Guió de pràctiques

M E C À N I C A
G uions de P ràctiques
E T S I ngenieros I ndustriales
UNED
C entre A ssociat de B arcelona-N ou B arris
Índice
Práctica
Momento Recuperador de un muelle helicoidal. Momento de Inercia. Teorema de Steiner
Máquina de Atwood
Estática de hilos. Catenaria
Oscilaciones forzadas y amortiguadas. Resonancia
Ondas mecánicas estacionarias. (No se realizarán los apartados 4.3 ni 5.3)
pág.
Laboratori de Fı́sica
UNED - Centre Associat de Terrassa
Momento recuperador de un muelle helicoidal. Momento de inercia. Teorema de Steiner
1.
Objetivo
Determinar el momento recuperador de un muelle helicoidal. Calibrar un sistema de determinación
del momento de inercia de un cuerpo en torno a un eje. Comprobar el Teorema de Steiner (o de los ejes
paralelos). Determinar el momento de inercia de un cuerpo plano de geometrı́a arbitraria.
2.
Material
Sistema con eje vertical sobre el que actúa un muelle espiral, con fijación para cuerpos en su extre-
mo. Disco con perforaciones regularmente espaciadas a lo largo de su diámetro. Barra (pasamanos) con
perforaciones regularmente espaciadas a lo largo de su longitud. Cronómetro. Regla. Balanza
3.
Fundamento teórico
El momento angular, L⃗o y la velocidad angular de un sólido rı́gido ω que gira en torno a un eje
principal de inercia, con orientación fija en el espacio, son proporcionales entre sı́, y ambas magnitudes
tienen la dirección del eje de rotación. Esto se puede expresar mediante la relación
L⃗o = Io ω
⃗
(1)
en la que Io , es el momento de inercia del sólido rı́gido respecto del eje que pasa por o. Derivando esta
expresión respecto del tiempo tenemos que.
⃗ o = Io α
M
⃗
(2)
⃗ o , es el momento de las fuerzas aplicadas al sólido rı́gido respecto del eje que pasa por o y α es
en la que M
la aceleración angular del sólido. La ecuación 2 es formalmente análoga a la segunda ley de Newton, por
lo que se le suele denominar ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Vemos entonces que, en el
caso de las rotaciones, el momento de inercia juega un papel análogo a la masa inercial en el movimiento
de traslación, y representa pues la inercia del cuerpo a la rotación.
El cálculo del momento de inercia se hace descomponiendo el cuerpo sólido en elementos infinitesimales
de masa y sumando los momentos de inercia de cada uno de estos elementos respecto del eje considerado.
El momento de inercia de cada elemento es porprocional a su masa dm y al cuadrado de la distancia δ
que lo separa del eje. Ası́, la contribución de cada elemento de masa al momento de inercia es
dIo = δ 2 dm
1
(3)
La suma de todas las contribuciones infinitesimales es la integral
∫
∫
∫
Io = dIo =
δ 2 dm = δ 2 ρ dv
v
V
(4)
v
donde ρ es la densidad volúmica de masa del cuerpo. Esta integral sólo será soluble, con relativa facilidad,
en el caso de cuerpos con geometrı́a sencilla o con un alto grado de simetrı́a. Como veremos en esta
práctica, la determinación del momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje, también puede hacerse
de forma experimental.
Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a dos ejes paralelos entre sı́, uno de los cuales pasa
por el centro de masas del cuerpo, se hallan relacionados. Está relación viene dada por el teorema de
Steiner o de los ejes paralelos.
El teorema de Steiner establece que:
Io = Icdm + md2
(5)
donde Io es el momento de inercia del cuerpo respecto un eje que pasa por el punto o, Icdm es el
momento de inercia de dicho cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de
masa del cuerpo, m es la masa del cuerpo y d la distancia entre los dos ejes.
4.
Método experimental
Figura 1: Esquema del dispositivo experimental
Para la realización de la práctica monte el dispositivo representado esquemáticamente en la figura 1.
El dispositivo consta de un soporte que sujeta un eje vertical fijo, que en su parte superior tiene un
rodamiento que le permite girar sobre sı́ mismo. En la parte superior del eje hay un sistema que permite
2
fijar cuerpos que girarán solidarios con el eje. El eje está conectado con un muelle espiral al soporte, de
manera que si lo giramos de su posición de equilibrio y lo liberamos, podrá realizar oscilaciones.
Supongamos que hemos fijado un cuerpo de momento de inercia I sobre el eje vertical. Si rotamos
el cuerpo respecto a la posición de equilibrio aparecerá un momento recuperador proporcional al ángulo
girado θ.
M = −Dθ
(6)
donde D es la constante elástica del muelle espiral.
Al liberar el cuerpo, se incia un movimiento de rotación, regido por la ecuación:
−Dθ = Io α
(7)
donde α = θ̈ es la aceleración angular que adquiere el cuerpo que rota en torno al eje. El movimiento
es armónico simple, de periodo
√
Io
(8)
D
Si el eje no pasa por el centro de masas, aplicando el teorema de Steiner (5) y elevando al cuadrado,
T = 2π
vemos que
4π 2 Icdm
4π 2 m 2
+
d
(9)
D
D
Vemos que las expresines obtenidas nos permite determinar el momento de inercia del cuerpo, en
T2 =
función del periodo del movimiento y las caracterı́sticas elásticas del muelle.
En la realización de la práctica habrá cuatro partes:
Método estático.
Método dinámico: caso del disco.
Método dinámica: caso de la barra.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
4.1.
Método estático
En primer lugar determinará el valor de la constante elástica del muelle, mediante el método estático.
Determine la masa del disco mD y su radio R.
Monte el disco perforado en el soporte, por el centro del disco. Mediante el dinamómetro determinará la
fuerza perpendicular al eje que ha de hacer para girar el disco cierto ángulo θ. Lo hará para al menos 6
ángulos diferentes. Mida la distancia a del eje al agujero dónde se sujeta el dinamómetro.
4.2.
Método dinámico: caso del disco
A continuación determine los periodos de oscilación del disco para las diferentes posiciones que puede
ocupar el eje a lo largo del diamétro del mismo. Determine las distacias di a las que queda el centro de
masas del disco respecto del eje.
3
4.3.
Método dinámico: caso de la barra
Determine la masa de la barra mB y su longitud L.
A continuación determine los periodos de oscilación de la barra para las diferentes posiciones que
puede ocupar el eje a lo largo de la barra. Determine las distacias di a las que queda el centro de masas
de la barra respecto del eje.
4.4.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
Determine la masa del cuerpo de geometrı́a arbitraria que se le proporciona. Anote cuidadosamente
la geometrı́a del mismo.
Fije el cuerpo que se le proporciona en el eje del dispositivo y determine el periodo de oscilación del
mismo.
5.
Resultados
5.1.
Método estático
Anote el valor de la masa del disco m y la distancia del eje al punto de soporte del dinamómetro a.
Anote en una tabla los valores de la fuerza que ha medido para los diferentes valores del ángulo girado.
Calcule en cada caso los valores del momento M de la fuerza F sobre el eje M = F · a, completando la
tabla θ - F - M
Represente gráficamente M frente al ángulo girado y, mediante regresión lineal de los datos determine
el valor de la constante D del muelle en la expresión 6.
5.2.
Método dinámico: caso del disco
Determine el periodo de oscilación del disco Ti para las diferentes distancias di del eje al centro de
masas del disco, y complete la tabla di -Ti -Ti2 .
Represente gráficamente Ti2 frente a di . Mediante regresión lineal, determine el valor de la constante
del muelle D y el momento de inercia del disco respecto al eje perpendicular a su plano que pasa por su
centro, Icdm . Utilice la expresión 9.
Compare el valor de D con el obtenido en el apartado anterior y comente el resultado.
Determine el momento Icdm a partir de la expresión en función de su masa y su radio que puede deducir
mediante integración de 4 y que también puede obtener en tablas. Compare con el valor experimental
obtenido y comente el resultado.
5.3.
Método dinámico: caso de la barra
Determine el periodo de oscilación de la barra Ti para las diferentes distancias di del eje al centro de
masas de la barra, y complete la tabla di -Ti -Ti2 .
Represente gráficamente Ti2 frente a di . Mediante regresión lineal, determine el valor de la constante
del muelle D y el momento de inercia de una barra respecto al eje perpendicular a ella que pasa por su
centro, Icdm . Utilice la expresión 9.
4
Compare el valor de D con el obtenido en los apartados anteriores y comente el resultado.
Determine el momento Icdm a partir de la expresión en función de su masa y su longitud que puede deducir mediante integración de 4 y que también puede obtener en tablas. Compare con el valor
experimental obtenido y comente el resultado.
5.4.
Momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria.
Calcule los momentos de inercia Ioi para cada una de las posiciones medidas. Complete una tabla Ioi
- Ti - Ti2 para cada caso (disco y barra)
Represente sobre un mismo gráfico los valores de Ti2 frente a Ioi , diferenciado con sı́mbolos diferentes
para los puntos correspondientes a cada cuerpo. ¿Estarán todos alineados sobre la misma recta?. Utilice
la expresión 8 para su razonamiento.
Determine el periodo de oscilación del cuerpo de geometrı́a arbitraria. Utilizando la recta de regresión
sobre todos los puntos de la gráfica anterior y la expresión 8, determine el valor de D, compárelo con los
obtenidos anteriormente y comente el resultado obtenido.
Determine el periodo de oscilación del cuerpo de geometrı́a arbitraria y mediante la gráfica anterior
estime el momento de inercia (la gráfica anterior es la curva de calibración de este instrumento que nos
permite determinar el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje haciéndolo oscilar en torno a
él).
5
6
Laboratori de
Estàtica i Dinàmica
Máquina de Atwood
Objetivo
Estudiar el comportamiento dinámico del dispositivo conocido como ’Máquina de Atwood’ formado
por dos partı́culas unidas mediante una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable. Verificar
que se cumplen las leyes Newton.
Material
Soporte con polea, cronómetro, cuerda, juegos de pesas, regla.
Fundamento teórico
La máquina de Atwood fue descrita en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio
para verificar las leyes mecánicas del movimiento de partı́culas sometidas a fuerzas constantes. El
dispositivo consiste en una polea que tenga muy poco rozamiento en el eje y un momento de inercia
muy pequeño. De ambos extremos de la cuerda se cuelgan dos masas m1 y m2 (figura 1). Si m1 = m2
el sistema estará en equilibrio mecánico, mientras que si en uno de los lados se añade una sobrecarga,
el sistema se acelerará. Si la diferencia entre m1 y m2 es pequeña, la aceleración del sistema será también pequeña y se podrán medir tiempos y posiciones de una de las dos masas con relativa facilidad.
Se puede obtener la aceleración de las partı́culas a y la tensión de la cuerda T a partir de la segunda
ley de Newton aplicada a cada partı́cula. En este caso hay que tener en cuenta que, aunque en el dispositivo experimental se ha intentado reducir al máximo los rozamientos en el eje de la polea, existe
aún una pequeña fuerza de rozamiento Fr que se opone al movimiento y debemos tener presente en
los cálculos.
Si consideramos que m1 > m2 y tomando positivo en el sentido en que baja m1 y sube m2 , la segunda
ley de Newton aplicada a cada partı́cula queda:
particula 1
particula 2
→
→
m1 g − T − Fr = m1 a
T − m2 g = m2 a
(1)
(2)
+
T
+
T
m2 g
m1 g
Figura 1: Máquina de Atwood
La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite determinar la tensión T en la cuerda ası́ como
la aceleración a, que vienen dadas por:
T = m2 (a + g)
g(m1 − m2 ) − Fr
a=
m1 + m2
(3)
(4)
Como indica la ecuación (4), la aceleración del sistema es constante para unos valores de m1 y m2
dados, por lo que el movimiento de las masas vendrá descrito por las ecuaciones del MRUA:
1
x = x0 + v0 t + at2
2
v = v0 + at2
(5)
(6)
Método experimental
Para el estudio de la máquina de Atwood disponemos de una barra soporte como muestra la figura 2.
Monta el dispositivo mostrado en la figura colgando una masa m=100g en cada extremo de la cuerda
(m1 = m2 = 100 g). Comprueba que el sistema permanece en este caso en equilibrio.
Estimación del rozamiento en la polea
Para estimar el valor de la fuerza de rozamiento que ejerce el eje de la polea disponemos de un juego
de masas muy pequeñas ∆m. Se procederá de la siguiente manera:
Coloca una de las masas ∆m sobre la masa m1 . El sistema debe seguir en equilibrio debido a que el
rozamiento estático en el eje de la polea compensa el pequeño peso de está masa.
A continuación empuja muy suavemente hacia abajo m1 . El movimiento acabará deteniéndose ya
que, aunque el rozamiento dinámico en la polea es menor que el estático, sigue siendo mayor que el
pequeño peso de la masa ∆m.
+
+
T
T
m2 g
m1 g
Regla
Figura 2: Dispositivo experimental
Repite el proceso añadiendo de una en una más masas ∆m hasta que al empujar lévemente el sistema
éste no se detiene. En esta situación el rozamiento dinámico en el eje de la polea compensa el peso de
las masas ∆m añadidas y el sistema realiza un movimiento a velocidad prácticamente constante.
Estudio de la máquina de Atwood
A continuación retira todas las masas ∆m y aumenta la masa m1 en 20g para que el sistema presente
aceleración.
Sitúa la masa m1 en la posición más alta posible y mide con la regla graduada la distancia d que
recorrerá esta masa desde la posición inicial hasta el final del recorrido.
Mide con el cronometro el tiempo que tarda la masa m1 en recorrer la distancia d. Repite la medida
un mı́nimo de seis veces para detectar posibles errores accidentales. Verifica después de cada medida
que la cuerda pasa correctamente por la polea, ya que puede salirse al chocar la masa m1 contra la
base.
Repite las medidas variando el espacio recorrido por m1 , disminuyendo d de forma adecuada para
obtener 8 medidas uniformemente distribuidas.
Finalmente repite todo el proceso para otro par de masas: m1 = 80 g y m2 = 60 g.
Resultados
Estimación del rozamiento en la polea
1. Anota el número de masas ∆m añadidas para compensar el rozamiento en la polea.
2. Indica el valor aproximado de Fr .
Estudio de la máquina de Atwood
Para cada par de masas m1 y m2 :
1. Construye una tabla indicando los valores de t, y t2 obtenidos para cada distancia d. Calcula
para cada caso la media de los tiempos y el error asociado a t.
2. Representa d en función de t y d en función de t2 . A qué tipo de movimiento corresponden las
gráficas obtenidas. Razona tu respuesta.
3. Determina a partir de una regresión lineal la aceleración a y compara este valor con el valor
teórico calculado a partir de la ecuación (4).
4. Determina a partir de la ecuación (4) y el valor experimental de a y la aceleración de la
gravedad. ¿Justifica el resultado la validez de la segunda ley de Newton? Razona tu respuesta.
Cuestiones
1. Resuelve teóricamente el sistema de ecuaciones y deduce las expresiones (3) y (4)
2. Un ascensor con un contrapeso es un sistema similar a una máquina de Atwood. La masa
del contrapeso se calcula para que la fuerza que debe realizar el motor subiendo o bajando la
cabina sea similar. ¿Podrı́as indicar aproximadamente la masa del contrapeso que deberı́amos
situar en una ascensor cuya cabina tiene una masa de 800kg y está diseñado para subir o bajar
a 4 personas de masa media 60kg?
14
Departament de Fı́sica i Enginyeria Nuclear
Laboratori de Fı́sica II (ETSEIT)
Oscil·lacions amortides i forçades. Ressonància.
1.
Objectiu
L’estudi de les oscil·lacions amortides i forçades d’un pèndol fı́sic.
2.
Material
Un pèndol fı́sic ressonant, un pèndol impulsor de freqüència variable, una placa amortidora, una molla
helicoı̈dal, una placa goniomètrica, un suport i un cronòmetre.
3.
3.1.
Fonament teòric
Moviment oscil·latori amortit
El fregament del cos d’un pèndol fı́sic oscil·lant amb l’aire que l’envolta crea una força de fricció que
és proporcional a la velocitat angular del pèndol i que és la responsable de l’amortiment de les seves
oscil·lacions. Com es demostra en els textos de Fı́sica, l’elongació del pèndol, és a dir, l’angle θ que forma
aquest amb la vertical, depèn del temps t en la forma
θ(t) = A0 e−βt sin(ω1 t + φ0 )
(1)
Aef (t) = A0 e−βt
(2)
igualtat en la que l’expressió
és l’amplitud efectiva de l’oscil·lació i φ0 la fase inicial. Quant a ω1 és la seva freqüència angular,
relacionada amb el perı́ode T1 del moviment per ω1 = 2π/T1 . L’ω1 es relaciona amb la freqüència pròpia
o natural ω0 del mateix pèndol, és a dir, la que tindria si no hi hagués amortiment amb l’aire, en la forma
p
ω1 = ω02 − β 2 . Però, en la pràctica, com que la força de fricció amb l’aire és tant petita, podem prendre
com molt bona aproximació ω1 ≈ ω0 .
L’amplitud inicial A0 i la fase inicial φ0 són dues constants que depenen de les condicions inicials. Pel
contrari les altres dues constants, ω1 i el paràmetre d’amortiment, β, depenen només de les caracterı́stiques
del pèndol i del grau d’intensitat de la fricció amb l’aire. Com veiem per (1), el moviment del pèndol
amortit és una mena de moviment harmònic en el que l’amplitud —donada per (2)— va decreixent
exponencialment amb el temps.
En la Figura 1-(a) hem representat amb lı́nia contı́nua l’elongació θ(t) i, amb lı́nia discontı́nua, la seva
amplitud efectiva A(t). Fixeu-vos que si traiem el logaritme neperià d’aquesta última ens quedarà, per
(2), que
ln Aef (t) = ln A0 − βt
(3)
expressió que, representada gràficament, com hem fet en la Figura 1-(b), resulta una recta de pendent
−β.
1
θ
−β t
A0 e
t
ln A ef
(a)
−β t
t
(b)
Figura 1: Oscil·lació amortida
3.2.
Moviment oscil·latori forçat. Ressonància
Per a que el pèndol amortit anterior no deixi d’oscil·lar li hem de subministrar energia des de l’exterior.
Això es pot aconseguir aplicant-li una força impulsora externa sinusoı̈dal de freqüència ω. En aquest cas
el pèndol es començarà a moure amb un moviment irregular i complex conegut com estat transitori.
Després, a mida que va passant el temps, el moviment es va transformant en un moviment harmònic simple
(MHS) de la mateixa freqüència que la de la força impulsora externa. El pèndol ha arribat a l’estat
estacionari. El temps necessari que cal esperar per a que passi l’estat transitori i arribi l’estacionari
depèn del grau d’amortiment: com més amortiment hi hagi més ràpidament s’arriba a l’estat estacionari,
i al contrari.
El MHS de l’estat estacionari té un desfasament i una amplitud A que depenen molt de la freqüència
de la força impulsora. També es pot demostrar que la potència transferida per la for ça externa al pèndol
és proporcional a A2 i a ω 2 . La representació gràfica del producte (ωA)2 en funció d’ω adopta unes
formes molt similars a les mostrades en la Figura 2-(a). En ella veiem, per als tres casos Q1 , Q2 , Q3
—de més a menys amortiment, respectivament— que les gràfiques tenen forma de pic, més accentuat
com menys amortiment tingui el pèndol. També podem observar que el màxim de cada pic, és a dir, l’ω
per a la que la potència transferida és màxima, el tenim per a la freqüència de la força impulsora ω igual
a la freqüència pròpia ω0 del pèndol. Si s’està en aquest cas se’n diu que el pèndol —o, en general, un
oscil·lador forçat— està en ressonància. És molt habitual caracteritzar un sistema oscil·lant com, per
exemple, el nostre pèndol forçat, per un paràmetre adimensional anomenat factor de qualitat, Q. Si
l’amortiment és molt petit, com és en el nostre cas, pot definir-se Q com
ω0
(4)
2β
Tenim, per tant, que com més petit sigui l’amortiment més gran serà el factor de qualitat i més
punxegut serà el pic de la ressonància. Com mostrem en la Figura 2-(b), això últim ho podem quantificar
mesurant l’amplada del pic, ∆ω, definida com l’interval de freqüències que separa els dos punts de
la corba que tenen una altura que és la meitat de la màxima. Fent el desenvolupament matemàtic
corresponent es demostra que, precisament
∆ω = 2β
(5)
Q=
El fenomen de les oscil·lacions forçades i de la ressonància es presenta molt sovint en Mecànica, en
Electrotècnia i en molts altres camps de la Fı́sica i de la vida corrent. Aixı́, tant són oscil·lacions forçades
2
(ωA)
2
(ωA)
2
hmax
∆ω
hmax
2
ω
ω0
O
ω
ω0
O
(b)
(a)
Figura 2: Oscil·lació forçada.
la sintonització d’un aparell de ràdio —en aquest cas, les oscil·lacions són elèctriques en els circuits de
l’aparell— com un nen en un gronxador i el seu pare gronxant-lo.
4.
Mètode experimental
La Figura 3 mostra el muntatge que tenim per aquesta pràctica; la 3-(a) mostra una visió de cara i
la 3-(b) de perfil. Hi podem veure la barreta lleugera penjada d’O, que fa de pèndol ressonant, i la barra
pesant, penjada d’O0 , que fa de pèndol impulsor proporcionant la força i el moment externs. També hi
veiem en la figura, els suports i la placa goniomètrica de la que llegirem l’amplitud de les oscil·lacions del
pèndol ressonant. El pèndol impulsor està constituı̈t per una barra metàl·lic i un bloc B pesant que pot
O
O
B
A
O’
B
A’
ETSEIT
FISICA
30
15
0
(a)
(b)
Figura 3: Pèndol ressonar (A) i pèndol impulsor (B).
ésser desplaçat amunt o avall a lo llarg seu. La posició del bloc determina el perı́ode d’aquest pèndol, que
pot anar des de 1.0 s fins a 1.35 s.
El pèndol ressonant porta una plaqueta circular que pot ésser collada amb un vis a la barreta en dues
posicions possibles. En la longitudinal, mostrada en la Figura 3-(a) com l’A, la fricció de la plaqueta amb
3
l’aire és petita, mentre que en la disposició transversal, mostrada en 3-(b) com l’A0 , la fricció és bastant
gran. El pèndol impulsor està acoblat al ressonant a través d’un eix E i d’una molla RA, Figura 4, de tal
forma que les oscil·lacions del pèndol impulsor transmeten una petita força i moment al pèndol ressonant.
La gran diferència de massa entre un pèndol i l’altre impedeix que les oscil·lacions del lleuger puguin
O
M
E
O’
Figura 4: Acoblament entre els pèndols
afectar a les del pesant.
4.1.
Estudi del pèndol amortit
Per a aquestes primeres mesures els dos pèndols han d’estar desacoblats, és a dir, la molla M desenganxada del pèndol ressonant.
Mesureu el perı́ode del pèndol ressonant amb la plaqueta amortidora col·locada en
en la posició longitudinal —sense fricció—
en la transversal —amb fricció i amortiment—.
Per fer això cronometreu unes 20 o 25 oscil·lacions d’una amplitud inicial d’uns 15 o 20o .
Deixant anar la placa amortidora col·locada transversalment des de 30o mesureu, amb el company
(l’un fa la lectura i l’altre en pren nota) l’amplitud final de cada oscil·lació. Aixı́ s’obté l’amplitud de
l’oscil·lació en funció dels número d’oscil·lacions o, el que és el mateix, en funció del temps transcorregut
des del moment inicial; ja que el número d’oscil·lacions multiplicat pel perı́ode, dóna el temps.
4.2.
Estudi del pèndol forçat
Comenceu per acoblar els dos pèndols amb la molla M (Figura 4). Cal que la plaqueta amortidora
continuı̈ estant transversalment al moviment —fricció màxima—. Situeu el bloc B del pèndol impulsor
(Figura 3-(a) i 3-(b)) a 10 cm de la part superior de la barra. Amb el pèndol ressonant en repòs deixeu anar
l’impulsor des d’un angle d’uns 30o . Immediatament el pèndol lleuger es començarà a moure amb unes
oscil·lacions d’amplitud, primer molt petita, però que anirà creixent fins arribar a un valor màxim que es
mantindrà d’uns 10 a 20 segons: estarem en l’estat estacionari. Durant aquests primers segons de l’estat
estacionari determineu l’amplitud màxima de les oscil·lacions del pèndol ressonant. Després aprofiteu per
cronometrar 10 o 20 oscil·lacions del pèndol impulsor i, aixı́, trobar el seu perı́ode que, com hem vist, serà
el mateix que el del ressonant. Mentre estigueu cronometrant aquestes oscil·lacions s’observa com, fins i
tot abans d’acabar, la seva amplitud va disminuint. Això és degut a que l’amplitud del pèndol impulsor
també va disminuint lentament per efecte de la seva fricció. No patiu, malgrat l’amplitud disminueixi, el
perı́ode segueix essent el mateix.
Com que es tracta d’obtenir experimentalment un pic semblant al de la Figura 2-(b) cal repetir
l’experiència més vegades amb el bloc B del pèndol pesant desplaçat a punts diferents de la barra (per
exemple, desplaçant el bloc cap avall de dos en dos cm) per tal de tenir freqüències impulsores diferents.
4
Període T (s)
1.3
1.2
1.1
1.0
10
0
20
Distància
30
40
d (cm)
Figura 5: Pèndol impulsor
Per tal d’agilitzar les mesures anteriors la gràfica de la Figura 5 facilita el perı́ode aproximat del
pèndol impulsor en funció de la posició del bloc en la barra. Aixı́ doncs, sabent quin és el perı́ode propi
del pèndol ressonant pot decidir ràpidament, amb l’ajuda de la gràfica esmentada i dels resultats que
vagin sortint, quina posició del bloc li convé per a la pròxima mesura.
5.
5.1.
Resultats
Estudi de l’amortiment
Indiqueu, prèviament, en una petita taula, per al pèndol ressonant, el nombre d’oscil.lacions cronometrades, el temps mesurat i el perı́ode corresponent, per als dos casos:en el que gairebé no hi ha
amortiment i en el que sı́ n’hi ha. Feu una estimació de l’error de les mesures i compareu els dos
perı́odes. Comenteu-ne els resultats.
Feu una taula amb l’amplitud efectiva del pèndol en funció del nombre d’oscil.lacions transcorregudes i, com que sabeu el perı́ode, també en funció del temps. Apliqueu logaritmes neperians a
l’amplitud i representeu gràficament ln Aef en funció del temps. S’obté una gràfica de l’estil de la
mostrada en la Figura 1-(b). Ajusteu una recta als punts, el pendent és el paràmetre d’amortiment
β.
5.2.
Estudi de les oscil·lacions forçades
Indiqueu quin és el perı́ode propi o natural del pèndol ressonant.
Feu una altra taula en la que s’indiqui, per a cada posició utilitzada del bloc B del pèndol impulsor,
el perı́ode T = 2π/ω d’aquest,l’amplitud A, aconseguida pel pèndol ressonant en l’estat estacionari
i el producte (ωA)2 .
Representeu gràficament (ωA)2 en funció de la freqüència angular ω. En resulta un conjunt de punts
en forma de pic com ara la gràfica de la Figura 2-(b). Determineu, sobre aquesta gràfica, l’amplitud
del pic, ∆ω, i d’aquest, utilitzant (5), trobeu de nou el paràmetre d’amortiment β. Compareu aquest
resultat amb la β obtinguda en l’estudi de l’amortiment. Finalment, trobeu el factor de qualitat Q
del sistema.
5
6.
Qüestions
1. Penseu en diversos exemples d’oscil·lacions forçades. Què vol dir en cada cas, buscar la ressonància?
2. Com depèn el factor de qualitat del paràmetre d’amortiment β? Com seria la Figura 2 si pràcticament
no hi hagués amortiment?
3. Si en l’estudi de les oscil·lacions forçades no hi hagués plaqueta amortidora, amb quin inconvenient
ens trobarı́em a l’hora de mesurar l’amplitud o bé el perı́ode?
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