Sistemas de Numeración_Mate1

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SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA
Y A DISTANCIA
MATEMÁTICAS I
Fascículo 1
“SISTEMAS DE NUMERACIÓN”
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA CONSULTA DEL ESTUDIANTE-ASESOR DE
CONTENIDO
© Elaboró: Profesor Amado Miguel León Izquierdo
Centro de Estudio No. 01 “El Rosario”
Academia de Matemáticas
Enero 2008
INTRODUCCIÓN
Desde que el hombre primitivo se volvió sedentario necesitó estructurar una nueva forma de
organizarse para cazar, alimentarse y convivir, de lo anterior se desprende la necesidad de contar
o enumerar como recurso para sobrevivir.
Gran parte de la actividad cultural antigua y presente se refiere al registro de datos, las cuentas y
las operaciones numéricas. Todavía es común ver anotaciones como //// y similares para contar.
No todos los pueblos contaban en la misma forma. Sus símbolos numéricos eran distintos de los
que hoy tenemos y hacían marcas de conteo que dependían de sus peculiaridades culturales y de
los materiales que tenían a su alcance.
En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas
tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba
relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o
sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las cantidades
para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y con esto
surgieron los primeros sistemas de numeración.
Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios.
Principio Aditivo. Se suman los valores de los símbolos que lo forman.
Principio Sustractivo. Se restan los valores de los símbolos que lo forman.
Principio Multiplicativo. Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica por cierta
cantidad.
1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES*
Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta determinado
por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto. Algunos sistemas
numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano.
1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO
La cultura floreció 2500 años antes de nuestra era, en la ribera del río Nilo. Tenía una escritura
jeroglífica muy desarrollada y un sistema de numeración simbólico muy original.
Los principios básicos son:






Es un sistema de numeración decimal
Usa símbolos distintos para representar las cantidades múltiplos de 10
Los números se formar por agrupamientos de sus símbolos
Se escriben en columnas los símbolos que se repiten más de 3 veces
Los símbolos se escriben de derecha a izquierda, de menores a mayores, aunque también
se pueden escribir en sentido inverso.
Es un sistema aditivo, ya que sus símbolos se suman para dar la expresión total del
número.
Ejemplos:
1.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se
utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y
100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por
este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando
un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que
empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla
siguiente:
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su
vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras
que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que
estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la
árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia
y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
1.3 SISTEMA DE
ROMANO
NUMERACIÓN
La cultura romana llegó a
antes de nuestra era.
retomado gran parte de
embargo, el derecho, la
técnicas
bélicas
se
aportaciones romanas.
del río Tiber, creó una
dominó el Mediterráneo
su apogeo en el siglo III
Para entonces había
la cultura griega; sin
medicina
y
algunas
consideraban
Roma, asentada a orillas
cultura
original
que
durante casi 1000 años.
Nuestro sistema de escritura proviene del suyo y aún en la actualidad se utiliza, aunque en forma
muy restringida.
Sus principios fundamentales son



Es un sistema de numeración decimal
Tiene un principio aditivo, uno sustractivo y uno multiplicativo
Se llaman símbolos primarios a I, X, C y M, y sólo se pueden repetir un máximo de tres
veces cada uno cuando se encuentran dentro de una cifra.
Se llaman símbolos secundarios a V, L y D, y no pueden repetirse

I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Ejemplos:
Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lX = 9;
___
Principio multiplicativo Vl = 6000
Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000
)  41000000
Ejemplos: V = (5)(1000000)  5000000 ; XLl = (41)(1000000
Tomado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES*
Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al
lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor
relativo.
En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Algunos
sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el maya y el babilónico.
2.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO
En Mesopotamia (en lo que actualmente es Irak) en un valle comprendido por los ríos Tigris y
Eufrates, se asentaron diversas culturas: asirios, caldeos y babilonios. Por el año 2000 antes de
nuestra era habían desarrollado un sistema de escritura llamado cuneiforme (en forma de cuña), el
cual perduró a través de tablillas de arcilla cocida.
Sus principios numéricos son:




Usa un sistema decimal de notación del 1 al 60
A partir del 60 su sistema es sexagesimal y posicional
Sus símbolos se pueden escribir por el agrupamiento hasta nueve veces y sus valores se
suman (principio aditivo)
Cada nueva posición se entiende de acuerdo con el contexto en que se escribe o bien por
un breve espacio entre cada nivel numérico.
El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90° en la dirección en que giran
las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman como en
el sistema egipcio (principio aditivo).
Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo.
Ejemplo:
Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de 360
días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual sistema
de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses, días, horas,
minutos y segundos.
2.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA
La cultura maya se distingue por ser una de las más importantes y originales del continente
americano. Su esplendor se presenta alrededor del año 700 de nuestra era y se manifiesta en una
amplia zona del sureste de la República Mexicana, en los estados de Chiapas, Tabasco, Yucatán,
Campeche y Quintana Roo, extendiéndose, además, por países centroamericanos de Guatemala,
Honduras y El Salvador.
Se distingue por:




Es un sistema de numeración vigesimal
Es de carácter posicional
Usa un símbolo para el cero
Utiliza una cantidad reducida de símbolos para conformar cualquier número.
Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un
símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 20, es
decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el
caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo.
Del numero 20 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical
ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por
lugar que ocupe.
203  8000
202  400
201  20
200  1
Valores
Posicionales
©AMLI.
Ejemplo
3X 202 =1200
2X 201 =40
1X 200 = 1
______
1241
* http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
200 ,201 ,202 ,203 , etc según el
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Contesta lo siguiente:
1.- ¿Qué sistema numérico representaba sus números mediante letras?
a)
b)
c)
d)
Babilónico
Maya
Decimal
Romano
2.- Los mayas colocaban sus números en forma:
a)
b)
c)
d)
Horizontal Ascendente
Vertical Descendente
Horizontal Ascendente
Vertical Ascendente
3.- ¿Que sistema numérico utiliza un símbolo a la derecha para sumar y a la izquierda para restar
(principio sustractivo y aditivo).
a)
b)
c)
d)
maya
romano
babilónico
egipcio
4.-Como se representa el 1, 5 y 10, en el sistema de numeración egipcio.
a)
,
b)
,
c)
d)
,
,
,
,
,
,
5.- ¿Que nombre recibe la escritura del sistema de numeración babilónico por emplear cuñas?
a)
b)
c)
d)
Escritura Egipcia
Escritura Romano
Escritura Cuneiforme
Escritura Decimal
6.- ¿La mayor contribución de los mayas es la creación del número?
a)
b)
c)
d)
20
10
0
1
7.- ¿Cómo representaban los números los mayas?
a) Cuñas
b) Letras
c) puntos y rayas
d) Jeroglíficos
SISTEMA DECIMAL**
Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades forman
una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así
sucesivamente.
Ejemplo:
* La cantidad 280501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero
decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar.
- Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente:
2 8 0 5 0 1
1x1
0 x 10
5 x 100
0 x 1000
8 x 10000
2 x 100000
=
1
=
00
=
500
=
0000
= 80000
= 200000
Valor del dígito de acuerdo a su posición:
1 unidad
0 decenas
5 centenas
0 unidades de millar
8 decenas de millar
2 centenas de millar
280501
- Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente:
280501 = 2 x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1
- La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos
de 10.
Para las unidades, tenemos:
1=1
Para las decenas:
10 = 101
Para las centenas:
100 = 10 x 10 = 102
Para las U. de millar:
1000 = 10 x 10 x 10 = 103
Para las D. de millar:
10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4
Para las C. de millar:
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105
Así se tiene que la cantidad, 280501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda
de la forma siguiente:
2 x 105 + 8 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 1 x 1
2.3
OPERACIONES
ALGORITMOS
CON
NÚMEROS
NATURALES
A
TRAVÉS
DE
A) Valor posicional de los números.
Ejemplo:
*
Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el
caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 , 33/3 y
33
,
3
 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333).
 La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es
tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 .
 La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del
exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 .
 La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y de
acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 .
 La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres
resultando un valor numérico de
33
 11 .
3
De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333.
De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las
cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma:
33/3 ,
33
, 333 , 333 , 333.
3
B) Método de Gauss. Para sumas de series de números.
Ejemplo:
* Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss.
La serie, es:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 =
Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el
segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
La suma de cada par de extremos da 42, y como la serie se compone de 20 elementos, entonces
se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales pares, es el
resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas:
42 x 10 = 420
C) Multiplicación por duplicación egipcia.
Ejemplo:
* Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación egipcia.
 Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número
menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12.
1
2
4
8
 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del
factor menor (12).
1
2
 4
 8
12
 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera
correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son
correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad.
1
2
 4
 8
12
16
32
 64
 128
 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y
esa suma es el resultado de la multiplicación.
64 + 128 = 192
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
1.- De acuerdo con la posición de sus dígitos, en la cifra 5555, que lugar ocupa el tercer 5 de
izquierda derecha.
A)
B)
C)
D)
Unidad
Centena
Unidad de millar
Decena
2.- En la cifra 4587 que lugar ocupa el 5:
A)
B)
C)
D)
Unidades de millar
Unidades
Decenas de Millar
Centenas
3.- Expresa las siguiente operación en su forma desarrollada, 7 centenas de millar, mas 8 decenas
de millar, mas 4 unidades de millar, mas 7 centenas, mas 2 decenas, mas 7 unidades.
A) 7x106  8x105  4x104  7x103  2x102  7
B) 7x106  8x105  4x104  7x103  2x102  7
C) 7x10  8x102  4x103  7x104  2x105  7
D) 7x105  8x104  4x103  7x102  2x10  7
4.- Es la expresión que por el método de Gauss, nos conduce al resultado de la siguiente serie de
números, 2 + 9 + 16 +............... + 86 + 93 + 100
A)
B)
C)
D)
(102 x 7) + 51
102 x 15
100 x 15
100 x 7
5.- Es la suma de los primeros doce números naturales pares por el método de Gauss.
a)
b)
c)
d)
156
256
56
356
6.- Indica cual de los siguientes números es el menor.
a) 222
2
22
22
c) 2
b)
d)
2
2
2
7.- De acuerdo con el valor numérico de las siguientes representaciones, ¿Cuál de ellas tiene un
33
valor numérico menor que
?
3
A) 333
B) 333
C) 333
D) 33/3
8.- De acuerdo con el método de duplicación de los egipcios que números, se tienen que sumar
para obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12.
A) 1
16
2
32
 4  64
 8  128
B) 1
12
2
24
 4 48
 8 96
C) 1 17
D) 1 18
2 34
2 36
 4 68
 4 71
 8 136  8 142
** Fuente: Este material fue tomado de los CUADERNOS DE ATIVIDADES DE APRENDIZAJE,
CONSOLIDACIÓN RETROALIMENTACIÓN DE MATEMÁTICAS I.
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