E2Jul11

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2010/2011)
EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 04/Julio/2011
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duración: 45 minutos.
EJERCICIO 2
Valor: 3,5 puntos.
C INEM ÁTICA DEL PUNTO MATERIAL Y DEL S ÓLIDO R ÍGIDO .
En el plano fijo OXY , un disco de radio R rueda sin deslizar sobre el eje OX con velocidad angular constante ω = −Ω k.
Se sabe que el centro C del disco se hallaba sobre el eje OY en el instante inicial (t = 0). Sobre dicho disco se apoya una
partı́cula P , la cual se encuentra suspendida del extremo de un hilo inextensible, de longitud πR/2, cuyo otro extremo se
−→
halla fijo en el punto A de posición OA = 2R j. Sólo interesa el intervalo de tiempo 0 ≤ t < π/(2Ω), durante el cual
la partı́cula P y el tramo de hilo (BP ) apoyado sobre el disco deslizan sobre él a medida que éste rueda, mientras que el
resto del hilo (AB) permanece siempre tenso y horizontal (ver figura). Se pide:
1. Vector velocidad y ecuaciones cartesianas horarias del centro C del disco.
2. Dependencia respecto al tiempo del ángulo θ definido en la figura (función θ(t)).
3. Vectores de posición, velocidad y aceleración de la partı́cula P (en función del tiempo).
4. Aceleraciones tangencial y normal de la partı́cula P en el instante t = π/(6Ω).
SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado):
Y
A
C
2R
B
q
P
O
X
(Solución por detrás)
Solución-Apartado (1)
(Valor máximo : 1 punto)
Sabemos que el centro instantáneo de rotación (punto I) del movimiento del disco respecto al plano OXY se halla en el punto
de contacto entre el disco y el eje OX (porque el disco rueda sin deslizar sobre dicho eje). Entonces, el vector velocidad del
centro C del disco se obtiene a partir de la ecuación del campo de velocidades:
vI = 0
−→
⇒ vC = vI + ω ∧ IC = −Ω k ∧ R j = ΩR ı
ω = −Ω k
Teniendo en cuenta la posición del punto C en el instante inicial (sobre el eje OY ) e integrando su vector velocidad, se obtiene
el vector de posición de C en función del tiempo:
⎫
drC
t
⎬
= ΩRı (cte) ⎪
−−
→
dt
⇒ OC = rC (t) = rC (0) +
(ΩRı ) dt = ΩRtı + R j
⎪
0
⎭
rC (0) = R j
De donde, separando componentes, se deducen las ecuaciones cartesianas horarias del punto C:
Solución-Apartado (2)
xC (t) = ΩRt
yC (t) = R
(Valor máximo : 0.5 puntos)
El hilo tiene en cada instante un tramo rectilı́neo (segmento AB) y un tramo curvilı́neo (arco de circunferencia BP ). La suma
de las longitudes de ambos tramos debe ser igual a la longitud del hilo, que es πR/2 según el enunciado. De dicha condición, es
inmediato deducir la dependencia temporal del ángulo θ:
AB(t) + BP (t) =
Solución-Apartado (3)
πR
πR
⇒ ΩRt + Rθ(t) =
⇒
2
2
θ(t) =
π
− Ωt
2
(Valor máximo : 1 punto)
−−
→
De la geometrı́a del problema, se deduce que el vector OP se puede escribir como:
−−
→ −−→ −−→
OP = OC + CP = {ΩRtı + R j } + {R sen(θ)ı + R cos(θ) j }
y sustituyendo en dicha expresión la función θ = θ(t) previamente determinada, se obtiene el vector de posición de la partı́cula
P en función del tiempo:
−−→
OP = rP (t) = xP ı + yP j = R[Ωt + cos(Ωt)]ı + R[1 + sen(Ωt)] j
Las derivadas primera y segunda del vector rP (t) con respecto al tiempo son, respectivamente, los vectores velocidad y aceleración de la partı́cula P :
vP (t) = ẋP ı + ẏP j = ΩR {[1 − sen(Ωt)]ı + cos(Ωt) j }
aP (t) = ẍP ı + ÿP j = −Ω2 R{cos(Ωt)ı + sen(Ωt) j }
Solución-Apartado (4)
(Valor máximo : 1 punto)
Evaluando los vectores velocidad y aceleración de P en el instante t = π/(6Ω), se obtiene:
√
√ π π 1
1
3
3
2
vP
= ΩR
ı +
j ;
aP
= −Ω R
ı + j
6Ω
2
2
6Ω
2
2
Finalmente, determinamos las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partı́cula P en dicho instante mediante
las fórmulas correspondientes:
aT
√
3 2
vP · aP
= −
Ω R ;
=
| vP |
2
aN =
1 2
| vP ∧ aP |
=
Ω R
| vP |
2