Congruencia, semejanza y transformaciones isométricas - DME-UFRO

Congruencia, semejanza y transformaciones
isométricas
Congruencia de triángulos
Definición
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo
que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
△ABC ∼
= △P QR ⇒

AB ∼
= PQ



∼

AC = P R




 CB ∼
= RQ



∠A ∼
= ∠P



∼

∠Q
∠B
=


∼
∠C = ∠R
Postulados de congruencia de triángulos
ALA: Dos triángulos son congruentes
si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese
lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes
cuando tienen dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes
si tienen sus tres lados respectivamente
iguales.
LLA: Dos triángulos son congruentes
cuando tiene dos lados y el ángulo
opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.
Ejercicios
1. En la figura, P QRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y P R se intersectan en T .
¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?
I) △P T S ∼
= △ST R
II) △P T S ∼
= △RT Q
III) △P SR ∼
= △RQP
a) Sólo III
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
2. En la figura, △P T R y △SV Q son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) T R // V Q
II) P T // SV
III) ∠RQV ∼
= ∠RP T
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
3. El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P , Q y R son puntos medios de
sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Los triángulos AQP y P RC son congruentes.
II) Los triángulos QBP y RP B son congruentes.
III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
4. El triángulo ABC es isósceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r intersecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciónes es(son)
verdadera(s)?
I) △ABE ∼
= △ABD
II) △BEC ∼
= △ADC
III) △ABD ∼
= △ADC
a) Sólo III
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
5. En la figura, △ABC ∼
= △BAD, entonces es(son) verdadera(s):
I) △AEC ∼
= △ADB
II) △AEC ∼
= △BED
III) AC ∼
= DB
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
6. En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de bases BC y AE ,
respectivamente. Si ∠BAC = 36o , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ∠DAC ∼
= ∠CAB
II) △ABC ∼
= △ACD
III) △AEP ∼
= △DCP
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
7. Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y AD ∼
= DB , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) △ADC ∼
= △BDC
II) ∠ACD = 30◦
√
3
III) CD =
2
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos
con congruentes.
II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes.
III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes.
9. En la figura △ABC ∼
= △ABD. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia.
II) ∠CAB = ∠DBA
III) ∠CBD = 90◦
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
10. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El ángulo CDA mide 90◦ .
II) AD es eje de simetrı́a del triángulo ABC.
III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo III
e) I, II y III
11. Si en la figura, DA⊥BA, CB⊥AB y α = β. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
siempre verdadera(s)?
I) CB ∼
= DA
II) DB ∼
= AC
III) OA⊥OB
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
Semejanza de polı́gonos
Dos polı́gonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean
respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos
proporcionales.
∠A ∼
= ∠P
∠B ∼
= ∠Q
∠C ∼
= ∠R
∠D ∼
= ∠S
∼
∠E = ∠T
BC
CD
DE
EA
AB
=
=
=
=
PQ
QR
RS
ST
TP
Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos
polı́gonos son semejantes, sı́ y solo si, tienen la “misma forma”. Ası́, por ejemplo:
1. todos los cuadrados son semejantes entre sı́.
2. todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sı́.
3. todos los pentágonos regulares son semejantes entre sı́.
En general, todos los polı́gonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre
sı́; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son
semejantes entre si.
Semejanza de triángulos
El hecho que todo polı́gono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en
los geómetras una especial atención por estas elementales figuras.
△ABC ∼ △P QR si y solo si:
∠A = ∠P ; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R
y
AB
BC
CA
=
=
PQ
QR
RP
Teoremas de semejanza de triángulos
Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la
ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.
Teorema Fundamental
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean
iguales a los ángulos del otro.
Corolario: Toda paralela a un lado de
un triángulo, determina un triángulo
semejante al primero. Si DE // AB ,
entonces △CDE ∼ △CAB
Los criterios de semejanza son condiciones mı́nimas para decidir si dos triángulos son semejantes.
Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los
tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales.
Teorema AA (o criterio AA de semejanza)
Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes.
Hipótesis: ∠A ∼
= ∠D y ∠C ∼
= ∠F
Tesis: △ABC ∼ △DEF
Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un
tercero, el primero y el tercero son semejantes.
Teorema LAL (o criterio LAL de semejanza)
Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
CA
CB
= ′ ′ ∧ ∠C ∼
= ∠C ′
′
′
CA
CB
⇓
△ABC ∼ △A′ B ′ C ′
Teorema LLL (o criterio LLL de semejanza)
Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos
son semejantes.
AB
BC
CA
= ′ ′ = ′ ′
′
′
AB
BC
CA
Notas:
⇒ △ABC ∼ △A′ B ′ C ′
• Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y
LLL.
• Los criterios de semejanza son condiciones mı́nimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son
propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados
homólogos, proporcionales.
• Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área.
Semejanza de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90◦ . Por lo tanto,
se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema
de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:
a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.
b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales.
c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente
proporcional.
Razón entre las alturas de triángulos semejantes
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los
lados respectivos.
Sea △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ . Por el postulado AA se tiene que △ADC ∼ △A′ D′ C ′ . De esa semejanza
CD
AC
se deduce que: ′ ′ = ′ ′
CD
AC
En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes.
tc
bα
ha
= ′ = ′ = ··· = λ
′
ha
tc
bα
Razón de los perimetros de dos triángulos semejantes
Los perı́metros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera.
Perı́metro △ ABC
hc
ba
=
=
= ···
′
′
′
Perı́metro △ A B C
h c′
ba′
Razón de las áreas de dos triángulos semejantes
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que
se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.
Área △ ABC
Área △ A′ B ′ C ′
=
hc
h c′
2
=
ba
ba′
2
= ···
Observación: Al comparar por cociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma
unidad, se establece una razón entre estas medidas. Si la razón entre dos segmentos es un número
racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razón entre dos segmentos
es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si.
Notas:
• Los lados de un polı́gono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos
respectivamente congruentes.
• Todos los polı́gonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos
equiláteros son semejantes)
• Dados dos polı́gonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perı́metros
están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.
Perı́metro polı́gono ABCDE = P = a + b + c + d + e
Perı́metro polı́gono A′ B ′ C ′ D′ E ′ = P ′ = a′ + b′ + c′ + d′ + e′
a P
b
P
e
P
= ′;
= ′; ··· ;
= ′
′
′
′
P
a P
b
P
e
Ejercicios
1. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q?
I)
II)
III)
a) Sólo en I
b) Sólo en II
c) Sólo en I y en II
d ) Sólo en II y en III
e) En I, en II y en III
2. Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros del
pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que
mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la
torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
a) 200 metros
b) 198, 4 metros
c) 113, 2 metros
d ) 112, 5 metros
e) 110 metros
3. ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
a) Que tienen igual área.
b) Que tienen igual perı́metro.
c) Que sus lados son proporcionales.
d ) Que sus tres lados respectivos coinciden.
e) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno.
4. En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes?
I) △ACD y △BCE
II) △BEC y △AEB
III) △ACD y △CAB
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
5. En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes?
I) △ABE ∼ △AF D
II) △F EC ∼ △BDC
III) △CF E ∼ △ABE
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
6. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
I)
II)
a) Sólo I y II
b) Sólo I y III
c) Sólo II y III
d ) I, II y III
e) Ninguno de ellos son semejantes entre sı́.
III)
7. En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1 metro, y las
sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centı́metros, respectivamente, ¿cuál es
la altura del poste?
a) 3, 5 metros
b) 7, 1 metros
c) 14 metros
d ) 35 metros
e) No se puede determinar.
8. En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM = 5, AB = 21 y
CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) CN : AB = CM : ED
35
II) Área △ EDC =
2
1
Área △ EDC
=
III)
9
Área △ ABC
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
AN
es equivalente a:
9. En relación a la figura, la razón
NM
BC
a)
AB
b)
AB
BC
c)
AC
BC
d)
AN
NC
e)
AM
AC
10. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15
m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo
piso?
a) 8 m
b) 10 m
c) 15 m
40
d)
3
e) No se puede determinar.
11. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al de la figura?
I)
II)
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
12. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es FALSA?
a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes
b) Todos los cuadrados son semejantes
c) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes
d ) Todos los cı́rculos son semejantes
e) Todos los triángulos isósceles son semejantes
13. ¿Cuál(es) de estas semejanzas es(son) verdadera(s)?
I) T1 − T2
II) T1 − T3
III) T2 − T4
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) Sólo I y III
III)
Transformaciones isométricas
Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la
forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta).
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrı́as).
Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en lı́nea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:
Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua
Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo
Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la
posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en
un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par
ordenado de números (x, y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa
el desplazamiento vertical.
Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos:
El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a
efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.
Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto
correspondiente en la figura obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los punteros
del reloj).
Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura
girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la
figura original y el centro de rotación.
Rotacion de 90◦ (x, y) −→ (−y, x)
Rotacion de 180◦ (x, y) −→ (−x, −y)
Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetrı́a es el movimiento
que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P ′ equidisten del eje de simetrı́a
y el segmento P P ′ sea perpendicular al eje de simetrı́a.
Notas:
1. Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetrı́a axial.
2. Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetrı́a central.
Ejes de simetrı́a: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se
mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetrı́a de la figura.
El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales
son ejes de simetrı́a del cuadrado. También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sı́ mismo)
si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos.
En el caso de los triángulos, tenemos:
Tipo
Ejes
Triángulo equilátero Tres ejes se simetrı́a
Triángulo isóssceles Un eje de simetrı́a
Triángulo escaleno
Ningún eje de simetrı́a
En el caso de los cuadriláteros, tenemos:
Tipo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Trapecioisósceles
Trapezoide
Ejes
Cuatro ejes de simetrı́a
Dos ejes de simetrı́a
Dos ejes de simetrı́a
Un eje de simetrı́a
Ningún eje de simetrı́a
Nota: El cı́rculo tiene infinitos ejes de simetrı́a. Cada recta que pasa por el centro es un eje de
simetrı́a del cı́rculo.
Nota: En el caso de los polı́gonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetrı́a como números de
lados.
Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas
encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir.
Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es
posible teselar con cualquier tipo de triángulos.
Con polı́gonos regulares, la condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que
los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360◦ .
Nota: Los únicos polı́gonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano.
Ejercicios
1. Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto
(−2, −1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto.
a) (1, −2)
b) (−5, 0)
c) (3, −1)
d ) (−5, 2)
e) (1, 0)
2. En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en 180◦ en el sentido
horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición?
a) En (2, 2)
b) En (2, 0)
c) En (4, 2)
d ) En (0, 0)
e) En (0, 2)
3. En la figura, la imagen reflexiva del punto P , con respecto al eje de simetrı́a L, es el punto:
a) Q
b) R
c) S
d) T
e) U
4. ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetrı́a?
a) Sólo I
b) Sólo II
I) Cuadrado
c) Sólo I y II
II) Rombo
d ) Sólo I y III
III) Trapecio
e) I, II y III
5. El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada
una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de
cerámicas que se ocuparı́an es:
a) 120
b) 60
c) 40
d ) 18
e) 12
6. Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el reflejo de A respecto al
eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un segmento:
a) paralelo al eje x.
b) paralelo al eje y.
c) de la bisectriz del segundo cuadrante.
d ) de la bisectriz del primer cuadrante.
e) perpendicular al eje x.
7. En la figura, Q es el punto medio de N P y S es el punto medio de M Q . ¿Cuál es el punto de
la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje M Q, como también por la reflexión
del eje N P ?
a) S
b) Q
c) P
d) N
e) M
8. En la figura, se tiene un cı́rculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslación de toda la
figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas:
a) (1, 2)
b) (2, 1)
c) (1, 1)
d ) (2, 2)
e) (0, 2)
9. La figura se rota en el plano, en 180o en torno al punto P . ¿Cuál de las opciones representa
mejor la rotación de la figura?
a)
b)
c)
d)
e)
10. En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90o con respecto al punto A, en el sentido
horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:
a) (6, 2)
b) (−3, 6)
c) (6, −7)
d ) (6, −3)
e) (6, −5)
11. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(−1, −2) con respecto a la recta y = 3?
a) (−1, 8)
b) (1, 8)
c) (−1, 6)
d ) (7, −2)
e) (−1, −4)
12. ¿Cuál(es) de los siguientes polı́gonos regulares permite(n) teselar (o embaldosar) el plano?
a) Sólo II
b) Sólo III
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
I) Pentágonos.
II) Triángulos equiláteros.
III) Hexágonos.
e) I, II y III
13. ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, −3) con respecto al
eje de las ordenadas?
a) (−8, −3)
b) (8, 3)
c) (−8, 3)
d ) (−3, 8)
e) (3, 8)
14. La figura en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es un cuadrado y
la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n) simetrı́a central?
a) Sólo I
I)
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
II)
e) I, II y III
III)
15. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetrı́a.
II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetrı́a.
III) Un triángulo escaleno no tiene
ejes de simetrı́a.
16. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P (2, 3), con respecto a la recta L de ecuación
y = x?
a) (2, 1)
b) (−2, 3)
c) (−2, −3)
d ) (2, −3)
e) (3, 2)
17. ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, −3) con respecto al
eje de las ordenadas?
a) (−8, −3)
b) (8, 3)
c) (−8, 3)
d ) (−3, 8)
e) (3, 8)
18. En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadrado A′ B ′ C ′ D′ con respecto al eje
y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) D′ = (−5, 6)
II) Ambos cuadrados tienen igual perı́metro.
III) Ambos cuadrados tienen igual área.
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
19. En la figura, el triángulo M N S es simétrico (reflejo) con el triángulo QP R respecto al eje
T , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) RS⊥T
II) QR // N S
III) △P M R ∼
= △N QS
a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
20. En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujado
con lı́nea punteada. ¿Cuáles son los componentes del vector de la traslación?
a) (1, 2)
b) (−2, 1)
c) (−1, 2)
d ) (2, 1)
e) (−2, −1)
21. Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetrı́a central. ¿En cuál(es) de los
siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetrı́a central?
a) Sólo I
I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño.
b) Sólo III
II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes
de la misma forma y tamaño.
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de
la misma forma y tamaño.
22. En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rı́gidas permite obtener el polı́gono P
a partir del polı́gono Q?
a) Simetrı́a (reflexión) con respecto al eje y.
b) Rotación en 180o con respecto al origen.
c) Simetrı́a (reflexión) con respecto al eje y, y
una rotación en 180o con respecto al origen.
d ) Simetrı́a (reflexión) con respecto al eje x, y
una rotación en 180o con respecto al origen.
e) Rotación de 90o con respecto al origen.
23. El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2, 3), B(−3, 8) y C(3, 7). Si se aplica una traslación
según el vector (5, −7), las nuevas coordenadas del triángulo serán:
a) Sólo II
b) Sólo I y II
I) A′ (7, −4)
c) Sólo I y III
II) B ′ (−8, 1)
d ) Sólo II y III
III) C ′ (8, 0)
e) I, II y III
24. En la figura, el △ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).
√
II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5.
III) El perı́metro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al perı́metro del
triángulo ABC.
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
1
25. En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia tiene radio . Si se gira
2
toda la figura en torno al centro O en 180o , en el sentido de la flecha, el punto A, que
está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas:
1 1
a)
,−
2 2
1
,0
b)
2
1 1
c) − , −
2 2
1
d ) 0,
2
1 1
e) − ,
2 2
26. Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5).
Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la
izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia arriba,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
I) El nuevo vértice B queda ubicado
en el punto (2, 4)
II) El nuevo vértice C queda ubicado
en el punto (2, 7)
III) El nuevo vértice A queda ubicado
en el punto (0, 4)
27. El número de ejes de simetrı́a que tiene un triángulo con dos lados iguales y uno distinto es:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
28. Dado el punto P de coordenadas (7, −9), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de
P con respecto al eje y?
a) (−7, −9)
b) (7, 9)
c) (−7, 9)
d ) (−9, 7)
e) (−9, −7)
29. Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(−2, 1) y C(4, 0), se le aplica la traslación según
el vector ~u = (−5, 7) , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Sólo I
b) Sólo II
I) A se transforma en A′ (−4, 9)
c) Sólo I y II
II) B se transforma en B ′ (−3, 8)
d ) Sólo I y III
III) C se transforma en C ′ (−1, 7)
e) Sólo II y III
30. A la figura se aplica una simetrı́a (reflexión) con respecto al eje RS. ¿Cuál es la opción que
muestra mejor la figura resultante?
a)
b)
d)
e)
c)
31. Si el gráfico de la función f (x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) respecto
de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?
a)
b)
d)
e)
c)
32. En la figura, las coordenadas del punto A son (−4, −1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, −1).
II) Al rotar el punto A en 90◦ en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el
punto (−1, 4).
III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene
el punto (−2, 1).
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
33. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetrı́a (reflexión) de la figura respecto a la
recta L?
a)
b)
d)
e)
c)
34. En la figura, el cuadrado A′ B ′ C ′ D′ es la imagen del cuadrado ABCD bajo una:
I) Rotación de 180o con centro en el origen.
II) Simetrı́a respecto al origen.
III) Simetrı́a respecto al eje x.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
35. La recta L es simetral del segmento AB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) AO ∼
= OB
II) B es simétrico de A respecto a L.
III) △ARB es escaleno.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
36. El trazo AB, con A = (−4, −3) y B = (5, −1), se traslada 3 unidades a la izquierda en la
abscisa y 5 unidades hacia arriba en la ordenada. El nuevo trazo A′ B ′ queda con coordenadas:
a) (−7, 2) y (2, 4)
b) (−1, 2) y (8, 4)
c) (1, 0) y (10, 0)
d ) (−9, 0) y (0, 2)
e) (−7, 2) y (2, 6)
37. Todos los triángulos son congruentes. ¿En que caso(s) son simétricos respecto de la recta L?
I)
II)
III)
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y III
e) Ninguna de las anteriores.
38. La figura esta formada por 4 triángulos equiláteros congruentes entre sı́ ¿Cuál(es) de las
figuras en I), en II) y en III) se obtiene(n) por alguna rotación con respecto al centro de la
figura?
I)
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
II)
III)
39. El dominó esta formado por dos cuadrados congruentes entre sı́, como lo muestra la figura.
Cada una de las figuras presentadas en I), en II) y en III) están formadas por cuadrados
congruentes a los que forman el dominó. ¿Cuál(es) de ellas es(son) posible(s) de embaldosar
(o teselar) completamente con el dominó?
I)
II)
III)
a) Sólo II
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
40. Se desea teselar un baño cuadrado que mide 10 m por lado. Se tienen tres tipos de baldosas:
una cuadrada de lado 30 cm, una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triángulo rectángulo
de catetos 20 y 50 cm. ¿Con cuál de las baldosas se puede embaldosar el baño completo?
a) Solo con los triángulos.
b) Solo con los cuadrados.
c) Con los cuadrados y rectángulos.
d ) Solo con los rectángulos.
e) Con ninguna de las figuras.
41. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
a) El triangulo tiene tres ejes de simetrı́a.
b) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetrı́a.
c) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetrı́a.
d ) El trapecio isósceles tiene un eje de simetrı́a.
e) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetrı́a.
42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha ubicado el punto P (a, b). ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) El simétrico de P con respecto al eje x es P ′ (a, −b).
II) El simétrico de P con respecto al origen es P ′ (−a, −b).
III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que
está en el primer cuadrante.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III