Convección - Universidad de Buenos Aires

5
Convección
5.1
Introducción
El proceso de transferencia de calor por convección supone el movimiento de fluido.
A partir de nuestra percepción, “en un frı́o de invierno, si el aire está quieto, no
tenemos tanto frı́o como cuando hay viento; pues cuando no hay movimiento de
aire, nuestras ropas y el aire encerrado en ellas reciben calor desde nuestra piel...”1 :
el aire frı́o generado a partir de un cuerpo caliente, es barrido por aire frı́o en
movimiento modificando la transferencia de calor. Se tratará de encontrar una
descripción analı́tica de este fenómeno. Para ello, será necesario recordar conceptos
de mecánica de fluidos.
5.1.1
Flujo de capa lı́mite
Los flujos que pasan sobre la paredes de cuerpos sólidos se adhieren a ellos. En la
región inmediatamente vecina aparece necesariamente un gradiente de velocidades
entre las paredes y el flujo libre. Ésta región se denomina capa lı́mite. La capa
lı́mite tiene un espesor δ que se define arbitrariamente como la distancia a la cual
u = 0,99U∞ . En general, δ es muy pequeño respecto de las dimensiones del cuerpo
sólido.
La primera expresión matemática de la capa lı́mite la dieron L. Prandtl y sus
estudiantes en 1904. A partir de simplificaciones basadas en la geometrı́a, las
dimensiones principales y el carácter laminar del escurrimiento sobre una placa
plana lisa, lograron una forma reducida de las ecuaciones de Navier-Stokes. Es
posible también un planteo dimensional del problema. Observando la figura 5.1
podemos comparar 2 fenómenos que toman lugar: la convección y la difusión fluidodinámicas. En efecto, supongamos que una partı́cula fluida viaja una distancia
x, tendrá asociado un tiempo de convección caracterı́stica τc ∼ x/U∞ ; por otro
lado, el tiempo de difusión τd se puede estimar a partir de la ecuación de difusión
de la vorticidad2 ∂ω/∂t = ν∇2 ω. Luego: ω/τd ∼ νω/δ 2 y τd ∼ δ 2 /ν.
√ Para despejar
el valor de δ se igualan los tiempos τc = τd y resulta ası́ δ/x ∼ 1/ Rex .
1
2
Observaciones de Joseph Black en The general effects of heat (1790).
ω = ∇ × u. Adviértase la analogı́a con el problema de conducción térmica.
1
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.1: Capa Lı́mite.
Recordemos que el número de Reynolds Re = U∞ `/ν representa la influencia relativa entre fuerzas inerciales y viscosas en un problema de mecánica de fluidos. El
subı́ndice x expresa la longitud caracterı́stica (`) utilizada, que puede corresponder
a una coordenada espacial. Para la placa plana,√la solución exacta hallada por P.
Blasius (alumno de Prandtl) es δ(x)/x = 4,92/ Rex .
Figura 5.2: Desarrollo de la capa Lı́mite.
El régimen ilustrado en la figura 5.1 y a la izquierda de la figura 5.2 se denomina
laminar y tiene validez hasta que se alcanza un estado crı́tico de transición a la
turbulencia. El parámetro que define el estado es el número de Reynolds, en honor
a Osborne Reynolds, quien estudió este fenómeno en el flujo a través de cañerı́as.
La figura 5.1.1 describe la experiencia realizada por Reynolds: se inyecta tinta en
el flujo a través de un conducto para tener una visualización del mismo.
2
Convección
Figura 5.3: Experiencia de Reynolds.
Se observa primeramente que el flujo está dominado por una sola dimensión u =
uex . A partir de una cierta distancia crı́tica xcr el flujo comienza a tener fluctuaciones que se manifiestan en la trayectoria del hilo de tinta. Las fluctuaciones se
amplifican y luego la tinta invade el conducto completamente, evidencia de fuertes
mezclas. Tı́picamente, el valor crı́tico es Rec = 2100 para cañerı́as lisas. En placas
planas, Rec = 3 · 105 aunque el valor es muy dependiente de las condiciones de
entrada del flujo: rugosidad, vibraciones, diferencias de velocidad, etc.
En otros tipos de flujo, p.ej. flujo alrededor de cuerpos, flujos de mezcla de corrientes, de jets (chorros), la turbulencia se dispara con diferentes mecanismos al
citado y los valores de Rec pueden ser mucho menores.
5.1.2
Capa lı́mite térmica
Espesor de capa lı́mite.
Cuando una pared se encuentra a una temperatura Tw , diferente a la de la corriente
libre T∞ , aparece una capa lı́mite térmica de espesor δt , diferente de δ, como
puede apreciarse en la figura 5.4. En forma análoga a la realizada para δ, podemos
estimar el espesor δt desde consideraciones dimensionales. El tiempo de difusión
de la temperatura τd desde la pared y = 0 hasta y = δt se deduce a partir de la
ecuación difusiva, despreciando términos convectivos. En efecto,
∂ 2T
∂T
=
2
∂y
∂t
aT∞
T∞
∼
δt2
τd
a
3
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.4: Capa Lı́mite térmica.
El tiempo de convección desde x = 0 hasta x = x es τconv = x/U∞ .
Luego, igualando los tiempos:
x
δ2
∼ t
U∞
a
p
xa/U∞
=⇒ δt ∼
Resulta una expresión muy similar a la obtenida para δ. Podemos llevarla a una
forma más práctica:
xp
xa/U∞
δt ∼
x
r
δt
a
∼
x
xU∞
r
δt
a ν
∼
x
xU∞ ν
r
δt
1 p
∼
a/ν
x
Rex
δt
∼ Re−1/2 P r−1/2
x
donde aparece un nuevo número adimensional, P r = ν/a, el número de Prandtl,
que compara las difusión de temperatura respecto de la difusión de vorticidad. La
solución analı́tica que corresponde en este caso es:
δt
4,916
=
1/2
x
Re P r1/3
(5.1)
4
Convección
Nuestra estimación permite aproximar bien δt . Con estas expresiones podemos
deducir cualitativamente la relación entre δ y δt . Se cumple ası́:
δ
= P r1/3
δt
Luego, si P r 1 el espesor térmico es pequeño comparado con el espesor de capa
lı́mite.
Flujo de calor.
Se puede igualar el calor que se expulsa desde la pared por el fluido con la tasa de
transferencia expresada en términos de un coeficiente de transferencia de calor α:
∂T −λf
∂y {z y=0}
|
= α(Tw − T∞ )
(5.2)
conducción en el fluido
donde λf es la conductividad del fluido.
Señalemos que, en primer lugar, es correcto expresar la remoción del calor en la
pared usando la ley de Fourier de conducción pues para y = 0 no hay movimiento
en la dirección ey , del flujo de calor q. Por otro lado, el miembro derecho de
la ecuación (5.2) no representa una condición de borde sino que define a α. La
ecuación puede ordenarse según:
∂
∂(y/L)
αL
Tw − T =
= N uL
Tw − T ∞ y=0
λf
(5.3)
donde Tw , T∞ , L son constantes.
Queda ası́ definido el número de Nusselt3 N uL , que como primer significado fı́sico,
se asocia a la inversa de la derivada de la evolución del campo de temperaturas
respecto a la dirección normal a la pared. Cambios bruscos de la temperatura
producirán valores pequeños de y altos N uL . Otra interpretación que surge de la
definición de N uL en la ecuación (5.3) corresponde a comparar la conducción en
el fluido λf /L con el coeficiente de convección α.
La determinación de α (o de N u, su forma adimensional) hace necesario el desarrollo de las variables y ecuaciones que intervienen en la convección. Antes de hacerlo,
nos detendremos a estudiar un problema clásico de la fı́sica de la transferencia de
calor.
5
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.5: Problema de Bénard.
5.2
Convección natural: problema de Bénard
Consideremos entre dos placas a una capa de fluido en reposo que presenta una
estratificación debido a calentamiento desde su base (Figura 5.5 ). Se establece entonces un gradiente de temperatura ∆T = Tb −Tt . Dado que la densidad del lı́quido
decrece ante temperaturas crecientes, ocurrirá que las capas superiores serán más
densas que las capas de lı́quido inferiores. La estratificación producirá una configuración potencialmente inestable bajo un campo gravitatorio vertical en forma
análoga a un péndulo en equilibrio ubicado en su posición vertical máxima.
Cuando ∆T es pequeño, el fluido permanece en reposo dado que la energı́a potencial que ganarı́a una partı́cula “pesada” de las capas superiores no serı́a suficiente
como para compensar las pérdidas por disipación del movimiento. Luego, mientras
el fluido se haya en reposo, el calor se transfiere únicamente por conducción. El
perfil de temperaturas del estado “base” (sin movimiento) resulta de la ecuación
−→ Tb − γz, donde γ = ∆T /h siendo h
de conducción estacionaria ∇T02 = 0
la distancia entre las placas.
Supongamos que una perturbación localizada dentro de una gota minúscula caracterizada por una temperatura ligeramente superior (θ > 0). Dado que la pequeña
masa de fluido caliente se haya rodeada de fluido más frı́o y denso, sufrirı́a una
fuerza de flotación diferencial que la impulsarı́a hacia arriba. Al encontrar en su
camino fluido aún más frı́o y denso, esto reforzarı́a el movimiento, representando
el efecto desestabilizador de la configuración. Sin embargo, dos procesos estabilizadores se oponen. Primero, la velocidad inducida tiende naturalmente a decaer
debido a la fricción viscosa4 . En segundo lugar, la difusión térmica harı́a que la
temperatura de la gota uniformice su temperatura con respecto al resto. Por ello, la
capa de fluido permanece en reposo mientas los procesos difusivos dominan hasta
que la perturbación θ > 0 es lo suficientemente grande como para que se desarrolle
3
W. Nusselt (1882-1857), ingeniero alemán que desarrolló el análisis dimensional de la transferencia de calor.
4
Recuérdese el rol de la viscosidad cinemática ν como coeficiente de difusión de la vorticidad.
6
Convección
el movimiento, la convección. Se entenderá entonces un ∆T mayor que un valor
crı́tico ∆Tc , que puede denominarse umbral de inestabilidad.
¿Qué sucede espacialmente en este problema? La eficiencia de los procesos estabilizadores disipativos depende de la distribución horizontal de los campos de
velocidad y de temperatura. La disipación es rápida para las pequeñas escalas del
flujo mientras es lenta en las grandes5 . El establecimiento de la inestabilidad corresponderá, en consecuencia, con movimientos de alguna escala óptima. Se verifica
que esta escala es del orden de la altura h como muestra el esquema de la Figura,
produciendo un patrón periódico de enrollamiento, de perı́odo espacial λc ≈ 2h.
El problema lleva el nombre de convección o inestabilidad de Bénard-Rayleigh a
partir de las experiencias de Henri Bénard(1906) y del estudio teórico de Rayleigh(1916). Una vez presentados los fundamentos fı́sicos, podemos entender que
una expresión la adimensional Ra, número de Rayleigh, resume los parámetros
que participan según:
gβ
(Tt − Tb )h3
(5.4)
Rah =
νa
donde, g es la aceleración debida a la gravedad, a la difusividad térmica y β el
coeficiente de expansión térmica.
A medida que el número de Rayleigh crece, el término de flotación se hace más
importante y para Rah = 1708 (Jeffreys, H. 1928) se establece la inestabilidad y
aparecen las celdas de convección, o de Bénard. La estimación teórica de Rayleigh,
simplificando el problema al considerar contornos libres es Rah = 27π 4 /4.
5.3
5.3.1
Ecuaciones de la convección
Planteo del problema considerando fluidos newtonianos.
Ecuaciones
Incógnitas
(3) Conservación de la cantidad de
(3) Campo de velocidad u(x, t)
movimiento, F = a, ecuaciones de
(1) Campo de temperaturas
Navier-Stokes.
T (x, t)
(1) Conservación de la masa o ecuación de
(1) Campo de presiones p(x, t)
continuidad.
(1) Campo de densidad p(x, t)
(1) Conservación de la energı́a.
(1) Ecuación de estado.
6 incógnitas
6 ecuaciones
Se puede agregar también como incógnita al vector densidad de flujo de calor
q(x, t) que se describe con las ecuaciones de la ley de Fourier q = −Λ∇T .
5
Recuérdese, de Mecánica de Fluidos: Capa Lı́mite.
7
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
5.3.2
Desarrollo de las ecuaciones
a) Ecuación de continuidad.
La masa de fluido que fluye hacia afuera de un volumen V0 es
I
ρu · nds
donde la integral se toma para la frontera de V0 .
Por otro lado, la pérdida de masa por unidad de tiempo se expresa
Z
∂
−
ρdV
∂t
Igualando ambas expresiones, conseguimos
Z
I
∂
ρdV
ρu · nds = −
∂t
La integral de superficie puede transformarse a partir de la fórmula de Green
en una integral de volumen:
I
Z
ρu · nds = div(ρu)dV
Ası́,
Z
∂ρ
dV = 0
∂t
como la ecuación vale para cualquier volumen, el integrando debe ser nulo:
div(ρu) +
∂ρ
=0
∂t
(5.5)
Dρ
+ ρ∇ · u = 0
Dt
(5.6)
div(ρu) +
b) Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.
Du
¯)
= ρfv + div(σ̄
(5.7)
Dt
¯ . Desarrollando para
siendo fv las fuerzas volumétricas y el tensor de tensiones σ̄
fluido newtoniano y flujo incompresible,
ρ
ρ
∂u
grad p
+ (u grad )u = ρfv +
+ ν∇2 u
∂t
ρ
(5.8)
la ecuación de Navier-Stokes.
8
Convección
c) Ecuación de conservación de la energı́a. Recordemos de mecánica de fluidos, la
relación para la variación de energı́a cinética e interna para un fluido perfecto:
2
∂ ρu2
u
+ ρε = −div ρu
+h
(5.9)
∂t
2
2
se relaciona con la divergencia de la densidad de flujo de energı́a ρu (u2 /2 + h),
donde h representa a la entalpı́a. Podemos tener una idea más precisa del
significado fı́sico del segundo término integrando en un cierto volumen.
2
2
I
Z
u
u
+ h dV = − ρu
+ h dS
−div ρu
2
2
de acuerdo al teorema de Green. La integral de superficie pone de manifiesto
el flujo de la cantidad ρu (u2 /2 + h) que puede llamarse ası́ vector densidad
de energı́a. Recordando la definición de entalpı́a h = ε + p/ρ, agrupando los
términos, la expresión anterior toma la forma:
2
I
I
u
− ρu
+ ε dS − u pdS
2
y podemos identificar en ella el transporte de la energı́a cinética e interna mas
el trabajo efectuado por las fuerzas de presión sobre el fluido contenido dentro
de la superficie.
En un fluido real, además, deberemos considerar los procesos de fricción viscosa6
¯ 0 ) ası́ como también las fuentes de calor q = λ∇T . La densidad total de
(u σ̄
flujo de energı́a en el fluido en presencia de viscosidad y de termoconducción
resulta:
¯ 0 ) − λ∇T
ρu u2 /2 + h − (u σ̄
La ecuación general de conservación de la energı́a se expresa entonces según:
2
∂ ρu2
u
0
¯
+ ρε = −div ρu
+ h − (u σ̄ ) − λ∇T
(5.10)
∂t
2
2
Si desarrollamos el miembro izquierdo:
∂
∂t
ρu2
+ ρε
2
=
u2 ∂ρ
∂u
∂ε
∂ρ
+u ρ
+ρ +ε
2 ∂t
∂t
∂t
∂t
∂ρ
∂u
podemos sustituir
a partir de la ecuación de continuidad y
desde la ecuación
∂t
∂t
de Navier Stokes. Entonces,
∂σ 0
u2
u2
∂ε
∂ ρu2
+ ρε = − div (ρu ) − ρ(u ∇) − u ∇p + ui ik + ρ + ε div (ρu )
∂t
2
2
2
∂xk
∂t
6
en forma escalar ui σik
9
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Introduzcamos la relación termodinámica para la energı́a interna:
dε = T ds − p dV = T ds +
p
dρ
ρ2
luego,
∂ε
∂s
p ∂ρ
∂s
p
=T
+
=T
− div (ρu )
∂t
∂t ρ2 ∂t
∂t ρ2
sustituyendo esta expresión y utilizando la definición de entalpı́a, h = ε + p/ρ,
∂ ρu2
u2
u2
+ ρε = −(h + )div (ρu ) − ρ(u ∇) − u ∇p+
∂t
2
2
2
(5.11)
0
∂σik
∂s
+ ui
+ ρT
∂xk
∂t
La relación termodinámica para los incrementos de entalpı́a es dh = T ds + dp/ρ,
luego ∇p = ρ∇h − ρT ∇s. Por otro lado, el término de disipación puede desarrollarse
según:
∂σ 0
∂
0 ∂ui
0
0 ∂ui
− σik
ui ik =
ui σik
≡ div (u · σ 0 ) − σik
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
Reemplazando estas expresiones y sumando y restando div (λ∇T )
∂ ρu2
u2
+ ρε = −div ρu (h + ) − (u σ 0 ) − λ∇T +
∂t
2
2
∂s
0 ∂ui
+ ρT
+ u · ∇s − σik
− div (λ∇T )
∂t
∂xk
(5.12)
Si comparamos esta expresión con la obtenida en (5.11), podemos deducir la ecuación
general de la transferencia de calor :
∂s
0 ∂ui
ρT
+ u · ∇s = σik
− div (λ∇T )
(5.13)
∂t
∂xk
Si no hay viscosidad (σ = 0) ni conducción térmica, el miembro derecho es nulo y
se obtiene la ecuación para un fluido perfecto. El miembro izquierdo de la ecuación
representa a la derivada total7 ds/dt multiplicada por ρT . ds/dt da cuenta de la evolución de la entropı́a de una masa unitaria a medida que ésta se mueve en el espacio.
ρT ds/dt da cuenta de la ganancia de calor de esta masa por unidad de volumen: por
una parte debido a la energı́a disipada por la viscosidad del fluido y por otra, debido
a la conducción del calor.
La incompresibilidad del flujo nos permite simplificar la ecuación general. En efecto, si
la velocidad del fluido es pequeña comparada con la velocidad del sonido, las variaciones de presión que ocurren como resultado del movimiento resultan suficientemente
pequeñas como para despreciar las variaciones de densidad y de otras magnitudes
7
(o Ds/Dt)
10
Convección
termodinámicas. Sin embargo, en transferencia de calor, bien puede aparecer el caso
de un fluido calentado en forma no uniforme y la densidad varı́a con la temperatura
(recordemos el problema de Bénard). No podemos considerar la densidad uniforme
y en la determinación de derivadas de las cantidades termodinámicas es necesario
suponer que la presión es constante. Luego, tenemos:
∂s
∂s
∂T
∂s
=
,
∇s =
∇T
∂t
∂T p ∂t
∂T p
∂s
Dado que T
es el calor por unidad de masa a presión constante, Cp , la
∂T p
ecuación (5.13) toma la forma:
∂T
0 ∂ui
+ u · ∇T = σik
− div (λ∇T )
(5.14)
ρCp
∂t
∂xk
Recordemos, que las tensiones viscosas las podemos
representar para un fluido new
∂ui
∂uk
0
toniano incompresible σik = µ
+
. Verificamos que podemos encontrar la
∂xk
∂xi
ecuación para el problema de conducción de un medio isótropo (λ constante espacial∂T
mente), si descartamos a u . Queda, ρCp
= λ∇2 T , admitiendo sı́, que el camino
∂t
ha sido más trabajoso.
d) Ecuación de estado Podemos citar, por ejemplo a la de un gas ideal p/ρ = RT m con
m la masa molecular. Por último, a pesar de que trabajamos con magnitudes que
cambian con el tiempo, las consideraremos evaluadas en equilibrio termodinámico,
una buena aproximación si los gradientes de velocidad y de temperatura no son muy
elevados.
5.4
Análisis Dimensional
A partir del planteo de las ecuaciones del problema de convección, podemos inferir
que el coeficiente de transferencia por convección forzada α depende de las siguientes magnitudes: α = f (λ, x, ρ, Cp , ν, U∞ ). Queda excluida del análisis la cantidad
(Tw − T∞ ) pues se trata de convección forzada. El teorema pi de Buckingham
nos da las herramientas para construir 3 grupos adimensionales desde la anterior
relación. Resultan8 ası́ Π1 = Re, Π2 = N u y Π3 = νρCp /λ = ν/a = P r. El número de Prandtl depende exclusivamente de las propiedades del fluido en cuestión,
comparando la difusión de vorticidad a la difusión del calor. Para gases, su valor
es del orden de la unidad. Para lı́quidos, varı́a más ampliamente. En lı́quidos muy
8
Recordar que la difusividad térmica a = λ/(ρCp ).
11
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
viscosos puede llegar a ser grande. La tabla siguiente da una idea general de las
magnitudes a 20◦ C:
Aire
0.733
6.75
Agua
Alcohol
16.6
Glicerina 7250
Mercurio 0.044
Por otra parte, en problemas de convección natural, entran en juego fuerzas volumétricas y debe incluirse entre los parámetros a g la aceleración de la gravedad
y al coeficiente de expansión térmica β. Habı́amos visto la justificación fı́sica del
número de Rayleigh en la ecuación (5.4), y podemos completarla a partir del problema dimensional α = f (λ, x, ρ, Cp , ν, U∞ , g, β). Se usa también en la práctica el
número de Grashof,
Grh = Rah /P r
. En los casos en los que el movimiento del fluido es determinado por Ra, tendremos
convección natural. El número de Nusselt se determina ası́ en función de Ra (o
Gr) y de P r.
Podrı́a ocurrir una competencia entre los dos fenómenos, forzado y natural, y a
partir de un cierto umbral, Gr/Re2 ∼ 1 se deberán usar relaciones de convección
mixta.
5.5
Turbulencia
Asi como señalamos, el flujo de capa lı́mite conoce, a partir de un umbral del
número de Reynolds, un cambio cualitativo. Las lı́neas de tinta de la experiencia de O. Reynolds se distribuı́an homogéneamente, evidencia de un fenómeno de
fuertes mezclas. Si el régimen laminar se caracterizaba por un movimiento ordenado, de trayectorias suaves de las partı́culas, de estructuras bien definidas, por
el contrario, el régimen turbulento presenta vórtices cuyos tamaños y tiempos se
describen a partir de distribuciones probabilı́sticas y las lı́neas de corriente son
difı́ciles de distinguir. Se trata de flujos que contienen todo un espectro de escalas.
En flujos laminares el transporte de cantidad de movimiento en la dirección perpendicular a las paredes se realiza por difusión. En forma similar sucede el intercambio de calor desde las paredes hacia el seno del fluido. En flujos turbulentos, el
transporte también ocurre en las microescalas según los mismos procesos difusivos.
Sin embargo, las otras escalas presentes juegan un rol que provee un mecanismo
adicional de transporte de cantidad de movimiento y de energı́a. El movimiento
12
Convección
Figura 5.6: Estructura de la Capa Lı́mite
de paquetes, porciones de flujo de mayor escala, se realiza desde cercanı́as de la
pared hasta flujo libre y el intercambio es intenso. El tiempo de transporte de un
vórtice turbulento es mucho menor al tiempo que el asociado a la difusión. La fricción y el flujo de calor aumentan en forma muy considerable. Se puede pensar en
coeficientes de viscosidad y de conductividad efectivos que asimilan estos efectos.
Una capa viscosa subsiste, lleva el nombre de subcapa viscosa, aunque su espesor
es muy pequeño comparado con el de una capa lı́mite laminar bajo condiciones
comparables.
Recordemos que podı́amos aproximar la cantidad de calor que fluye a través de
una capa lı́mite laminar según:
(Tw − T∞ )
= αlam (Tw − T∞ )
qlam ≈ δt,lam
k
Una expresión similar surge de considerar la capa lı́mite turbulenta:
qturb ≈ (Tw − T∞ )
δsv
k
+
δt,turb
kturb
= αturb (Tw − T∞ )
Observamos que dividimos la resistencia térmica en dos: una parte que corresponde
a la región subviscosa (sv) y otra que corresponde al resto de la capa. Notemos que
la capa subviscosa se comporta igual que la capa laminar siendo la conductividad
k, propiedad del fluido, el parámetro principal. Para la capa exterior, turbulenta,
de espesor δt,turb , hemos definido un coeficiente kturb que, como señaláramos, agrega los efectos propios de la fuerte interacción y mezclado con el seno del fluido:
kturb depende de las caracterı́sticas del flujo.
Establecidas los órdenes de magnitud, es razonable aproximar la resistencia total
13
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.7: Evolución de los espesores térmicos y viscosos en la Capa Lı́mite de
una placa plana.
Figura 5.8: Coeficientes de convección y de fricción en la Capa Lı́mite
como δsv /k y entonces, dado que δsv δt,lam , podemos deducir que αturb αlam .
Recordemos que habı́amos encontrado una relación entre los espesores de capa
lı́mite térmica y viscosa, que servı́a para interpretar el número de Prandtl. Si hiciéramos algo semejante para el caso turbulento, dado que los espesores dejan de
ser una función de las propiedades (viscosidad cinemática, conductividad térmica)
del fluido sino del flujo, el valor que toman δt,turb y δturb es semejante como ilustra
la figura 5.7.
Mencionemos por último que la rugosidad de una superficie puede afectar al proceso de transferencia de calor si es capaz de afectar los gradientes de temperatura y
de velocidad. Comparando los espesores δt,lam y δvs , podemos inferir que tamaños
pequeños de rugosidad afectan mucho más a un flujo turbulento que a uno laminar.
En efecto, el flujo en la capa lı́mite turbulenta es mucho más sensible a la rugosidad;
por el contrario, en problemas laminares, la rugosidad desaparece como parámetro.
14
Convección
Correlaciones
Para el caso de la placa plana, sigue siendo válida la relación entre N u, Re, P r y
Cf .
P r1/3 Cf Rex
(5.15)
N ux ≈
2
Luego, para estimar N ux alcanza con conocer Cf para el caso turbulento. Ası́ surge,
para una placa plana:
N ux = 0,0285P r1/3 Rex0,8
(5.16)
5.6
Flujos externos
Un caso cualitativamente diferente es el de la convección sobre cuerpos que presentan desprendimiento de la capa lı́mite. El caso tı́pico es el flujo alrededor de un
cilindro.
Para números de Reynolds pequeños Re < 1, el flujo contornea al cilindro sin
desprenderse y los efectos viscosos dominan el arrastre.
U∞
DL
δ
2
= F/(ρU∞
DL)
≈ µ/(ρU∞ δ) = νD/(ReD δ)
F ≈ µ
CD
CD
√
Recordando que δ/D ∼ 1/ ReD ,
p
CD ∼ 1/ ReD
(5.17)
Para Re moderados se produce el desprendimiento de la capa lı́mite laminar. La
distribución de presiones sobre el cilindro pasa a ser preponderante frente a la
fricción viscosa. Es decir, si CD = CP + Cf , CP Cf . Podemos realizar una
estimación grosera de CP a partir de un modelo de flujo potencial. Si la presión
2
delante en el cilindro es p ≈ p∞ + ρU∞
, detrás, por efecto del desprendimiento se
puede asociar a p∞ . Luego,
2
F ≈ ρU∞
∗D∗L
2
LD) ≈ 1
CD = F/(ρU∞
Y la aproximación es correcta como apreciamos en la figura 5.12.
El número de Nusselt no se relaciona directamente con el arrastre como ocurrı́a en
el flujo sobre la placa plana. La evolución del flujo sobre la superficie del cilindro
se muestra cualitativamente en la figura 5.13 Podemos definir un N uθ local en
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67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.9: Flujo alrededor de un cilindro para bajos Re
función del ángulo sobre el cilindro. Para el régimen laminar sin desprendimiento,
el flujo se caracteriza por desarrollar la capa lı́mite laminar desde θ = 0 hasta
θ = π. Dado que δt crece, la resistencia térmica es mayor y N u decrece.
El mismo comportamiento aparece en la primera fase del régimen de Re moderados. Sin embargo, el desprendimiento de la capa lı́mite introduce otro factor sobre
N uθ . El desprendimiento alternado de vórtices, la calle de vórtices de Bénard - Von
Kármán se establece. La estela presenta fluctuaciones que, aún en el caso laminar,
favorece el mezclado y ası́ incrementa el coeficiente de transferencia de calor. El
régimen turbulento aparece primero como consecuencia de ulteriores inestabilidades en la estela.
Por último, para altos números de Reynolds, la turbulencia llega a desarrollarse
sobre la pared del cilindro, antes de que el flujo se desprenda. Como consecuencia
de ello, N u aumenta en forma abrupta. El crecimiento no es monótono pues el
espesor de la capa lı́mite térmica aumenta. Al producirse el desprendimiento, N u
vuelve a aumentar.
Como resultado de los mecanismos mencionados, el número de Nusselt para el
flujo alrededor del cilindro es una función creciente respecto de Re, como ilustra
la figura 5.14.
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Convección
Figura 5.10: Flujo alrededor de un cilindro para moderados Re
Figura 5.11: Flujo alrededor de un cilindro para altos Re
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67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 5.12: Coeficiente de arrastre para el flujo alrededor de un cilindro en función
de Re.
Figura 5.13: Nu local en función del ángulo para tres regı́menes cualitativamente
diferentes.
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Convección
Figura 5.14: Nu local en función del ángulo para tres regı́menes cualitativamente
diferentes.
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