La relación entre volumen total y superficie libre depende del tipo

Variación de volumen y de superficie del Mar de Aral:
Un modelo sencillo y sus perspectivas
JMPC / Clase de Modelos Matemáticos, 4º curso FCM, 24 Nov 2004
Partimos de la Figura 1, tomada del diario “Dagens Nyheter” (quiere decir “Las
noticias diarias”) 1 , de 23 de Noviembre de 2004, donde se ve la disminución de
superficie del Mar de Aral, sólo una parte del desastre ecológico de la zona:
Figura 1:
La bajada del nivel del Mar de Aral ha dejado a la mayor parte de los buques de pesca en tierra, muy alejados de las aguas donde faenaban.
El problema comenzó hacia 1960 al desviarse los dos ríos que alimentaban dicho
Mar para aprovechar sus aguas en regar campos de algodón. Al no tener otras entradas,
el volumen del Mar comenzó a disminuir debido a la evaporación. Con la disminución
de volumen aparecen también las de profundidad y de superficie, que se aprecian en la
figura. En el momento presente, el Mar de Aral se ha reducido a la tercera parte de su
configuración original.
Para construir un modelo, supongamos que el Mar de Aral tiene una forma
adecuada, pues la relación entre volumen total y superficie libre depende del tipo de
cuerpo geométrico con que identifiquemos dicho Mar. No es razonable tomar un
cilindro, pues la superficie libre sería siempre la misma, igual al área de la base, y
vemos que en la realidad ha ido disminuyendo. Por ello supondremos (Figura 2) que el
1
Mar de Aral se representa como un cono invertido, de modo que V (t ) = h(t ) S (t ) ,
3
siendo h(t ) la profundidad:
r(t)
h(t)
ángulo alfa
Figura 2:
Geometría del modelo del Mar de Aral.
1
La noticia se refería a la celebración en Estocolmo de una cumbre de científicos, políticos y gestores
para tratar de arreglar el desastre.
1
También supondremos que el ángulo de apertura en el vértice es α (que puede
medirse mediante las curvas de nivel de un mapa) de modo que el radio de la base y la
altura del cono, para cualquier tiempo t, se hallan relacionados por la fórmula
r (t )
= tan α . Por tanto, como el área de la base es S (t ) = π r (t ) 2 , el volumen vendrá
h(t )
dado por la expresión V (t ) =
π
3tan α
r (t ) 3 , y despejando el radio en función del volumen,
1
3
3
se tendrá r (t ) =  V (t ) tan α  . Así las cosas, la superficie libre quedará en función del
π

volumen:
2
2
2
2
S (t ) = 3 π [3V (t ) tan α ]3 = 3 π (3tan α ) 3 V (t ) 3 = A * V (t ) 3
[1]
Sólo resta, por tanto, calcular las fluctuaciones del volumen de agua del Mar de
Aral. El volumen variará según la ley de balance:
V (t + ∆t ) − V (t ) = [entradas − salidas ]∆t
donde las entradas son los aportes de los ríos que vierten al Mar y las salidas se
producen por evaporación (consideramos la precipitación lluviosa como despreciable).
Llamando F (t ) al flujo de los ríos, y sabiendo que la cantidad de agua evaporada es
proporcional a la superficie libre, se llega a:
V (t + ∆t ) − V (t ) = [F (t ) − kS (t )]∆t
Dividiendo por ∆t y tomando límites cuando este incremento tiende hacia cero, se
obtiene una ecuación diferencial que, acompañada de la condición representativa del
volumen inicial antes de la intervención de los ríos para el riego, nos dará el modelo
siguiente:
V ' (t ) = F (t ) − kS (t )

V ( 0) = V 0

[2]
Sustituyendo [1] en la ecuación diferencial de [2], y escribiendo A = kA * , nos quedará
2
V ' (t ) = − AV (t ) 3 + F (t )
[3]
Para representar F (t ) se necesita una función decreciente, y un tipo adecuado puede ser
F (t ) = ae − bt , siendo a el flujo total que vertían los ríos al Mar, antes de iniciarse su
desvío, y b un parámetro positivo que indica a qué velocidad ha ido disminuyendo ese
flujo.
Esta ecuación no es fácil de integrar, así que la resolvemos directamente en
forma numérica. Nótese ahora que es necesario dar valores a las siguientes cantidades
que intervienen en el modelo:
2
α , V0 , k , a, b
Con la siguiente elección arbitraria de valores (se deja al lector la búsqueda de los
valores verdaderos y poner las unidades adecuadas):
α = 800 , V0 = 1, k = 0.1, a = 1, b = 1
se obtienen las gráficas que vienen a continuación (se invita al lector a interpretarlas y
a modificar los parámetros para practicar un poco):
Volumen del Mar de Aral
1
Volumen
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
4
5
tiempo
Superficie del Mar de Aral
9,6
Superficie
9,48
9,36
9,24
9,12
9
0
1
2
3
tiempo
Una vez hecho esto, el modelo puede continuar con el estudio de:
•
•
•
•
•
•
el aumento de la concentración de abonos de uso agrícola en el agua del Mar de
Aral,
la interacción de estos abonos con la fauna de peces (todas las especies
originales se hallan extinguidas, se ha introducido recientemente una nueva que
parece resistir algo más…),
la influencia de la cantidad de agua y su superficie libre en la regulación de la
temperatura del aire, y por tanto
el cambio climático, que trae consigo
la disminución de la rentabilidad de los cultivos e industrias asociadas (las
relacionadas con la pesca ya desaparecieron, claro), y el empobrecimiento
económico, y finalmente
las migraciones de la población hacia zonas con más esperanza de buena calidad
de vida, etc. etc.
3