Aplicación de la Transformada de Laplace para la resolución de

Aplicación de la Transformada de Laplace para la resolución de
circuitos RLC.
Richard O. Nuñez
Estudiante de Ingeniería Electricista
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Agosto 2012
Resumen: En este informe demostraremos una de las aplicaciones más utilizadas de la Transformada de Laplace, en este
caso para analizar y resolver circuitos eléctricos RLC.
Palabras clave: Transformada de Laplace, circuitos RLC, mallas
I.
INTRODUCCION
La Transformada de Laplace es muy utilizada en la rama de la ingeniería sobre todo para la resolución de
ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos, ya que dichos circuitos y la Transformada de Laplace se
nutren de condiciones iniciales para ser resueltos o para reducir la complejidad de sus ecuaciones.
La Transformada de Laplace toma una función ƒ(t), que utiliza como variable al tiempo t, para
transformarla en una F(s). A continuación definiremos la Transformada de Laplace como:
ƒ(t) = F(s) =
e
. ƒ(t)dt
El símbolo denota el operador Transformada de Laplace, donde s es una variable compleja y
llamado el núcleo de la transformación.
es
II. CIRCUITOS ELECTRICOS RLC
Los circuitos RLC están constituidos por un resistor R (medida en ohm ), un capacitor C (medido en
faradios F) y un inductor L (medida en Henry H). Otras variable asociadas a los circuitos RLC son la
corriente i(t),medida en ampere, la tensión v(t) medida en volts y el flujo de corriente esta relacionado con la
carga q (medida en Coulombs) mediante la relación:
(t) =
Los tres elementos tienen un variable en comun que es la corriente.
Cada uno de estos elementos se puede relacionar mediante las Leyes de Kirchhoff que enunciaremos a
continuacion :
A. 1ªLEY:
La suma de todas las corrientes que entran en un nodo, en un circuito, es cero.
Figura 1 : Representacion grafica de los elementos del circuito RLC
B. 2ªLEY:
La suma de las caidas de tension de cada elemento en un lazo cerrado, en un circuito, es cero.
Las caidas de tension en cada elemento son:
• En el resistor v(t)= iR.
•
En el capacitor v(t) =
•
En el inductor v(t) = L
( )
Utilizando estas leyes, principalmente la segunda ley de Kirchhoff, la Transformada de Laplace, la
antitransformada y teniendo en cuenta las condiciones iniciales del circuito se puede proceder a resolver o
simplemente analizar un circuito RLC.
III. EJEMPLO
El circuito RLC de la Figura 2 esta formado por un resistor R, un capasitor C y un inductor L conectado
en serie a una fuente de voltage e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el
capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. Determine la carga q(t) en el capacitor y la
corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que R=160 , L=1H, C=10 F y e(t)= 20v
Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff tenemos
R
(t) t = (t)
L
(1)
Utilizando
(t) =
(2)
Nos queda
L
+R
+ q = e(t)
(3)
+ 10 q = 20
(4)
Sustituyendo los valores de R,C,L y e(t)
+ 160
Aplicando la Transformada de Laplace en los dos miembros
( + 160s + 10 )Q(s) = [sq(0) +
(0)] + 160q(0) +
Figura 2: circuito RLC
(5)
Q(s) es la transformada de q(t), estamos suponiendo que q(0) = 0 y
(0) = 0 y i(0) = 0
Esto reduce la ecuación a
( + 160s + 10 )Q(s) =
(6)
Despejando
Q(s) =
(
(7)
)
Aplicando fracciones simples
Q(s) =
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(8)
Ahora le aplicamos la transformada inversa
q(t) =
(1-
cos 60 − e
sin 60 )
(9)
Entonces la corriente resultante en el circuito eléctrico
(t) =
=
sin 60
(10)
IV. CONCLUSION
La aplicación de la Transformada de Laplace en los circuitos RLC es una de las formas más sencillas de
resolverlos, ésta es muy utilizada en la ingeniería eléctrica lo cual se debe tener siempre en cuenta.
REFERENCIAS
[1] G. Calandrini, “Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de
Variable Compleja” pag 56-59.
[2] G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002,
pags.97-100, 130-132.