Problemas resueltos tema 10

Tema 10 : PANDEO
x
Ncr
(2)
(1)
L
y
N cr =
π 2 .E .I z
L2
x
y
Problemas resueltos
Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
10.1.- Un pilar, de 3 m de longitud, se encuentra sometido a una carga F de compresión
centrada. Se pide calcular el valor de la carga máxima que podrá soportar para los
siguientes supuestos:
1) El pilar tiene impedido totalmente el pandeo
2) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xy
3) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xz
4) El pilar puede pandear líbremente
Datos: fy= 275 N/mm2, E= 2,1.105 N/mm2. Perfil : HEB-160, γM = 1,1, γ = 1,35
F
HEB-160
z
3m
z
y
y
1) Comprobación sec ción pilar a compresión :
N * ≤ A. f yd
F .1,35 ≤ 54,3.102. 275
→ F ≤ 1055555 N
1,1
2) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xy )
N * ≤ χ . A. f yd
N cy =
λy =
π 2 .E.I y
L2k
A. f y
Ny
=
π 2 .2,1.105.889, 2.104
(1.3000 )
2
= 2045669,8 N
54,3.102.275
= 0,854 → curva c de pandeo → χ = 0, 63
2045669,8
=
Lk = β .L = 1.3000 mm
fórmula : F .1,35 ≤ 0, 63.54,3.102. 275
→ F ≤ 469259,3 N
1,1
3) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xz )
N * ≤ χ . A. f yd
N cz =
λy =
π 2 .E.I z
L2k
A. f y
Ny
=
=
π 2 .2,1.105.2492.104
(1.3000 )
2
= 5733028, 7 N
54,3.102.275
= 0,51 → curva c de pandeo → χ = 0,84
5733028, 7
Lk = β .L = 1.3000 mm
fórmula : F .1,35 ≤ 0,84.54,3.102. 275
→ F ≤ 844666, 7 N
1,1
4) Comprobación pilar a pandeo ( puede pandear líbremente)
F ≤ 469259,3 N
10.2- Un pilar de 6 m de longitud, articulado en sus extremos, se encuentra sometido a una
carga de compresión de 1100 kN. La sección del pilar es tubular rectangular. Se pide:
1) Dimensionar la sección de dicho pilar a resistencia
2) Comprobar el pilar a pandeo utilizando:
a) La fórmula de Euler
b) La fórmula de la Normativa española DBE-SE-A
3) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el pilar tiene 8 m de longitud
Datos: fy = 275 N/mm2, E = 2,1.105 N/mm2 , γ = 1,5, γM = 1,1
Sección
z
y
Cálculo de las reacciones:
∑F
Diagrama de esfuerzos:
0− x−6
x
=0
RA = 1100 kN
N = −1100 kN
x
1100 kN
x
1100
-
6m
z
N
y
RA
Dimensionamiento a resitencia:
Sección más solicitada: todas igual
N * ≤ N pl , d = A. f yd
→ 0− x−6
→ 1100.103.1, 5 ≤ A. 275
→ tablas : 200 /120 /12,5
200 /120 /12, 5
1,1
N = −1100 kN = cte
→
A ≥ 66.10 2 mm 2
Comprobación a pandeo:
a) Pandeo teórico: Fórmula de Euler
π 2 .E.I min
Carga crítica de Euler: N cr =
L2k
Comprobación a pandeo: N* < N cr
1er . tan teo : perfil
I z = 3099 cm
4
siendo: N* = N .γ = 1100.103.1,5 = 1650000 N
200 /120 /12,5 :
I y = 1397 cm = I min → N cr =
4
π 2 .E.I min
L2k
=
π 2 .2,1.105.1397.104
(1.6000) 2
= 803475 N
N * = 1650000 < N cr = 803475 → No cumple
2o. tan teo : perfil
I z = 3979 cm 4
200 /160 /12,5 :
I y = 2820 cm 4 = I min → N cr =
π 2 .E.I min
L2k
=
π 2 .2,1.105.2820.104
(1.6000) 2
= 1624000 N
N * = 1650000 < N cr = 1624000 → No cumple
3er . tan teo : perfil
I z = 4109 cm 4
220 /180 / 8 :
I y = 3020 cm 4 = I min → N cr =
π 2 .E.I min
L2k
=
π 2 .2,1.105.3020.104
(1.6000) 2
= 1739000 N
N * = 1650000 < N cr = 1739000 → Si cumple
220 /180 / 8
b) Pandeo práctico: Método de la Normativa española DBE-SE-A
Comprobación a pandeo : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd
1er tan teo : 220 /180 / 8 →
N crz =
N cry =
π 2 .E .I z
L2k
π 2 .E .I y
L2k
=
=
siendo : N * = N .γ = 110.103.1,5 = 1165000 N
A = 59, 2 cm 2 ; I z = 4109 cm 4 ; I y = 3020 cm4
π 2 .2,1.105.4109.104
(1.6000) 2
π 2 .2,1.105.3020.104
(1.6000) 2
= 2366000 N
λz =
A. f y
= 1739000 N
λy =
A. f y
N crz
N cry
=
59, 2.102.275
= 0,83
2366000
=
59, 2.102.275
= 0,968
1739000
λ z = 0,83 → curva a de pandeo → χ = 0, 78
λ y = 0,968 → curva a de pandeo → χ = 0, 69
nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 69
N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 69.59, 2.102.
275
= 1021200 N → No cumple
1,1
2º tan teo : 250 / 200 /10 →
N crz =
N cry =
π 2 .E .I z
L2k
π 2 .E .I y
L2k
=
=
A = 82, 6 cm 2 ; I z = 7266 cm 4 ; I y = 5154 cm 4
π 2 .2,1.105.7266.104
(1.6000)2
π 2 .2,1.105.5154.104
(1.6000) 2
= 4183000 N
λz =
A. f y
= 2967000 N
λy =
A. f y
N crz
N cry
=
82, 6.102.275
= 0, 737
4183000
=
82,6.102.275
= 0,875
2967000
λ z = 0, 737 → curva a de pandeo → χ = 0, 781
λ y = 0,875 → curva a de pandeo → χ = 0, 747
nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 747
275
N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 747.82, 6.102.
= 1543000 N → No cumple
1,1
3er tan teo : 250 / 200 /12 →
N crz =
N cry =
π 2 .E .I z
L2k
π 2 .E.I y
L2k
=
=
A = 96,1cm2 ; I z = 8159 cm4 ; I y = 5792 cm4
π 2 .2,1.105.8159.104
(1.6000)2
π 2 .2,1.105.5792.104
(1.6000) 2
= 4697000 N
λz =
A. f y
= 3335000 N
λy =
A. f y
N crz
N cry
=
96,1.102.275
= 0, 75
4697000
=
96,1.102.275
= 0,89
3335000
λ z = 0, 75 → curva a de pandeo → χ = 0,825
λ y = 0,89 → curva a de pandeo → χ = 0, 737
nos quedamos naturalmente con el valor menor de los 2 : χ = 0, 737
275
= 1771000 N → Si cumple
N * = 1165000 N ≤ χ . A. f yd = 0, 74.96,1.102.
1,1
250 / 200 /12
resultados finales :
dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5
dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 220 /180 / 8
dim ensionamiento a pandeo por la formula de la Normativa española : 250 / 200 /12
3.-Repitiendo el procedimiento para una longitud del pilar de 8 m:
resultados finales :
dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5
dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 300 / 200 /10
dim ensionamiento a pandeo por la formula de la Normativa española : 300 / 220 /12
10.3- En la estructura de la figura se pide el dimensionamiento a resistencia de las
secciones de la viga( utilizando un criterio plástico) y del pilar y la comprobación de éste a
pandeo, en los dos casos siguientes:
Datos: fy = 275 N/mm2, E = 2,1.105 N/mm2 , γ = 1,5, γM = 1,1
a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta)
b) El pilar se acorta
Perfil viga: IPE, perfil pilar: HEB
El pilar se considera debidamente arriostrado en el plano perpendicular al de la figura.
50 kN/m
B
6m
A
5m
C
Cálculo de las reacciones en los apoyos. Ecuaciones de equilibrio:
RA
MA
A
50
B
6
∑F =0
∑M = 0
A
RA + RC = 50.6 (1)
RC .6 + M A = 50.6.3 (2)
es una estructura hiperestática
↓
tiene una ligadura de más
↓
se buscará una ecuación de deformación
5
C
RC
Estructura isostática equivalente: se quita el apoyo en C y se pone la condición:
Ecuación que se desarrollará aplicando el Teorema de ls Trabajos Virtuales
RA
MA
yC = 0 (3)
50
A
B
6
AB : M z = R A .x − M A − 50.x.
V y = R A − 50. x
5
BC : N = − RC
C
RC
x
2
R´A
M´A
Cálculo de las reacciones. Ecuaciones de
equilibrio
50
∑F =0
∑M = 0
B
6
A
A
5
R´A = 1 kN
M ´A = 1.6 = 6 kN .m
AB : M ´z = −1. x + 6
V ´ y = −1
BC : N ´= −1
C
1 Kg
Teorema de los Trabajos Virtuales:
L
∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫
0
L
M .M ´z .dx
N .N ´ .dx
+∫ z
E. A
E.I z
0
( se desprecia efectosV y )
a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta)
al considerarse el pilar de rigidez axil infinita ( no se acorta) → el trabajo interno debido a las Rx
será cero, es decir se cumplirá:
L
N .N ´ .dx
∫0 E. A = 0
siendo:
Fi = 1 kN
δ ´i = yC = 0
Ri = ( R´A = 1 kN
6
∫ (−1.x + 6).( R .x − M
A
1.0 + 0 =
0
A
y
M ´A = 6 kN .m)
∆´i = 0
y sustituyendo :
x
− 50.x. ).dx
2
E .I z
operando : 36.RA − 18.M A − 2700 = 0 (3)
y resolviendo (1), (2), (3) : RA = 187,5 kN . M A = 225 kN .m RC = 112,5 kN
Diagrama de esfuerzos:
225
Mz
N
Vy
112,5
A
+
B
A
112,5
B 0
-
126,5
3,75 m 6
C
C
A
+
B
18,75
3,75 m
C
AB : M z = 187,5.x − 225 − 50.x.
x
2
V y = 187,5 − 50.x
x = 0 → M z = −225
N =0
x = 0 → V y = 187,5
x = 6 → Mz = 0
x = 6 → Vy = −112,5
x = 3, 75 → M z = 126,56
Vy = 0 → x = 3, 75
BC : M z = 0
Vy = 0
N = −112,5
Dimensionamiento sección viga AB a resistencia con criterio plástico:
sección más solicitada:
x=0
→ M z = −225 kN .m., Vy = 187,5 kN
Comprobación a flexión :
M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd
M z* = M z .γ = 225.106.1,5 = 337,5.106 N .mm
337,5.106 ≤ Wzpl . 275
→ tablas → IPE − 450
1,1
Comprobación a cortadura :
Vy* ≤ Vypl ,d = Av .
f yd
Vy* = Vy .γ = 187,5.103.1,5 = 281250 N
3
Av = area alma = h.tw = 450.9, 4 = 4230 mm 2
275
1,1
281250 ≤ 4230.
= 610547,9 N → sí cumple
3
1
además se c umple que : Vy* ≤ .Vypl → no se necesita combinar flectores con cor tan tes
2
viga AB : IPE − 450
Dimensionamiento sección pilar BC a resistencia:
sección más solicitada: todas igual:
N * ≤ N pl ,d = A. f yd
168750 ≤ A. 275
1,1
N = −112,5 kN
N * = N .γ = 112, 5.103.1,5 = 168750 N
→ A ≥ 675 mm 2 → tablas → HEB − 100
Comprobación pilar BC a pandeo:
N * ≤ N b ,d = χ . A. f yd
N * = N .γ = 112, 5.103.1,5 = 168750
A( HEB − 100) = 2600 mm 2
π 2 .E .I z
N cz =
L2k
A. f yd
λ=
N cz
=
I z ( HEB − 100) = 449,5.104 mm 4
π 2 .2,1.105.449,5.104
(1.5000 )
2
= 372278,8 N
2600. 275
1,1
=
= 1,386 → curva b de pandeo → χ = 0,39
372278,8
fórmula :168750 ≤ 0, 39.2600. 275
1,1
= 253500 N → sí cumple
pilar BC : HEB − 100
b) Se considera que el pilar se acorta
al considerar que el pilar no se acorta → el trabajo interno debido a las Rx ya no será cero y
habrá que tomarle en cuenta, es decir se cumplirá:
Teorema de los Trabajos Virtuales:
L
L
M .M ´ .dx
N .N ´.dx
∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫ E. A + ∫ z E.I z
z
0
0
( se desprecia efectosV y )
siendo:
δ ´i = yC = 0
Fi = 1 Kg
Ri = ( R´A = 1 kN
6
y
M ´A = 6 kN .m)
∆´i = 0
y sustituyendo :
5
x
∫0 (−1.x + 6).( RA .x − M A − 50.x. 2 ).dx ∫0 (−1).(− RC ).dx
1.0 + 0 =
+
E .I z
E. A
primer tan teo : viga → IPE − 450 ( I z = 33740 cm 4 ), pilar → HEB − 100 ( A = 26 cm 2 )
operando : 936.RA − 468.M A − 70200 + 16,87.RC = 0 (3)
y resolviendo (1), (2), (3) : RA = 188,5 kN . M A = 231, 03 kN .m RC = 111,5 kN
Los diagramas de esfuerzos serían ahora:
231,0
3
A
Mz
N
111,5
+
B
A
111,5
B 0
-
124,2
3,77 m 9
C
C
A
+
B
188,5
C
Comprobación sección viga AB (IPE-450) a resistencia:
sección más solicitada:
x=0
→ M z = −231, 03 kN .m., Vy = 188,5 kN
Comprobación a flexión :
M z* = M z .γ = 231, 03.106.1,5 = 346,545.106 N .mm
M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd
346,545.106 ≤ Wzpl . 275
= 1702.103. 275 = 425,5.106 → sí cumple
1,1
1,1
Comprobación a cortadura :
f
Vy* ≤ Vypl ,d = Av . yd
Vy* = Vy .γ = 188,5.103.1,5 = 282, 75.103 N
3
Av = area alma = h.tw = 450.9, 4 = 4230 mm 2
275
1,1
282, 75.10 ≤ 4230.
= 610,547.103 N → sí cumple
3
1
además se c umple que : Vy* ≤ .Vypl → no se necesita combinar flectores con cor tan tes
2
3
viga AB : IPE − 450
Comprobación pilar BC (HEB-100) a resistencia y a pandeo:
Dado que el pilar va a trabajar ahora, en el apartado b) con N = 111,5 kN < que la N = 112,5 kN
con los que trabajaba en el apartado a), no será necesario su comprobación. Así pues:
pilar BC : HEB − 100
10.4.-Un pilar de 4 m de longitud articulado en ambos extremos y de sección tubular
cuadrada: 100/10 está sometido a una carga de compresión centrada. Se pide calcular la
máxima carga que podrá soportar y la tensión correspondiente
a) Utilizando la fórmula del pandeo teórico de Euler
b) Utilizando la fórmula práctica de la Normativa Española DB-SE-A
Datos: fy = 275 N/mm2 , E = 2.1.105 N/mm2 , γM = 1,1
Datos sec ción tubular cuadrada : A = 32, 6 cm 2 , I z = I y = 411 cm 4 , iz = i y = 3,55 cm
a ) Pandeo teórico : Fórmula de Euler : N * ≤ N cr
N cr =
π 2 .E .I
=
L2k
π 2 .2,1.105.411.104
(1.4000)2
= 531863,8 N
N
531863,8
= 163 N / mm 2
σ cr = cr =
2
A
32, 6.10
siendo : λ =
π 2 .E π 2 .2,1.105
= 163 N / mm2
o bien : σ cr = 2 =
2
112, 676
λ
Lk β .L 1.400
=
=
= 112, 676
i
i
3,55
con lo cual : N * ≤ N cr
→ N * ≤ 531863,8 N
(λlim =
π 2 .E
fy
=
o bien : σ * ≤ σ cr
π 2 .2,1.105
275
= 86,8)
→ σ * ≤ 163 N / mm 2
b) Pandeo práctico : Fórmula dela Normativa Española DB − SE − A : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd
Cálculo del coeficiente de pandeo χ :
N cr =
λ=
π 2 .E .I
=
L2k
A. f y
Nr
=
π 2 .2,1.105.411.104
(1.4000)2
32, 6.102.275
= 1, 298 ≃ 1,3 → curva a de pandeo → χ = 0, 47
531863,8
con lo cual : N * ≤ N b , Rd = χ . A. f yd
o bien : σ * =
= 531863,8 N
→ N * ≤ 0, 47.32, 6.10 2.
275
= 383050 N
1,1
N * 383050
≤
= 117,5 N / mm2
A 32, 6.102
Con los resultados obtenidos comprobamos cómo el cálculo a través de la normativa es más
restrictivo que el teórico de Euler, tal y como nos dice la teoría (ver tema 10, sección 10.3.1)
σ
fy=275
163
117,5
λlim=86,8
λ=112,676
λ