Guió de pràctiques

Laboratorio de
Mecánica
Guiones de prácticas
Centro asociado de la UNED
Barcelona-Nou Barris
Índice
1. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Máquina de Atwood.
3. Estática de hilos. Catenaria.
4. Momento de inercia y momento recuperador.
5. Ondas mecánicas estacionarias.
Centre Associat
Barcelona Nou Barris
Oscil·lacions amortides i forçades. Ressonància.
Objectiu
L’estudi de les oscil·lacions amortides i forçades d’un pèndol fı́sic.
Material
Un pèndol fı́sic ressonant, un pèndol impulsor de freqüència variable, una placa amortidora, una molla
helicoı̈dal, una placa goniomètrica, un suport i un cronòmetre.
Fonament teòric
Moviment oscil·latori amortit
El fregament del cos d’un pèndol fı́sic oscil·lant amb l’aire que l’envolta crea una força de fricció que
és proporcional a la velocitat angular del pèndol i que és la responsable de l’amortiment de les seves
oscil·lacions. Com es demostra en els textos de Fı́sica, l’elongació del pèndol, és a dir, l’angle θ que
forma aquest amb la vertical, depèn del temps t en la forma
θ(t) = A0 e−βt sin(ω1 t + φ0 )
(1)
igualtat en la que l’expressió
Aef (t) = A0 e−βt
(2)
és l’amplitud efectiva de l’oscil·lació i φ0 la fase inicial. Quant a ω1 és la seva freqüència angular,
relacionada amb el perı́ode T1 del moviment per ω1 = 2π/T1 . L’ω1 es relaciona amb la freqüència
pròpia o natural ωq
0 del mateix pèndol, és a dir, la que tindria si no hi hagués amortiment amb l’aire,
en la forma ω1 = ω02 − β 2 . Però, en la pràctica, com que la força de fricció amb l’aire és tant petita,
podem prendre com molt bona aproximació ω1 ≈ ω0 .
L’amplitud inicial A0 i la fase inicial φ0 són dues constants que depenen de les condicions inicials.
Pel contrari les altres dues constants, ω1 i el paràmetre d’amortiment, β, depenen només de les caracterı́stiques del pèndol i del grau d’intensitat de la fricció amb l’aire. Com veiem per (1), el moviment
del pèndol amortit és una mena de moviment harmònic en el que l’amplitud —donada per (2)— va
decreixent exponencialment amb el temps.
θ
−β t
A0 e
t
ln A ef
(a)
−β t
t
(b)
Figura 1: Oscil·lació amortida
En la Figura 1-(a) hem representat amb lı́nia contı́nua l’elongació θ(t) i, amb lı́nia discontı́nua, la seva
amplitud efectiva A(t). Fixeu-vos que si traiem el logaritme neperià d’aquesta última ens quedarà, per
(2), que
ln Aef (t) = ln A0 − βt
(3)
expressió que, representada gràficament, com hem fet en la Figura 1-(b), resulta una recta de pendent
−β.
Moviment oscil·latori forçat. Ressonància
Per a que el pèndol amortit anterior no deixi d’oscil·lar li hem de subministrar energia des de l’exterior.
Això es pot aconseguir aplicant-li una força impulsora externa sinusoı̈dal de freqüència ω. En aquest
cas el pèndol es començarà a moure amb un moviment irregular i complex conegut com estat transitori. Després, a mida que va passant el temps, el moviment es va transformant en un moviment
harmònic simple (MHS) de la mateixa freqüència que la de la força impulsora externa. El pèndol ha
arribat a l’estat estacionari. El temps necessari que cal esperar per a que passi l’estat transitori i arribi
l’estacionari depèn del grau d’amortiment: com més amortiment hi hagi més ràpidament s’arriba a
l’estat estacionari, i al contrari.
El MHS de l’estat estacionari té un desfasament i una amplitud A que depenen molt de la freqüència
de la força impulsora. També es pot demostrar que la potència transferida per la força externa al pèndol
és proporcional a A2 i a ω 2 . La representació gràfica del producte (ωA)2 en funció d’ω adopta unes
formes molt similars a les mostrades en la Figura 2-(a). En ella veiem, per als tres casos Q1 , Q2 , Q3
—de més a menys amortiment, respectivament— que les gràfiques tenen forma de pic, més accentuat
com menys amortiment tingui el pèndol. També podem observar que el màxim de cada pic, és a dir,
l’ω per a la que la potència transferida és màxima, el tenim per a la freqüència de la força impulsora
ω igual a la freqüència pròpia ω0 del pèndol. Si s’està en aquest cas se’n diu que el pèndol —o,
en general, un oscil·lador forçat— està en ressonància. És molt habitual caracteritzar un sistema
oscil·lant com, per exemple, el nostre pèndol forçat, per un paràmetre adimensional anomenat factor
de qualitat, Q. Si l’amortiment és molt petit, com és en el nostre cas, pot definir-se Q com
(ωA )2
(ωA )2
∆ω
hmax
hmax
2
O
ω0
ω
O
ω0
ω
(b)
(a)
Figura 2: Oscil·lació forçada.
Q=
ω0
2β
(4)
Tenim, per tant, que com més petit sigui l’amortiment més gran serà el factor de qualitat i més punxegut serà el pic de la ressonància. Com mostrem en la Figura 2-(b), això últim ho podem quantificar
mesurant l’amplada del pic, ∆ω, definida com l’interval de freqüències que separa els dos punts
de la corba que tenen una altura que és la meitat de la màxima. Fent el desenvolupament matemàtic
corresponent es demostra que, precisament
∆ω = 2β
(5)
El fenomen de les oscil·lacions forçades i de la ressonància es presenta molt sovint en Mecànica,
en Electrotècnia i en molts altres camps de la Fı́sica i de la vida corrent. Aixı́, tant són oscil·lacions
forçades la sintonització d’un aparell de ràdio —en aquest cas, les oscil·lacions són elèctriques en els
circuits de l’aparell— com un nen en un gronxador i el seu pare gronxant-lo.
Mètode experimental
La Figura 3 mostra el muntatge que tenim per aquesta pràctica; la 3-(a) mostra una visió de cara i la
3-(b) de perfil. Hi podem veure la barreta lleugera penjada d’O, que fa de pèndol ressonant, i la barra
pesant, penjada d’O ′, que fa de pèndol impulsor proporcionant la força i el moment externs. També hi
veiem en la figura, els suports i la placa goniomètrica de la que llegirem l’amplitud de les oscil·lacions
del pèndol ressonant. El pèndol impulsor està constituı̈t per una barra metàl·lic i un bloc B pesant
que pot ésser desplaçat amunt o avall a lo llarg seu. La posició del bloc determina el perı́ode d’aquest
pèndol, que pot anar des de 1.0 s fins a 1.35 s.
El pèndol ressonant porta una plaqueta circular que pot ésser collada amb un vis a la barreta en
dues posicions possibles. En la longitudinal, mostrada en la Figura 3-(a) com l’A, la fricció de la
plaqueta amb l’aire és petita, mentre que en la disposició transversal, mostrada en 3-(b) com l’A′ , la
fricció és bastant gran. El pèndol impulsor està acoblat al ressonant a través d’un eix E i d’una molla
RA, Figura 4, de tal forma que les oscil·lacions del pèndol impulsor transmeten una petita força i
moment al pèndol ressonant. La gran diferència de massa entre un pèndol i l’altre impedeix que les
oscil·lacions del lleuger puguin afectar a les del pesant.
O
O
B
A
O’
B
A’
ETSEIT
FISICA
30
15
0
(a)
(b)
Figura 3: Pèndol ressonar (A) i pèndol impulsor (B).
O
M
E
O’
Figura 4: Acoblament entre els pèndols
Estudi del pèndol amortit
Per a aquestes primeres mesures els dos pèndols han d’estar desacoblats, és a dir, la molla M desenganxada del pèndol ressonant.
Mesureu el perı́ode del pèndol ressonant amb la plaqueta amortidora col·locada en
en la posició longitudinal —sense fricció—
en la transversal —amb fricció i amortiment—.
Per fer això cronometreu unes 20 o 25 oscil·lacions d’una amplitud inicial d’uns 15 o 20o .
Deixant anar la placa amortidora col·locada transversalment des de 30o mesureu, amb el company
(l’un fa la lectura i l’altre en pren nota) l’amplitud final de cada oscil·lació. Aixı́ s’obté l’amplitud
de l’oscil·lació en funció dels número d’oscil·lacions o, el que és el mateix, en funció del temps
transcorregut des del moment inicial; ja que el número d’oscil·lacions multiplicat pel perı́ode, dóna
el temps.
Estudi del pèndol forçat
Comenceu per acoblar els dos pèndols amb la molla M (Figura 4). Cal que la plaqueta amortidora
continuı̈ estant transversalment al moviment —fricció màxima—. Situeu el bloc B del pèndol impulsor (Figura 3-(a) i 3-(b)) a 10 cm de la part superior de la barra. Amb el pèndol ressonant en repòs
deixeu anar l’impulsor des d’un angle d’uns 30o . Immediatament el pèndol lleuger es començarà a
moure amb unes oscil·lacions d’amplitud, primer molt petita, però que anirà creixent fins arribar a un
valor màxim que es mantindrà d’uns 10 a 20 segons: estarem en l’estat estacionari. Durant aquests
primers segons de l’estat estacionari determineu l’amplitud màxima de les oscil·lacions del pèndol
ressonant. Després aprofiteu per cronometrar 10 o 20 oscil·lacions del pèndol impulsor i, aixı́, trobar
el seu perı́ode que, com hem vist, serà el mateix que el del ressonant. Mentre estigueu cronometrant
aquestes oscil·lacions s’observa com, fins i tot abans d’acabar, la seva amplitud va disminuint. Això
és degut a que l’amplitud del pèndol impulsor també va disminuint lentament per efecte de la seva
fricció. No patiu, malgrat l’amplitud disminueixi, el perı́ode segueix essent el mateix.
Com que es tracta d’obtenir experimentalment un pic semblant al de la Figura 2-(b) cal repetir
l’experiència més vegades amb el bloc B del pèndol pesant desplaçat a punts diferents de la barra
(per exemple, desplaçant el bloc cap avall de dos en dos cm) per tal de tenir freqüències impulsores
diferents.
Període
T (s)
1.3
1.2
1.1
1.0
0
10
Distància
20
30
40
d (cm)
Figura 5: Pèndol impulsor
Per tal d’agilitzar les mesures anteriors la gràfica de la Figura 5 facilita el perı́ode aproximat del
pèndol impulsor en funció de la posició del bloc en la barra. Aixı́ doncs, sabent quin és el perı́ode
propi del pèndol ressonant pot decidir ràpidament, amb l’ajuda de la gràfica esmentada i dels resultats
que vagin sortint, quina posició del bloc li convé per a la pròxima mesura.
Resultats
Estudi de l’amortiment
Indiqueu, prèviament, en una petita taula, per al pèndol ressonant, el nombre d’oscil.lacions
cronometrades, el temps mesurat i el perı́ode corresponent, per als dos casos:en el que gairebé no hi ha amortiment i en el que sı́ n’hi ha. Feu una estimació de l’error de les mesures i
compareu els dos perı́odes. Comenteu-ne els resultats.
Feu una taula amb l’amplitud efectiva del pèndol en funció del nombre d’oscil.lacions transcorregudes i, com que sabeu el perı́ode, també en funció del temps. Apliqueu logaritmes neperians a l’amplitud i representeu gràficament ln Aef en funció del temps. S’obté una gràfica de
l’estil de la mostrada en la Figura 1-(b). Ajusteu una recta als punts, el pendent és el paràmetre
d’amortiment β.
Estudi de les oscil·lacions forçades
Indiqueu quin és el perı́ode propi o natural del pèndol ressonant.
Feu una altra taula en la que s’indiqui, per a cada posició utilitzada del bloc B del pèndol
impulsor, el perı́ode T = 2π/ω d’aquest,l’amplitud A, aconseguida pel pèndol ressonant en
l’estat estacionari i el producte (ωA)2 .
Representeu gràficament (ωA)2 en funció de la freqüència angular ω. En resulta un conjunt de
punts en forma de pic com ara la gràfica de la Figura 2-(b). Determineu, sobre aquesta gràfica,
l’amplitud del pic, ∆ω, i d’aquest, utilitzant (5), trobeu de nou el paràmetre d’amortiment β.
Compareu aquest resultat amb la β obtinguda en l’estudi de l’amortiment. Finalment, trobeu el
factor de qualitat Q del sistema.
Qüestions
1. Penseu en diversos exemples d’oscil·lacions forçades. Què vol dir en cada cas, buscar la ressonància?
2. Com depèn el factor de qualitat del paràmetre d’amortiment β? Com seria la Figura 2 si
pràcticament no hi hagués amortiment?
3. Si en l’estudi de les oscil·lacions forçades no hi hagués plaqueta amortidora, amb quin inconvenient ens trobarı́em a l’hora de mesurar l’amplitud o bé el perı́ode?
Centre Associat
Barcelona Nou Barris
Máquina de Atwood
Objetivo
Estudiar el comportamiento dinámico del dispositivo conocido como ’Máquina de Atwood’ formado
por dos partı́culas unidas mediante una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable. Verificar
que se cumplen las leyes Newton.
Material
Soporte con polea, cronómetro, cuerda, juegos de pesas, regla.
Fundamento teórico
La máquina de Atwood fue descrita en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio
para verificar las leyes mecánicas del movimiento de partı́culas sometidas a fuerzas constantes. El
dispositivo consiste en una polea que tenga muy poco rozamiento en el eje y un momento de inercia
muy pequeño. De ambos extremos de la cuerda se cuelgan dos masas m1 y m2 (figura 1). Si m1 = m2
el sistema estará en equilibrio mecánico, mientras que si en uno de los lados se añade una sobrecarga,
el sistema se acelerará. Si la diferencia entre m1 y m2 es pequeña, la aceleración del sistema será también pequeña y se podrán medir tiempos y posiciones de una de las dos masas con relativa facilidad.
Se puede obtener la aceleración de las partı́culas a y la tensión de la cuerda T a partir de la segunda
ley de Newton aplicada a cada partı́cula. En este caso hay que tener en cuenta que, aunque en el dispositivo experimental se ha intentado reducir al máximo los rozamientos en el eje de la polea, existe
aún una pequeña fuerza de rozamiento Fr que se opone al movimiento y debemos tener presente en
los cálculos.
Si consideramos que m1 > m2 y tomando positivo en el sentido en que baja m1 y sube m2 , la segunda
ley de Newton aplicada a cada partı́cula queda:
particula 1
particula 2
→
→
m1 g − T − Fr = m1 a
T − m2 g = m2 a
(1)
(2)
La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite determinar la tensión T en la cuerda ası́ como
la aceleración a, que vienen dadas por:
T = m2 (a + g)
(3)
+
+
T
T
m2 g
m1 g
Figura 1: Máquina de Atwood
a=
g(m1 − m2 ) − Fr
m1 + m2
(4)
Como indica la ecuación (4), la aceleración del sistema es constante para unos valores de m1 y m2
dados, por lo que el movimiento de las masas vendrá descrito por las ecuaciones del MRUA:
1
x = x0 + v0 t + at2
2
v = v0 + at2
(5)
(6)
Método experimental
Para el estudio de la máquina de Atwood disponemos de una barra soporte como muestra la figura 2.
Monta el dispositivo mostrado en la figura colgando una masa m=100g en cada extremo de la cuerda
(m1 = m2 = 100 g). Comprueba que el sistema permanece en este caso en equilibrio.
Estimación del rozamiento en la polea
Para estimar el valor de la fuerza de rozamiento que ejerce el eje de la polea disponemos de un juego
de masas muy pequeñas ∆m. Se procederá de la siguiente manera:
Coloca una de las masas ∆m sobre la masa m1 . El sistema debe seguir en equilibrio debido a que el
rozamiento estático en el eje de la polea compensa el pequeño peso de está masa.
A continuación empuja muy suavemente hacia abajo m1 . El movimiento acabará deteniéndose ya
que, aunque el rozamiento dinámico en la polea es menor que el estático, sigue siendo mayor que el
pequeño peso de la masa ∆m.
Repite el proceso añadiendo de una en una más masas ∆m hasta que al empujar lévemente el sistema
éste no se detiene. En esta situación el rozamiento dinámico en el eje de la polea compensa el peso de
las masas ∆m añadidas y el sistema realiza un movimiento a velocidad prácticamente constante.
+
+
T
T
m2 g
m1 g
Regla
Figura 2: Dispositivo experimental
Estudio de la máquina de Atwood
A continuación retira todas las masas ∆m y aumenta la masa m1 en 20g para que el sistema presente
aceleración.
Sitúa la masa m1 en la posición más alta posible y mide con la regla graduada la distancia d que
recorrerá esta masa desde la posición inicial hasta el final del recorrido.
Mide con el cronometro el tiempo que tarda la masa m1 en recorrer la distancia d. Repite la medida
un mı́nimo de seis veces para detectar posibles errores accidentales. Verifica después de cada medida
que la cuerda pasa correctamente por la polea, ya que puede salirse al chocar la masa m1 contra la
base.
Repite las medidas variando el espacio recorrido por m1 , disminuyendo d de forma adecuada para
obtener 8 medidas uniformemente distribuidas.
Finalmente repite todo el proceso para otro par de masas: m1 = 80 g y m2 = 60 g.
Resultados
Estimación del rozamiento en la polea
1. Anota el número de masas ∆m añadidas para compensar el rozamiento en la polea.
2. Indica el valor aproximado de Fr .
Estudio de la máquina de Atwood
Para cada par de masas m1 y m2 :
1. Construye una tabla indicando los valores de t, y t2 obtenidos para cada distancia d. Calcula
para cada caso la media de los tiempos y el error asociado a t.
2. Representa d en función de t y d en función de t2 . A qué tipo de movimiento corresponden las
gráficas obtenidas. Razona tu respuesta.
3. Determina a partir de una regresión lineal la aceleración a y compara este valor con el valor
teórico calculado a partir de la ecuación (4).
4. Determina a partir de la ecuación (4) y el valor experimental de a y la aceleración de la gravedad. ¿Justifica el resultado la validez de la segunda ley de Newton? Razona tu respuesta.
Cuestiones
1. Resuelve teóricamente el sistema de ecuaciones y deduce las expresiones (3) y (4)
2. Un ascensor con un contrapeso es un sistema similar a una máquina de Atwood. La masa
del contrapeso se calcula para que la fuerza que debe realizar el motor subiendo o bajando la
cabina sea similar. ¿Podrı́as indicar aproximadamente la masa del contrapeso que deberı́amos
situar en una ascensor cuya cabina tiene una masa de 800kg y está diseñado para subir o bajar
a 4 personas de masa media 60kg?
Centre Associat
Barcelona Nou Barris
Estática de hilos. Catenaria.
Objetivo
Comprobar los modelos que intervienen en diferentes situaciones de equilibrio estático de la partı́cula
y de hilos suspendidos bajo la acción de la gravedad.
Material
Panel vertical con dos poleas, hilo, cadena, juego de pesas, papel milimetrado, cinta métrica, balanza
y goniómetro.
Fundamento teórico
Cargas discretas
Una partı́cula permanecerá en equilibrio estático si la suma de las fuerzas externas aplicadas es cero;
F~ = 0
X
(1)
En esta práctica se intentará verificar la validez de esta expresión mediante el montaje experimental
mostrado en la figura 1.
Catenaria
Un hilo pesado inextensible suspendido por sus extremos y que alcanza el equilibrio bajo la acción
del campo gravitatorio adoptará una forma geométrica caracterı́stica denominada catenaria mostrada
en la figura 2.
En este caso, y tomando y = 0 y x = 0 en el punto más bajo de la cadena, la altura y(x) de cada
punto viene dado por:
y(x) =
To
p
cosh(
p
x) − 1
To
(2)
donde To es la componente horizontal de la tensión en la cadena y p es el peso por unidad de longitud
Figura 1: Panel para el estudio de la estática de la partı́cula
de ésta, es decir:
To = T cos(θ)
g
p = dm
= MLg
dl
(3)
(4)
siendo M y L la masa y longitud total de la cadena.
Método experimental
Estática de la partı́cula
Monta el panel para el estudio de la estática de la partı́cula (figura 1) utilizando una combinación
adecuada de masas m1 , m2 , m3 y m4 tal que el sistema permanezca en equilibrio.
Anota las masas utilizadas y mide con el goniómetro los ángulos que forman los segmentos de cuerda
con la horizontal: θ1 , θ2 y θ3 .
Repite todo el proceso con otras dos combinaciones diferentes de masas.
Figura 2: Panel para el estudio de la catenaria
Catenaria
Mide la longitud de la cadena L y su masa antes de suspenderla en el panel.
Suspende la cadena en el panel haciendo pasar los segmentos de cuerda de los extremos de ésta por
las poleas como muestra la figura 2. Elige dos pesas de igual valor y cuélgalas de los extremos de las
cuerdas para conseguir una situación de equilibrio.
Anota los valores de la tensión en cada extremo de la cadena y el ángulo que forma ésta en ese punto
con la horizontal.
Engancha sobre el panel una hoja A3 de papel milimetrado y dibuja sobre ella la forma adoptada por
la cadena en equilibrio.
Finalizado el dibujo, retira la hoja y mide sobre ella la posición x, y de unos veinte puntos de la cadena
que compararás con la posición teórica predicha por la ecuación (2)
Resultados
Estática de la partı́cula
1. Resuelve ’teóricamente’ el problema de estática estudiado obteniendo la expresión algebraica
de T1 y T4 en función de P2 , P3 , θ1 , θ2 y θ3 (según la nomenclatura indicada en la figura 1)
2. Construye una tabla indicando los valores de P2 , P3 , θ1 , θ2 , θ3 , T1 y T2 obtenidos en las situaciones estudiadas ası́ como los valores teóricos de T1 y T2 correspondientes.
3. Compara los valores obtenidos experimentalmente con los valores teóricos y comenta los resultados.
Catenaria
1. A partir de la longitud de la cadena y su masa determina p mediante la ecuación (4)
2. Determina el valor de To (ecuación 3) a partir de la tensión y el ángulo que forma la cadena en
los extremos.
3. Construye una tabla con las medidas realizadas, indicando el valor xi y yi medido para cada
punto, el valor teórico ycalc−i calculado mediante la ecuación (2) y el error relativo en la medida
ǫi obtenido mediante la ecuación:
ǫi =
|ycalc−i − yi |
× 100
ycalc−i
(5)
4. Compara los valores obtenidos experimentalmente con los valores teóricos y comenta los resultados.
Centre Associat
Barcelona Nou Barris
Momento de inercia y momento recuperador.
Teorema de Steiner.
Objetivo
Determinar el momento recuperador de un muelle en espiral. Calibrar un sistema de determinación
del momento de inercia de un cuerpo en torno a un eje. Comprobar el Teorema de Steiner (o de los
ejes paralelos). Determinar el momento de inercia de un cuerpo plano de geometrı́a arbitraria.
Material
Sistema con eje vertical sobre el que actúa un muelle espiral, con fijación para cuerpos en su extremo.
Disco con perforaciones regularmente espaciadas a lo largo de su diámetro. Barra con perforaciones
regularmente espaciadas a lo largo de su longitud. Cronómetro. Regla. Balanza.
Fundamento teórico
El momento angular, Lo y la velocidad angular de un sólido rı́gido ω que gira en torno a un eje principal de inercia, con orientación fija en el espacio, son proporcionales entre sı́, y ambas magnitudes
tienen la dirección del eje de rotación. Esto se puede expresar mediante la relación
Lo = I0 ω
(1)
en la que Io es el momento de inercia del sólido rı́gido respecto del eje que pasa por O. Derivando
esta expresión respecto del tiempo tenemos que.
X
Mo = I0 α
(2)
siendo Mo , el momento resultante de las fuerzas aplicadas al sólido rı́gido respecto del eje que pasa
por O y α la aceleración angular del sólido. La ecuación (2) es formalmente análoga a la segunda
ley de Newton, por lo que se le suele denominar ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
Vemos entonces que, en el caso de las rotaciones, el momento de inercia juega un papel análogo a la
masa inercial en el movimiento de traslación, y representa pues la inercia del cuerpo a la rotación.
P
El cálculo del momento de inercia se hace descomponiendo el cuerpo sólido en elementos infinitesimales de masa y sumando los momentos de inercia de cada uno de estos elementos respecto del eje
considerado. El momento de inercia de cada elemento es proporcional a su masa dm y al cuadrado
de la distancia δ que lo separa del eje. Ası́, la contribución de cada elemento de masa al momento de
inercia es:
dIo = δ 2 dm
(3)
La suma de todas las contribuciones infinitesimales es la integral:
Io =
Z
V
dIo =
Z
δ 2 dm =
V
Z
δ 2 ρdv
(4)
V
donde ρ es la densidad volumétrica de masa del cuerpo. Esta integral sólo será soluble, con relativa
facilidad, en el caso de cuerpos con geometrı́a sencilla o con un alto grado de simetrı́a. Como veremos
en esta práctica, la determinación del momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje, también
puede hacerse de forma experimental.
Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a dos ejes paralelos entre sı́, uno de los cuales pasa
por el centro de masas del cuerpo, se hallan relacionados. Está relación viene dada por el teorema de
Steiner o de los ejes paralelos.El teorema de Steiner establece que:
Io = ICM + m d2
(5)
donde Io es el momento de inercia del cuerpo respecto un eje que pasa por el punto O, ICM es el
momento de inercia de dicho cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de
masa del cuerpo, m es la masa del cuerpo y d la distancia entre los dos ejes.
Método experimental
Figura 1: Esquema del dispositivo experimental
Para la realización de la práctica monte el dispositivo representado esquemáticamente en la figura
1. El dispositivo consta de un soporte que sujeta un eje vertical fijo, que en su parte superior tiene
un rodamiento que le permite girar sobre sı́ mismo. En la parte superior del eje hay un sistema que
permite fijar cuerpos que girarán solidarios con éste. El eje está conectado con un muelle espiral al
soporte, de manera que si lo desplazamos de su posición de equilibrio y lo liberamos, podrá realizar
oscilaciones.
Supongamos que hemos fijado un cuerpo de momento de inercia I sobre el eje vertical. Si rotamos el
cuerpo respecto a la posición de equilibrio aparecerá un momento recuperador proporcional al ángulo
girado θ.
M = −Dθ
(6)
donde D es la constante elástica del muelle espiral.
Al liberar el cuerpo, se inicia un movimiento de rotación, regido por la ecuación:
−Dθ = Io α
(7)
donde α = θ̈ es la aceleración angular que adquiere el cuerpo que rota en torno al eje. El movimiento
es armónico simple, de periodo
s
Io
T = 2π
(8)
D
Si el eje no pasa por el centro de masa, aplicando el teorema de Steiner (5) y elevando al cuadrado,
vemos que:
4π 2 m 2
4π 2 ICM
+
d
(9)
T2 =
D
D
Vemos que las expresiones obtenidas nos permiten determinar el momento de inercia del cuerpo, en
función del periodo del movimiento y las caracterı́sticas elásticas del muelle.
En la realización de esta práctica habrá cuatro partes:
Método estático.
Método dinámico: caso del disco.
Método dinámico: caso de la barra.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
Método estático
En primer lugar determinará el valor de la constante elástica del muelle, mediante el método estático.
Determine la masa del disco mD y su radio R.
Monte el disco perforado en el soporte, por el centro del disco.
Mediante el dinamómetro determine la fuerza perpendicular al eje que ha de hacer para girar el disco
cierto ángulo θ. Lo hará para al menos 6 ángulos diferentes.
Mida la distancia a del eje al agujero dónde se sujeta el dinamómetro.
Método dinámico: caso del disco
A continuación determine los periodos de oscilación del disco Ti para las diferentes posiciones que
puede ocupar el eje a lo largo del diámetro del mismo.
Determine las distancias di a las que queda el centro de masa del disco del eje de rotación.
Método dinámico: caso de la barra
Determine la masa de la barra mB y su longitud L.
A continuación determine los periodos de oscilación de la barra Ti para las diferentes posiciones que
puede ocupar el eje a lo largo de la barra.
Determine las distancias di a las que queda el centro de masa de la barra respecto del eje de rotación.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
Determine la masa del cuerpo de geometrı́a arbitraria que se le proporciona. Anote cuidadosamente
la geometrı́a del mismo.
Fije el cuerpo que se le proporciona en el eje del dispositivo y determine el periodo de oscilación del
mismo.
Resultados.
Método estático
Anote el valor de la masa del disco m y la distancia del eje al punto de soporte del dinamómetro a.
Anote en una tabla los valores de la fuerza que ha medido para los diferentes valores del ángulo
girado.
Calcule en cada caso los valores del momento M de la fuerza F sobre el eje M = F a, completando
la tabla θ − F − M
Represente gráficamente M frente al ángulo girado y, mediante regresión lineal de los datos, determine el valor de la constante D del muelle mediante la expresión (6).
Método dinámico: caso del disco
Determine el periodo de oscilación del disco Ti para las diferentes distancias di del eje al centro de
masa del disco, y complete la tabla di − Ti − Ti2 .
Represente gráficamente Ti2 frente a di . Mediante regresión lineal, determine el valor de la constante
del muelle D y el momento de inercia del disco respecto al eje perpendicular a su plano que pasa por
su centro, ICM . Utilice la expresión (9).
Compare el valor de D con el obtenido en el apartado anterior y comente el resultado.
Determine el momento ICM a partir de la expresión en función de su masa y su radio que puede
deducir mediante integración de (4) y que también puede obtener en tablas.
Compare con el valor experimental obtenido y comente el resultado.
Método dinámico: caso de la barra
Determine el periodo de oscilación de la barra Ti para las diferentes distancias di del eje al centro de
masas de la barra, y complete la tabladi − Ti − Ti2 .
Represente gráficamente Ti2 frente a di . Mediante regresión lineal, determine el valor de la constante
del muelle D y el momento de inercia del disco respecto al eje perpendicular a su plano que pasa por
su centro, ICM . Utilice la expresión (9).
Compare el valor de D con el obtenido en los apartados anteriores y comente el resultado.
Determine el momento ICM a partir de la expresión en función de su masa y su longitud que puede
deducir mediante integración de (4) y que también puede obtener en tablas.
Compare con el valor experimental obtenido y comente el resultado.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
Utilizando el Teorema de Steiner (ecuación 5), calcule los momentos de inercia Ioi para el disco y la
barra en cada una de las posiciones medidas. Complete una tabla Ioi − Ti − Ti2 para cada caso (disco
y barra).
Represente sobre un mismo gráfico los valores de Ti2 frente a Ioi , diferenciado con sı́mbolos diferentes
los puntos correspondientes a cada cuerpo. ¿Están todos alineados sobre la misma recta?. Utilice la
expresión (8) para su razonamiento.
Utilizando la recta de regresión sobre todos los puntos de la gráfica anterior y la expresión (8) elevada al cuadrado, determine el valor de D, compárelo con los obtenidos anteriormente. Comente el
resultado obtenido.
La gráfica anterior puede considerarse una ’curva de calibración’ que asocia al periodo de oscilación
de un cuerpo el momento de inercia correspondiente. Utilizaremos esta gráfica para determinar el
momento de inercia del cuerpo de geometrı́a arbitraria.
A partir del periodo de oscilación del cuerpo de geometrı́a arbitraria y mediante la gráfica anterior
estime su momento de inercia.
Centre Associat
Barcelona Nou Barris
Ones mecàniques estacionàries.
Objectiu
Estudi de les condicions de formació d’ones mecàniques estacionàries transversals en una corda i
longitudinals en una molla.
Material
Oscil·lador de freqüència fixa (100Hz), corda, dinamòmetre, joc de masses.
Fonament teòric
Si en una zona d’un medi material es produeix una pertorbació de tipus oscil·latori, la pertorbació inicial es propaga fent vibrar les molècules veı̈nes i aixı́ successivament, tot generant una ona.
Podem definir també un moviment ondulatori com aquell fenomen en el que es produeix un transport
d’energia i quantitat de moviment d’un punt a un altre de l’espai, sense transport de matèria.
Existeixen ones que no necessiten cap medi material per propagar-se, les ones electromagnètiques
(com la llum i les ones de ràdio), i d’altres que es propaguen gràcies a les propietats elàstiques d’un
medi i que anomenem ones mecàniques. Són ones mecàniques les ones que es propaguen per una
corda, les que es propaguen per una molla o les ones sonores.
D’altra banda, es poden classificar les ones segons la direcció de la pertorbació, o desplaçament
oscil·latori. Aixı́, si la direcció de la pertorbació és paral·lela a la direcció de propagació de l’ona
parlem d’ones longitudinals (com les ones en una molla o les ones sonores) i si la direcció de la
pertorbació és perpendicular a la de propagació, d’ones transversals (les ones en una corda en són
un exemple).
Ones en una corda
Matemàticament,es pot representar una ona com una funció de l’espai, x, i el temps, t que descriu
l’estat de la pertorbació, l’elongació, y(x, t), de cada punt en cada instant de temps. Aquesta funció s’anomena funció d’ona i en el cas d’una ona harmònica ve donada per:
y(x, t) = yo sin(
2π
(x − vt)) = yo sin(kx − 2πf t))
λ
(1)
Figura 1: Ones harmòniques propagant-se per una corda.
on λ és la longitud d’ona, v la velocitat de propagació de l’ona (que depèn del medi), yo és l’amplitud
de la pertorbació, k = 2π/λ rep el nom de número d’ones i f és la freqüència de l’ona. Recordeu
que una ona avança una distància d’una longitud d’ona en un perı́ode, T (T = 1/f ) i que, per tant, la
velocitat de propagació, la longitud d’ona i la freqüència (o el perı́ode), estan relacionades per:
v=
λ
= λf
T
(2)
En el cas d’ones transversals propagant-se en una corda, la velocitat de propagació es pot expressar
en funció de la tensió o força a la que està sotmesa la corda, F , i la densitat lineal (massa per unitat
de longitud) de la corda, µ:
s
F
(3)
v=
µ
Ones estacionàries
La superposició, en fase, de dues ones d’igual freqüència i amplitud que es propaguen en sentits
contraris dóna lloc al que s’anomena una ona estacionària.
Aquesta situació pot donar-se en una corda, si l’ona generada en un extrem es reflecteix en l’altre i
recorre la corda propagant-se en sentit contrari tot superposant-se a l’ona inicial.
La superposició de totes dues ve descrita per la suma de les funcions d’ona corresponents a l’ona que
es propaga cap a la dreta, yd (x, t), i la que es propaga cap a l’esquerra, ye (x, y):
yd (x, t) = yo sin(kx − 2πf t))
ye (x, t) = yo sin(kx + 2πf t))
y(x, t) = yd + ye = 2yosin(kx)cos(2πf t)
(4)
(5)
Observant l’equació 5 es veu que l’amplitud de l’oscil·lació depèn de la posició, x. Existeixen punts
en els que l’amplitud de l’oscil·lació és nul·la (sin(2πx/λ) = 0) i no vibren anomenats nodes i
d’altres que vibren amb amplitud màxima sin(2πx/λ) = ±1, que s’anomenen ventres o antinodes.
També s’observa fàcilment que la distància entre dos nodes o ventres consecutius és λ/2, vegeu la
Figura 2
Figura 2: Ones estacionàries en una corda fixa pels dos extrems.
Si es vol representar una ona estacionària en una corda, de longitud L, fixa pels dos extrems, a més
de l’equació 5 cal imposar que els extrems de la corda, x = 0 i x = L, siguin nodes. Aleshores
s’obté que cal que existeixi una relació entre la longitud d’ona i la longitud de la corda pel tal que
s’estableixi una ona estacionària en una corda quan es fa oscil·lar només un dels seus extrems i l’ona
es reflecteix en l’altre:
λ
n = 1, 2, 3, ...
(6)
sin(k0) = sin(kL) = 0 => L = n
2
Aixı́, si L i f són fixes (com és el cas de la pràctica) només existeixen uns certs valors de λ (i per
tant de la tensió, T ) pels quals la corda entra en ressonància i s’estableix una ona estacionària. En la
Figura 2 es pot veure les tres primeres ones estacionàries possibles per n = 1, 2 i 3 (observeu com en
augmentar n, λ disminueix), o, dit d’una altra manera els tres primers harmònics.
Intensitat, to i timbre.
Les ones sonores són ones longitudinals de compressió del medi. La vibració de las molècules del
medi genera zones de compressió i rarefacció (menor densitat), que poden propagar-se por un medi
gasós, lı́quid o sòlid. Si el medi és un gas, la densitat està directament relacionada amb la pressió.
En general, les ones sonores presenten formes d’ona molt complexes. És per això que, fins i tot quan
dos instruments musicals toquen la mateixa nota, sonen de forma diferent. La Figura 3 mostra l’ona
produı̈da per un clarinet i una corneta en tocar la nota La (440Hz).
En aquesta figura es poden apreciar tres caracterı́stiques fonamentals del so
La intensitat del so està relacionada amb l’amplitud. En aquest cas les dues ones tenen aproximadament la mateixa intensitat.
Figura 3: Ones amb la mateixa intensitat i to però diferent timbre.
Es pot observar que existeix un patró bàsic que es repeteix amb una certa freqüència, aquesta
és la freqüència fonamental o bé el to. En aquest cas les dues ones tenen el mateix to (són la
mateixa nota).
Les petites pertorbacions també periòdiques (de freqüència més gran que la fonamental), són
diferents en cada cas i permeten distingir les ones. Aquestes pertorbacions constitueixen el
timbre de l’ona i són les responsables que dos instruments diferents no sonin igual quan emeten
la mateixa nota.
Mètode experimental
Estudi de les ones en una corda
Es disposa d’una corda unida a un oscil·lador que vibra a una freqüència fixa (100Hz) i que, per l’altre
extrem té un dinamòmetre que ens permet variar la tensió a què està sotmesa la corda.
Determina la longitud de la corda, L, amb la cinta mètrica.
ALERTA: És important que la longitud de la corda sigui la mateixa durant tota l’experiència, per
això preneu una referència d’on col·loqueu el peu per si es mogués.
Endolla l’oscil.lador.
Penja la massa de 200g de la corda i a continuació el dinamòmetre. Augmenta gradualment la tensió,
tot estirant el dinamòmetre fins que s’observi que es forma una ona estacionària amb ventres i nodes
com els de la Figura 2. Busca la tensió exacta per la qual l’amplitud dels ventres és màxima i anota-la
(la tensió total aplicada és la suma de la lectura del dinamòmetre, en N, més el pes de la massa i el
dinamòmetre). Determina el número n, tot contant el número de mitges longituds d’ona, com en la
Figura 2.
Segueix estirant el dinamòmetre, tot augmentant la tensió de la corda fins assolir noves ressonàncies;
en cada cas, determina T i n.
Repeteix l’experiència amb la massa de 100g, i finalment, sense la massa, només amb el dinamòmetre.
Desendolla l’oscil.lador.
Determina la massa del dinamòmetre.
Ones longitudinals en una molla
Uneix l’extrem de la molla al foradet central de l’oscil.lador.
Endolla l’oscil.lador.
Amb la molla penjant verticalment, agafa-la per un punt intermedi per tal que les ones es reflecteixin
i mira si es forma una ona estacionària. Ves agafant la molla per diferents punts fins que entri en
ressonància.
Conta el número de mitges longituds d’ona i observa què passa en augmentar la tensió aplicada tot
estirant lleugerament la molla amb la mà.
Desendolla l’oscil.lador.
Resultats
Estudi de les ones en una corda
Construeix una taula amb cinc columnes: la tensió aplicada T , la número n, la longitud d’ona
λ (que pots calcular a partir de la relació 6), la velocitat de les ones v (que pots calcular a partir
de la relació 2) i v 2 .
Representa gràficament v 2 en funció de T . Comenta si la gràfica està d’acord amb l’expressió 3.
Realitza la corresponent regressió lineal, determina la densitat lineal µ i comenta si el seu valor
et sembla raonable.
Ones estacionàries longitudinals en una molla
Comenta (amb un dibuix) com són les ones estacionàries que has observat a la molla, quina és
la principal diferència amb les ones estacionàries de la corda?
Què succeeix amb el número n d’una ona estacionària en augmentar la tensió?
Qüestions
1. Determina, en les condicions de la pràctica, la tensió que caldria aplicar per aconseguir n=3, 16
i 25.