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L E G I
S A N A N T O N I O D E P A D U A
F R A N C I S C A N S

C A R C A I X E N T
Matemáticas
1/ Lugares geométricos. Mediatriz y Bisectriz

Mediatriz de un segmento de extremos A y B: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de A y B.
1. Encuentra el punto M (punto medio entre A y B).
2. Halla el vector perpendicular a AB
3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por M y tiene
como vector director el vector perpendicular a AB

Mediatriz: recta
perpendicular en el punto
medio de un segmento.
Bisectriz de dos rectas r y s: Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de r y
de s.
d(P, r) = d(P, s)
Ejercicios Resueltos
1 # Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(5, 2) y B(-3, 8).
La mediatriz es una recta perpendicular al punto medio del segmento AB, por lo que:
53 28

 Debe pasar por el punto Medio M  
,
  (1, 5)
2 
 2
r
r
 como v = B - A = (- 8, 6) es vector director, entonces el vector normal es n = (6,8)
r
MEDIATRIZ: ecuación de la recta que pasa por M (1, 5) y tiene vector, n = (6,8) = (3,4)
x  1  y  5  3(y – 5) = 4 (x –1)  3 y – 15 = 4x – 4  4x – 3y + 11 = 0
3
4
2 # Calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r: 3x – 4y +1 = 0 y s: 5x
+ 12y – 7 = 0
3x  4y  1
5x  12y  7
3x  4y  1
5x  12y  7



4
13
9  16
25  144
39x  52y  13  25x  60y  35  14x  112y  48  0  7x  56  24  0
39x  52y  13  25x  60y  35  64x  8y  22  0
3 # Dado el triángulo de vértices P(0,1), Q(6,4), R(2,7)
a)
b)
c)
d)
Halla la longitud del lado PQ
Halla la ecuación de la recta r sobre la que está dicho lado
Halla la distanciadel vértice R a esa recta r
Calcula el área o superficie S del triángulo
Sol: a) d(P,Q)=3 5
b) r: x-2y+2=0 c) d(R,r)=10/ 5 d) S=15 u2
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2/ LA CIRCUNFERENCIA
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 + mx +ny + p = 0
El centro C(a, b) 
El radio 
Ecuación reducida
Ecuación Desarrollada
a  m ; b  n
2
2
r  a2  b2  p
Posición de una recta respecto de una circunferencia
 Mediante el cálculo de la distancia de un punto (el centro de la circunferencia) a la recta: Vemos si la
distancia es igual, más grande o más pequeño que el radio.
Si d > r La recta es exterior a la circunferencia.
Si d < r La recta es interior a la circunferencia.
Si d = r La recta es tangente a la circunferencia.
 Mediante la resolución del sistema:
2 Soluciones: La recta es interior a la circunferencia.
1 Solución: La recta es tangente a la circunferencia.
No tiene solución: La recta es exterior a la circunferencia.
3/ LA ELIPSE

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los punto del plano en el que la suma de distancias de los
focos (F y F´) a un punto P es constante.
PF´ + PF = 2a
PF´ y PF son los radios vectores del punto P

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Eje mayor : AA   2a ;
semieje mayor: a
Eje menor : BB  2b ; semieje menor: b
Distancia focal: FF  2c ; semidistancia focal: c
Focos: son los puntos F y F´
Vértices: A, A´, B y B´
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
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ELIPSE: a2 = b2 + c2

EXCENTRICIDAD: mide el mayor o menor achatamiento de la elipse.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN CON LOS FOCOS SOBRE EL EJE X
2
x2  y  1
a2 b2
3
e c
a
0<e<1