −  −  −  + 2
+
+
=
3
3
3
µ
¶
 − 2  +   − 2
−
)
=
( −  −  − ) = ( −  −
3
3
3
µ
¶µ
¶ µ
¶2
3 − 3 −  + 2 −  − 
 − 2
 − 2
=
3
3
3
=
Lo que da
Π =
=
Π =
=
Con esta información ya podemos calcular las pujas máximas que estarán dispuestas a realizar las empresas.
Para la empresa 1 será:
µ
¶2 µ
¶2
1 + 04
1 − 2 ∗ 01
132
−
=
3
3
9
El primer término de la resta son los beneficios si gana la subasta. En ese caso,
la empresa A tiene coste 0 y el competidor de 04. El segundo término representa
los beneficios si pierde la subasta. En ese caso, la empresa A opera con coste 01
y el competidor con coste 0.
Para la empresa 2 será:
µ
¶2 µ
¶2
1 + 01
1 − 2 ∗ 04
117
−
=
3
3
9
El primer término de la resta son los beneficios si gana la subasta. En ese caso,
la empresa B tiene coste 0 y el competidor de 01. El segundo término representa
los beneficios si pierde la subasta. En ese caso, la empresa B opera con coste 04
y el competidor con coste 0.
Resulta que la empresa 1 está dispuesta a pagar más por la innovación que
la empresa 2 y, en consecuencia, será la que utilizará la nueva tecnología. En
este caso, tenemos que la empresa con costes bajos es la que adquiere la nueva
81
tecnología lo que aumenta el diferencial de costes con la empresa ineficiente. Por
eso se dice que tenemos persistencia en el liderazgo.
3. Sea un duopolio compitiendo a la Cournot. La función de demanda viene
dada por Q=10-P. La empresa 1 tiene un coste unitario constante e igual a 4 y la
empresa 2 igual a 3. Un laboratorio exterior a la industria posee una tecnología
de proceso que permite producir el bien con un coste unitario igual a cero. Si
subasta la nueva tecnología,
a) ¿Qué empresa ganará la subasta? Diga si habrá persistencia o sustitución.
b) ¿Y si la empresa 1 tuviera un coste unitario de 2 y la empresa 2 un coste
unitario de 1?
Solución:
a) Utilizando los resultados del problema anterior podemos encontrar las pujas
de las diferentes empresas.
La empresa 1 pujará:
µ
¶2 µ
¶
10 + 3
10 − 2 ∗ 4
= 1833
−
3
3
La empresa 2 pujará:
µ
10 + 4
3
¶2
−
µ
10 − 2 ∗ 3
3
¶2
= 20
La empresa 2 está dispuesta a pujar más por el invento y en conscuencia ganará
la subasta. Tenemos que la empresa eficiente se queda con la patente y hablamos
en este caso de persistencia.
b) La empresa 1 pujará:
µ
¶2 µ
¶2
10 + 1
10 − 2 ∗ 2
−
= 944
3
3
La empresa 2 pujará:
µ
¶2 µ
¶2
10 + 2
10 − 2 ∗ 1
−
= 888
3
3
La empresa 1 pujará más por la innovación y, por lo tanto, ganará la subasta.
Tenemos que la empresa ineficiente se queda con la patente y hablamos en este
caso de sustitución.
82
4. Un mercado es servido por dos empresas, 1 y 2, que compiten en cantidades
con costes unitarios constantes a y b respectivamente, con ab. Un laboratorio
exterior a la industria patenta una innovación que permite reducir los costes de
producción a c, donde abc =0.
a) Si el laboratorio subasta la innovación entre las dos empresas, demuestre
que tendrá más incentivos a pujar y por tanto ganará la subasta la empresa 1 (2)
si y solo si los beneficios de la industria son mayores cuando la empresa 1 (2) gana
la subasta.
b) Suponga que a=4, b=2, c=0, y que la inversa de demanda viene dada por
P=10-Q. Compruebe si en este caso habrá persistencia o sustitución.
Solución:
a) Definamos los beneficios de la empresa 1 y la empresa 2 como función de
sus costes respectivamente como:  1 (1  2 ) y  2 (2  1 ), donde 1 es el coste de la
empresa 1 y 2 es el coste de la empresa 2.
La empresa 1 pujará por la teconlogía lo siguiente:
 1 (0 ) −  1 ( 0)
La empresa 2 pujará lo siguiente:
 2 (0 ) −  2 ( 0)
La empresa 1 ganará la subasta si su puja es mayor que el de la empresa 2, es
decir, si
 1 (0 ) −  1 ( 0)   2 (0 ) − 2 ( 0)
Reasignanado términos tenemos:
 1 (0 ) +  2 ( 0)   1 ( 0) +  2 (0 )
Quiere decir que el beneficio de la industria es mayor cuando la empresa 1 gana
la subasta (la empresa 1 tiene coste 0 y la empresa 2 tiene coste ) que cuando la
empresa 2 gana la subasta (la empresa 1 tiene coste  y la empresa 2 coste 0).
b) Utilizamos los cálculos del ejercicio 2.
La empresa 1 pujará:
¶2 µ
¶2
µ
10 − 2 ∗ 4
10 + 2
−
= 1555
3
3
83
La empresa 2 pujará:
¶2 µ
¶2
µ
10 − 2 ∗ 2
10 + 4
−
= 1777
3
3
La empresa 2 está dispuesto a pujar más por al innovación y, por lo tanto,
ganará la subasta. En este caso, tenemos persistencia.
84