Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies

Geometrı́a diferencial de curvas y superficies - Taller 5
G. Padilla. http://gabrielpadillaleon.wordpress.com
Ofic. 315-404 Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias.
Universidad Nacional de Colombia. [email protected]
f
Un difeomorfismo S1
-
S2 es localmente conforme si para cada p ∈ S1 hay un
entorno abierto V 3 p en S1 y una función derivable nunca nula V
2
hdfq (w1 ), dfq (w2 )i = λ (q)hw1 , w2 i
λ
-R
tal que
q ∈ V, w1 , w2 ∈ Tq (S1 )
El par (V, λ) es una conformidad local de f en p y S1 , S2 son superficies localmente
conformes. En particular, si V = S1 (si existe una ”conformidad global”) decimos que f
es un mapa conforme y S1 , S2 son superficies conformes.
(1) Muestra que toda isometrı́a es un mapa conforme.
f
(2) Si S1
S2 es un mapa localmente conforme; verifica que f preserva ángulos
entre vectores tangentes.
(3) Sean (X1 , U ) y (X2 , U ) entornos parametrizados de S1 , S2 respectivamente, definidos
2
2
2
2
en el mismo entorno abierto U ⊂ R . Si E1 = λ E2 ,F1 = λ F2 y G1 = λ G2 donde
−1
λ es una función derivable nunca nula en U ; entonces muestra que Φ = X2 X1 es
una conformidad local.
(4) Sea a ∈ (0, 2π). Considera X(u, v) = (u sen(a) cos(v), u sen(a)sen(v), u cos(v))
para u > 0, 0 ≤ v ≤ 2π. (a) Muestra que X es difeo local en el cono C con vértice
en el origen y ángulo de inclinación 2a. ¿Es X una isometrı́a local?
f
(5) Sea S1
S2 una isometrı́a y (X, U ) un entorno parametrizado de S1 . Muestra
que (Y = Xf, U ) es un entorno parametrizado de S2 que satisface E1 = E2 ,
G1 = G2 y F1 = F2 .
(6) Demuestra que un difeomorfismo es una isometrı́a ⇔ preserva la longitud de arco.
2
2
(7) Verifica que la esfera S es localmente conforme al plano R . Ayuda: Usa la
proyección estereográfica.
(8) Sean α, β dos curvas regulares parametrizadas por longitud de arco, definidas en
el mismo intervalo de dominio abierto I ⊂ R y con curvaturas nunca nulas. Sean
S, R las superficies tangentes de α, β dadas por las parametrizaciones respectivas
X(s, r) = α(s) + rα0 (s), Y (s, r) = β(s) + rβ 0 (s);
s ∈ I, r ∈ (−∞, ∞)
(a) Muestra que R, S son localmente isométricas. (b) Más aún; muestra que S es
localmente isométrica a un plano.
n
φ
n
n
- R una isometrı́a de R como espacio métrico; vale decir, |φ(y) −
(9) Sea R
n
φ(x)| = |y − x| para todo x, y ∈ R . Muestra que φ = τ ◦ L donde L es una
transformación ortogonal y τ es una traslación. Ayuda: φ es Lipschitz!
(10) Muestra que la composición de isometrı́as es una isometrı́a, y la inversa de una
isometrı́a es una isometrı́a. Extiende el resultado para (a) Las isometrı́as locales.
(b) Los mapas conformes. (c) Los mapas localmente conformes.
1
2
(11) Si S es una superficie de revolución, muestra que una rotación de S sobre su eje
es una isometrı́a de S.
3
(12) Para n = 3 en la situación del ejercicio (9); si S ⊂ R es una superficie regular y
φ(S) ⊂ S verifica que φ es una isometrı́a de S.
2
(13) Demuestra que el grupo de isometrı́as de la esfera S es O(3).
L
n
n
- R una transformación lineal. Decimos que L es una similaridad si
(14) Sea R
satisface alguna de las siguientes condiciones. (a) Existe una constante λ 6= 0 tal
2
n
que hL(x), L(y)i = λ hx, yi para todo x, y ∈ R . (b) Existe una constante λ > 0
n
tal que |L(x)| = λ|x| para todo x ∈ R . Muestra que las condiciones (a) ,(b) son
equivalentes.
f
(15) Verifica que un difeomorfismo S1
ángulos en los vectores tangentes.
φ
2
-
S2 es localmente conforme ⇔ preserva
2
- R una función φ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) que satisface las igualdades
(16) Sea R
2
∂v ∂u
∂v
= − ∂x
, ∂x = ∂y
. Sea Q ⊂ R el conjunto de puntos que
de Cauchy-Riemann; ∂u
∂y
2
anulan al Laplaciano ∇ (u) =
2
∂ u
∂x2
2
2
∂ v
+ ∂y
2 ; y R = R \Q. Muestra que (a) φ(R) ⊂ R.
(b) φ es un mapa localmente conforme en R.
f
- S es un morfismo conforme que preserva el área (ver talleres 3,4),
(17) Si S1
2
muestra que f es una isometrı́a.
Dada una superficie orientada (S, N ) y un entorno parametrizado (X, U ) de S en la orientación; el triedro canónico de un punto p ∈ X(U ) es {Xu , Xv , N }. Los sı́mbolos de
k
Christoffel son las funciones Γij que expresan las componentes de las segundas derivadas
Xuu , Xuv , Xvv en esta base:
1
2
1
2
1
2
1
2
Xuu = Γ11 Xu + Γ11 Xv + eN
Xuv = Γ12 Xu + Γ12 Xv + f N
Xvu = Γ21 Xu + Γ21 Xv + f N
Xvv = Γ22 Xu + Γ22 Xv + gN
N u = a11 Xu + a21 Xv
N v = a12 Xu + a22 Xv
Las funciones aij ya fueron explicadas en el ejercicio (30) del taller 4. Para superficies
2
k
k
regulares 2 veces continuamente derivables (clase C ), entonces Γij = Γji .
k
(18) Muestra que los sı́mbolos Γij son invariantes por isometrı́as locales. Ayuda: Calcula hXuu , Xu i.
(19) Calcula los sı́mbolos de Christoffel de las superficies básicas conocidas (ver talleres
anteriores).
3
(20) Calcula los sı́mbmolos de Christoffel de la superficie de revolución parametrizada
X(u, v) = (f (v) cos(u), f (v)sen(u), g(v)).
(21) Teorema egregio de Gauss: Muestra que la curvatura de Gauss K es invariante
por isometrı́as locales. Ayuda:. Escribe las igualdades de las derivadas paricales
Xuuv = Xuvu , Xvvu = Xvuv , Nuv = Nvu
en términos de los sı́mbolos
y llega a las igualdades que relacionan
de Chirstoffel,
k
k
las derivadas parciales Γij , Γij ; por ejemplo
u
1
Γ11
1
1
2
1
v
1
1
1
2
1
+ Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 + ea21 = Γ12 + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ21 + f a11
v
u
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
Γ11 + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 + ea22 = Γ12 + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ21 + f a21
v
1
u
1
2
2
ev + Γ11 f + Γ11 g + ea22 = fu + Γ12 e + Γ12 f + f a21
En total son nueve igualdades de las que, arriba, sólo mostramos las primeras tres.
A continuación despeja las funciones aij en términos de los coeficientes E, F, G
(ejercicio (30) del taller 4). En particular, de la segunda igualdad de arriba deduce
que
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
EK = Γ11 + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 − Γ12 − Γ12 Γ11 − Γ12 Γ21
u
v
Las nueve ecuaciones obtenidas de ese modo se llaman ecuaciones de compatibilidad de la superficie S.
(22) Si (X, U ) es una parametrización ortogonal (es decir F = 0) entonces
1
Ev
Gu
√
K= √
+ √
2 EG
EG v
EG u
Si adicionalmente E = G = λ(u, v) entonces
K=1
1 2
∇ (log(λ))
2λ
(23) Demuestra que los sı́mbolos de Christoffel se preservan por isometrı́as locales.
(24) ¿Cuáles de las superficies básicas no son, de seguro, localmente isométricas?
(25) Verifica que la curvatura Gaussiana es invariante por traslaciones (globales, de
toda la superficie).
(26) Deduce las nueve ecuaciones de compatibilidad de S.
2
(27) Teorema de Bonnet: Sea A ⊂ R un abierto. Suponga que existen funciones continuamente derivables E, F, G, e, f, g definidas en A, tales que (a) E > 0, G > 0.
2
(b) EG − F > 0. Demuestra que para cada q ∈ V existe un entorno suficienX
3
temente pequeño V ⊃ U 3 q y un difeomorfismo U
X(U ) = S ⊃ R tal
que E, F, G son los coeficientes de la primera forma fundamental, y e, f, g son los
coeficientes de la segunda forma fundamental, en S.
4
(28) Supón que en un abierto coordenado (X, U ) las u-curvas y v-curvas son lı́neas de
curvatura (es decir F = f = 0). Demuestra que
Ev e
g
Gu e
g
ev =
+
gu =
+
2 E G
2 E G
(29) Verifica que las superficies
X(u, v) = (u cos(v), usen(v), log(u))
Y (u, v) = (u cos(v), usen(v), v)
−1
tienen igual curvatura Gaussiana, y sin embargo, X Y no es una isometrı́a. Deduce que el recı́proco del teorema de Gauss no es cierto.