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Análisis Convexo
Juan Pablo Luna
Programa de Engenharia de Produção
COPPE UFRJ
[email protected]
22 de septiembre de 2014
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Conjunto Convexo
C ∈ Rn
es convexo si
tx + (1 − t)y ∈ C
Convexo
∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1]
No convexo
I Convexidad no depende de topología.
I
φ
y
Rn
son convexos.
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Cápsula Convexa
Intersección (arbitraria) de conjuntos
convexos es convexo.
Dado
A ⊂ Rn ,
la Cápsula Convexa generada por
co(A)
\
=
C
A
es:
(Convexo!!!)
A⊂C
C
convexo
I Siempre existe la cápsula convexa.
I
A ⊂ co(A)
I Si
A
es convexo
⇒ A = co(A)
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Combinación Convexa
Dados
x
x, x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn .
es combinación convexa de
x1 , x2 , . . . , xm
∃t1 , t2 , . . . , tm ∈ [0, 1] :
x=
si
m
X
tk xk
k=1
Toda combinación convexa de puntos de
un conjunto convexo pertenece a dicho
conjunto.
(Prueba por inducción matemática)
co(A)
=
n
x∈R :
conjunto de combinaciones convexas
de puntos de
A
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Cono
D ⊂ Rn
1.
es un cono si:
D 6= φ
2. Si
v ∈ D,
I
0∈D
I
{0}
y
Rn
entonces
tv ∈ D
∀t ≥ 0
son conos.
Intersección arbitraria de conos es
también un cono.
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Cono Convexo
Dado
A ⊂ Rn ,
cone(A)
el Cono Convexo generado por
\
=
C
A
es:
(Cono Convexo!!!)
A⊂C
C
cono convexo
I Siempre existe el cono convexo.
I
A ⊂ cone(A)
I Si
A
es cono convexo
⇒ A = cone(A)
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Combinación Positiva
Dados
v
v, v 1 , v 2 , . . . , v m ∈ Rn .
es combinación positiva de
v1, v2, . . . , vm
∃t1 , t2 , . . . , tm ∈ R+ :
v=
si
m
X
tk v k
k=1
Toda combinación positiva de puntos de
un cono convexo pertenece a dicho
cono.
cone(A)
=
n
v∈R :
conjunto de combinaciones positivas
de puntos de
A
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Combinación Convexa
Teorema
A ⊂ Rn . ∀v ∈ cone(A) : ∃v 1 , v 2 , . . . v k ∈ A
1 2
k
conbinación positiva de v , v , . . . v .
Dado
L.I. tal que
v
es
Teorema de Carathéodory
A ⊂ Rn . ∀x ∈ co(A) : ∃x1 , x2 , . . . xn+1 ∈ A
1 2
n+1 .
conbinación convexa de x , x , . . . x
Dado
tal que
x
es
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Cono Convexo
Teorema(Lema de Farkas)(Versión Topológica)
v 1 , v 2 , . . . , v m ⊂ Rn . El cono
1 2
m
generado) cone({v , v , . . . , v }) es
Dados
(convexo) (nitamente
cerrado.
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Cono Tangente
D ⊂ Rn convexo cerrado y x̄ ∈ D. El cono tangente a D
en el punto x̄ está denido por


tk → 0,


∃{tk } ⊂ R++
k → d,
d
τD (x̄) = d ∈ Rn :
tales
que
∃{dk } ⊂ Rn


x̄ + tk dk ∈ D
Dado
I El cono tangente siempre es convexo y cerrado.
I Tenemos que
τD (x̄) = R+ (D − x̄)
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Teoremas de Separación
Teorema.(Separación Fuerte)
A ⊂ Rn , A 6= φ convexo y
v ∈ Rn \ {0} y α ∈ R tales que
Dado
cerrado , y
x̄ 6∈ A .
Existen
hv, x̄i < α ≤ hv, xi ∀x ∈ A
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Teoremas de Separación
Teorema.(Separación Débil)
A ⊂ Rn , A 6= φ convexo y
v ∈ Rn \ {0} y α ∈ R tales que
Dado
cerrado , y
x̄ 6∈ A .
Existen
hv, x̄i ≤ α ≤ hv, xi ∀x ∈ A
hv, x̄i ≤ hv, xi ∀x ∈ A
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Teoremas de Separación
Teorema.(Separación Débil)
A, B ⊂ Rn , A, B 6= φ convexos tales
n
Existen v ∈ R \ {0} y α ∈ R tales que
Dados
que
A∩B =φ.
hv, xi ≤ α ≤ hv, yi ∀x ∈ A, ∀y ∈ B
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Teoremas de Separación
Teorema.(Separación Fuerte)
Dados
A, K ⊂ Rn , A, K 6= φ
A es cerrado y K
α, β ∈ R tales que
convexos tales que
A∩K =φ.
es compacto , entonces existen
v∈
Rn
Si
\ {0}
y
hv, xi ≤ α < β ≤ hv, yi ∀x ∈ A, ∀y ∈ K
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Teoremas de Alternativa
Teorema(Lema de Farkas)(Versión Geométrica)
Dados
c, v 1 , v 2 , . . . , v m ⊂ Rn .
Una y sólo una de las siguientes
armaciones es verdadera.
I
c ∈ cone({v 1 , v 2 , . . . , v m })
I
∃x ∈ Rn : hv i , ci ≤ 0,
∀i = 1, . . . , m,
y
hc, xi > 0
Teorema(Lema de Farkas)(Versión Matricial)
Dados
A ∈ Rn×m
y
c ∈ Rn .
Uno y sólo uno de los siguientes
sistemas tiene solución.
I
Ax = c,
I A| y
≤ 0,
x≥0
hc, yi > 0
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El Cono Polar
Dado
C ⊂ Rn .
El cono dual de
C
es denido por:
C ◦ = {d ∈ Rn : hd, xi ≤ 0,
C◦
∀x ∈ C}
es un cono convexo y cerrado
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El Cono Polar
Dados
A1 ∈ Rp×n
y
A2 ∈ Rq×n .Sean C1
C1 = {x ∈ Rn : A1 x ≤ 0}
y
C2
los conos
y
C2 = {x ∈ Rn : A2 x = 0}
y
C2◦ = {A|2 λ : λ ∈ Rq }
Sus conos duales son:
C1◦ = {A|1 µ : µ ∈ Rp+ }
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Aspectos Prácticos
I Procedimientos operacionales para determinar si un
conjunto es convexo.
I En la práctica, ¾cómo de describen los conjuntos convexos?
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Funciones Convexas
Dados
D ⊂ Rn
y
f : D → R.
epf(f )
f
= {(x, t) ∈ D × R : f (x) ≤ t}
es convexa si epf(f )
⊂ Rn × R
es un
conjunto convexo.
Denición equivalente:
f
es convexa si
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),
I Si
f
es convexa
⇒D
∀x, y ∈ D, ∀t ∈ [0, 1]
es convexo.
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Criterios para Convexidad
I Si
I Si
f
f
es diferenciable y
I
I
f
f
D
f
es dos veces diferenciable y
es convexo. Entonces:
⇔ f (y) ≥ f (x) + h∇f (x), y − xi, ∀x, y ∈ D
convexa ⇔ h∇f (x) − ∇f (y), x − yi ≥ 0,
∀x, y ∈ D
es convexa
es
es convexa
⇔ ∇2 f (x)
D
es convexo. Entonces:
es semi denida positiva,
∀x ∈ D
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Continuidad y Convexidad
Teorema
Toda función convexa es localmente lipchitziana en el interior de
su dominio.
Corolario
f : Rn → R convexa diferenciable. Para
δ, M > 0 tales que k∇f (y)k ≤ M, ∀y ∈ B(x, δ).
Data una función
x
existen
todo
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