Práctica 6 (1) Demuestre que, si R es un anillo con elemento

Práctica 6
(1) Demuestre que, si R es un anillo con elemento unitario, 1, y N es un ideal de R que
contiene una unidad, entonces N = R.
(2) Demuestre que un campo no contiene ideales propios no triviales.
(3) Demuestre que si R es un anillo con elemento unitario, 1, y N es un ideal de R tal
que, N ̸= R, entonces R/N es un anillo con elemento unitario.
(4) Demuestre que si R, R′ y R′′ son anillos y si ϕ : R −→ R′ y ψ : R′ −→ R′′ son homomorfismos, entonces la función compuesta ψ ◦ ϕ : R −→ R′′ es un homomorfismo.
(5) Sean R, R′ anillos y ϕ : R −→ R′ un homomorfismo tal que, ϕ(R) ̸= {0}. Demuestre
que si R tiene elemento unitario 1R y R′ no tiene divisores de cero, entonces ϕ(1R )
es elemento unitario para R′ .
(6) Sea ϕ : R −→ R′ un homomorfismo de anillos. Demuestre que si S es un subanillo
de R entonces ϕ(S) es un subanillo de R′ .
(7) Sean R y R′ anillos y ϕ un homomorfismo sobreyectivo de R en R′ . Demuestre que:
(a) si I es un ideal de R, entonces ϕ(I) es un ideal de R′ .
(b) si I ′ es un ideal de R′ , entonces ϕ−1 (I ′ ) es un ideal de R.
(8) Demuestre que N es un ideal maximal en un anillo R si, y sólo si R/N es un anillo
simple, esto es, no tiene ideales propios no triviales.
(9) Sea ϕ un homomorfismo de un anillo R con elemento unitario 1R , sobre un anillo
R′ . Sea u una unidad de R. Demuestre que ϕ(u) es una unidad en R′ si, y sólo si
u ̸∈ Ker ϕ.
(10) Sean R y R′ anillos y ϕ un homomorfismo de R sobre R′ . Demuestre que existe
una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los ideales de R′ y el conjunto
de ideales de R que contienen a Ker ϕ. Esta correspondencia puede obtenerse
asociando a cada ideal I ′ en R′ el ideal I en R definido por I = {x ∈ R : ϕ(x) ∈ I ′ }.
Con I ası́ definido demuestre que, R/I ≃ R′ /I ′ .
(11) Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario, cuyos únicos ideales son {0} y
el mismo R. Demuestre que R es un cuerpo.
(12) Si R es un anillo conmutativo con elemento unitario y M es un ideal de R, demuestre
que M es un ideal maximal de R si, y sólo si R/M es un cuerpo.
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