Encontrar la ecuación de una parábola dada la directriz y el lado recto

La ecuación de la línea recta, de la cual el lado recto de una parábola es
un segmento, es y = 2:La longitud de dicho lado recto de la parábola es 8.
La ecuación de la directriz de la parábola es y = 2. La ecuación del eje de la
parábola es x = 1. Encuentra la ecuación de la parábola.
Solución:
Primero podemos determinar el foco de la parábola, encontrando la intersección del lado recto con el eje de la parábola. El lado recto tiene por ecuación
y = 2 y el eje tiene como ecuación x = 1, así que el foco tiene como coordenadas F = (1; 2).
La directriz, cuya ecuación es y = 2, intersecta al eje, cuya ecuación es x = 1,
en el punto A = (1; 2).
El vértice de la parábola es el punto medio del segmento formado por el foco
F = (1; 2) y por el punto A = (1; 2); es decir, si V = (v1 ; v2 ) tenemos
2+2
1+1
=1
v2 =
=0
v1 =
2
2
así que
V = (1; 0) :
La longitud del lado recto es igual a 8 y como a su vez es 4 jpj tenemos que
jpj = 2. EL signo del p esta dado por la dirección del segmento dirigido V F que
es negativo, así que p = 2
Dado que el eje de la parábola es perpendicular a la directriz, que es una
recta horizontal, el eje de la parábola es paralelo al eje Y .
Por tanto, la ecuación de la parábola es de la forma
2
(x h) = 4p (y k)
Sustituyendo los valores que hemos encontrado tenemos
2
(x 1)
4 ( 2) (y 0) = 0
y
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
1
4
6
8
x