CUADRILÁTEROS CÍCLICOS 1. Demuestra que una condición

CUADRILÁTEROS CÍCLICOS
1. Demuestra que una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea cíclico es que la
suma de dos ángulos opuestos sea igual a 180º.
2. Sean AD, BE y CF las alturas de un triángulo ABC y H su punto de intersección. Demuestra que
los cuadriláteros AEHF, CEHD, BDHF, BCEF, ACDF y ABDE son cíclicos.
3. En la siguiente figura están trazadas las bisectrices de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD,
las cuales se intersectan en los puntos E, F, G y H, como se muestra en la figura. Demuestra que el
cuadrilátero EFGH es cíclico.
4. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Un punto M es marcado sobre el arco de la
semicircunferencia y un punto K es marcado sobre AB. Una circunferencia con centro P pasa por
A, M y K, y otra circunferencia con centro Q pasa por M, K y B. Demostrar que M, K, P y Q son
concíclicos.
5. Sea AB una cuerda de una circunferencia y P un punto sobre ella. Sea Q la proyección de P sobre
AB, y R y S las proyecciones de P sobre las tangentes a la circunferencia en A y B,
respectivamente.
(a) Demuestra que PQAR y PQBS son cuadriláteros cíclicos.
(b) Prueba que PQ2 = PR · PS.
6. En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una línea perpendicular a MC por M
interfecta AD en K. Demuestra que ∠BCM = ∠KCM.
7. Sean ABC un triángulo y L, M, N los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente.
(a) Demuestra que si ∠LAC = ∠MBA, entonces ∠CNA = ∠ALB.
(b) Demuestra que si ∠CNA = ∠ALB, entonces ∠LAC = ∠MBA.
8. Sea AL la bisectriz del ángulo A de un triángulo acutángulo ABC. Sean M y N puntos sobre los
lados AB y AC respectivamente de manera que ∠MLA = ∠B y∠NLA = ∠C. Si D es el punto de
intersección de AL y MN.
(a) Demuestra que AMLN es un cuadrilátero cíclico.
(b) Demuestra que AL3 = AB · AC · AD.
9. Una línea PQ, paralela al lado BC de un triángulo ABC, corta a AB y a AC en P y Q,
respectivamente. La circunferencia que pasa por P y es tangente a AC en Q corta de nuevo a AB en
R. Demuestra que el cuadrilátero RQCB es cíclico.
10. Se toma un punto P en el interior de un rectángulo ABCD de tal manera que ∠APD + ∠BPC =
180º. Encuentra la suma de los ángulos ∠DAP y ∠BCP.
11. Las circunferencias C1 y C2 se intersectan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una recta que
corta a las circunferencias C1 y C2 en los puntos C y D, respectivamente. Por los puntos C y D se
trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el punto M. Demuestra que el
cuadrilátero MCBD es cíclico.
12. Sea BC el diámetro de un semicírculo y sea A el punto medio del semicírculo. Sea M un punto
sobre el segmento AC. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde A y C a la línea BM,
respectivamente. Demuestra que BP = PQ + QC.
13. Sea ABC un triángulo y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del ángulo A con el lado BC y
con el circuncírculo de ABC, respectivamente. Construimos la intersección de M del circuncírculo
de ABL con el segmento AC. Demuestra que los triángulos BMN y BMC tienen la misma área.
14. En un triángulo ABC, sean M, N y P puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente. Se
trazan las circunferencias circunscritas a los triángulos APN, BMP y CNM. Demuestra que las tres
circunferencias tienen un punto en común.
15. Sea AB el diámetro de un círculo con centro O. Se toma el punto C sobre la circunferencia de tal
manera que OC es perpendicular a AB. Sea P un punto sobre el arco CB. Las líneas CP y AB se
intersectan en Q. Se escoge un punto R sobre la línea AP de tal manera que RQ y AB son
perpendiculares. Demuestra que BQ = QB.
16. Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que las diagonales AC y BD son perpendiculares y, sea P su
intersección. Demuestra que las reflexiones de P con respecto a AB, BC, CD y DA son concíclicos.
17. Un cuadrilátero cíclico ABCD tiene sus diagonales perpendiculares y P el punto de intersección de
las diagonales. Q es un punto en el lado AB tal que PQ es perpendicular a él. Demuestra que PQ
pasa por el punto medio del lado CD.
18. Sea ABC un triángulo y sea D el pie de la altura desde A. Sean E y F sobre una línea que pasa por
D de tal manera que AE es perpendicular a BE, AF es perpendicular a CF, E y F son diferentes de
D. Sean M y N los puntos medios de BC y EF, respectivamente. Demuestra que AN es
perpendicular a NM.