SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Y A DISTANCIA MATEMÁTICAS I Fascículo 1 “SISTEMAS DE NUMERACIÓN” MATERIAL COMPLEMENTARIO PARA CONSULTA DEL ESTUDIANTE-ASESOR DE CONTENIDO © Elaboró: Profesor Amado Miguel León Izquierdo Centro de Estudio No. 01 “El Rosario” Academia de Matemáticas Enero 2008 INTRODUCCIÓN Desde que el hombre primitivo se volvió sedentario necesitó estructurar una nueva forma de organizarse para cazar, alimentarse y convivir, de lo anterior se desprende la necesidad de contar o enumerar como recurso para sobrevivir. Gran parte de la actividad cultural antigua y presente se refiere al registro de datos, las cuentas y las operaciones numéricas. Todavía es común ver anotaciones como //// y similares para contar. No todos los pueblos contaban en la misma forma. Sus símbolos numéricos eran distintos de los que hoy tenemos y hacían marcas de conteo que dependían de sus peculiaridades culturales y de los materiales que tenían a su alcance. En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las cantidades para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y con esto surgieron los primeros sistemas de numeración. Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios. Principio Aditivo. Se suman los valores de los símbolos que lo forman. Principio Sustractivo. Se restan los valores de los símbolos que lo forman. Principio Multiplicativo. Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica por cierta cantidad. 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES* Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta determinado por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto. Algunos sistemas numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano. 1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO La cultura floreció 2500 años antes de nuestra era, en la ribera del río Nilo. Tenía una escritura jeroglífica muy desarrollada y un sistema de numeración simbólico muy original. Los principios básicos son: Es un sistema de numeración decimal Usa símbolos distintos para representar las cantidades múltiplos de 10 Los números se formar por agrupamientos de sus símbolos Se escriben en columnas los símbolos que se repiten más de 3 veces Los símbolos se escriben de derecha a izquierda, de menores a mayores, aunque también se pueden escribir en sentido inverso. Es un sistema aditivo, ya que sus símbolos se suman para dar la expresión total del número. Ejemplos: 1.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente: De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios. 1.3 SISTEMA DE ROMANO NUMERACIÓN La cultura romana llegó a antes de nuestra era. retomado gran parte de embargo, el derecho, la técnicas bélicas se aportaciones romanas. del río Tiber, creó una dominó el Mediterráneo su apogeo en el siglo III Para entonces había la cultura griega; sin medicina y algunas consideraban Roma, asentada a orillas cultura original que durante casi 1000 años. Nuestro sistema de escritura proviene del suyo y aún en la actualidad se utiliza, aunque en forma muy restringida. Sus principios fundamentales son Es un sistema de numeración decimal Tiene un principio aditivo, uno sustractivo y uno multiplicativo Se llaman símbolos primarios a I, X, C y M, y sólo se pueden repetir un máximo de tres veces cada uno cuando se encuentran dentro de una cifra. Se llaman símbolos secundarios a V, L y D, y no pueden repetirse I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Ejemplos: Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lX = 9; ___ Principio multiplicativo Vl = 6000 Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000 ) 41000000 Ejemplos: V = (5)(1000000) 5000000 ; XLl = (41)(1000000 Tomado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html 2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES* Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor relativo. En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Algunos sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el maya y el babilónico. 2.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO En Mesopotamia (en lo que actualmente es Irak) en un valle comprendido por los ríos Tigris y Eufrates, se asentaron diversas culturas: asirios, caldeos y babilonios. Por el año 2000 antes de nuestra era habían desarrollado un sistema de escritura llamado cuneiforme (en forma de cuña), el cual perduró a través de tablillas de arcilla cocida. Sus principios numéricos son: Usa un sistema decimal de notación del 1 al 60 A partir del 60 su sistema es sexagesimal y posicional Sus símbolos se pueden escribir por el agrupamiento hasta nueve veces y sus valores se suman (principio aditivo) Cada nueva posición se entiende de acuerdo con el contexto en que se escribe o bien por un breve espacio entre cada nivel numérico. El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90° en la dirección en que giran las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman como en el sistema egipcio (principio aditivo). Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo. Ejemplo: Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de 360 días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual sistema de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses, días, horas, minutos y segundos. 2.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA La cultura maya se distingue por ser una de las más importantes y originales del continente americano. Su esplendor se presenta alrededor del año 700 de nuestra era y se manifiesta en una amplia zona del sureste de la República Mexicana, en los estados de Chiapas, Tabasco, Yucatán, Campeche y Quintana Roo, extendiéndose, además, por países centroamericanos de Guatemala, Honduras y El Salvador. Se distingue por: Es un sistema de numeración vigesimal Es de carácter posicional Usa un símbolo para el cero Utiliza una cantidad reducida de símbolos para conformar cualquier número. Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 20, es decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo. Del numero 20 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por lugar que ocupe. 203 8000 202 400 201 20 200 1 Valores Posicionales ©AMLI. Ejemplo 3X 202 =1200 2X 201 =40 1X 200 = 1 ______ 1241 * http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html 200 ,201 ,202 ,203 , etc según el ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Contesta lo siguiente: 1.- ¿Qué sistema numérico representaba sus números mediante letras? a) b) c) d) Babilónico Maya Decimal Romano 2.- Los mayas colocaban sus números en forma: a) b) c) d) Horizontal Ascendente Vertical Descendente Horizontal Ascendente Vertical Ascendente 3.- ¿Que sistema numérico utiliza un símbolo a la derecha para sumar y a la izquierda para restar (principio sustractivo y aditivo). a) b) c) d) maya romano babilónico egipcio 4.-Como se representa el 1, 5 y 10, en el sistema de numeración egipcio. a) , b) , c) d) , , , , , , 5.- ¿Que nombre recibe la escritura del sistema de numeración babilónico por emplear cuñas? a) b) c) d) Escritura Egipcia Escritura Romano Escritura Cuneiforme Escritura Decimal 6.- ¿La mayor contribución de los mayas es la creación del número? a) b) c) d) 20 10 0 1 7.- ¿Cómo representaban los números los mayas? a) Cuñas b) Letras c) puntos y rayas d) Jeroglíficos SISTEMA DECIMAL** Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente. Ejemplo: * La cantidad 280501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar. - Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente: 2 8 0 5 0 1 1x1 0 x 10 5 x 100 0 x 1000 8 x 10000 2 x 100000 = 1 = 00 = 500 = 0000 = 80000 = 200000 Valor del dígito de acuerdo a su posición: 1 unidad 0 decenas 5 centenas 0 unidades de millar 8 decenas de millar 2 centenas de millar 280501 - Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente: 280501 = 2 x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1 - La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos de 10. Para las unidades, tenemos: 1=1 Para las decenas: 10 = 101 Para las centenas: 100 = 10 x 10 = 102 Para las U. de millar: 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 Para las D. de millar: 10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4 Para las C. de millar: 100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 Así se tiene que la cantidad, 280501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda de la forma siguiente: 2 x 105 + 8 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 1 x 1 2.3 OPERACIONES ALGORITMOS CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE A) Valor posicional de los números. Ejemplo: * Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 , 33/3 y 33 , 3 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333). La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 . La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 . La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y de acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 . La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres resultando un valor numérico de 33 11 . 3 De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333. De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma: 33/3 , 33 , 333 , 333 , 333. 3 B) Método de Gauss. Para sumas de series de números. Ejemplo: * Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss. La serie, es: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 La suma de cada par de extremos da 42, y como la serie se compone de 20 elementos, entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas: 42 x 10 = 420 C) Multiplicación por duplicación egipcia. Ejemplo: * Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación egipcia. Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12. 1 2 4 8 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del factor menor (12). 1 2 4 8 12 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad. 1 2 4 8 12 16 32 64 128 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y esa suma es el resultado de la multiplicación. 64 + 128 = 192 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 1.- De acuerdo con la posición de sus dígitos, en la cifra 5555, que lugar ocupa el tercer 5 de izquierda derecha. A) B) C) D) Unidad Centena Unidad de millar Decena 2.- En la cifra 4587 que lugar ocupa el 5: A) B) C) D) Unidades de millar Unidades Decenas de Millar Centenas 3.- Expresa las siguiente operación en su forma desarrollada, 7 centenas de millar, mas 8 decenas de millar, mas 4 unidades de millar, mas 7 centenas, mas 2 decenas, mas 7 unidades. A) 7x106 8x105 4x104 7x103 2x102 7 B) 7x106 8x105 4x104 7x103 2x102 7 C) 7x10 8x102 4x103 7x104 2x105 7 D) 7x105 8x104 4x103 7x102 2x10 7 4.- Es la expresión que por el método de Gauss, nos conduce al resultado de la siguiente serie de números, 2 + 9 + 16 +............... + 86 + 93 + 100 A) B) C) D) (102 x 7) + 51 102 x 15 100 x 15 100 x 7 5.- Es la suma de los primeros doce números naturales pares por el método de Gauss. a) b) c) d) 156 256 56 356 6.- Indica cual de los siguientes números es el menor. a) 222 2 22 22 c) 2 b) d) 2 2 2 7.- De acuerdo con el valor numérico de las siguientes representaciones, ¿Cuál de ellas tiene un 33 valor numérico menor que ? 3 A) 333 B) 333 C) 333 D) 33/3 8.- De acuerdo con el método de duplicación de los egipcios que números, se tienen que sumar para obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12. A) 1 16 2 32 4 64 8 128 B) 1 12 2 24 4 48 8 96 C) 1 17 D) 1 18 2 34 2 36 4 68 4 71 8 136 8 142 ** Fuente: Este material fue tomado de los CUADERNOS DE ATIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN RETROALIMENTACIÓN DE MATEMÁTICAS I.