Tema 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de

Tema 5:
Incumplimiento de las
Hipótesis sobre el Término
de Perturbación
1
TEMA 5: INCUMPLIMIENTO DE LAS HIPÓTESIS
SOBRE EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN
5.1) Introducción
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera
2
TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
- Incumplimiento de las Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal
Clásico (MRLC): El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
(MRLG).
- La Matriz de Varianzas-Covarianzas en un MRLG.
- Tipos de Modelos en el MRLG:
· Modelo Heterocedástico
· Modelo con Autocorrelación
· Modelo con Problemas de Heterocedasticidad y Autocorrelación
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico:
· La Matriz de Regresores X es NO ESTOCÁSTICA
· NO hay OMISIÓN DE VARIABLES RELEVANTES
ni INCLUSIÓN DE VARIABLES SUPERFLUAS.
Hipótesis 1
· NO existe MULTICOLINEALIDAD PERFECTA.
Rang ( X ) = K + 1
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico:
Hipótesis 2
LA PERTURBACIÓN DEL MODELO U SE
COMPORTA COMO UNA VARIABLE ALEATORIA
RUIDO BLANCO (perturbación esférica).
E (U i ) = 0; ∀i
E (U i2 ) = σ u2 ; ∀i
Homocedasticidad
E (U i ·U s ) = 0; ∀i ≠ s Incorrelación
Matriz de
VarianzasCovarianzas de U
V (U ) = E [U ·U '] = σ U2 ·I Matriz Escalar
5
TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico:
La Forma Funcional del Modelo es Lineal
Hipótesis 3
Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i
o
Y = X ·β + U
Se asume Normalidad de las Perturbaciones
Hipótesis 4
d
Ui 
→
N (0, σ U2 )
o
d
U
→
N (ϑ , σ U2 ·I )
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
El MRLG será aquel Modelo que verifique TODAS las Hipótesis del Modelo
de Regresión Lineal Clásico excepto la Hipótesis 2.
Modelo de Regresión Lineal Clásico
Modelo de Regresión Lineal Generalizado
Aleatoria
U i Variable


→ Ruido Blanco
Aleatoria
U i Variable


→ No Ruido Blanco
E (U i ) = 0; ∀i
E (U i ) = 0; ∀i
E (U i2 ) = σ u2 ; ∀i
E (U i2 ) ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
E (U i ·U s ) = 0; ∀i ≠ s
E (U i ·U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
V (U ) = E [U ·U '] = σ U2 ·I
V (U ) Matriz No Escalar
Matriz Escalar
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
La Matriz de Varianzas-Covarianzas de las Perturbaciones en un MRLG
será
V (U ) = E [U ·U '] = σ ·Ω
2
U
Ω
Matriz No Singular
Si Ω = I
MRLG = MRLC
Matriz Semidefinida Positiva
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.1) Introducción
Tipos de MRLG:
1
Modelo con Problemas de Heterocedasticidad:
E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
2
Modelo con Problemas de Autocorrelación:
E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
3
Modelo con Problemas de Heterocedasticidad y Autocorrelación:
E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
y
E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
- Especificación del Modelo: Incumplimiento Hipótesis MRLC
- Consecuencias de Aplicar MCO a un MRLG
· ¿Son Estimadores Insesgados?
· ¿Son Estimadores Óptimos?
· ¿Podemos aplicar Inferencia Estadística Tradicional?
¿ES ADECUADA LA ESTIMACIÓN MCO?
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
Modelo con U
No-Esférica
Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i
E (U i2 ) = σ U2 ; ∀ i
INCUMPLIMIENTO
E (U i · U s ) = 0; ∀ i ≠ s
Supuesto de
Homocedasticidad
Supuesto de
Incorrelación
POR TANTO
E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
HETEROCEDASTICIDAD
AUTOCORRELACIÓN
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
MRLG
(Modelo con Perturbaciones No-Esférica)
Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i
E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
MCO
β̂ MCO
PREGUNTA:
¿MCO es el mejor
procedimiento para estimar los
parámetros del Modelo?
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
Consecuencias de Aplicar MCO en un MRLG:
E (βˆMCO ) = β
1
El EMCO es INSESGADO
2
El EMCO NO es ÓPTIMO. Además, se verifica que
−1
−1
V ( βˆMCO ) = σ U2 ·( X '·X ) · X '·Ω· X ·( X '·X ) −1 ≠ σ U2 ·( X '·X )
3
e'·e
SCE
S =
=
n − K −1 n − K −1
2
es un estimador SESGADO de
σ U2
( )
E S 2 > σ U2
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el Término de Perturbación
5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado
Consecuencias de Aplicar MCO en un MRLG:
4
2
La Expresión S ·( X '· X )
Varianzas-Covarianzas V ( βˆ )
5
Los Estadísticos empleados para realizar Contrastes de Hipótesis y
construir Intervalos de Confianza no podrán ser empleados.
−1
MRLG
no es adecuada para estimar la Matriz de
- Lineal
MCO
β̂ MCO
- Insesgado
- Consistente
- NO ÓPTIMO
EMCO NO ADECUADA
Mínimos Cuadrados
Generalizados
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
- Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados (EMCG).
Procedimiento
-
Propiedades de
Generalizados:
los
Estimadores
Mínimo
Cuadráticos
· Lineales
· Insesgados
· Consistentes
· Óptimos
- Problemas
- Solución: Transformar el Modelo
- La Predicción con MCG
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Mínimos Cuadrados
Generalizados
(
βˆMCG = X '·Ω −1 · X
)
−1
· X '·Ω −1 ·Y
Matriz de Varianzas-Covarianzas
(
V ( βˆ ) = σ U2 · X '·Ω −1 · X
)
−1
Un estimador insesgado del parámetro desconocido
σ U2
es
−1 ~
~
e
'·
Ω
·e
~
2
S MCG
=
n − K −1
En donde
~
e = Y − X ·β̂ MCG
GENERALIZADO.
es el RESIDUO MÍNIMO CUADRÁTICO
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
¿De dónde se obtienen los Mínimos Cuadrados Generalizados?
~ '·Ω −1 ·~
min
SCE
=
e
e
MCG
ˆ
{β MCG }
SOLUCIÓN:
(
βˆMCG = X '·Ω −1 · X
)
−1
· X '·Ω −1 ·Y
(DEMOSTRACIÓN)
Si Ω = I
βˆMCG = βˆMCO
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Propiedades de los Estimadores Mínimos Cuadrados Generalizados
1
El EMCG es LINEAL (Demostración)
2
El EMCG es INSESGADO (Demostración)
3
El EMCG es CONSISTENTE (Demostración)
4
La Matriz de Varianzas-Covarianzas de β̂ MCG es
(
V (βˆMCG ) = σ U2 · X '·Ω −1 · X
5
)
−1
El EMCG es ÓPTIMO: En el contexto de un MRLG, el estimador lineal
e insesgado de menor varianza será el que se obtiene mediante el18
método de MCG.
TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Modelo de Regresión Lineal Generalizado
E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i
Y = X ·β + U
(
βˆMCG = X '·Ω −1 · X
E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s
)
−1
−1
· X '·Ω ·Y
ELIO: Estimador Lineal,
Insesgado y Óptimo.
¿Con qué Problemas nos encontramos a la
hora de calcular β̂ MCG ?
Tenemos que Estimar
Ω
Ω̂
Tenemos que Invertir
Ω̂
ˆ −1
Ω
SOLUCIÓN:
Transformar el MRLG
en un MRLC y aplicar
MCO
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
MODELO
Y = X ·β + U
SOLUCIÓN
¿MRLG?
EMCO:
Lineal, Insesgado,
Consistente, NO ÓPTIMO
APLICAR
MCO
−1
−1
MCG: βˆMCG = (X '·Ω · X ) · X '·Ω ·Y
−1
PROBLEMA:
SOLUCIÓN
¿MRLC?
EMCO:
Lineal, Insesgado,
Consistente, Óptimo.
ˆ −1 ?
¿Ω
Transformar el MRLG en
un MRLC y aplicar MCO
EMCG:
Lineal, Insesgado,
Consistente,
ÓPTIMO
MCO=MCG
Y * = X * ·β + U *
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Transformar un MRLG en un MRLC
Teorema: Si Ω es una matriz definida positiva, entonces existe una matriz
de transformación Pnxn no singular que cumple que
P·Ω·P' = I
Corolario:
P'·P = Ω −1
(Demostración)
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Transformar un MRLG en un MRLC
Modelo de Regresión
Generalizado
Y = X ·β + U
Se premultiplica el modelo por P
E (U ) = 0
E (U ·U ' ) = σ U2 ·Ω
E (U * ) = 0
Y * = P·Y
P·Y = P· X ·β + P·U
X * = P· X
Y * = X * ·β + U *
MRLC
U * = P·U
E (U * ·U * ' ) = σ U2 ·I
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Transformar un MRLG en un MRLC
Y * = X * ·β + U *
El Modelo
Transformado verifica
las Hipótesis del MRLC
sobre el Término de
Perturbación
APLICAR MCO
*
βˆMCO
1
E (U * ) = 0
2
E (U * ·U * ' ) = σ U2 ·I
(demostración)
(demostración)
1
*
βˆMCO
= βˆMCG
(demostración)
2
*2
2
S MCO
= S~MCG
(demostración)
3
(
)
*
Vˆ βˆMCO
= Vˆ (βˆMCG )
(demostración)
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
La Predicción en un MRLG
Yˆn + h = X n' + h ·β̂ MCO
PROBLEMA
En un MRLG la estimación
MCO NO ES ÓPTIMA
Yˆn + h
NO ES UN
PREDICTOR ÓPTIMO
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
La Predicción en un MRLG
¿CUÁL ES EL PREDICTOR ÓPTIMO EN UN MRLG?
Yˆn + h = X n' + h ·βˆMCG + W ' ·V −1 ·e~
W = E (U · U n + h )
Vector que contiene las covarianzas de las
perturbaciones en cada momento muestral y la
perturbación en (n+h)
~
e
es el residuo de la estimación MCG
V = E (U ·U ') = σ 2 ·Ω
es la Matriz de Varianzas-Covarianzas de U
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera
- Objetivo
- Importancia de Verificar la Normalidad de U
- Funcionamiento
· Contraste de Hipótesis
· Test de Jarque-Bera (JB)
Conceptos
Simetría
Apuntalamiento
· Regla de Decisión
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera
OBJETIVO
IMPORTANCIA
Verificar si la Perturbación del Modelo de
regresión (U) sigue una Distribución Normal.
Si U
sigue una
distribución Normal
Sigue
distribución Normal
β̂
una
INFERENCIA
ESTADÍSTICA
Contraste de Hipótesis
Intervalos de Confianza
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera
FUNCIONAMIENTO
Contraste de
Hipótesis
 H 0 : U sigue una Distribución Normal

 H1 : U NO sigue una Distribución Normal
Test Estadístico
 aˆ 2 (cˆ − 3)2  d
2
JB = N · +

→
χ

2
6
24


N
N
N ·∑ ei3
i =1
aˆ =


 ∑ ei2 
 i =1 
N
3
2
Coeficiente
Asimetría
N ·∑ ei4
cˆ =
i =1

2
e
∑ i 
 i =1 
N
2
Coeficiente
Curtosis
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TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre
el Término de Perturbación
5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera
REGLA DE DECISIÓN
RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA DE NORMALIDAD
DE LAS PERTURBACIONES DEL MODELO SI…
JB > χ 22,α
Región
Aceptación
α
(1 − α )
29
χ
2
2 ,α