Redes Equivalentes - Universidad de La Frontera

1
Conceptos Básicos de Redes Equivalentes
I. Gutierrez, J.I. Huircán
Abstract— Las redes equivalentes permiten la simpli…cación de redes más complejas, ésto, sustituyendo partes
de un red que es más complicada por otra más simple. Esta
nueva red de tener las mismas características terminales.
Finalemente, se traduce en igualdad de volta je y corriente
en los terminales, tanto de la red original como de a la red
equivalente.
Index Terms— Electrical Network
i
Red
R1
+
C1 v
1
_
+
C2 v2
_
i
+
Red
v
R
_
Red
R2
+
C2 v
2
_
+
C1 v1
_
+
Red
v
R
_
Fig. 2. Propiedad de conmutatividad serie.
I. Introduction
Las redes equivalentes son utilizadas cuando el interés del
análisis se centra en una parte especí…ca de la red o en un
componente. De esta forma, circuitos complejos se representan en forma más simple.
II. Conceptos de redes equivalentes
Las redes R1 y R2 serán equivalentes respecto a la red
arbitraria R, si al ser conectadas a dicha red, los valores
de voltajes y corrientes de las componentes de R no se
alteran.
Red
R1
1
2
Red
R
Red
n
R2
1
2
Red
Para la Fig. 2, las redes R1 y R2 son equivalentes respecto de R y tienen iguales características terminales.
Esto queda en evidencia al plantear la LVK y la LCK.
Sean C1 y C2 componentes de red de cualquier naturaleza,
de acuerdo a las leyes de Kirccho¤ se tiene:
i = iC1 = iC2
v = v1 + v2
La corriente por ambos componentes es la misma y la
suma de los voltajes corresponde al voltaje aplicado.
Planteando la LVK en el ejemplo de la Fig. 3, se tiene
R
vs = vR1 + vb + vR2 + vC + vR3
n
Fig. 1. Redes equivalentes.
vb (t)
+
i
La elección de R2 debe ser tal que los cálculos de R
resulten más sencillos que con R1 .
Note que si se realizan mediciones externas a las redes
R1 y R2 en R, se obtendrán idénticos resultados. R1 y
R2 pueden contener componentes diferentes y en general
tendrán estructura distintas.
No es posible efectuar comparaciones entre las variables
internas de R1 y R2 . Finalmente, R1 y R2 pueden ser
consideradas como cajas negras en el sentido en que no
tienen mayor interés para el observador. Lo que se puede
comparar entre R1 y R2 son las relaciones entre sus variables terminales o sea los voltajes y corrientes que están
asociadas a la red R.
III. Equivalencias debido a iguales
caracteristicas de termiales
A. Propiedad de conmutatividad
A.1 Conmutatividad en serie
En muchas situaciones es conveniente realizar el intercambio de dos o más componentes que se encuentran serie,
lo cual permite simpli…car la visión de la red.
Documento preparado en la Universidad de La Frontera para la
asignatura de Teoría de Redes I y Redes Eléctricas. ver. 1.5, 2009.
(1)
(2)
va
i
R1
+
R
i
R3
(3)
2
v
a
R1
+
C
Red
R1
i
v b (t)
+
R2
R3
C
Red
R2
Fig. 3. Conmutatividad de componentes.
Note que la corriente es la misma tanto para R1 como
para R2 . Se han agrupado las fuentes en un sector y los resistores en otra. Esta conmutatividad sólo se puede aplicar
a componentes que están en serie.
A.2 Conmutatividad en Paralelo
Sea las redes de la Fig. 4, en la cual los elementos C1 y
C2 están en paralelo.
El intercambio de lugar de los componentes no altera las
ecuaciones de la red, así
v = vC1 = vC2
i = i1 + i2
(4)
(5)
El voltaje se mantiene en ambos componentes, de ésta
forma la red R1 y R2 son equivalentes. En la Fig. 5, se
han intercambiado los componentes, aplicando la LCK
2
i
i1
C1
i
i
+
i2
v
C2
i2
Red
R
C2
i1
v
C1
Red
R2
_
Red
R1
+
_
i1
i
s
(6)
i2
i2
i
R
2
Kvx
s
R
2
vs
R
+
+
v
_
Red
R2
_
Red
R
Fig. 8. Propiedad de redundancia en paralelo.
is = i1 + kvx + i2
Kv
x
Red
v
C1
Red
R1
Fig. 4. Propiedad de conmutatividad paralelo.
R
1
+
vs
Red
R
i
+
Todo componente en paralelo con una fuente ideal de
voltaje es redundante y se puede eliminar reemplazándolo
por un circuito abierto. En el ejemplo de la Fig. 9, el
voltaje siempre será v = vs :
i1
R
1
+
v
a
R
1
R
2
C
+
Red
v
R
+
+
va
v
Red
R
_
_
Fig. 5. Comnutatividad paralela.
Fig. 9. Propiedad de redundancia en paralelo.
Se observa que (6) representa ambas redes.
B. Propiedad de redundancia
C. Características equivalentes de componentes de igual
tipo
B.1 Redundancia serie
Considere la situación de la Fig. 6.
C1
i
i
+
is (t)
v
+
Red
i s(t)
R
_
Red
R1
Un caso clásico son las transformaciones estrella- delta
(Y- ) y delta- estrella ( -Y).
v
R
R1
En ambos casos para todo t, i = is (t) y v es independiente de R1 y R2 : Su forma de onda dependerá de R,
por lo tanto R1 red equivalente a R2 , respecto de R. Así,
todo componente en serie con una fuente de corriente es
redundante y se puede eliminar, reemplazándolo por un
cortocircuito. En el ejemplo de la Fig. 7 el voltaje en el
resistor Ra siempre está dado por la expresión vR = is Ra :
is
R
c
C
+
R
a
v
R
is
+
R
a
_
v
R
_
Red
R
2
R
3
Fig. 6. Propiedad de redundancia serie.
a
R
1
_
Red
R2
R
b
a
Red
R
ca
R
ab
R
b
R
bc
c
R
c
R2
Fig. 10. Ejemplo de la equivalencia Y- .
La red R2 es equivalente a R1 , respecto de la red R si
se cumple que
Rca Rab
Rab + Rca + Rcb
Rab Rbc
R2 =
Rab + Rca + Rcb
Rca Rbc
R3 =
Rab + Rca + Rcb
R1 =
Para pasar de Y a
, se debe aplicar
Fig. 7. Ejemplo de Propiedad de redundancia serie.
R1 R2 + R 2 R3 + R 3 R 1
R3
R1 R2 + R 2 R3 + R 3 R 1
=
R1
R1 R2 + R 2 R3 + R 3 R 1
=
R2
Rab =
B.2 Redundancia paralelo
Sea la red R1 de la Fig. 8, en la cual se tiene una fuente
de voltaje vs en paralelo con un elemento, considerando
que i es independiente de R1 y R2 .
Red
b
Rbc
Rca
CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES EQUIVALENTES
3
En forma general, se tiene que
RY
R
Productos de las resistencias adjuntas
P
=
de las resistencias
P
productos de las resistencias en Y en pares
=
La resistencia opuesta Y
IV. Equivalencias debido a valores iguales de
las variables
vs
_
i
i
_
vs
Red
R1
+
+
+
Red
v
R
_
+
i
i
+
Red
R1
v
_
Red
R
+
+
vs
v
Red
R2
Red
R
Fig. 13. Sustitución por corto circuito.
Si se conoce que la corriente terminal de R1 es is (t) y si
la red R tiene una característica controlada por corriente
(independiente de la red que se le conecte entre los terminales, la corriente debe mantenerse), se puede sustituir
la red R1 por una fuente de corriente is (t) sin alterar la
solución de la red R.
_
i
+
is
is
v
Red
R1
R
Red
v
R
_
R
_
Red
R2
Fig. 14. Sutitución por circuito abierto.
Como la corriente por Ra es cero, el resistor se puede
reemplazar por un circuito abierto.
Sea la red R1 de la Fig. 16, en la cual una fuente de
corriente is (t) alimenta los componentes C1 , C2 y C3 .
Esta fuente puede conectarse en paralelo con cada uno
de los componentes indicados, como se muestra para la
red R2 . Aplicando la LCK en dicha red, se observa que la
corriente que pasa por C1 y C3 es is (t) y la corriente que
pasa por C2 es is (t) i, lo que se cumple en R1 .
En la Fig. 17, planteando la LCK para R1 se tiene que
is + i1 = i2
i2 + i3 = i4
i
+
Red
+
Red
A. Teorema de movilidad de fuentes independientes de corrientes
B. Teorema de sustitución de fuentes independientes de
corrientes
Red
R1
i
V. Equivalencias debido a movilidad de fuentes
_
Fig. 11. Sustitución por una fuente de voltaje.
i
+
v
_
Red
R2
A. Teorema de sustitución de fuentes independientes de
voltaje
Si el voltaje terminal de la red R1 es conocido e igual
a vs (t), la red R1 puede sustituirse por la red R2 equivalente indicada; siempre que la red R tenga una característica controlada por voltaje. Si la red R no tiene esta
característica no puede aplicarse.
Red
R
v
is
Red
R2
v
_
(7)
(8)
Red
R
+
R
R
Red
v
Fig. 12. Sustitución por fuente de corriente.
Ra
R
R
R
Red
v
R
R
R
_
R2
R1
Fig. 15. Sustitución de la resistencia Ra por circuito abierto.
i
C1
D. Teorema de sustitución por circuito abierto
Si se sabe que i = 0, se puede reemplazar la red R1 por
un circuito abierto.
En la Fig. 14 al plantear la LCK se tiene que i = is is =
0. Un ejemplo clásico es el circuito puente de la Fig. 15, el
cual si está equilibrado, no permite el paso de la corriente
por la resistencia Ra .
R
_
C. Teorema de sustitución por cortocircuito
Si el voltaje terminal de la red R1 es cero, y R tiene
característica controlada por voltaje, la red R2 será considerada equivalente a un cortocircuito.
Planteando la LVK, se tiene v = vs vs = 0.
+
R
i s (t)
+
C2
v
Red
C3
+
Red
i (t)
s
R
i (t)
s
_
Red
R1
i
C1
Red
R2
C3
Fig. 16. Movilidad de fuentes de corrientes.
C2
i (t)
s
v
_
R
4
R1
i1
R
i2
R2
R
4
i4
vs = i2 R2
vs = vR3 + v1
vs = Ri2 + vR1
+
i3
R3
i1
R1
v
R2
is
+
i3
3
i2
v
is
_
R4
is
_
i4
R2
R1
(11)
(12)
(13)
Observe que (11), (12) y (13) representan aambas redes.
VI. Equivalencias debido a transformación de
fuentes
Fig. 17. Movilidad de Fuentes de corriente.
Planteando un LKV en la red R1 de la Fig. 20, se tiene
vs (t) = i(t)Rs + v
Por otro lado, para la red R2 , se tiene
(14)
Despejando la corriente
is + i1 = i2
i2 + is + i3 = i4 + is
(9)
(10)
i(t) =
v
Rs
vs (t)
Rs
(15)
La corriente i(t) esta dada por la resta de dos corrientes.
Note que ambos pares de ecuaciones son iguales.
i( t )
Rs
B. Teorema de movilidad de fuentes independientes de tensión
i( t )
+
+
vs( t )
Considerando la siguiente con…guración.
+
Red
R
v
1
v
+
...
+
n
Red
R
v
s
Red
R1
vs +
2
_
vs
+
vs
+
1
2
n
Red
R
v
+
v
s
Por otro lado, en la red R2 , la corriente i(t) será
i(t) =
Una fuente de voltaje v conectada a varios terminales
simultáneamente. Estos terminales pueden ser separados
cada uno conectado a una fuente respectiva. Note en la Fig.
18 que tanto en la red R1 y en la red R2 cada terminal
está sometido a un voltaje vs .
Sea el ejemplo de la Fig. 19.
+
vs (t) = L
R3
v
R2
+
1
ki
i
+
vs
v
i2 +
R 2 vs
R1
v
+
1
Ri
+
2
+
vs
_
Fig. 19. Ejemplo de movilidad de fuentes de voltaje.
Planteando la LVK
(16)
diL
+v
dt
+
L
R3
v
Rs
2
_
+
vs (t)
R
Como las ecuaciones (15) y (16) son idénticas, las redes
R1 y R2 son equivalentes. Es decir, una fuente de voltaje
en serie con un resistor puede ser transformado en una
fuente de corriente en pararlelo con un resistor. Esto puede
ser extendido para capacitores e inductores en la misma
posición serie.
Sea la fuente de voltaje en serie con un bobina de inductancia L; planteando la LVK en la red R1 de la Fig. 21, se
tiene
R1
i2
_
Fig. 20. Transformnación de fuentes.
Fig. 18. Movilidad de fuentes de voltaje.
i
Red
R
Red
R2
+
v
_
Red
R2
v
Rs
_
Red
R1
i
Rs
vs( t )
vs(t)
+
i L(t)
i(t)
i (t)
+
v
Red
R
is=
∫
1
vs dt
L
iL(t)
v
Red
R
_
_
Red
R1
+
L
Red
R2
Fig. 21. Transformación de fuente de voltaje en serie con un inductor.
Note que i(t) = iL (t); despejando la corriente
CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES EQUIVALENTES
Z
1
L
i(t) =
t
Z
1
L
vs ( )d
0
5
v( )d
(17)
1
=
L
Z
iL
t
1
L
vs ( )d
0
+
vs(t)
Z
(18)
vs(t)
i C(t)
v( )d
(19)
Red
R
Red
R
_
Red
R2
R1
Fig. 23. Fuente con interruptor.
i s = C d vs
dt
iC(t)
+
C
v
Un condensador con una carga inicial, puede ser representado como un condensador sin carga en serie con
una fuente de voltaje, la cual representa el voltaje inicial
(carga) del condensador.
Red
R
_
_
De acuerdo a la Fig. 23 , la red R2 es equivalente a
R1 para tiempos mayores que cero, respecto de R. Los
voltajes y corrientes de R1 conectados a R2 , sólo podrán
determinarse para tiempos mayores que cero.
B. Redes con capacitores cargados
i (t)
i(t)
v
_
Red
v
0
+
+
v
+
+
vs (t)u(t)
Red
R
t
Luego, como (17) y (19) son idénticas, ambas redes son
equivalentes.
Sea la red de la Fig. 22, donde se tiene una fuente de
voltaje en serie con un capacitor, planteando la LVK
C
+
0
Para la red R2 , se tiene que la corriente i(t) será
i(t) = is
t=0
t
Red
R2
Red
R1
i c(t)
i c(t)
Fig. 22. Transformación de fuente de voltaje en serie con un capacitor.
+
+
v
c
C
v
_
vs (t) =
1
C
Z
+
v (0 )u(t)
c
+
v'
_ c
iC ( )d + v
(20)
Red
R1
Red
R2
v (0 )=0
c
+
v
Red
R
_
v'c (0)=0
0
Fig. 24. Condensador con carga inicial.
dvs
dt
C
dv
dt
(21)
Para la red R2 , se tiene
dvs
dt
dvs
= C
dt
i = C
C
_
t
Sin embargo, iC (t) = i(t); despejando la corriente
i(t) = C
Red
R
ic
C
(22)
dv
dt
Para la red R1 se tiene que
v = vc (t)
Z
1 t
=
i ( ) d + vC (0)
C 0
(24)
(25)
Por otro lado para la red R2 se tiene
(23)
Se observa que (21) y (23) son idénticas, luego R1 es
equivalente a R2 .
VII. Equivalencia respecto de un instante de
referencia
Cuando se desea saber el comportamiento de una parte de
la red para tiempos mayores que un tiempo de referencia
t = to , las redes pueden ser consideradas equivalentes a
partir de dicho tiempo, muchas veces este tiempo de referencia se elige como t = 0.
A. Redes con interruptores
La red R1 de la Fig. 23 tiene un interruptor el cual
se cierra en t = 0, esto puede ser reemplazado por una
fuente que se encuentre activa sólo par instantes de tiempo,
t > 0, lo que es equivalente a multiplicar dicha fuente por
un escalón unitario.
;
v = vC
(t) + vC (0) u(t)
(26)
R
t
;
Pero como vC
(t) = 1c 0 i ( ) d , entonces
Z
1 t
v=
i ( ) d + vC (0) u(t)
(27)
c 0
Luego la red R1 será equivalente a la red R2 para t > 0.
C. Redes con inductores con energía almacenada
Un inductor con energía almacenada, puede ser representado por un inductor descargado en paralelo con una
fuente de corriente, la cual dará cuenta de la energía inicial.
Para la red R1 se tiene que
i = iL (t)
Z
1 t
=
v ( ) d + iL (0)
L 0
(28)
(29)
6
i L(t)
L
_
vL
i'L (t)
+
+
Rb <
+
Red
R
v
L
i (0)u(t) v
L
_
i L(0)= 0
Ra
(32)
10
Observe que al calcular la resistencia en serie, si Ra >>
Rb , entonces Ra Ra + Rb .
Sean las redes de la Fig. 27.
i(t)
Red
R
_
Red
R1
i'L (0)= 0
Red
R
2
i
i
Fig. 25. Inductor con energía inicial y su equivalente.
+
Rb
Ra
v
i;L
i=
(t) + iL (0) u(t)
R
t
Pero como i;L (t) = L1 0 v ( ) d , entonces
i=
1
L
Z
(30)
v ( ) d + iL (0) u(t)
Red
R1
(31)
0
Ra > 10Rb
Algunas veces se está interesado en ver el comportamiento
cualitativo de la red, o bien, la tolerancia de los componentes hace aconsejable simpli…car los cálculos, debido a
que sólo ciertas cifras tendrán signi…cado.
Ra
i
+
Rb .
B. Redes con valores de componentes que tienden a cero
Si un resistor o inductor lineal e invariante en el tiempo
tiende a cero, puede aplicarse el teorema de sustitución
por cortocircuito. Esto es debido a que si vr = iR, luego,
si R ! 0, entonces vr ! 0. Por otro lado, el voltaje en
un inductor está dado por L didtL , luego si L ! 0, entonces
L didtL ! 0.
i
i
+
+
Red
R
v
0
A. Redes equivalentes al 10%
Cuando los valores de los componentes di…eren mucho
en sus valores, pueden no ser considerados en el análisis,
pues, su efecto no incide mucho en el resultado. Un criterio muy utilizado es la equivalencia al 10%, esto quiere
decir por ejemplo si para dos resistores en serie y uno de
ellos tiene un valor equivalente al 10% del otro, el menor
podría despreciarse. Esto es factible ya que comúnmente
se trabajan con resistores que tienen una tolerancia entre
el 5 y 10%, luego, no se cometería error grave al despreciar
el componente con menor valor.
(33)
En este caso, si Ra >> Rb entonces Ra jjRb
R
v
_
Red
R2
R2 es equivalente al 10% con R1 si se cumple que
t
VIII. Redes equivalentes debido a
aproximaciones numéricas
Rb
Red
R
v
Fig. 27. Equivalencia al 10% de resistores en paralelo.
Luego la red R1 será equivalente a la red R2 para t > 0.
En general, se reemplazan elementos con energía inicial
almacenada, por elementos sin energía inicial, con sus correspondientes fuentes de voltaje en serie (para el caso de un
condensador) y las fuentes de corriente en paralelo (para
el caso de los inductores).
Ra
Rb
R
_
Por otro lado para la red R2 se tiene
+
Red
_
Red
R1
Red
R
v
Red
R2
_
Fig. 28. Reemplazo de una resistencia por un Cortocircuito.
i
i
+
L
Red
R1
0
v
_
+
Red
R
v
Red
R2
Red
R
_
Fig. 29. Reemplazo de un inductor por un cortocircuito.
i
+
Red
R
v
_
Red
R1
Red
R
_
Red
R2
Si la capacidad de un condensador lineal e invariante en
el tiempo tiende a cero se puede aplicar la sustitución por
circuito abierto, pues, la expresión i = C dvdtC ! 0.
C. Redes con valores de componentes que tienden a in…nito
Fig. 26. Aproximación al 10%.
R2 es equivalente al 10% con R1 si se cumple que
Cuando el parámetro del resistor e inductor lineal invariante en el tiempo tiende a in…nito, se aplica la sustitución por circuito abierto, esto es porque para el resistor se
CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES EQUIVALENTES
i (t)
i (t)
+
C
0
7
+
Red
R
v
Red
R
v
_
_
Red
R2
Red
R1
Fig. 30. Reemplazo de un Capacitor por un circuito abierto.
v
cumple que iR = R
lo cual tiende a cero y por otro lado
Rt
para el inductor se tiene que iL = L1 0 vL ( )d ! 0.
Si un condensador tiende Ra in…nito, se reemplaza por un
t
cortocircuito, pues, vc = C1 0 ic ( )d ! 0.
i
i
+
R
∞
v
+
Red
R
_
_
Red
R1
Red
R
v
Red
R2
Fig. 31. Reemplazo de una resistencia por un circuito abierto.
i (t)
i (t)
+
+
C
Red
R1
∞
v
_
Red
R
v
Red
R2
Red
R
_
Fig. 32. Reemplazo de un capacitor por un cortocircuito.
D. Redes equivalentes debido al rango de operación
Si se sabe que algunas variables están limitadas dentro de
un rango dado, no se pueden efectuar aproximaciones. Las
características no lineales pueden aproximarse por segmentos lineales, dentro de un rango de operación, permitiendo
así un tratamiento más simple. La importancia práctica
de esta situación permite modelar dispositivos eléctricos y
electrónicos con características no lineales, a través de los
métodos estudiados.
IX. Conclusiones
Los conceptos de redes equivalentes permiten simpli…car
y reducir las redes, haciendo más simple el análisis. Estos
conc.ptos puede ser usado previo a la aplicación de técnicas
más elaboradas para el análisis.
References
[1] Espinoza,F.1988. Redes Electricas Lineales, Analisis en el dominio del tiempo. USACH.
[2] Rios, S.1983. Apuntes Redes Electricas I. PUC
[3] Silva, L.1980.Apuntes Teoria de Redes Electricas. UTFSM