ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Examen de TERMODINÁMICA I Troncal - 4,5 créditos Curso 1998-99 1 de febrero de 1999 Nombre......................................................................................................... NOTA Contestar TODAS las preguntas. Tienen el mismo valor. Tiempo máximo: 1 hora. Sea conciso. Teoría 1 (10 puntos) Qué se entiende por proceso politrópico. Demostrar cómo –en determinados casos– la ecuación de la línea de estados de un proceso politrópico es Pv n = cte. Indicar las suposiciones necesarias para esta demostración. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Teoría 2 (10 puntos) Partiendo de δw a = − vdP , deducir una expresión para el trabajo obtenido por unidad de masa que circula por una turbina, en la que un gas ideal experimenta una expansión politrópica reversible en flujo estacionario, en función de las temperaturas de entrada y salida T1 y T2. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Teoría 3 (10 puntos) Deducir la relación Tds a partir de la combinación del primer y segundo principio de la Termodinámica. Demostrar que el cambio de entropía de m kg de un fluido cualquiera de calor específico cp que se calienta a presión constante entre las temperaturas T1 y T2 viene dado por S 2 − S1 = mc p ln T2 T1 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Examen de TERMODINÁMICA I Troncal - 4,5 créditos Curso 1998-99 1 de febrero de 1999 Tiempo máximo: 2 horas 30 minutos Contestar cada problema en hojas diferentes. Problema 1 (35 puntos) Una vasija rígida y aislada, de 0,88 m3 de volumen, tiene instalado un calentador eléctrico de 7 kW de potencia. La vasija contiene 10 kg de amoniaco. Inicialmente, 3,22 kg de amoniaco se encuentran en estado de vapor saturado y en equilibrio térmico con el resto, que es líquido saturado. La presión en el interior de la vasija es de 5 bar. (a) Suponiendo que la potencia térmica del calentador se comunica íntegramente y a velocidad constante al amoniaco, determinar el tiempo que transcurrirá entre el encendido del calentador y que el amoniaco alcance el estado de vapor sobrecalentado. (b) Determinar la variación de entropía del contenido de la vasija durante el proceso. Solución desarrollada: El proceso se representa en el diagrama P-v; P x2 = 1 2 P1 = 5 bar 1 x1 = 0,322 f g v Los estados termodinámicos se determinan a partir de las tablas del NH3 (en negrita las dos variables que definen cada estado); el estado 1, con el título y la presión; el 2, conociendo el volumen y que es vapor saturado seco. P [kPa] T [°C] v [m3/kg] h [kJ/kg] s [kJ/kgK] 1 500,0 4,14 0,08167 402,47 2,229 0,322 2 1583,0 0,08167 1470,30 4,859 1 f 500,0 4,14 0,00158 199,60 0,781 0 g 500,0 4,14 0,25030 1446,40 5,278 1 Est. x (a) Tiempo de calentamiento: El estado final es vapor saturado seco (a mayores temperaturas, vapor sobrecalentado). El proceso es isocoro. Aplicando (P1) al fluido: Q - W = ∆U = (H2 - H1) - V(P2 - P1) = m(h2-h1) - V(P2-P1) ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra = 10(1470,3-402,47) - 0,88(1583,0-500,0) = 9725,3 kJ Como W = 0 (rígido) y la velocidad de transferencia de calor son 7 kW = 7 kJ/s, el tiempo será t = 9725,3/7 = 1389 s = 23 min 9 s (b) Variación de entropía: A partir de los datos de la tabla, ∆S = m(s2-s1) = 10(4,859 - 2,229) = 26,30 kJ/K ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Problema 2 (35 puntos) Una turbina adiabática reversible T se alimenta del aire contenido en un depósito cilíndrico A también adiabático, con tapa flotante, de 40 cm de diámetro y 20 m de altura inicial. La tapa del pistón tiene una masa total de 11 000 kg. Por su parte superior, el cilindro está abierto a la atmósfera. Inicialmente el aire está a la temperatura ambiente de 20 °C (estado 1). El gas de escape de la turbina T se vierte directamente a la atmósfera hasta que se vacía el depósito A; sin embargo, a efectos de cálculo, esto es equivalente a si se vertiera a un depósito B imaginario de paredes diatérmicas, cubierto por un pistón de peso nulo. El gas de escape de la turbina (estado 2) sale de ésta a una temperatura distinta de la del ambiente, y dentro del depósito B, poco a poco alcanza el equilibrio térmico con el ambiente, llegando al estado 3. B A T Se pide: (a) Demostrar que el trabajo total obtenido en el eje de la turbina viene dado por Wa = m(h1 − h2 ) [J] siendo m la masa total de aire contenida inicialmente en el depósito A. (Nota: este sistema no opera necesariamente en régimen estacionario). (b) Calcular la presión inicial del depósito A, P1 [kPa]. (c) Calcular la temperatura de salida del aire de la turbina T, T2 [°C]. (d) Calcular el volumen total ocupado finalmente por el aire en el depósito B, una vez alcanzado el equilibrio con el ambiente, V3 [m3]. (e) Calcular el trabajo total obtenido en el eje de la turbina, Wa [W·h]. Datos: Suponer el aire gas ideal con cp = 1,1 kJ/kg K, M = 29 kg/kmol. La presión atmosférica es P0 = 101,3 kPa. g = 9,81 m/s2. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Solución desarrollada (a) Trabajo obtenido en la turbina: Sistema: el gas (sistema cerrado). Aplicando el (P1): Q - W = ∆U + ∆EP + ∆EC Q = 0 (adiabático) El trabajo se calcula con las fuerzas exteriores, que actúan en el eje de la turbina (Wa), y los dos depósitos (WA y WB): W = Wa + WA + WB = Wa + PA(0-VA) + PB(VB-0) = Wa - P1V1 + P2V2 ∆U = UB - UA = U2 - U1 ∆EP = ∆EC = 0 (despreciables) Por tanto, -Wa + P1V1 - P2V2 = U2 - U1 Wa = (U1 - P1V1) - (U2 - P2V2) = H2 - H1 = m(h1 - h2) c.q.d. (b) Presión inicial en A [kPa]: P1 = P0 + mg/A = 101 300 + (11 000)(9,81)/[(π/4)(0,40)2] [kPa] = 960 000 Pa = 960,0 kPa (c) Temperatura de salida de la turbina [°C]: Por ser una expansión adiabática reversible, la ecuación de la línea de estados es P1V1k = P2V2k, de donde se deduce T2/T1 = (P2/P1)(k-1)/k. El valor del exponente adiabático k se deduce de k = cp/cv = cp/(cp-R) = 1,1/(1,1 8,314/29) = 1,352 Luego la temperatura pedida es T2 = (293) (101,3/960,0)0,352/1,352 = 163 K = -110 °C También se puede deducir sabiendo que la expansión es isoentrópica (dS=0), por ser adiabática (δQ=0) y reversible (δσ=0). Por ser gas ideal, TdS + VdP = dH ⇒ dS = dH/T - VdP/T = cp dT/T - R dP/P = 0 0 = cp ln(T2/T1) - R ln(P2/P1) ⇒ T2 = T1 (P2/P1)R/cp (c) Volumen final del aire [m3]: Por ser gas ideal, V3 = NRT3/P3 N = P1V1/RT1 = (101,3) [(π/4)(0,40)2(20)] / [(8,314)(293)] = 0,990 kmol V3 = (0,990)(8,314)(293)/101,3 = 23,818 m3 (d) Trabajo total en turbina [W·h]: Del apartado (a), sabiendo que es gas ideal, Wa = m(h1 - h2) = mcp (T1 - T2) = (0,990)(29)(1,1)[20-(-110)] = 4106,9 [kJ]·(1[kW]/1[kJ/s])·(1[h]/3600[s]) = 1,14 kW·h