ONDAS TÉRMICAS

PRÁCTICA 10
ONDAS TÉRMICAS
OBJETIVO
Cálculo de la difusividad térmica del cobre utilizando las ondas térmicas que se propagan a lo
largo de una barra de este material.
MATERIAL NECESARIO
- Barra de cobre con orificios en soporte de metacrilato
- Calentador de 15W embebido en un extremo de la barra
- Combinador constituído por dos temporizadores alimentados a 9V
- Termistor de perla de unos 1.07 ± 0.01 kΩ a 25 °C
- Cronómetro
- Polímetro (utilizado como óhmetro)
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
Si se calienta el extremo de una barra metálica de forma intermitente, la temperatura en un
punto dado de la barra realiza oscilaciones periódicas, aproximadamente armónicas, pudiéndose
expresar de la siguiente forma:
 2πτ
t − t = A sen (ωτ +ϕ ) = A sen (2πNτ+ ϕ) = A sen 
+ϕ 
(1)
T
siendo t la temperatura media en dicho punto, ω la pulsación, N la frecuencia y T el período de
las oscilaciones de temperatura.
En general las oscilaciones de la temperatura en dicho punto no obedecen a una ley tan
simple como la sinusoidad antes indicada. Se demuestra, sin embargo, que toda oscilación
periódica de período T, por complicada que sea, puede considerarse como resultado de la
superposición de oscilaciones armónicas componentes de períodos T, T/2, T/3, etc. (Teorema de
Fourier). Es decir,
t − t = A1 sen (ωt +ϕ 1) + A 2 sen ( 2ωt + ϕ2 ) + A 3 sen (3ωt +ϕ 3 ) + ...
Las constantes A1, A2, A3, ... son las amplitudes de las oscilaciones componentes (algunas
pueden ser nulas); ω, 2ω, 3ω, ... son las respectivas pulsaciones (que corresponden a los
períodos T, T/2, T/3, etc.); ϕ1, ϕ2, ϕ3, ... son los ángulos de fase. En general, el número de
términos del desarrollo de Fourier decrece rápidamente con el espacio, a lo largo de la barra, al
ser absorbidas rápidamente las componentes de mayor frecuencia por el medio circundante, y el
desarrollo de Fourier se reduce a la vibración fundamental.
La oscilación original de la temperatura del punto O (considerado como origen del espacio,
xO=0) se propaga a todas las partículas inmediatas, que presentan también una oscilación de su
temperatura que está caracterizada por:
- La amplitud de las oscilaciones decrece al alejarnos de O.
- El valor máximo de la temperatura se alcanza en otro punto, P, a la distancia x de O, un cierto
tiempo después de que se haya alcanzado dicho máximo en O.
La propagación progresiva de la oscilación de la temperatura a los demás puntos de la barra
constituye un movimiento ondulatorio que llamamos onda térmica.
La perturbación térmica que recorre la barra avanza con cierta velocidad, u, que depende de la
naturaleza de la barra y del periodo T de las variaciones de temperatura. Al cabo de un cierto
tiempo τ, la onda iniciada en O alcanza el punto P, que dista x de O, de modo que el retraso en P
10.1
x
es ∆τ= . Si suponemos que la amplitud A de las oscilaciones de temperatura permanece
u
constante y elegimos convenientemente el instante inicial de modo que para t = 0 sea máxima la
temperatura t correspondiente al punto O, la ecuación de oscilación de t en O será:
t − t = A cos ω t
(2)
A una distancia x de O se repetirán los mismos valores de t pero con un retraso x/u y, por lo
tanto, la ecuación de la oscilación de temperatura en P será la misma que en O, pero τ estará
sustituído por τ-(x/u). En P tendremos, por tanto, que
x

t − t = A cos ω  τ − 
u
(3)
expresión que constituye la ecuación de la onda armónica .
Mientras la temperatura en O ha realizado una oscilación completa, la onda térmica se habrá
propagado una distancia que será igual a uT, que se denomina longitud de onda λ,
λ=uT
(4)
Con ello la ecuación de las oscilaciones de la temperatura en las ondas térmicas adopta
también la forma
τ x
t − t = A cos 2 π  − 
(5)
T λ
que pone de manifiesto que dichas ondas presentan una doble periodicidad: respecto al tiempo
con un período T y respecto al espacio con una longitud de onda λ.
En general se cumple que la amplitud de las oscilaciones decrece con la distancia al origen
según una ley exponencial dada por la siguiente expresión:
A(P) = A(O) exp( −εx) A ( x) = A x=0 exp( −εx)
(6)
siendo ε el coeficiente de amortiguamiento que depende del período T y de las propiedades
térmicas del material que constituye la barra. Así resulta una ecuación general de las ondas
térmicas dada por:
x

t − t = A x = 0 e −εx cos ω  τ− 
(7)
u
Por otra parte, la ecuación fundamental de la conducción calorífica es:
kc ∇2 t + q˙ =
donde
∇2 t = laplaciana de t =
∂t
ρc
∂τ
(8)
∂2 t ∂ 2t ∂2 t
+
+
; q˙ = producción de calor por unidad de
∂x2 ∂y2 ∂z 2
∂t
= variación de la temperatura por unidad de tiempo; ρ = densidad; c = calor
∂τ
específico; kc = conductividad térmica.
Aplicada a nuestro caso se reduce a
volumen;
10.2
∂2 t ρ c ∂t
1 ∂t
=
=
2
k ∂τ D ∂τ
∂x
siendo D =
(9)
kc
la difusividad térmica del material que constituye la barra.
ρc
Si para el punto O, escogido como origen de las ondas (x = 0), la oscilación de temperatura
es de la forma
t − t = A cos ω τ
la integración de la ecuación (9) conduce a
εx

t −t = A e−εx cosω  τ − 
ω
siendo el coeficiente de amortiguamiento
ω
ε=
2D
(10)
(11)
y la velocidad de propagación de las ondas
u = 2Dω .
(12)
Experimentalmente se puede obtener ε, el coeficiente de amortiguamiento, a partir de la
relación:
A(P) = A(O) exp( −εx)
(13)
y, por lo tanto, podemos calcular la difusividad D del material, a partir de:
D=
kc
ω
= 2
ρ c 2ε
(14)
y, conocidos ρ (densidad) y c (calor específico), podemos calcular el coeficiente de
conductividad calorífica kc :
kc = ρcD
(15)
Análogamente, a partir de la expresión de la velocidad de propagación, resulta
D=
u2
u2 T
=
2ω
4π
(16)
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
La barra de cobre tiene 15 mm de diámetro y 50 cm de longitud, con orificios de 2.5 mm de
diámetro y 5 mm de profundidad cada 4 cm.
Se calienta el extremo de la barra, debidamente aislada por un tubo de metacrilato de 5 mm de
pared, mediante una fuente de calor de 15W aplicada durante 75 segundos y anulada durante
otros 75 segundos. El proceso se repite continuamente. El mecanismo de calefacción estará
encendido con anterioridad. En caso contrario debe esperarse un tiempo prudencial antes de
medir, con el fin de que se estabilice el sistema. Es importante que la toma de datos se realice
justo en el momento en que se inicia la calafacción (se enciende un piloto rojo).
10.3
Primero se mide la temperatura en un punto O (x=0), a 8 cm del extremo caliente, cada 10
segundos. Se utiliza un termistor de perla y se supone que las oscilaciones de temperatura son
proporcionales a las oscilaciones de la resistencia del termistor. Se repiten las medidas
anteriores en el punto P, distante 16 cm del extremo caliente de la barra, siendo xP = 8 cm.
OHMETRO
220 V
4
8
12
16
O
15 W
x=0
P
15 mm
x=8
x=16
Figura 1. Dispositivo experimental
Se determina la amplitud de oscilación de la resistencia del termistor midiendo R máxima y R
R
+ R min
mínima en O y en P. Se calcula R = max
. Se determina la oscilación de R a partir de
2
R . Se calcula la amplitud de las oscilaciones en O y en P, según
A=
R max − R min
2
(17)
Tras representar gráficamente los valores obtenidos para R - R frente a x, para los puntos O
(consideramos dicho punto como origen de la onda) y P; se determina la velocidad de
propagación u, mediante la expresión
x − x1
u= 2
(18)
τ 2 − τ1
siendo x2 - x 1 la distancia OP y τ2 y τ1 los instantes en los que las dos curvas están en
concordancia de fase (instante del máximo, o del valor mínimo, o del valor cero de oscilación de
temperatura).
PRESENTACION DE RESULTADOS
a) Representad en ordenadas R - R y en abcisas el tiempo, con los valores correspondientes al
punto O y al P.
b) Calculad el valor del coeficiente de amortiguamiento ε a partir de las amplitudes en O y P
(expresión 13) y la velocidad de propagación u.
c) Determinad la difusividad del material a partir del coeficiente de amortiguamiento (11) y de la
velocidad de propagación (12). Comparad los dos valores obtenidos entre sí y con el valor
tabulado.
Alternativamente al cálculo de las amplitudes a partir de la expresión (17), se pueden ajustar
(con los ordenadores del laboratorio) las gráficas del apartado a) a una función periódica
(seno o coseno) y obtener la amplitud del parámetro del ajuste.
10.4