posición relativa de tres planos

POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
π1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
π 2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
π3 : A3 x  B3 y  C3 z  D3  0
Sistema
Matriz de los coeficientes
Matriz ampliada
A1 x  B1 y  C1 z   D1 

A2 x  B2 y  C2 z   D2 
A3 x  B3 y  C3 z   D3 
 A1 B1 C1 
M   A2 B2 C2 
A B C 
 3 3 3
 A1 B1 C1  D1 
M *   A2 B2 C2  D2 
 A B C D 
3
 3 3 3
Atendiendo a los rangos se nos pueden presentar los siguientes casos:
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
n3
 
R M *  R M  1
1)
2)
3)
4)
5)
 
 
R M  1 y R M * 1
R M   R M *  n
(1 caso)
S.C.I.
2 parámetros
La solución es un plano
 
 
R M  1 y R M *  2
R M   R M *
(2 casos)
S.I.
No tiene solución
 
 
R M   2 y R M *  2
R M   R M *  n
(2 casos)
S.C.I.
1 parámetro
La solución es una recta
 
 
R M   2 y R M *  3
R M   R M *
(2 casos)
S.I.
No tiene solución
 
 
R M   3 y R M *  3
R M   R M *  n
(1 caso)
S.C.D.
La solución es un punto
Tres planos coincidentes
Dos planos coincidentes y el
tercero paralelo
o
Tres planos paralelos
Dos planos coincidentes y el
tercero secante
o
Tres planos secantes en una recta
Dos planos paralelos y el tercero
secante a ambos
o
Tres planos secantes dos a dos
Tres planos secantes en un punto
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
1)
 
R M  1 y R M * 1
 
R M   R M *  n
S.C.I.
2 parámetros
La solución es un plano
(1 caso)
Tres planos coincidentes
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
2)
 
R M  1 y R M *  2
 
Existen planos coincidentes
R M   R M *
S.I.
No tiene solución
(2 casos)
Se determina si existen planos
coincidentes
Dos planos coincidentes y el tercero paralelo
No existen planos coincidentes
Tres planos paralelos
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
3)
 
R M   2 y R M *  2
Existen planos coincidentes
 
R M   R M *  n
S.C.I.
1 parámetro
La solución es una recta
(2 casos)
Se determina si existen planos
coincidentes
Dos planos coincidentes y el tercero secante
No existen planos coincidentes
Tres planos secantes en una recta
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
4)
 
Existen planos paralelos
 
Dos planos paralelos y el tercero secante a ambos
R M   2 y R M *  3
R M   R M *
S.I.
No tiene solución
(2 casos)
Se determina si existen planos
paralelos
No existen planos paralelos
Tres planos secantes dos a dos
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG
5)
 
R M   3 y R M *  3
 
R M   R M *  n
S.C.D.
La solución es un punto
(1 caso)
Tres planos secantes en un punto
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas - GBG