Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2014-2
TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN
Dr. A. Reyes-Coronado
Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z
1.- Problema: (20pts) Un modelo primitivo para el átomo consiste en un núcleo puntual
con carga +q rodeado por una nube electrónica esférica de radio a con carga −q, como
se muestra en la figura a). Considera que este átomo está ahora bajo la acción de un
~ de manera que el núcleo se moverá una pequeña distancia d respecto
campo eléctrico E
al centro de la nube electrónica, como se muestra en la figura b). Considerando que
el desplazamiento es pequeño (d < a), y que la nube electrónica sigue teniendo forma
esférica, calcula la polarizabilidad atómica del átomo.
a)"
b)"
a"
d"
+q"
+q"
"q"
r
E
!
"q"
Solución al problema 1
~ el núcleo será desplazado
Como dice el enunciado, en presencia de un campo externo E,
ligeramente a la derecha y la nube electrónica a la izquierda. El equilibrio ocurre cuando
el núcleo es desplazado a una distancia d del centro de la esfera. En este punto el campo
externo empujando el núcleo a la derecha equilibra el campo interno que está empujando
éste a la izquierda: E = Ee , donde Ee es el campo producido por la nube electrónica. Ahora
bien, sabemos que el campo a una distancia d de una esfera uniformemente cargada de radio
a está dado por
1 qd
Ee =
,
(1)
4π0 a3
con lo cual, en el equilibrio se aclanza cuando
E = Ee =
1 qd
,
4π0 a3
o bien,
p = qd = (4π0 a3 )E.
(2)
Entonces la polarizabilidad estará dada por
α = 4π0 a3 = 30 V,
donde V es el volumen del átomo.
1
(3)
2.- Problema: (20pts) Un átomo de hidrógeno (radio Bohr de medio angstrom) se encuentra entre dos placas metálicas separadas por 1 mm, las cuales están conectadas
a una baterı́a de 500 volts. ¿Qué fracción del radio atómico representa la distancia
de separación d entre las cargas inducida por la diferencia de potencial (de manera
aproximada)? Estima el voltaje necesario para ionizar el átomo.
Solución al problema 2
Sabemos que el campo eléctrico entre dos placas paralelas es constante e independiente
de la posicin (placas infinitas), por lo que el potencial es el producto del campo eléctrico
por la distancia medida desde una de las placas hacia la otra. Entonces, el campo eléctrico
est dado por:
φ
500 Volts
E= =
= 5 × 105 V /m.
(4)
x
10−3 m
La polarizabilidad atómica del hidrógeno es
α
= 0.66 × 10−30 m3 ,
(5)
4π0
con lo cual
α = 4π(8.85 × 10−12
2 2
C 2 s2
−30 3
−41 C s
)(0.66
×
10
m
)
=
7.34
×
10
.
Kg m3
Kg
(6)
Por lo tanto,
p = αE = qd
(7)
donde q es la carga del electrón, e, en este caso. Entonces la separación máxima inducida
entre las cargas en el átomo será
2 2
(7.34 × 10−41 CKgs )(5 × 105 V /m)
αE
d=
=
= 2.29 × 10−16 m.
e
(1.6 × 10−19 C)
(8)
Si el átomo de hidrógeno tiene de radio el radio de Bohr, entonces la fracción d/R será
2.29 × 10−16 m
d
=
= 4.6 × 10−6 .
R
0.5 × 10−10 m
(9)
Digamos que el átomo se ionizará cuando la distancia de separación sea igual al radio
de Bohr (el electrón estará a dos radios de distancia del núcleo). Entonces, para d = R se
tiene que
R=
αφ
αE
=
,
e
ex
⇒
φ=
Rex
(0.5 × 10−10 m)(1.6 × 10−19 C)(10−3 m)
=
= 108 V.
2 2
α
(7.34 × 10−41 CKgs )
(10)
3. Problema: (20pts) De acuerdo a la mecánica cuántica, la nube electrónica para un
átomo de hidrógeno en el estado base tiene una densidad de carga
q −2r/a
ρ(r) =
e
,
πa3
donde q es la carga del electrón y a es el radio de Bohr. Calcula la polarizabilidad
atómica del átomo. (Hint: primero calcula el campo eléctrico de la nube electrónica,
luego expande el exponencial asumiendo que r << a).
2
Solución al problema 3
Dado que la densidad de carga sólo depende de la distancia radial r entonces tenemos
simetrá esférica en el problema,
por lo que podemos hacer uso de la ley de Gauss para
R
~ · d~a = Qenc .
calcular el campo eléctrico E
0
Calculando la carga total encerrada se tiene
r
Z
Z
4πq r
2r̄ 2
4q
a
a2
2r̄
2
,
Qenc =
ρdV =
exp −
r̄ dr̄ = 3 − exp −
r̄ + ar̄ +
3
πa 0
a
a
2
a
2
0
2r
2r 2r2
= q 1 − exp −
1+
.
(11)
+ 2
a
a
a
Por lo tanto, el campo eléctrico producido por la nube electrónica es
1 q
2r
2r 2r2
Ee =
1 − exp −
1+
+ 2
.
4π0 r2
a
a
a
(12)
El protón será desplazado del origen r = 0 al punto d donde Ee = E (el campo externo):
1 q
2d
2d 2d2
E=
1 − exp −
1+
+ 2
.
(13)
4π0 d2
a
a
a
Expandiendo en potencias de d/a:
2
2d
d
d
4 d 3
exp −
=1−2 +2
−
+ · · ·,
a
a
a
3 a
(14)
entonces
"
#
2
2d 2d2
d
d
4 d 3
2d
2d 2d2
1+
+ 2
= 1− 1−2 +2
−
+ ··· 1 +
+ 2
1 − exp −
a
a
a
a
a
3 a
a
a
3
4 d
=
+ órdenes superiores.
(15)
3 a
Por lo tanto
1 q
E≈
4π0 d2
4d
3a
3
=
1 4
1
(qd) =
p.
3
4π0 3a
3π0 a3
(16)
Con lo cual la polarizabilidad atómica está dada por
α = 3π0 a3 .
4. Problema: (20pts) Una esfera de radio R posee una polarización dada por:
P~ (~r ) = k ~r ,
donde k es una constante y ~r es el vector de posición en coordenadas esféricas.
(a) Calcula las cargas inducidas σb y ρb .
3
(17)
(b) Calcula el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.
Solución al problema 4
a) Las cargas inducidas están dadas por
σb = P~ · n̂ = kR,
1 ∂
1
ρb = −∇ · P~ = − 2 (r2 kr) = − 2 (3kr2 ) = −3k.
r ∂r
r
(18)
b) Para r < R, el campo eléctrico para una esfera con densidad de carga constante ρ
está dado por
~ = 1 ρ r r̂,
E
(19)
30
con lo cual, en este caso tenemos que
~ = − k ~r.
E
0
(20)
Para r > R, es como si toda la carga estuviese en el centro de la esfera. Sin embargo,
4
Qtot = (kR)(4πR2 ) + (−3k)( πR3 ) = 0,
3
(21)
~ = ~0 dentro de la esfera.
con lo cual el campo eléctrico es E
5. Problema: (20pts) Un cilindro pequeño de radio a y longitud L posee una polarización uniforme P~ , paralela a su eje de simetrı́a. Caclula las cargas inducidas y dibuja
esquemáticamente el campo eléctrico para i) L >> a, ii) L << a y iii) L ∼ a. (A
esto se le conoce como “electreto” en analogı́a a un “magneto”).
Solución al problema 5
Las caras inducidas están dadas por
ρb = ∇ · P~ = 0
σb = P~ · n̂ = ±P .
y
(22)
El signo “+” corresponde cuando P~ y el vector normal a una de las tapas n̂ apuntan
en la misma dirección. En la otra tapa del cilindro P~ y n̂ tienen direcciones opuestas y el
signo “−” deberá ser utilizado. Sobre la superficie, que no son las tapas del cilindro, P~ es
ortogonal al vector normal a la superficie por lo que su proyección es cero.
i) L a. Las tapas se pueden aproximar como cargas puntuales, y el sistema completo
como un dipolo fı́sico, de longitud L y carga P πa2 .
ii) L a. En este caso el sistema se puede aproximar a un capacitor circular de placas
paralelas. El campo dentro es uniforme.
iii) L ≈ a. Ver figura.
4
6. Problema TORITO: (30pts) Calcula el potencial escalar de una esfera uniformemente polarizada directamente con la siguiente expresión:
1
φ(~r ) =
4π0
(~r − ~r 0 ) · P~ (~r 0 ) 3 0
d r .
|~r − ~r 0 |3
Z
V
Solución al problema 6
Dado que P~ es constante
1
φ=
4π0
Z
Z
~r · P~ 0
~r 0
1
~
dv = P ·
dv ,
~r 2
4π0 ~r 2
(23)
donde ~r = ~r − ~r 0 . El término dentro de los paréntesis es el campo eléctrico de una esfera
uniformemente cargada dividido por ρ (su densidad de carga volumétrica) y su valor es
1
4π0
Z


1
~r 0
dv =
~r 2
ρ

1
4π0
4
πR3 ρ
3
r2
1
4π0
4
πR3 ρ
3
R3
r̂

(r > R) 

~r


(r < R)
,
(24)
por lo tanto
φ(r, θ) =


1
ρ

R3
P̂
30 r2
1
30 P̂
· r̂ =
R3 P cos(θ)
30 r2
· ~r =
P rcos(θ)
30
5


(r > R) 
(r < R)


.
(25)