TREN DE ATERRIZAJE

Trabajo de Promoción Mecánica Racional
TREN DE ATERRIZAJE
ALUMNOS:
Tauro, Fernando Germán
García, Andrés Ezequiel
PROFESOR:
Dr. Ing. Liberto Ercoli
Ingeniería Mecánica U.T.N. – F.R.B.B
Mecánica Racional 2013
Enunciado:
El Tren de aterrizaje que se muestra en la figura siguiente esta visto desde atrás de un jet biplaza que acaba de despegar
a una velocidad v = 30 m/s.
Cada una de las ruedas posee una masa m = 30 Kg., un radio r = 30cm, un momento de inercia respecto del eje de
rotación propia de 2 Kg. /m2 y respecto del eje diametral que pasa por su centro de masa de 1 Kg. /m2.
La longitud del cilindro de duraluminio de pared delgada OO1 es L1= 1 m, su masa es de 10 Kg. y posee un radio de 5 cm.
La distancia entre ruedas es L2 = 40 cm.
El pistón P acciona al eje OO1 para que gire en O, posicionando las ruedas a una tasa constante de 45 grados/seg hacia el
lado derecho del avión, como se observa en la secuencia.
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Determinar relativo al fuselaje:
1. Invariantes Vectorial, Escalar y Tipo de movimiento de las ruedas.
2. Estados de velocidad y aceleración durante la retracción, para un punto genérico Q de la periferia de las ruedas.
Para este cálculo se emplearan los dos métodos de análisis conocidos; _Movimiento Absoluto
_Movimiento Relativo
3. Energía Cinética del conjunto cilindro-ruedas.
4. Momento Dinámico ejercido por las ruedas sobre el fuselaje a través de O, al inicio del despegue y de la
retracción.
5. Discutir el Efecto Dinámico que se produciría en el caso que el avión emprendiera un giro hacia la derecha
apenas iniciado el despegue.
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1. Invariantes del movimiento rígido general
El vector rotación ̅ es la resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema y esa resultante será la misma
cualquiera sea el centro de reducción adoptado. Por esta razón se la llama “INVARIANTE VECTORIAL DEL SISTEMA”
̅
̆[
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̆[
∑ ̅̅̅
⁄]
“Rotación del cilindro OO1”
⁄]
“Rotación del punto Q (rueda)”
̅
̆ [
̆
⁄]
Los vectores velocidad de un sistema material rígido proyectados en un determinado instante sobre la dirección del
vector rotación, son una constante que recibe el nombre de “INVARIANTE ESCALAR μ”.
̅̅̅
̅
̅
| ̅|
̅̅̅̅
Los invariantes escalar y vectorial definen el tipo de movimiento.
a) Si ̅
“Movimiento de Traslación”
̅̅̅̅
b) Si μ = 0
̅
c) Si
d) Si
“Movimiento de Rotación” (O1 es el punto del eje rotación)
̅̅̅̅ “Movimiento de Rotación Instantánea”
̅̅̅̅ , debe ser ̅ ̅̅̅̅ “Movimiento Helicoidal Permanente”
“Movimiento Helicoidal Instantáneo”
|̅̅̅̅|
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅
| ̅|
̆
̅̅̅̅̅̅̅
⁄
̆
|̅̅̅̅|
(
̆
̆)
(
̆
⁄
̆
√
|̅̅̅̅̅|
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̆)
̆
̆
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2. Estado de velocidad y aceleración durante la retracción, para un punto genérico Q de la periferia de las ruedas.
̅̅̅̅̅̅̅
⁄
̆
̆
̆ [ ]
Nota: este vector posición será utilizado para calcular los estados de velocidad y aceleración de Q.
muestra y expresa previo a calcular dichos estados.
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Es por ello que se
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Método de análisis: MOVIMIENTO ABSOLUTO
Se toma un sistema de referencia ( ̆ ̆ ̆ ) respecto de la cual nos interesa referir el movimiento del sólido y al que
denominaremos TERNA ABSOLUTA (y no fija).
Por otro lado se adopta una TERNA MOVIL (
las coordenadas del punto en análisis.
̆ ̆ ̆) solidaria al sistema rígido y con respecto a la cual se conocen
ESTADO DE VELOCIDAD
Conocer el estado de velocidad de un sólido implica conocer los vectores velocidad de todos sus puntos.
Para ello tomaremos el origen de la terna móvil (01) como centro de reducción del momento. Por ese motivo debemos
conocer la velocidad de 01 (̅̅̅̅) y el vector rotación ̅ en el mismo 01, es decir, se han reducido los vectores a 01.
Si consideramos la forma IMPROPIA DE LA LEY DE DISTRIBUCION DE VELOCIDAD, procedemos a calcular la velocidad del
̅̅̅
punto Q,
̅̅̅ = V
̅̅̅̅̅
̅
rQ⁄
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅ velocidad del punto Q.
̅̅̅̅̅
V = velocidad del origen de la terna móvil.
̅
vector rotación en el centro de reducción
r̅̅̅̅̅̅
vector posición del punto referido al origen de la terna móvil
Q⁄
̅̅̅̅̅
V
Inicialmente se procede a calcular la velocidad de
̅̅̅̅̅
V
̅̅̅
V
̅
r ⁄
̅̅̅̅̅̅
Datos:
̅̅̅
V
̅̅̅̅
r ⁄
̅̅̅̅̅̅
̆[ ⁄ ]
̆[
⁄]
̆[ ]
̅̅̅̅
̆
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̆ [ ⁄ ]
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Ahora si se calcula el estado de velocidad de “Q” bajo este método de “Análisis ABSOLUTO”
̅̅̅ = ̅̅̅̅̅
V
̅
rQ⁄
̅̅̅̅̅̅
Datos:
̅̅̅̅
̆ [ ⁄ ]
̆ [
⁄]
̆
̅
̆
̅̅̅̅̅̅̅
⁄
̆
̆ [ ]
̆
̅̅̅
̆
̆
̅̅̅
̆
̆
̆)
̆
[(
̆
̅̅̅
̆
(
̆)]
̆
̆
̆
̆
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
Si se considera el punto “Q” de la rueda cuando se encuentra en la parte superior, es decir el punto más alto, α = 0, por
lo tanto la velocidad en esa posición será:
̅̅̅
̆
̅̅̅
̆
̆
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
ESTADO DE ACELERACION
Para determinar la aceleración de “Q” se utilizara la forma “IMPROPIA DE LA LEY DE DISTRIBUCION DE ACELERACIONES”.
Se tendrán en cuentan las misma consideraciones que planteamos para la velocidad.
̅̅̅
De forma genérica:
̅̅̅
̅
̅
̅
̅̅̅̅
Para nuestro cálculo será de la siguiente forma:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
[̅̅̅̅
̆
r ⁄
̅̅̅̅̅̅]
̅ ]
̅
̅̅̅̅̅
̅
r̅̅̅̅̅̅
Q⁄
̆
(
̅
r̅̅̅̅̅̅]
Q⁄
̆
̆)
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(
̆
̆
)
(
̆
̆
̆
)
̆
̅
[̅
̆ [ ⁄ ]
̅
̅
̅̅̅̅
[̅
̅
̆
̅̅̅̅
̆
(
ó
̆
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̆)
̅
̆ [
⁄ ]
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̅
r̅̅̅̅̅̅
Q⁄
̅
̅
[̅
̆
̆
(
r̅̅̅̅̅̅
Q⁄
[̅
r̅̅̅̅̅̅]
Q⁄
r̅̅̅̅̅̅]
Q⁄
(
̆
̆)
(
–
̆)
̆–
̆ [ ⁄ ]
̆
̆
[(
̅
-
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̆)
̆
̆)]
̆–
̆
̆[ ⁄ ]
̆
Calculados cada uno de los términos de la ecuación de ̅̅̅̅, se procede a realizar el cálculo final:
̅̅̅̅
̆
–
̆ [ ⁄ ]
̆
Nuevamente si se considera que el punto “Q” de la rueda cuando se encuentra en la parte superior, es decir el punto
más alto, α = 0°, por lo tanto el valor de ̅̅̅̅ :
̅̅̅̅
̆
̅̅̅̅
–
̆
Página 7
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
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Método de análisis: MOVIMIENTO RELATIVO.
Se analiza el movimiento del sólido respecto de una terna que se mueve con respecto a otra considerada fija y a la cual
se desea referir el movimiento.
A la terna fija se la llama ABSOLUTA y a la móvil DE ARRASTRE, siendo ̅ el vector rotación absoluta de la terna móvil y
̅̅̅̅ la velocidad también absoluta.
Se distinguen 3 movimientos;
1. MOVIMIENTO RELATIVO: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la terna de arrastre como si esta
estuviese fija.
2. MOVIMIENTO DE ARRASTRE: es el movimiento del sólido como si estuviera solidariamente unido a la terna
móvil y esta lo “arrastrase” en su movimiento.
3. MOVIMIENTO ABSOLUTO: es el movimiento del sistema rígido respecto de la terna absoluta como
consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores.
̅ : es la velocidad de rotación de los ejes (ACA VA TERNA MOVIL)
̅: velocidad de rotación del sólido.
̅
̅̅̅̅̅
V
̅̅̅̅̅
V
̅
̅
̅ velocidad absoluta de un punto
̅̅̅̅̅ velocidad relativa de un punto
V
̅ ̅ velocidad de un punto como si este fuese arrastrado por la terna móvil. Rotaria con ̅ y
̅̅̅̅̅
V
el centro de reducción del movimiento.
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
V
̅
̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̆[
⁄]
̅̅̅̅̅̅̅
rQ⁄
̅̅̅̅̅
Datos:
̅̅̅
̅
̅̅̅̅̅̅
⁄
̆ [ ⁄ ]
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̆–
̅̅̅̅
̆ [ ]
̆
Página 8
sería
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̆
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
V
̅̅̅̅
̆)
[(
(
̆–
–
̆
̆)]
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
rQ⁄
̅̅̅̅̅̅
Datos:
̅̅̅̅
[ ⁄ ]
̅̅̅̅
̆[
̅̅̅̅̅̅̅
⁄
⁄]
̆
̆ [ ]
̆
̅̅̅̅̅̅
̆
̅̅̅̅̅̅
(
̆
̆)
̆
̆
Página 9
̆ [ ⁄ ]
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Finalmente el valor de la velocidad absoluta es;
̅̅̅
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
Como se hizo en el “Análisis Absoluto” se calcula la velocidad de Q, cuando esta en la posición correspondiente a α = 0°.
̅̅̅
̆
̅̅̅
̆
̆
̆
̆ [ ⁄ ]
̆
ESTADO DE ACELERACION
Para calcular la aceleración de “Q”, utilizaremos;
̅
[̅̅̅̅
̅̇
̅
̅
̅
̅ ]
̅̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅̅
̅ : aceleración absoluta de un punto.
̅̅̅̅̅ : aceleración relativa de un punto.
[̅̅̅̅
̅̇
̅
̅
̅
̅ ]: forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones en un sistema rígido.
̅ ̅̅̅̅̅: aceleración complementaria o de Coriolis. Aparece por la rotacion de los ejes de la terna móvil y
representa la diferencia en aceleración del punto como si fuera medida a partir de unos ejes ( ̆ ̆ ̆ ) no
giratorios y de otros ( ̆ ̆ ̆) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o bien si no hay
movimiento relativo y también en los movimientos helicoidales permanentes. ( ̅ ̅̅̅̅̅)
̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̇
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅̅̅
⁄
̆
(̅
̆
[
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
|̅̅̅̅̅̅̅|
̅̅̅̅̅̅̅
|̅̅̅̅̅̅̅|
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅)
⁄
(
̆–
̆)]
̆
̆
̆ [ ⁄ ]
̅̅̅̅̅̅̅
|̅̅̅̅̅̅|
̅̅̅̅̅̅̅
[ ⁄ ]
̆
Página 10
̆ [ ⁄ ]
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̅̅̅̅̅̅̅
̅
[
Mecánica Racional 2013
̅̅̅̅̅
̆
̆)]
̆
(
̅̅̅̅̅̅
̆ [ ⁄ ]
Calculado cada término de ̅, el valor final es el siguiente:
̅̅̅̅
̆
–
̆ [ ⁄ ]
̆
Nuevamente si se considera que el punto “Q” de la rueda cuando se encuentra en la parte superior, es decir el punto
más alto, α = 0°, por lo tanto el valor de ̅̅̅̅ :
̅̅̅̅
̆
̅̅̅̅
–
̆
̆
̆
̆ [ ⁄ ]
CONCLUSIÓN: Se puede corroborar que el estado de velocidad y aceleración de Q es el mismo cualquiera sea el
método utilizado. Ambos métodos son apropiados, sin embargo, se debe tener en cuenta cual de los dos es más
conveniente aplicar de acuerdo a la configuración geométrica del problema y los datos disponibles.
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3. Energía cinética del conjunto cilindro-ruedas.
Datos:
Mrueda = 30 kg
Rrueda = 0.3 m
Ixx = 2 kg.m2
Iyy = Izz = 1 kg.m2
Mcilindro = 10 kg
Rcilindro = 0.05 m
Lcilindro = 1 m
(masa de cada rueda)
(radio de rueda)
(momento de inercia de rueda respecto del eje de rotacion propia)
(momento de inercia de rueda respecto del eje diametral)
(masa de cilindro)
(radio de cilindro)
(longitud de cilindro)
La expresión general de la Energía Cinética para un sistema material establece:
̅̅̅̅
̅
̅
A los tres términos de la derecha los denominaremos e1, e2 y e3 respectivamente y los analizaremos por separado para
luego ejecutar la suma total. Por lo tanto;
El miembro se denomina ENERGIA CINETICA DE ARRASTRE y es la que tendria el sistema en el supuesto que toda la
masa estuviera concentrada en el centro de reduccion siendo generada por este último.
Se adopta como centro de reducción el punto . Del apartado anterior sabemos que;
̅̅̅̅
̆ [ ⁄ ]
̆
|̅̅̅̅ |
[
[ ⁄ ]
]
Con estos valores estamos en condiciones de calcular:
[]
El segundo miembro de la ecuación de energía
se denomina ENERGIA CINETICA RELATIVA y esta
originada por el movimiento relativo de cada punto respecto del centro de reducción.
En aparece
que resulta ser el momento de inercia del solido respecto del eje ̅ pasante por el centro de
reduccion y por otro lado aparece que simplemente es la suma de las velocidades angulares que intervienen, es decir:
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̆
Página 12
̆ [
⁄]
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Calculo de
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de las ruedas
Ante todo se ordenan los momentos de inercia de la rueda en una matriz;
̿̿̿̿̿̿̿
̆
[
]
[
]
Se debe expresar el momento de inercia respecto de ̅ que pasa por 01. Para ello se debe realizar una transformación
lineal por rotación de ejes para lo cual utilizaremos la siguiente notación:
Donde los
son los cosenos directores que podemos determinar haciendo un análisis geométrico de la figura siguiente;
̅̅̅̅
̆[
⁄]
̅̅̅̅
̆[
⁄]
Por lo tanto, los cosenos directores que nos interesan serán:
̆
̆
̆
̆
(̆
̆)
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Entonces el valor de:
[
̆ ]
̆
[
̆
̆ ]
[
Si ̅
̆
̆
| ̅|
[
̆)]
(̆
[
]
⁄]
[
⁄ ]
Ahora estamos en condiciones de calcular:
Calculo de
del cilindro
Donde
es el momento de inercia del solido (el cilindro) respecto del eje ̅ (en este caso para el cilindro es ̅̅̅̅) que
pasa por el centro de reducción.
⁄ .
Además debemos decir que el valor
Al conocer la longitud, masa y radio del cilindro podemos conocer el momento de inercia del mismo respecto de un eje
perpendicular a su generatriz y que pase por su centro de gravedad, es decir;
̆
[
̆
]
Como se puede ver en la expresión de , el momento de inercia que se requiere es respecto del eje ̅̅̅̅ (el cilindro solo
se somete a la rotacion ̅̅̅̅) pasante por el centro de reduccion, que en nuestro caso es .
Para ellos nos ayudamos con el “Teorema de Steiner” que establece en forma genérica;
“el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al
momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa, mas el producto de la masa por el
cuadrado de la distancia entre los dos ejes”, es decir;
Para nuestro caso la expresión del momento de inercia es la siguiente:
̆
( )
Página 14
[
]
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Por lo tanto, nos encontramos en condiciones de calcular el valor de
El tercer miembro de la ecuación de energía
reducción.
, se denomina fuerza viva compuesta y su valor depende del centro de
̅̅̅̅
Calculo de
para el cilindro:
̅
̅
de las ruedas
̅̅̅̅ ( ̅
̅̅̅̅ ( ̅
Donde: ̅
̅
⁄
⁄
)
̅̅̅̅ ( ̅
)
̆ [ ]
⁄
̅
Donde: ̅
⁄
̅
⁄
)
̆ [ ]
Observemos que las energías de cada rueda serán iguales en valor absoluto y opuestas en su signo (debido a el vector
posición ̅ ⁄ ) por lo que podemos comprobar que:
Calculo de
del cilindro
̅̅̅̅ ( ̅
̅
⁄
)
Datos:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅ ⁄
̆
̆[
̆ [ ⁄ ]
⁄]
̆ [ ]
̆) (
̆
̆
̆)
(
Finalmente la Energía Cinética del conjunto “cilindro-ruedas”, será la suma de todas los términos calculados, es
decir:
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4. Momento Dinámico ejercido por las ruedas sobre el fuselaje a través de “ ”, al inicio del despegue y de la retracción.
Movimiento Giroscópico.
El movimiento giroscópico más habitual se encuentra cuando uno de los ejes de un rotor está girando a velocidad
constante y a su vez esta rotando también a velocidad constante, en torno a otro eje. (MOVIMIENTO DE PRECESION)
Para obtener las ecuaciones características de este movimiento, partimos de una de las ecuaciones cardinales de la
cinética, “Ecuación de Euler”, aplicándola para un cuerpo rígido sobre su eje de simetría.
̅
[
̅
̅
]
̅
̅ : Es el momento de todos las fuerzas exteriores, respecto del centro de momento “ ”.
̅ : Rotación de terna alternativa.
̅ : Momento Cinético del cuerpo.
Las coordenadas que utilizaremos para describir el movimiento del rígido serán los ángulos de Euler;
φ : Spin o Rotación propia
ψ : Precesión
θ : Nutación
Los ángulos ψ y θ especifican la posición del eje del rotor (rueda) y el desplazamiento angular del mismo estará definido
por φ.
Por lo tanto, al aplicar este sistema de coordenadas, las ecuaciones de Euler para un movimiento giroscópico sometido a
un sistema de fuerzas cualquiera quedan de la siguiente manera:
( ̈
̇
)
̈
( ̈
̇( ̇
̇ ̇
̈
̇( ̇
̇ ̇
̇
)
̇
)
)
Un caso particular del movimiento giroscópico es el MOVIMINETO DE PRECESION ESTABLE, donde se cumplen las
siguientes condiciones;
̇
̈
constante ;
̇
constante ; ̇
constante ;
̈
̈
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El resultado de aplicar dichas condiciones en las ecuaciones anteriores es:
̇
̇
( ̇
[
( ̇
)
)]
La forma vectorial de la ecuación seria:
̅
̇
[
( ̇
̇
)
( ̇
)] ̆
Lo que significa que al aplicar un momento respecto del punto “ ” según una dirección normal al plano que determinan
la rotación propia y la precesión, se logra poner al giróscopo en precesión estable.
Un caso muy común es el que vamos a desarrollar a continuación y que se da cuando θ = 90º denominado PRECESION
ESTABLE NORMAL, por lo tanto;
̇ ̇
̅
Este caso, es el que rige nuestro análisis, donde sucede lo siguiente:
constante
̇
̇
⁄
⁄
̇
̈
̈
constante
constante
̈
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( ̅̇
̅̇ )
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Mecánica Racional 2013
Teniendo en cuenta la disposición de nuestros ejes (ver figura) nos queda de la siguiente forma:
( ̅̇
̅
̅̇ )
Datos:
̅̇
̅̅̅̅
̆ [
⁄]
̅̇
̅̅̅̅
̆ [
⁄]
[
]
Donde
es el momento de inercia de una rueda, con respecto a su eje de rotación propio,
es la
masa total correspondiente a las dos ruedas, es la distancia entre el eje de rotación ( ̆) de las ruedas y un eje
que pasa por “ ” ( )̆ , por último el valor de
es el momento de inercia de una rueda, con respecto a un eje que
pasa por “ ” ( )̆ .
̅
( ̅̇
̅
̅̇ )
̆
(
̆ [
̆)
]
5. Efecto dinámico que se produciría si el avión gira hacia la derecha apenas iniciado el despegue.
Recordemos que en el caso anterior teníamos el espín (eje ̆) en las ruedas y la precesión en el punto O (eje ̆), de tal
forma que el momento giroscópico resulta en el eje ̆, con sentido negativo. En este caso, al emprender un giro hacia la
derecha, la precesión cambiara su dirección y sentido, quedando definida en el eje ̆, con sentido negativo, mientras
que el espín será el mismo. Por lo tanto, como resultado de esto, tendremos un momento giroscópico en el eje ̆, con
sentido negativo.
El efecto que produciría “idealmente” este momento sobre el avión, una leve inclinación de sus alas sobre la derecha del
mismo (debido a la dirección y sentido que tendría el momento giroscópico).
Como se menciono anteriormente este análisis es ideal, debido a que el efecto producido por el momento es
despreciable frente a la masa o inercia que posee el avión.
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Mecánica Racional 2013
Como finalización del trabajo, se realizo una visita al Taller Aeronaval Central - Arsenal Aeronaval Cte. Espora (Bahía
Blanca), para poder observar un tren de aterrizaje a escala real y obtener imágenes digitales las cuales se mostraran a
continuación. En este caso, el único tipo de tren similar a nuestro caso analizado, es el de la aeronave francesa “SUPER
ETENDARD”. Las imágenes tomadas corresponden a uno de los trenes traseros, ya que el tren de nariz retrae hacia atrás.
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
Mecánica Racional 2013
Se agradece al Ingeniero Juan Carlos Buffelli, docente de la Facultad Regional Bahía Blanca de la UTN, por habernos
permitido la visita al mencionado taller y tomar las imágenes mostradas.
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Mecánica Racional 2013
Bibliografía
 Monografía de Cátedra Mecánica Racional- Dr. Ing. Liberto Ercoli. 2005.
 Mecánica para Ingenieros- Dinámica 3° Edición- J.L Meriam- L.G Kraige.
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