ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS ©asesor Amado Miguel León Izquierdo En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las cantidades para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y con esto surgieron los primeros sistemas de numeración. Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios. Principio Aditivo.- Se suman los valores de los símbolos que lo forman. Principio Sustractivo.- Se restan los valores de los símbolos que lo forman. Principio Multiplicativo.- Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica por cierta cantidad. SISTEMAS DE NUMERACION NO POSICIONALES Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta determinado por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto. Algunos sistemas numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano. SISTEMAS DE NUMERACION EGIPCIO El sistema de numeración de los egipcios era decimal (base 10). Utilizó el principio aditivo. Sus símbolos sólo tenían valor absoluto (eran jeroglíficos). Cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces. La posición de sus símbolos no importaba Ejemplos: EL SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios. SISTEMAS DE NUMERACIÓN ROMANO En su sistema de numeración se emplean 7 símbolos: l V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Hacían agrupamientos de 10 en 10 (sistema decimal). Solamente los símbolos l, X, C, M; se repetían 3 veces. Podemos observar que: l sólo se resta de V y X; X sólo se resta de L y C; C sólo resta de D y M. Una barra horizontal sobre un símbolo significa que el valor del símbolo se multiplica por 1000. Ejemplos: Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lX = 9; ___ Principio multiplicativo Vl = 6000 Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000 ) 41000000 Ejemplos: V = (5)(1000000) 5000000 ; XLl = (41)(1000000 ©AMLI. SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALES Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor relativo. En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Algunos sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el egipcio y el romano. SISTEMA DE NUMERACION MAYA Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 20, es decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo. Del numero 20 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por lugar que ocupe. 203 8000 202 400 201 20 200 1 200 ,201 ,202 ,203 , etc según el Valores Posicionales ©AMLI. Ejemplo 3X 202 =1200 2X 201 =40 1X 200 = 1 ______ 1241 ©AMLI. EL SISTEMA DE NUMERACION BABILONICO La escritura en Babilonia se hacia en pequeñas tablas con ayuda de un estilete o punzón que producía símbolos en forma de cuña, llamados escritura cuneiforme. El símbolo que representaba el uno era la cuña sencilla, se ponían tantos hasta llegar al diez que tenia su propio símbolo. El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90° en la dirección en que giran las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman como en el sistema egipcio (principio aditivo). Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo Ejemplo: Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de 360 días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual sistema de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses, días, horas, minutos y segundos. Actividad 1 Contesta lo siguiente 1.- ¿Qué sistema numérico representaba sus números mediante letras? a) b) c) d) Babilónico Maya Decimal Romano 2.- Los mayas colocaban sus números en forma: a) Horizontal Ascendente b) Vertical Descendente c) Horizontal Ascendente d) Vertical Ascendente 3.- ¿Que sistema numérico utiliza un símbolo a la derecha para sumar y a la izquierda para restar (principio sustractivo y aditivo). a) b) c) d) maya romano babilónico egipcio 4.-Como se representa el 1, 5 y 10, en el sistema de numeración egipcio. a) , b) , c) d) , , , , , , 5.- ¿Que nombre recibe la escritura del sistema de numeración babilónico por emplear cuñas? a) b) c) d) Escritura Egipcia Escritura Romano Escritura Cuneiforme Escritura Decimal 6.- ¿La mayor contribución de los mayas es la creación del número? a) b) c) d) 20 10 0 1 7.- ¿Cómo representaban los números los mayas? a) Cuñas b) Letras c) puntos y rayas d) Jeroglíficos SISTEMA DECIMAL Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente. Ejemplo * La cantidad 280501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar. - Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente: 2 8 0 5 0 1 1x1 0 x 10 5 x 100 0 x 1000 8 x 10000 2 x 100000 = 1 = 00 = 500 = 0000 = 80000 = 200000 Valor del dígito de acuerdo a su posición: 1 unidad 0 decenas 5 centenas 0 unidades de millar 8 decenas de millar 2 centenas de millar 280501 - Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente: 280501 = 2 x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1 - La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos de 10. Para las unidades, tenemos: 1=1 Para las decenas: 10 = 101 Para las centenas: 100 = 10 x 10 = 102 Para las U. de millar: 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 Para las D. de millar: 10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4 Para las C. de millar: 100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 Así se tiene que la cantidad, 280501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda de la forma siguiente: 2 x 105 + 8 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 1 x 1 OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS A) Valor posicional de los números. Ejemplo * Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 , 33/3 y 33 , 3 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333). La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 . La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 . La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y de acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 . La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres resultando un valor numérico de 33 11 . 3 De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333. De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma: 33/3 , 33 , 333 , 333 , 333. 3 B) Método de Gauss. Para sumas de series de números. Ejemplo * Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss. La serie, es: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 La suma de cada par de extremos da 42 , y como la serie se compone de 20 elementos, entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas: 42 x 10 = 420 C) Multiplicación por duplicación egipcia. Ejemplo * Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación egipcia. Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12. 1 2 4 8 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del factor menor (12). 1 2 4 8 12 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad. 1 2 4 8 12 16 32 64 128 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y esa suma es el resultado de la multiplicación. 64 + 128 = 192 © Material tomado de cuaderno de actividades de consolidación y retroalimentación de matemáticas Actividad 2 1.- De acuerdo con la posición de sus dígitos, en la cifra 5555, que lugar ocupa el tercer 5 de izquierda derecha. A) B) C) D) Unidad Centena Unidad de millar Decena 2.- En la cifra 4587 que lugar ocupa el 5: A) B) C) D) Unidades de millar Unidades Decenas de Millar Centenas 3.- Expresa las siguiente operación en su forma desarrollada, 7 centenas de millar, mas 8 decenas de millar, mas 4 unidades de millar, mas 7 centenas, mas 2 decenas, mas 7 unidades. A) 7x106 8x105 4x104 7x103 2x102 7 B) 7x106 8x105 4x104 7x103 2x102 7 C) 7x10 8x102 4x103 7x104 2x105 7 D) 7x105 8x104 4x103 7x102 2x10 7 4.- Es la expresión que por el método de Gauss, nos conduce al resultado de la siguiente serie de números, 2 + 9 + 16 +............... + 86 + 93 + 100 A) B) C) D) (102 x 7) + 51 102 x 15 100 x 15 100 x 7 5.- Es la suma de los primeros doce números naturales pares por el método de Gauss. a) b) c) d) 156 256 56 356 6.- Indica cual de los siguientes números es el menor. a) 222 2 22 22 c) 2 b) d) 2 2 2 7.- De acuerdo con el valor numérico de las siguientes representaciones, ¿Cuál de ellas tiene 33 un valor numérico menor que ? 3 A) 333 B) 333 C) 333 D) 33/3 8.- De acuerdo con el método de duplicación de los egipcios que números, se tienen que sumar para obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12. A) 1 16 2 32 4 64 8 128 B) 1 12 2 24 4 48 8 96 C) 1 17 D) 1 18 2 34 2 36 4 68 4 71 8 136 8 142