GUIÓN 3. INTERFERENCIA Objetivos En esta práctica se analizan

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Curso 2006–2007
GUIÓN 3. INTERFERENCIA
Objetivos
En esta práctica se analizan fenómenos de interferencia con especial atención al comportamiento de
ondas estacionarias unidimensionales. En particular se estudian experimentalmente:
- los valores de la frecuencia y la longitud de onda para ondas estacionarias transversales en una
cuerda con sus extremos fijos
- la velocidad de propagación de la ondas en la cuerda
Materiales
Cuerda con soporte y material para fijación.
Fuente de alimentación.
Generador de funciones.
Motor.
Estroboscopio.
Cables varios.
Flexómetro.
Introducción
1. Interferencia producida por fuentes sincrónicas
Para que se produzcan fenómenos de interferencia es necesario que dos o más ondas coincidan en el
mismo instante en una zona del espacio (ver referencia R1). Comenzaremos analizando el caso sencillo
de la superposición de ondas producidas por dos fuentes puntuales que oscilan en fase con la misma
frecuencia angular ω (fuentes puntuales sincrónicas en fase). En un punto P, situado respectivamente
a las distancias r1 y r2 de los puntos fuente S1 y S2, las perturbaciones generadas pueden escribirse
respectivamente como
Guión 3: Interferencia - 1
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ξ 1 ( P , t ) = A1 sen [ϕ 1 (P , t )] = A1 sen (ω t − kr 1 )
[1a]
ξ 2 ( P , t ) = A 2 sen [ϕ 2 (P , t )] = A 2 sen (ω t − kr 2 )
[1b]
donde k=2π/λ es el número de onda (la velocidad de fase de las ondas es v=ω/k). Si asumimos que las
desviaciones ξ1(P,t) y ξ2(P,t) se producen en la misma dirección, la perturbación total en P se evalúa
como la superposición
ξ ( P , t ) = ξ 1 ( P , t ) + ξ 2 ( P , t ) = A1 sen [ϕ 1 (P , t ) )] + A 2 sen [ϕ 2 (P , t ) )]
[2]
ξ
η
ξ
kr2 A
2
ξ1 ξ2
ξ2
A1
kr1
δ=2nπ
δ=(2n+1)π
A2
α
δ
A2
A
A
A1
A1
A
ω
Fig. 1 Diagrama del vector rotatorio en t=0.
Fig. 2. Interferencia constructiva y
destructiva.
Para analizar las características de ξ(P,t) emplearemos dos vectores auxiliares A1 y A2 que tienen
módulos iguales a las amplitudes de ξ1(P,t) y ξ2(P,t) y que giran en el sentido contrario a las
manecillas del reloj con una velocidad angular constante ω idéntica a la frecuencia angular de
ξ1(P,t) y ξ2(P,t) (fig. 1). Así, A1 y A2 pueden escribirse como
A 1 ( P , t ) = A 1 (cos [ϕ 1 (P , t ) )] ⋅ aˆ x + sen [ϕ 1 (P , t ) )] ⋅ aˆ y
)
[3a]
A 2 ( P , t ) = A 2 (cos [ϕ 2 (P , t ) )] ⋅ aˆ x + sen [ϕ 2 (P , t ) )] ⋅ aˆ y )
[3a]
de forma que sus proyecciones sobre el eje Y
ξ 1 ( P , t ) = aˆ y ⋅ A 1 ( P , t )
[4a]
ξ 2 ( P , t ) = aˆ y ⋅ A 2 ( P , t )
[4b]
Guión 3: Interferencia - 2
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nos dan las perturbaciones individuales en cada instante en P (fig. 1). Dado que A1 y A2 tienen la
misma velocidad angular, a lo largo del tiempo mantienen la misma posición relativa. El ángulo
constante que hay entre ellos se puede escribir
δ = ϕ 2 ( P , t ) − ϕ 1 ( P , t ) = (ω t − kr 2 ) − (ω t − kr 1 ) = k ( r1 − r2 )
[5]
y es numéricamente igual a la diferencia de fase entre las dos perturbaciones en P.
En este contexto, la perturbación total puede escribirse también como la proyección sobre el eje Y
ξ ( P , t ) = aˆ y ⋅ A ( P , t )
[6]
donde
A (P,t) = A1(P,t) + A 2 (P,t)
[7]
es su vector rotatorio auxiliar (fig. 1). Se concluye fácilmente que, en las condiciones anteriores, el
vector A(P,t) tiene velocidad angular ω y mantiene la misma posición relativa respecto a A1(P,t) y a
A2(P,t) a lo largo del tiempo. En otras palabras, la perturbación total resultante en P es armónica, con
la misma frecuencia ω, y puede escribirse de la forma
ξ ( P , t ) = A ⋅ sen [ϕ (P , t )] = A ⋅ sen [α ( P ) + ω t ]
[8]
donde
A =
A1 + A 2 + 2 A1 A 2 cos δ
2
2
[9]
y la fase α puede determinarse en cada punto P en función de los correspondientes valores de A1, A2 y
δ.
Considerando que cosδ puede tomar valores en el intervalo [-1, 1] de [9] se deriva fácilmente que el la
amplitud total A puede estar comprendida entre (A1+A2) y (A1-A2). Si A=(A1+A2), entonces se
produce un refuerzo máximo entre las dos ondas en P y debe ocurrir que (fig. 2)
δ = 2nπ
n∈ Z
[10]
Esta situación se corresponde con lo que denominamos interferencia constructiva. Por el contrario si
A=(A1-A2), tenemos una atenuación máxima entre las ondas o interferencia destructiva (fig. 2) que se
producirá cuando
Guión 3: Interferencia - 3
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δ = (2 n + 1 )π
n∈ Z
[11]
Empleando las condiciones [10] y [11] en [5] se obtiene que el lugar geométrico de los puntos con
interferencia constructiva o destructiva es una
superficie
de
la
forma
r1-r2=C=cte
(un
C=3λ
X'
hiperboloide de revolución con focos en S1 y S2
y cuyo eje es la recta que pasa por S1 y S2). En
S2
C=2λ
P
el caso de que r1-r2=nλ (tabla 1) tenemos las
C=λ
superficies ventrales (interferencia constructiva)
y cuando r1-r2=(n+1/2)λ tenemos las superficies
nodales
C=-λ
destructiva).
Como
consecuencia de esto, sobre un plano Π que
Y'
Z'
C=0
(interferencia
r2
r1
C=-2λ
S1
contenga a las fuentes se obtienen líneas
ventrales y nodales con forma de hipérbola (fig.
3), que son respectivamente la intersección de
C=-3λ
Fig. 3. Interferencia de dos fuentes
puntuales sincrónicas.
las superficies ventrales y nodales con el plano
Π. A las líneas ventrales y nodales se las
denomina también, y respectivamente, franjas de interferencia constructiva y franjas de interferencia
destructiva.
Tabla 1. Interferencia de fuentes sincrónicas
δ = k ( r1 − r2 ) − ϕ 0
Diferencia de fase:
Ecuación de las superficies ventrales y nodales:
Condición de interferencia
Constructiva
δ = 2nπ
Destructiva
δ = ( 2 n + 1 )π
r1 − r2 = C
Valor de la constante C
Desfase cualquiera
En fase
ϕ0
ϕ0 = 0
nλ +
1
⎛
⎜n +
2
⎝
ϕ0
λ
2π
ϕ
⎞
⎟λ + 0 λ
2π
⎠
n = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 ,...
Guión 3: Interferencia - 4
1⎞
⎛
⎜ n + ⎟λ
2⎠
⎝
nλ
1
⎛
⎜n +
2
⎝
En oposición
ϕ0 = π
⎞
⎟λ
⎠
nλ
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Si las fuentes son sincrónicas pero sus oscilaciones presentan un desfase ϕ0 constante y distinto de cero
los resultados [8] y [9] siguen siendo válidos si se emplea para la diferencia de fase en P el nuevo valor
δ = ϕ 2 ( P , t ) − ϕ 1 ( P , t ) = (ω t − kr 2 ) − (ω t − kr 1 + ϕ 0 ) = k ( r1 − r2 ) − ϕ 0
[12]
Todas las conclusiones anteriores sobre los posibles valores de la amplitud y la distribución y
geometría de las zonas de interferencia constructiva y destructiva siguen siendo aplicables. En
particular, dado que el valor de δ no depende del tiempo, la distribución de superficies ventrales y
nodales sigue siendo estacionaria. Únicamente hay que tener en cuenta que, debido al cambio en el
valor absoluto de δ, se produce un desplazamiento en la posición absoluta de las superficies ventrales y
nodales respecto a su situación con fuentes sincrónicas en fase. En particular, si las fuentes pasan a
estar en oposición de fase, las superficies que con fuentes en fase eran nodales se transforman en
ventrales y viceversa (tabla 1).
2. Condiciones para la interferencia. Interferómetros.
En el análisis realizado hasta el momento hemos supuesto que las direcciones de oscilación de las dos
perturbaciones que se superponen en P son paralelas, es decir, que las oscilaciones se superponen sobre
la misma base. Cuando las oscilaciones en P se superponen sobre bases perpendiculares no tiene
sentido hablar de refuerzo o de atenuación de una perturbación debido a la otra y no se puede hablar
propiamente de fenómenos de interferencia. Es más, aún cuando las perturbaciones se superpongan
sobre la misma base, en general tendremos que:
- la diferencia de fase en un punto P entre dos ondas asociadas a fuentes de la misma frecuencia
puede cambiar con el tiempo de forma errática (este es el caso por ejemplo de fuentes luminosas
compuestas de un gran numero de átomos de la misma clase que emiten luz de forma no
coordinada)
- las oscilaciones que se superponen en P pueden tener frecuencias ω1 y ω2 diferentes lo que provoca
la aparición del término temporal (ω1-ω2)t en la diferencia de fase δ (este puede ser el caso de las
ondas sonoras producidas por dos violinistas que tocan la misma cuerda con violines ligeramente
desafinados).
En cualquiera de estas dos situaciones la diferencia de fase en cada punto P ya no es estacionaria y, por
tanto, tampoco lo es la distribución de superficies ventrales y nodales. Cuando esto sucede se dice que
Guión 3: Interferencia - 5
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las ondas son incoherentes y no se produce interferencia (es decir, la distribución de interferencia no es
observable). Por tanto, para que se produzca interferencia se deben dar necesariamente las siguientes
condiciones:
C1) Las oscilaciones de las ondas en P se superponen sobre la misma base.
C2) Las oscilaciones de las ondas en P son coherentes (tienen la misma frecuencia y diferencia de fase
independiente del tiempo).
La forma más sencilla y práctica para obtener ondas coherentes capaces de generar interferencia
consiste en emplear una misma onda dos o más veces para producir la superposición. Los dispositivos
que se diseñan con este objetivo reciben el nombre de interferómetros y a continuación analizaremos
algunas de las configuraciones básicas más importantes.
3. Interferencia por dos rendijas. El interferómetro de Young.
El interferómetro de Young pertenece a la clase de los interferómetros por división del frente de onda.
Su estructura básica (fig. 4) la forman una fuente puntual S, que emite ondas esféricas de frecuencia ω,
y una pared plana en la que se han practicado dos pequeñas aberturas (rendijas) S1 y S2 separadas una
distancia d. Sobre las
dos
aberturas,
que
X'
X
consideramos
S2
puntuales,
incide
la
onda
emite
la
que
fuente, de forma que
S
Z'
Y'
cada una de ellas se
Z
Y
convierte en un emisor
de
ondas
esféricas
secundarias
(ver
S1
principio de Huygens
en referencia R2). Estas
Fig. 4. Interferencia por dos rendijas.
ondas secundarias son
coherentes, dado que sus oscilaciones están asociadas a una única fuente real común S. Por tanto, se
superponen en la zona que se encuentra al otro lado de la pared en condiciones equivalentes a la
Guión 3: Interferencia - 6
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superposición de ondas generadas por dos fuentes puntuales sincrónicas de la misma frecuencia. Se
obtiene, por tanto, la misma distribución de hiperboloides de revolución que caracterizan las
superficies ventrales y nodales en las que se da interferencia constructiva y destructiva
respectivamente. Sobre un plano cualquiera Π. que contenga a los focos se obtienen franjas de
interferencia cuya forma general es hiperbólica.
El análisis de la interferencia en el caso del interferómetro de Young es particularmente sencillo y de
X
P
r2
S2
d
x(P)
β(P)
r1
S1 β
(P)
Y
Z
D
Fig. 5. Interferómetro de Young
interés práctico cuando se considera un plano de observación paralelo a la pared y situado a una
distancia D de ella en las siguientes condiciones (fig. 5):
H1) La fuente S está muy alejada de la pared de
S2
forma que la onda incidente sobre las aberturas
X'
β(P)
puede considerarse plana.
H2) El plano de observación está muy alejado de las
β(P)
d
aberturas (es decir, D >>d).
Z'
β(P)
H3) La zona de observación en el plano está
β(P)
próxima a la zona central de interferencia (es
decir nos interesan puntos P con coordenadas
S1
r1-r2
(x,y) tales que D >> x, y).
Fig. 6. Detalle de las aberturas.
Con estas hipótesis podemos asumir las siguientes
aproximaciones como válidas:
1) Las perturbaciones están en fase en las dos aberturas (es decir ϕ0=0).
Guión 3: Interferencia - 7
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2) Las amplitudes de las dos ondas que se superponen en el plano de observación son iguales
(A1=A2=A0) de forma que la amplitud total en un punto puede oscilar entre 2A0 y 0 (cuando la
interferencia es destructiva se produce ausencia total de perturbación).
3) Los ángulos que intervienen en la geometría del problema son pequeños de forma que las ondas
que llegan a P viajan prácticamente en la misma dirección β (fig. 6) y entonces
r1 − r2 ≅ d ⋅ sen β (P ) ≅ d ⋅ tan β (P ) = d
x (P )
D
[13]
con lo que, usando [5] y [13], la diferencia de fase en P puede evaluarse como
δ (P ) ≅ θ (P ) =
2π
λ
d ⋅ sen β (P ) =
2π
λ
d
x (P )
D
[14]
En esta situación las franjas donde se produce interferencia constructiva (condición [10]) son líneas
rectas (fig. 7) con ecuación
X
S2
∆x
X
A
Y
Z
0
2A0
S1
Fig. 7. Franjas de interferencia en el interferómetro de Young. Se indica la proyección ortogonal
de las fuentes puntuales S1 y S2 sobre la pantalla de observación.
x =
nD
λ
d
n = 0 , ± 1, ± 2 ,
La separación entre franjas de interferencia constructiva consecutivas viene dada por
Guión 3: Interferencia - 8
[15]
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∆x =
D
λ
d
[16]
3. Interferencia por N rendijas.
Consideremos ahora el caso, un poco más general, de un interferómetro similar al de Young pero en el
que se han practicado N aberturas puntuales separadas una distancia d (esto se corresponde por ejemplo
con la interferencia mediante las llamadas redes de difracción). Con las hipótesis H1-H3 tendremos por
tanto que (fig. 8):
1) las ondas oscilan en fase en las N aberturas (es decir ϕ0=0 para todas ellas)
2) las amplitudes de las perturbaciones en el plano de observación son iguales (A1=A2=.....=AN=A0) y
la amplitud total puede oscilar entre NA0 y 0 (cuando la interferencia es destructiva se produce
ausencia total de perturbación).
3) la diferencia de fase entre una abertura y la inmediatamente posterior se puede evaluar de la misma
forma que en [14] resultando el valor común
δ ≅
2π
λ
(r1
− r2 ) ≅
2π
(r2
λ
− r3 ) ≅ .. ≅
2π
λ
(r N −1
− rN
)≅ θ
=
2π
λ
d ⋅ sen β
En estas condiciones el vector rotatorio auxiliar de la perturbación global se evalúa como
X'
r4
ξ
β
θ
S4
d
β
r3
ξ4
β
S3
d
β
ξ
r2
β
S1
A
ξ2
r1
A2
θ
ωto-kr1
ξ1
β
θ
A3
β
S2
d
ξ3
A4
η
A1
Z'
Fig. 8 Detalle de las aberturas para N=4.
Fig. 9. Diagrama del vector rotatorio para N=4.
Guión 3: Interferencia - 9
[17]
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A (P, t) =
N
∑
n =1
[18]
A n (P, t)
donde, eliminando un posible factor de fase constante y común a todos los sumandos, tenemos que
A n ( P , t ) = A o (cos [n θ + ω t ] ⋅ aˆ x + sen [n θ + ω t ] ⋅ aˆ y )
n = 0 ,1, 2 , 3 ..., N − 1
[19]
es el vector rotatorio asociado a la perturbación en P producida para la abertura n-ésima (fig. 9). El
desfase aproximado θ dado por [17] coincide
numéricamente con el ángulo entre vectores
Ao
Ao
rotatorios asociados a perturbaciones producidas
diagrama del vector rotatorio es fácil derivar las
destructiva
(tabla
2).
En
interferencia constructiva todos los vectores en
[18] deben estar alineados (fig. 10). Para que se
produzca interferencia destructiva la suma
vectorial en [18] debe ser geométricamente un
θ=0
A0
condiciones para que se produzca interferencia
o
Ao
A
por aberturas consecutivas (fig. 9). En base al
constructiva
Ao
A0
A0
A=0
θ=π/2
A0
Fig. 10. Situaciones correspondientes a
máximos y mínimos de interferencia
para N=4.
polígono cerrado. En cualquier otra situación
que no se corresponda con los casos límite de interferencia constructiva o destructiva la amplitud debe
evaluarse mediante la expresión general (ver referencia R3)
⎡ Nθ ⎤
sen ⎢
⎣ 2 ⎥⎦
A (θ ) = A 0
θ
sen
2
[20]
La distribución de franjas de interferencia para un valor N>2 es más compleja que en el caso N=2
(correspondiente al interferómetro de Young). En general, hay varias posiciones de mínimo entre dos
máximos consecutivos (fig. 11 y tabla 2). Es decir, aparte de los máximos propiamente dichos
(también llamados principales) deben aparecer otros máximos (llamados secundarios) que poseen una
amplitud muy inferior a la de los principales debido a que en ellos no se produce el alineamiento de
todos los vectores rotatorios.
Guión 3: Interferencia - 10
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N=2
N=4
N=8
N>>1
-2
-1
0
+1
+2
(dsenβ)/λ
Fig. 11 Distribución de amplitud para interferencia por N aberturas.
Tabla 2. Condiciones para interferencia en el interferómetro de Young con N aberturas.
Posición angular de las franjas
sen β
Condición de interferencia
N cualquiera
N=2
N=4
Destructiva
θ = 2mπ / N , m ∈ Z
m ≠ 0,± N ,± 2 N
m λ
N D
m ≠ 0 , ± N , ± 2 N ,..
m λ
2 D
m ≠ 0 , ± 2 , ± 4 ,..
Constructiva
θ = 2nπ , n ∈ Z
n
λ
D
m λ
4 D
m ≠ 0 , ± 4 , ± 8 ,..
n∈ Z
4. El interferómetro de Michelson
El interferómetro de Michelson es un interferómetro por división de amplitud. Su estructura básica
(fig. 12) la forman una fuente puntual S, que emite ondas esféricas de frecuencia ω, dos espejos planos
E1 y E2 y una lámina parcialmente reflectante B dispuestos como en la figura. La onda de salida
Guión 3: Interferencia - 11
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cuando llega a la lámina en C se
P
transmite parcialmente hacia E1 y
L1
se refleja parcialmente hacia E2.
B
Los haces reflejados por los dos
S
espejos alcanzan de nuevo la
1
C
E1
lámina en C y se recombinan en
la zona del plano de observación.
Si llamamos r1 y r2 a las
L2
2
distancias recorridas por los dos
haces desde la fuente hasta el
E2
punto P del plano de observación
(SCE1CP
y
Fig. 12 Interferómetro de Michelson.
SCE2CP
respectivamente) obtenemos expresiones análogas a [8], [9] y [5] para la perturbación global. La
diferencia de fase en P se establece únicamente en las zonas de camino no común (CE1C y CE2C). En
el caso de la figura, la diferencia de fase puede escribirse como
δ ( P ) = k 2 ( L1 − L 2 ) = k 2 ∆ L
[21]
donde L1 y L2 son las longitudes de los brazos del interferómetro (CE1 y CE2). Cuando E1 y E2 son
perpendiculares al vector de onda incidente, en cada uno de ellos ∆L toma el mismo valor para todos
los puntos en el plano de observación. En este caso se obtiene un valor uniforme para la amplitud total
en ese plano. Cuando hay interferencia constructiva o destructiva todos los puntos del plano de
observación están en la misma franja de interferencia. Para otras orientaciones de los espejos ∆L será,
en general, diferente para cada punto y aparecerán franjas de interferencia sobre el plano de
observación.
5. Ondas estacionarias en una dimensión.
Un caso importante dentro de los fenómenos de interferencia lo constituyen las llamadas ondas
estacionarias. Se pueden producir este tipo de ondas cuando se superponen dos perturbaciones que se
propagan en la misma dirección pero con sentidos opuestos. Consideramos en primer lugar el
problema unidimensional de una cuerda de longitud infinita, orientada según el eje X, en la que se están
propagando dos ondas planas viajeras en sentidos opuestos. Si las ondas son transversales y armónicas
y tienen la misma amplitud y frecuencia tenemos
Guión 3: Interferencia - 12
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y 1 ( x , t ) = Asen (ω t − kx − ϕ 0 )
[22a]
y 2 ( x , t ) = Asen (ω t + kx + ϕ 0 )
[22b]
donde 2ϕ0 representa el desfase entre las dos ondas en el punto x=0. La expresión para la perturbación
total en cualquier punto de la cuerda
y ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = A [sen (ω t − kx − ϕ 0 ) + sen (ω t + kx + ϕ 0 )] [23]
se puede simplificar empleando la relación trigonométrica
⎛α + β ⎞
⎛α − β ⎞
sen α + sen β = 2 sen ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
[24]
en el caso particular de que
α = ω t − kx − ϕ 0
β = ω t + kx + ϕ 0
[25]
resultando
y ( x , t ) = A ( x ) sin (ω t )
[26a]
A ( x ) = 2 A cos (kx + ϕ 0 )
[26b]
con
La expresión [26] nos indica que la perturbación total en cada punto es armónica, de frecuencia ω y
con una amplitud que depende de la posición. Como es característico de los fenómenos de
interferencia, aparecen puntos con amplitud máxima 2A en los que las ondas se refuerzan (vientres) y
puntos con amplitud nula en los que la perturbación se atenúa totalmente (nodos) (tabla 3). Se puede
ver fácilmente que (fig. 12):
1) Dos nodos o dos vientres consecutivos están separados entre si λ/2
2) Entre cada dos nodos hay un vientre y entre cada dos vientres hay un nodo
3) La distancia de nodo a vientre consecutivos es de λ/4.
Esta distribución de nodos y vientres es característica de las ondas estacionaria unidimensionales.
Guión 3: Interferencia - 13
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λ
y
λ/2
x
λ/2
λ/4
Fig. 12 Onda estacionaria en una cuerda infinita.
Consideremos ahora el caso unidimensional pero con en una cuerda de longitud finita que tiene sus
extremos fijos en los puntos x=0 y x=L. Si existe una perturbación armónica como [22a] que se
propaga en la cuerda hacia la derecha, al llegar al extremo x=L resultará reflejada dando lugar a otra
perturbación armónica de la misma frecuencia que se propaga en sentido contrario como [22b]. Se
tienen por tanto de forma natural las condiciones para que produzca el fenómeno de las ondas
estacionarias. No obstante, la perturbación total asociada a la onda estacionaria [26] debe ajustarse al
tipo de movimiento que pueden hacer los extremos de la cuerda. En el caso de extremos fijos se deben
cumplir las dos condiciones
y (0, t ) = 0
[27a]
y(L,t) = 0
[27b]
que, como veremos, establecen restricciones sobre las posibles posiciones de los vientres y nodos en
la cuerda y sobre los posibles valores de la frecuencia o la longitud de onda de las ondas
estacionarias en la cuerda. De [26] y [27a] se deriva que
2 A cos (ϕ 0 ) = 0
[28]
y por tanto debe ser
⎛
⎝
ϕ0 = ⎜ p +
1⎞
⎟π
2⎠
p∈Z
[29]
lo que garantiza que en el extremo x=0 exista un nodo (tabla 3). Tomando ϕ0=π/2 (el resto de los
valores de [29] son físicamente equivalentes) y combinando [26] y [27b] tenemos que se debe cumplir
Guión 3: Interferencia - 14
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π ⎞
⎛
2 A cos ⎜ kL +
⎟ = 0
2 ⎠
⎝
[30]
lo que se traduce en la condición
kL = m π
⇔
L = m
λ
⇔
2
λ =
2L
m
m∈ N
+
[31]
Las posibles longitudes de onda están limitadas a valores discretos dados por [31], todo ellos divisores
enteros de la longitud de onda fundamental de la cuerda
λ0 = 2 L
[32]
Tabla 3. Condiciones para el establecimiento de ondas estacionarias en cuerdas.
Tipo de cuerda
ϕ0
extremos fijos
1⎞
⎛
⎜ p + ⎟π
2⎠
⎝
λ0
f0
λ
f
2L
c
2L
λ0
mf
λ0
extremos libres
pπ
un extremo libre y el otro fijo
pπ
4L
c
4L
infinita
Cualquiera
-
-
1
⎛
Nodos (N): kx + ϕ 0 = ⎜ n +
2
⎝
⎞
⎟π
⎠
m
(2 m
− 1)
(2 m
0
− 1) f 0
Cualquiera
Vientres (V): kx + ϕ 0 = n π
n , p = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 ,... m = 1, 2 , 3 ,...
Si la cuerda tiene un extremo libre en x=0 y el otro fijo en x=L, las condiciones en los extremos deben
ser
y ( 0 , t ) = ± 2 A sin ω t
[33a]
y(L,t) = 0
[33b]
Guión 3: Interferencia - 15
Curso 2006–2007
Laboratorio de Ampliación de Física - E.T.S.I.I.
Empleando [26] y [33a] se llega a que
2 A cos (ϕ 0 ) = ± 2 A
[34]
y por tanto debe ocurrir
ϕ 0 = pπ
p∈ Z
[35]
lo que garantiza que en el extremo x=0 exista un vientre (tabla 3). Tomando ϕ0=0 (el resto de los
valores de [35] son físicamente equivalentes) y combinando [26] y [33b] tenemos que
2 A cos (kL ) = 0
[36]
lo que se traduce en la condición
1⎞
⎛
kL = ⎜ m − ⎟ π
2⎠
⎝
⇔
1⎞λ
⎛
L = ⎜m − ⎟
2⎠ 2
⎝
⇔
λ =
4L
(2 m − 1 )
m∈ N
+
[37]
Las posibles longitudes de onda están limitadas a valores discretos dados por [37], todo ellos divisores
impares de la longitud de onda fundamental de la cuerda
λ0 = 4 L
[38]
Cuando la cuerda tiene los dos extremos libres las condiciones son del tipo
y ( 0 , t ) = ± 2 A sin ω t
[39a]
y ( L , t ) = ± 2 A sin ω t
[39b]
que conducen a los mismos valores para las longitudes de onda permitidas que en el caso de la cuerda
fija por los dos extremos (tabla 3), aunque con las posiciones de los nodos y los vientres
intercambiadas. Los valores posibles de las frecuencias de oscilación se obtienen empleando la
velocidad de fase junto con los valores de las longitudes de onda permitidas en cada caso (tabla 3).
Todas las propiedades que se han descrito para las ondas estacionarias transversales en una cuerda son
trasladables al comportamiento de las ondas estacionarias unidimensionales en general, tanto si son
transversales como si son longitudinales.
Guión 3: Interferencia - 16
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Curso 2006–2007
Sistema experimental.
El sistema experimental consta de un soporte que sujeta una cuerda fija en sus extremos. El extremo
inferior está unido a un oscilador accionado por un motor que, a su vez, está conectado a un generador
de funciones. Al alimentar el motor se suministra al extremo de la cuerda de un movimiento de
oscilación cuya frecuencia y amplitud puede seleccionar el usuario. De esta forma es posible generar
ondas estacionarias en la cuerda con diferentes valores de frecuencia. Mediante un estroboscopio
podemos iluminar la cuerda con pulsos de luz con frecuencia ajustable.
Procedimiento de medida.
Para caracterizar cada uno de los modos de oscilación estacionaria en la cuerda, en primer lugar
debemos seleccionar en el generador de funciones la frecuencia adecuada para que tengamos una onda
estacionaria con dos nodos en los extremos. En esta situación se debe medir, en primer lugar, la
distancia entre nodos consecutivos. Posteriormente, se debe medir la frecuencia de oscilación de la
cuerda con el estroboscopio. Para ello se selecciona una frecuencia de iluminación elevada que se va
reduciendo progresivamente hasta se observe por primera vez la cuerda en reposo aparente. En este
momento la frecuencia de iluminación del estroboscopio coincide con la frecuencia de oscilación de la
cuerda.
Actividad
En base a medidas de la distancia entre nodos y de la frecuencia de oscilación determinaremos la
velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
Toma de datos
1.
Verificación del sistema experimental.
1.1
Realizar un esquema del sistema experimental real tal y como está montado en el laboratorio
en el que se reflejen los detalles que se consideren relevantes (Esquema 1.1).
AVISAR AL PROFESOR/A
NO PROSEGUIR CON LAS ACTIVIDADES HASTA OBTENER SU VISTO BUENO.
Guión 3: Interferencia - 17
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1.2
Curso 2006–2007
Conectar la fuente de alimentación y después el generador de funciones. Comprobar su
funcionamiento. Comprobar el funcionamiento del estroboscopio (no debe permanecer mucho
tiempo encendido porque se recalienta). Anotar la información que se considere relevante
(Esquema 1.1).
2.
Caracterización experimental de las ondas estacionarias.
2.1
Emplear como límite inferior de frecuencias del generador (siempre con la salida de ondas
sinusoidales) el rango de 10 Hz. Ajustar, inicialmente, la tensión de salida entre un 25% y un
50% de la máxima. Empezando con la frecuencia más baja, aumentar lentamente la frecuencia
hasta que aparezca el modo fundamental y posteriormente los sucesivos armónicos (por lo
menos 3). Tanto para el modo fundamental como para los armónicos:
-
contar el número de nodos n
-
medir la distancia h para todos los pares de nodos consecutivos h1, h2, h3, h4...(at3.1).
-
medir la frecuencia de oscilación con el estroboscopio (at3.1) (ojo: la escala del
estroboscopio está en ciclos/min). Si se tienen dudas se deben anotar todos los valores
posibles para f (f1, f2, f3).
Es posible que para que la amplitud de la onda estacionaria sea suficientemente grande sea
necesario ajustar la tensión de salida del generador al aumentar la frecuencia de oscilación.
Tratamiento de datos
3.
Evaluación la velocidad de propagación de las ondas.
3.1. Completar la tabla 3.1 evaluando para cada frecuencia f el valor medio de la distancia entre
nodos consecutivos hm y el valor medio de la longitud de onda λm. Para cada frecuencia f y
con el correspondiente valor de λm obtener el correspondiente valor de la velocidad de
propagación vm. Calcular el valor medio vma empleando todos los resultados parciales de la
tabla 3.1. Realizar el cálculo de la incertidumbre de vma asumiendo que el error en la
frecuencia es despreciable y sin considerar errores aleatorios.
3.2. Realizar una representación gráfica de los valores de λm frente a 1/f para los datos de la tabla
3.1. (gr3.2). Trazar a ojo la recta de mejor ajuste a los datos experimentales (gr3.2). Obtener
Guión 3: Interferencia - 18
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Curso 2006–2007
la pendiente b y la ordenada en el origen a. Obtener una nueva estimación de la velocidad de
propagación vmg en base a los resultados del ajuste (at 3.2).
Discusión y análisis
4.
Discusión de los resultados.
4.
Resumir los resultados en la tabla 4.1 y realizar una breve discusión de los mismos
considerando los siguientes aspectos:
-
¿Sabría explicar porqué la frecuencia medida con el estroboscopio se corresponde con la
frecuencia de la onda?
-
¿Son efectivamente las frecuencias de oscilación múltiplos de una frecuencia fundamental
común?
-
¿Cuál de los dos procedimientos de obtención de la velocidad de propagación parece más
aconsejable?
Referencias
R1
M. Alonso, E.J. Finn, “Física”, Cap. 32, pp. 769-782, Adisson-Wesley Iberoamericana, 1995.
R2
Material en fotocopiadora: Transparencias del tema 1 “Movimiento ondulatorio”. Apartado
1.8, pp1.36-1.37.
R3
P.A. Tipler, “Física para la ciencia y la tecnología”, Vol. 2, Cap. 35, pp. 1153-1174, Reverté,
1999.
R4
Material en fotocopiadora: “Magnitudes físicas y medidas. Teoría de errores”. Apartado
“Medidas directas repetidas numerosas veces en condiciones prácticamente idénticas”, pp. 1416.
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