CAMPO NORMAL DE LA GRAVEDAD

Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Tema 3
CAMPO NORMAL DE LA GRAVEDAD
75
3.1 Aceleración de la gravedad. Fórmula de Clairaut de 1er orden.
En el tema 2 hemos resuelto el valor del potencial de la Tierra (U), estableciendo para
ello diferentes hipótesis y aproximaciones. En este capítulo resolveremos una
aproximación a los valores de la aceleración de la gravedad (γ) generados por los
potenciales teóricos de la Tierra U.
Como ya sabemos la gravedad en el punto P viene dado por el gradiente del potencial en
dicho punto
g = ∇W
(3.1)
siendo g el vector de la gravedad observado en el punto P y W el potencial real de la
Tierra. Si sustituimos W por U que es el potencial de la gravedad teórico, del cual
hemos resuelto diferentes aproximaciones en el tema anterior, obtendremos un valor
aproximado para la aceleración de la gravedad, en este caso la aceleración de la
gravedad la designaremos por γ
γ = ∇U
(3 . 2 )
De las diferentes componentes que podemos resolver de la aceleración γ (γr,γθ,γλ),
vamos a establecer que γθ,= 0 y γλ=0, debido a que el valor de estas componentes es
muy pequeño en comparación con γr, con lo que finalmente tenemos que,
γ = ∇U =
∂U
∂r
(3.3)
en el caso que utilicemos como aproximación del potencial U la fórmula (2.82)
obtendríamos γ con una aproximación de 1er orden
γ = ∇U =
∂U
GM
=− 2
∂r
a
 a  2 3  a  4

r
2
2
  − J 2   3sen ϕ − 1 − m  cos ϕ 
2 r
a
 r 

(
)
(3.4)
Ahora pasemos a resolver el valor de la gravedad sobre un elipsoide que es la forma
regular que más se aproxima a la Tierra. Esta operación nos permite establecer el valor
76
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
de r en función de a, ya que sobre el elipsoide se resuelve que r = a (1- α sen2 ϕ )1
quedando (3.4)
γ =−
(
)(
)
(
)(
GM 
2
−2 3
2
2 −4
2
2
(1 − α sen ϕ )
− J 2 3 sen ϕ − 1 1 − α sen ϕ
− 2 m 1 − sen ϕ 1 − α sen ϕ

2 
2
a
)
(3.5)
En el ecuador la aceleración tendrá un valor de:
γe =−
GM
a2
 3

1 + 2 J 2 − m


(3.6)
Operando en (3.6)
γe
GM
=−
2
3
a
1 + J2 − m
2
(3.7)
Sustituyendo este valor en (3.5) y

tomando términos de primer orden


9
2



γ = γ e 1 +  2α + m − J 2  sen 2 ϕ 

según Udias (1997) resulta

(3.8)
La expresión resuelta da el valor de la
γp
gravedad normal en aproximación de
primer orden, en un punto de la
superficie del elipsoide, en función de
γe
su valor en el ecuador.
Teniendo en cuenta que el valor
máximo de la gravedad se da en el
polo (γp) y el mínimo le corresponde
Fig.3.1.
al ecuador γe,, podemos establecer
según Udias (1997) que el valor γ se puede resolver estableciendo que los valores de la
aceleración de la gravedad se ciñen a la curva de una elipse
γ = γ e [1 + β sen 2 ϕ ]
(3.9)
Siendo β
1
* En la bibliografía podemos encontrar el aplanamiento designado tanto por α como por f
77
β=
γ p −γe
γe
(3.10)
Por analogía de (3.8) con (3.9) podemos establecer que
9
2
β = 2α + m − J 2
(3.11)
La cual se conoce como la fórmula de Clairaut. Si sustituimos J2 de (2.89) en la fórmula
de Clairaut (3.11) obtenemos
5
2
α= m−β
(3.12)
estableciendo esta ecuación que la forma de la Tierra que vendría resuelta por el
aplanamiento del elipsoide α, se puede obtener a través de m y β siendo estos
parámetros, parámetros físicos o constantes dinámicas los cuales dependen de cómo esta
distribuida la masa de la Tierra. Otra deducción que podríamos obtener es que se puede
obtener la forma de la Tierra midiendo la gravedad sobre ella (como mínimo hacen falta
dos puntos).
3.2. Elipsoide de nivel. Campo normal de la gravedad.
Para la determinación del campo exterior de la gravedad se requiere el establecer un
sistema de referencia gravimétrico (al igual que en geodesia se utiliza el elipsoide como
figura de referencia para reducir las medidas, en geofísica se establece una superficie de
referencia para los valores de gravedad), el cual es conocido como campo normal de la
gravedad. El origen o fuente de este campo es generado por un modelo de Tierra el
cual representa una figura normal de la Tierra (cuando hablamos de “normal” nos
referimos a una superficie con una definición geométrica regular).
Un modelo estándar de referencia de Tierra ya sea geodésico o gravimétrico debe
garantizar un encaje o ajuste bastante aproximado con la superficie de la Tierra y con el
campo de gravedad externo de la Tierra, pero no hay que olvidar que este modelo
estándar debe tener una facilidad de uso, facilitar un cálculo rápido y sencillo de los
valores de la gravedad.
78
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
A este respecto la figura normal que mejor se ciñe a estas condiciones es un elipsoide de
ω
b
a
M
Fig.3.2
revolución (descrpición geométrica) o elipsoide de nivel (descripción potencial).
Para definir esta figura hay que establecer por una parte su geometría que viene dada
por el semieje mayor a y su aplanamiento α o f y por otra parte sus parámetros físicos la
masa M y su velocidad angular de rotación ω. El campo de la gravedad originado sería
fruto de la gravitación y rotación del elipsoide.
Veamos algunas propiedades del campo potencial generado por el elipsoide definido.
¾ La superficie del elipsoide es una superficie equipotencial, U(r)=U0 , dentro del
campo de gravedad de este modelo.
¾ El campo de la gravedad presenta simetría respecto al eje de rotación y respecto al
plano ecuatorial.
¾ De acuerdo con el Teorema de Poincare-Stokes, el campo de la gravedad exterior a
la superficie de nivel del elipsoide queda completamente determinado por los cuatro
parámetros, a, α, M y ω.
¾ Las superficies potenciales normales
Fig.3.3
no son elipsoides, a excepción del
propio
U=U0
Elipsoide
elipsoide
de
nivel.
superficies
son
conocidas
superficies
esferopotenciales,
Estas
como
las
cuales se definen como superficies
cuasi esféricas. El mismo elipsoide de
U=cte
nivel es una particularización de una
79
superficie esferopotencial (tiene forma de elipsoide).
¾ En el caso del elipsoide estándar se le presupone una densidad homogénea para todo
su volumen aunque se puede aproximar el campo de gravedad de un elipsoide de
nivel por una distribución de masas estratificada (Torge,1989).
3.3. Aproximaciones de orden superior y figuras triaxiales.
A lo largo de este capítulo y del anterior hemos visto diferentes aproximaciones al
potencial de la gravedad y de la aceleración de la gravedad bajo diferentes supuestos
(una Tierra esférica, elipsoidal,etc...) y precisiones, pero en definitiva todas las
aproximaciones tienen como ecuación general la (2.82), lo que les diferencia es el
número de términos utilizados:
Aproximación de orden cero (consideramos una Tierra esférica):
En la primera aproximación al potencial de la Tierra partimos del supuesto de una
Tierra esférica (2.48). Si en (2.82) establecemos que f=0 (2.87) y J2=0 (2.80), entonces
se resuelve que (2.48) es igual a (2.82).
U
(0)
GM
=
a
 a m  r 2

2
 +   cos ϕ 
 r 2  a 

(2.48)
La aceleración la obtenemos a partir de (3.8) siendo α=0 y J2=0 por hallarnos ante una
Tierra esférica.
γ ( 0) = γ e (1 + m sen 2 ϕ )
(3.13)
y
γ e( 0) = −
GM
(1 − m)
a2
(3.14)
Aunque se considera que las masas que están generando el potencial de la gravedad
tienen una configuración de esfera, la superficie potencial U(0) generada tiene forma de
un elipsoide de revolución como hemos visto en el capítulo 2.4. Si pretendemos realizar
una evaluación de las diferentes aproximaciones a la forma de la Tierra
80
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
estableceríamos esta como la menos aproximada de las vistas y con una desviación
máxima de la figura de la Tierra de 21 Km.
Aproximación de primer orden (elipsoide):
Para resolver el valor del potencial U utilizamos la ecuación (2.82)
GM
U =
a
2
 a J 2  a 3

m r 
2
2
 −   3 sen ϕ − 1 +   cos ϕ 
2 a
 r 2  r 

(
)
(2.82)
Y para resolver el valor de la aceleración según este modelo de Tierra las
aproximaciones vistas en el capítulo anterior sustituyendo en (3.9) el valor de β (3.12)
obteniéndose:

5
2



γ (1) = γ ( e ) 1 +  m − α  sen 2 ϕ 
γ e(1)


GM  3

= − 2 1 + J 2 − m 
a  2

(3.13a)
(3.14a)
En la aproximación de primer orden, se mantiene la independencia respecto a la
longitud λ y solo se considera el primer orden en α y m. Por supuesto la forma
geométrica que presenta la superficie equipotencial generada por esta distribución de
masas elipsoidal es la de un elipsoide, con un aplanamiento α=3/2 J2+m/2.
En el caso de la aproximación de primer orden nos encontramos con una superficie de
mayor similitud a la figura de la Tierra con desviaciones respecto de la forma real de la
Tierra de unas decenas de metros.
Aproximación mediante un desarrollo en Armónicos Esféricos de Superficie.
La función potencial de la gravedad resuelta mediante un desarrollo en armónicos
esféricos de superficie presenta una gran aproximación al campo potencial real de la
Tierra. El orden de esta aproximación depende del grado y orden del polinómio.
V (r ) =
GM
r
l
∞


a l
+
1
 ∑   ∑ (Cl , m cos mλ + Sl , m sen mλ )Pl , m (cosθ )
 l = 2  r  m = 0

(2.97)
81
Podemos decir que es la mejor aproximación a la figura de la tierra que podemos
establecer. Normalmente al polinomio y al conjunto de términos se le conoce como
modelo geopotencial, siendo varios los modelos geopotenciales existentes y utilizados.
Elipsoide de nivel o de referencia.
Para resolver los valores de referencia
de la gravedad hay que calcular en un
primer lugar el potencial generado por
un elipsoide, para lo cual hay que
pasar
por
resolver
la
ecuación
diferencial de Laplace (2.31) de la
cual vimos que una solución de esta
θ
λ
viene dada por la ecuación (2.97).
ϕ
Esta la podemos particularizar si se
Fig.3.4.
establece que el campo presenta
simetría con respecto al eje de
rotación y del plano ecuatorial, esto implica una particularización de (2.97) ya que
desaparecen los términos o coeficientes de λ de la ecuación.
GM
U=
r
l
∞

 ω 2 2
a
(
)
+
1
C
P
cos
θ
r sen 2 θ


 ∑
+
l ,0 l ,0
r
2
 l = 2  

(2.14)
Los coeficientes Cl,0 convergen rápidamente, con lo cual la serie se puede truncar a
partir de l=6.
Si en lugar de utilizar coordenadas geocentricas utilizamos coordenadas elipsoidales,
relación que se estableció en el capítulo 2.7.1 podemos obtener una fórmula cerrada del
valor de la aceleración de la gravedad
Esta fórmula es conocida como la fórmula de Somigliana
γ0 =
82
aγ e cos 2 ϕ + bγ p sen 2 ϕ
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sen 2 ϕ
(3.15)
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Donde γe y γp son los valores de la gravedad normal en el ecuador y en el polo
respectivamente, aquí la gravedad normal que depende de la latitud está representada
por los cuatros parámetros a, b, γe,γp lo cual no se contradice con los parámetros dados
anteriormente ya que se hallan relacionados por el teorema de Pizzetti:
2
γa
a
+
γ b 3GM
b
=
2
ab
− 2ω 2
(3.16)
Reafirmando de nuevo el teorema de Clairaut el cual establece que son cuatro los
parámetros las cantidades independientes.
La gravedad normal en el espacio exterior puede ser aproximada en una zona cercana al
elipsoide por la diferenciación de γ respecto de h (la altitud respecto al elipsoide).
3.4.Formulas normales de la gravedad.
Las fórmulas normales de la gravedad describen la gravedad como función de la latitud
geodésica ϕ y la altura h respecto a un modelo particular de la Tierra (elipsoide). En las
fórmulas desarrolladas desde 1900, se establece el valor de la gravedad en función de la
latitud,
γ 0 = γ e (1 + β sen 2 ϕ − β 1 sen 2 2ϕ )
(3.17)
La cual se diferencia de (3.8) en que en este caso si se ha tenido en cuenta los términos
de segundo orden. Donde β1 se calcula mediante el aplanamiento α (2.87)y m(2.49).
1
8
β1 = − α 2 +
5
fm
8
(3.18)
La ecuación (3.17) proporciona una resolución numérica del valor normal de la
gravedad con una precisión de 1µms-2 lo cual es suficiente para muchas aplicaciones.
Las fórmulas que se han aplicado con mayor amplitud se muestran en la tabla
γ
nombre
β
β1
α
(ms-2)
Helmert (1901)
9.7830
0.005302
0.000007
1:298.3
U.S. Coast and Geodetic
9.78039
0.005294
0.000007
1:297.4
Survey
83
Intern. Gravity Formula
9.78049
0.0052884
0.0000059
1:297.0
Geod. Ref. System 1967
9.780318
0.0053024
0.0000059
1:298.247
0.0053024
0.0000058
1/298.257
(incl. atmosfera)
9.780327
Geod. Ref. System 1980
(incl. atmosfera)
La figura muestra como varia la gravedad con la Latitud:
aceleración m/s-2
gravedad norm al
9.84
9.82
9.8
9.78
9.76
9.74
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Latitud
3.5 Sistema Geodésico de Referencia 1980.
En 1979, la Asociación Internacional de Geodesia introdujo el Sistema Geodésico de
Referencia 1980 (GRS80), Torge (1989), el cual consiste en un elipsoide de nivel
geocentrico con su campo de gravedad normal asociado el cual esta definido por los
parámetros:
radio ecuatorial de la Tierra
a= 6 378 137 m
constante geocentrica gravitacional
GM= 398 600.5 x 109 m3 s-2
Factor dinámico de la Tierra, excluyendo la deformación permanente provocada por la
marea, factor que trataremos en un próximo tema.
J2= 1 082.63 x 10-6
y finalmente la velocidad angular de la rotación de la Tierra
ω= 7.292 115 x 10-5 rad s-1
A partir de los datos anteriores mediante las relaciones establecidas en el teorema de
Clairaut y Pizzetti podemos obtener:
semieje menor del elipsoide
b= 6 356 752.3 m
84
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
aplanamiento geométrico
α= 1:298.2572
potencial normal del elipsoide:
U0= 6.263 6861 x 107 m2 s-2
Coeficientes de los armónicos esféricos
C4,0=2.370 91 x 10-6
C6,0=-0.006 08 x10-6
C8,0= 0.000 01 x 10-6
Gravedad normal en el ecuador y polo
γe= 9.780 3268 ms-2
γp= 9.832 1864 ms-2
aplanamiento gravimétrico
β= 0.005 302 440
3.6. Altitudes. superficies de referencia y geoide.
3.6.1.Introducción.
En el campo potencial para situar un punto lo hemos referido a nuestro sistema de
referencia cuyo origen generalmente lo hemos ubicado en el centro de masas de la
Tierra, y las coordenadas utilizadas han sido bien las coordenadas esféricas o las
geodésicas. En todas ellas utilizamos la latitud, longitud y el radiovector del punto.
Correspondiendo cada una de estas coordenadas a una definición geométrica clara.
Este forma de referenciar los puntos no tendría mayor problema si presentara un
paralelismo con el campo potencial de la gravedad real, este carácter de no paralelismo
se acentúa más en las direcciones en las cuales el campo de gravedad varia con mayor
rapidez (gradiente de la gravedad), o sea las mediciones que se realicen a lo largo de la
línea de la plomada (altitudes). Este no paralelismo en la medición de altitudes es el que
vamos a tratar en este capítulo, así como las superficies de referencia que existen
(elipsoide (teórica), geoide (real), etc.) y la relación entre ellas.
3.6.2. Superficies de referencia y altitudes.
85
Un punto en el espacio queda determinado por tres coordenadas, latitud, longitud y
distancia. Esta distancia puede ser tratada de forma diferente, pudiendo descomponerse
en diferentes partes e incluso quedarnos con la parte representativa de ella.
Es lógico pensar que la descomposición de la distancia que vamos a realizar este
relacionada con las superficies de trabajo que hemos definido con anterioridad.
Una superficie era la generada por el potencial real de la Tierra W0. Esta superficie
hemos dicho que es la forma real de la Tierra. Esta superficie tiene una representación
real, y viene dada por el nivel medio de los mares, esta superficie presenta un valor de
potencial constante, se conoce como geoide. Se define el geoide como la superficie
potencial que coincide con el nivel medio de los océanos y que se prolonga por debajo
de los continentes.
Diferentes altitudes
Fig.3.5.
Otra superficie de trabajo que hemos
adoptado es una superficie regular,
con
P
Geoide W0
Superficie real _ _
una
definición
matemática
sencilla, la cual establecimos como
superficie de referencia sobre la cual
era posible trabajar (simplicidad en
las formulas matemáticas) y tenía
una forma muy aproximada a la
ϕ
Tierra, el elipsoide.
λ
Elipsoide U0
Superficie teórica __
Con lo cual vamos a referir la
tercera coordenada a cualquiera de
estas dos superficies, las cuales las
vamos a considerar como de nivel cero. Llegados a este punto estamos en condiciones
de definir la altitud de un punto.
Se define la altitud de un punto como la distancia de ese punto a cada una de estas
superficies medidas a lo largo de sus normales, no teniendo porque coincidir la
representación de la altura con una línea recta. En verdad estamos midiendo el camino
que recorrería un objeto abandonado al vacío y expuesto a una gravedad (ya sea teórica
o real).
3.6.3. Altitudes elipsoidales.
86
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Las alturas elipsoidales (h) tienen una definición geométrica y son independientes del
campo de la gravedad real de la Tierra, y se resuelven obteniendo la distancia que existe
entre el punto considerado P y la superficie del elipsoide a lo largo de la normal.
dU = −γ dh
(3.19)
Globalmente h se obtiene mediante mediciones de satélite con precisión de 1 m. No
obstante los ∆h se pueden obtener mediante observaciones simultaneas con precisiones
de hasta cm en el ámbito de los km. Sin embargo como ya habíamos adelantado, las
superficies con h=const. tienen una desviación considerable respecto del campo de la
gravedad, la desviación media global
Altitud elipsoidal
es de 30 m.
Fig.3.6.
Si
P
Geoide W0
Superficie real _ _
tenemos
en
cuenta
que
el
incremento de la función potencial es
γ
igual al gradiente de la función
potencial en la dirección considerada
por el incremento de la distancia
ϕ
Podemos resolver que la altitud
λ
Elipsoide U0
Superficie teórica __
h=
U0 − U P
γ
elipsoidal se puede obtener por la
diferencia
(3.20), siendo γ =
de
1 P
γ dh
h ∫0
los
valores
del
(3.21)
potencial.
Siendo γ el valor medio de la gravedad normal entre el elipsoide y el punto considerado
3.6.4. Alturas en el campo de la gravedad.
altitud
Fig.3.7.
En el campo de la gravedad se define
la altitud de un punto como la
P
Geoide W0
Superficie real _ _
distancia existente entre el punto
considerado P y la superficie del
geoide medida a lo largo de la normal
de este.
ϕ
λ
Elipsoide U0
Superficie teórica __
87
Al contrario que el elipsoide, la altitud en el campo de la gravedad tiene una resolución
geométrica complicada por lo cual hay que acudir a conceptos dinámicos para resolver
la altitud, según hemos visto en (3.19) podemos establecer que
H=
W0 − W P
g
(3.22) siendo g =
1
H
H
∫ g dn
(3.23)
0
Expresiones en las que más tarde haremos hincapié.
Analicemos como se resuelven las altitudes mediante operaciones topográficas y si
estas constituyen una aproximación correcta a la altitud propiamente dicha. En
topografía para resolver el incremento de cota existente entre dos puntos con cierta
Fig.3.8.
W4
dn4
W5
dn3
W2
dn2P
dn2
W1
W0
dn4P
dn3P
dn1P
dn1
precisión se suele utilizar la nivelación geométrica, la cual consiste en la obtención
incrementos de altitud sucesivos, la suma de estos incrementos sucesivos resolvería el
desnivel existente entre dos puntos. La pregunta que nos planteamos ahora es si el
método es valido, para ello acudimos a la definición de altitud, la cual especifica que la
distancia debe ser medida a lo largo de la normal al geoide, con lo cual nosotros al
realizar un itinerario los incrementos de altura no se van a tomar sobre la normal al
geoide si no sobre las diferentes normales sobre las cuales se va desarrollando el
itinerario, esto en principio no presentaría mayor problema si las superficies
equipotenciales fueran paralelas, quiere decir que en cada estacionamiento estamos
midiendo incrementos de cota en una dirección diferente a la normal del punto del cual
queremos conocer la cota, además los W no se corresponden con n.
En definitiva los incrementos de potencial permanecen constantes mientras que los
incrementos de cota o dn dependen del camino elegido.
∆W = cte.
88
y dnx ≠ dnxP
(3.24)
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Siendo dnxP los incrementos obtenidos sobre la normal del punto P.
El procedimiento de nivelación topográfica nos permitiría obtener lo que se conoce
como ‘altitud de desniveles sin corregir’ (ASC) según Udias 1997.
N
ASC = ∑ dnx
(3.25)
x =1
siendo N el número de niveladas.
Esta ASC no suele coincidir con la altitud, aunque en algunas zonas la diferencia de
estas sean tan pequeñas que se halle por debajo de la precisión del instrumental
utilizado. Esto quiere decir que cuando se realice una nivelación cerrada para obtener
ASC el valor de cierre no será 0, independientemente del instrumental utilizado, si no
que estará en función del camino utilizado.
Según lo expuesto llegamos a la conclusión de que no es posible obtener altitudes H
propiamente dichas mediante la observación de incrementos de cota, con lo cual vamos
ha ayudarnos de observables dinámicos para poder resolver la cota, es decir acudiremos
a la definición de altitud que se resuelve mediante la fórmula (3.22) y (3.23), en las
cuales es necesario resolver en primera instancia WP.
N
W p = W0 + ∑ dW j
(3.26)
x =1
siendo dWx los incrementos de potencial entre el Geoide y el punto P, que según (3.19)
dW = − g .dn
(3.27)
Con lo cual hemos resuelto el potencial de P. Este valor no depende de la trayectoria
escogida para llegar a P, el valor WP es independiente del camino, esta propiedad es la
que debería poseer la altitud (sabemos que entre dos puntos el flujo será de el punto de
menor potencial al de mayor potencial , en cierta medida nosotros hemos asimilado el
concepto de flujo entre cotas, pero en verdad viene dado por los potenciales de los
puntos). Quiere decir que de alguna forma el potencial o el incremento de potencial se
puede utilizar como cota, de hecho vamos a definir la cota geopotencial o número
geopotencial como la diferencia en potencial entre el punto y el geoide.
P
C = W0 − WP = ∫ g dn
(3.28)
0
89
Sin embargo la práctica requiere la utilización de un sistema métrico por ser este
sistema más intuitivo y extendido ya que hay que tener en cuenta que muchas de las
nivelaciones realizadas no son acompañadas con valores de la gravedad ya que la
repercusión de estos es muy baja. Con lo cual conviene resolver la altitud mediante la
ecuación (3.22) y (3.23)
H
W0 − W P
1
H=
(3.22) siendo g = ∫ g dn
(3.23)
g
H 0
g es la gravedad media medida entre el geoide y el punto P. Esta gravedad media no se
puede resolver, ya que no podemos medir la gravedad a lo largo de la normal de un
punto ya que la presencia de la superficie física de la Tierra entre el punto y el geoide lo
impide, con lo cual lo único que se puede realizar es una aproximación. Otro problema
que aparece es que en la ecuación (3.23) aparece la altitud H como limite de la integral,
siendo justamente este el termino que estamos buscando.
Veamos que posibles aproximaciones podemos establecer para salvar estos problemas.
La primera aproximación que podemos realizar es sustituir el valor medio de la
gravedad g por otro conocido. En el caso que lo sustituyamos por el valor normal de la
gravedad a 45º, se obtiene lo que se conoce por altitud dinámica
H din =
90
1
γ 45 º
N
∑ g dn
x =0
(3.28)
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Esta altitud es una altitud que no se suele utilizar mucho debido a que no tiene un
Superficie Tierra
P
g
Teluroide UQ=WP
ζ
U=UQ
Q
HN
Geoide W=W0
Elipsoide U=U0
Fig.3.9.
Q0
γ0
significado físico muy exacto produciendo una falsedad en los datos notable.
Otra definición de altitud o altitud aproximada, es la que se conoce como altitud
normal. Previa a la definición de la altitud dinámica propuesta por Molodensky
definamos una superficie auxiliar conocida como Teluroide y repasemos ciertos
conceptos.
En este tema hemos resuelto que como superficie de referencia, la figura idónea era un
elipsoide, este elipsoide lo hemos definido con el mismo potencial que tiene el geoide
U 0 =W0
(3.29)
Ahora estableceremos una superficie auxiliar de referencia, el Teluroide la cual se
define como la superficie potencial (no equipotencial) que tiene como valor potencial
normal Uteluroide, el potencial real de la superficie de la Tierra Wsuperficie Tierra.
U teluroide = WSuperfcie Tierra
(3.30)
Se define la altitud normal de un punto HN, como la distancia existente entre su
proyección en el elipsoide (0) y la proyección en el Teluroide (Q) (fig.3.9), Por (3.19) y
(3.20) podemos establecer:
HN =
U0 − UQ
γ
=
W0 − WP
γ
(3.31)
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Siendo γ la gravedad media entre los dos puntos.
γ =
1
γ dn
HN ∫
(3.32)
En este caso podemos aproximar (3.32) por


γ = γ 1 −
HN 

R 
(3.33)
Que sustituyendo en (3.31) obtenemos
N
HN =
∑ g dn
x =1
x
x
 H 
γ 1 − n 
R 

(3.34)
Para resolver la altitud normal hay que resolver la ecuación cuadrática (3.34).
Observando la fig.3.9. vemos que si dispusiéramos de ζ podríamos relacionar la altitud
dinámica con la elipsoidal ya que
h = HN +ξ
(3.35)
conociéndose ζ como anomalía de la altura, está se puede resolver por (3.36).
ζ =
UQ − U P
γQ
=
WP − U P
γQ
(3.36)
La ultima aproximación a la altitud, la cual se considera más exacta viene dada por la
altura ortométrica la cual se define como la distancia que existe entre el punto P y el
geoide medida a lo largo de la normal al geoide o línea de la plomada. Para obtener la
altitud ortómetrica hay que resolver la ecuación (3.22) y (3.23), para resolver (3.23) lo
que es calcular un valor aproximado de la gravedad real mediante lo que se conoce
reducción de la gravedad , la reducción es el proceso mediante el cual tomando valores
de la gravedad en una parte diferente a la superficie del geoide podemos calcular el
valor que tendría sobre el geoide, problema que abordaremos en el siguiente tema, en
92
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
concreto se utiliza la de Poincare-Prey. Finalmente la expresión que adquiere la altitud
ortométrica es
N
H=
∑g
x =1
i
dn x
(3.37)
g + 0.0424 H
para resolver la altitud ortométrica hay que resolver la ecuación cuadrática que se
plantea en (3.37).
Al igual que la altitud dinamica, en la altitud ortómetrica si somos capaces de resolver el
segmento N conocido como ondulación del geoide, podremos establecer la relación
entre altitud elipsoidal y altitud ortométrica ya que
h=H+N (3.38)
Sin embargo la forma de obtener la ondulación del geoide N no es tan inmediata como
en los casos anteriores, problema que abordaremos en el próximo tema.
Superficie Tierra
P
g
Teluroide UQ=WP
U=UQ
Q
H
Geoide W=W0
N
Elipsoide U=U0
γ0
Q0
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