1.- En un bloque hay tres tipos de viviendas distintas: estudios

1.- En un bloque hay tres tipos de viviendas distintas: estudios, normales y dúplex. Cada estudio tiene 1
estancia grande, 1 mediana y 2 pequeñas; cada vivienda normal tiene 2 estancias grandes, 3 medianas y 3
pequeñas, y cada dúplex, 3 estancias grandes, 5 medianas y 4 pequeñas. Cada estancia grande tiene 4
enchufes y 3 interruptores; cada estancia mediana, 3 enchufes y 2 interruptores, y cada estancia pequeña,
2 enchufes y 2 interruptores.
a) Escribe una matriz que describa el número y tipo de estancias en cada tipo de vivienda, y otra matriz
que exprese el número de enchufes e interruptores por cada tipo de estancia. (1 punto).
b) Calcula, a partir de las anteriores, la matriz que expresa el número de enchufes e interruptores por
cada tipo de vivienda. (1 punto).
c) Si en el bloque hay 25 estudios, 46 viviendas normales y 10 dúplex, ¿cuántos enchufes e interruptores
hay instalados en dicho bloque?. (0’5 puntos)
Solución:
a) Matriz que describe el número de tipos de estancias por cada vivienda:
1
= 1
2
2 3
3 5
3 4
Matriz que describe el número de enchufes e interruptores por cada tipo de estancias:
4 3 2
= 3 2 2
b) Para calcular la matriz que expresa el número de enchufes e interruptores por cada tipo de vivienda,
hay que calcular B·A:
1 2 3
4 3 2
11 23 35
· 1 3 5 = 3 2 2
9 18 27
2 3 4
11 23 35
= 9 18 27
c) Por último definimos la matriz que nos da la cantidad de viviendas de cada tipo que hay en el bloque:
25
= 46 10
Y para responder sólo tenemos que calcular: C·D:
25
1.683 11 23 35
· 46 = 1.323 9 18 27
10
6 
 4 2
 1 − 3
− 7
 , B = 
 y C = 
 . Se pide:
2.- Consideremos las matrices: A = 
 3 2
2 0 
 4 − 18 
a) Resuelve, utilizando la matriz inversa si es posible, la ecuación: A·X = B·X + C. (1’25 puntos)
2 X − Y = A
b) Resuelve el sistema: 
. (1’25 puntos)
 X + 2Y = B
Solución:
a) A·X = B·X + C → A·X – B·X = C → (A – B)·X = C, llamo D = A – B, con lo que tenemos: D·X = C,
si existe la inversa de la matriz D, D-1, podremos decir que:
X = D-1·C
4 2
1 −3
3 5
=
−
=
3 2
2 0
1 2
3 5
Para que exista D-1 se tiene que cumplir que: |D| ≠ 0, = 1, por lo tanto podemos calcular D-1.
1 2
௧
1
1
()௧ = 2 −1 = 2 −5
ିଵ =
||
−1 3
1 −5 3
Por lo tanto: = −7
6
−34 102
2 −5
·
=
4 −18
19 −60
−1 3
2 − = ாభ ିଶாమ
+ 2 = −2 −8
5
5
1
−2
5
5
b) 2 − = ଶாభ ାாమ
+ 2 = −5 = − 2
→ =
ିଵ
ହ
− 2
=
ିଵ 4
ହ
3
2
1 −3
− 2
=
2
2 0
9 1
1
1
4 2
1 −3
5
+
= 5
5 = 2 + → = 2 + = 2 8
4
3
2
2
0
5
5
5 5
3.- Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés solos, 2 cortados y uno con leche, y
pagaron 4’40 €. Al día siguiente tomaron un café solo, un cortado y tres con leche, y pagaron 4`70 €. El
tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café solo, dos cortados y un café con leche, y
pagaron 3’60 €. Determina el precio del café solo, del cortado y del café con leche. (2‘5 puntos).
Solución:
x: precio del café solo.
y: precio del café cortado.
z: precio del café con leche.
2! + 2" + # = 4′40
2 2 1 4′40 2%ଶ − %ଵ 2 2 1 4′40
! + " + 3# = 4′70 → 1 1 3$4′70
0 0 5$ 5 ~
2%
−
%
1
2
1
0 2 1 2′80
ଷ
ଵ
3′60
! + 2" + # = 3′60
ᇱ
ᇱ
2! + 1 80 + 1 = 4 40 → ! = 0′80
5# = 5 → # = 1
→
2" + 1 = 2ᇱ 80 → " = 0′90
Por lo tanto: el café solo cuesta 0’8€, el cortado 0’90€ y el café con leche 1€.
4.- Resuelve el siguiente problema de programación lineal: (2’5 puntos)
Maximizar:
f(x , y) = 4x + 6y
Sujeto a:
3x + 6y < 150
x + 0’5y < 22
x + y < 27’5
x > 0; y > 0
Solución:
Como se puede apreciar por las rectas de nivel, el máximo se obtendría con el punto C. Vamos a hacerlo
analíticamente:
O(0 , 0) → f(0 , 0) = 0
A(22 , 0) → f(22 , 0) = 88
! + " = 27′5 B( 16’5 , 11) &
) →f(16’5 , 11) = 132
! + 0ᇱ 5" = 22
! + " = 27′5 C(5 , 22’5) &
→f(5 , 22’5) = 155
3! + 6" = 150
D(0 , 25) → f(0 , 25) = 150