18/04/2009 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁREA DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA APLICADA (746)
PRIMERA PARCIAL
Fecha: 18/ 04 /2009
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1, 2, 3, y 4.
OBJ. 1
PTA 1 En un dı́a dado, el precio promedio por acción es de 59, 05 para 42 acciones seleccionadas al azar
en la bolsa de Nueva York (y la desviación estándar es de 7, 92 dólares), en tanto que es de 70, 08 para 32
acciones en la bolsa Americana (y la desviación estándar para esa muestra es de 25, 39 dólares). Construya
un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los precios medidos por acción.
Solución :
El intervalo de confianza esta dado por la ecuación:

s
x1 − x2 ± Zα/2

σ21
n1
+
σ22 
n2
donde α = 1 − 0, 90 = 0, 1, al sustituir
Ã
!
r
r
(7, 92)2
(7, 92)2
(25, 39)2
(25, 39)2
(59, 05 − 70, 08) − Z0,05
+
< µ1 − µ2 < (59, 05 − 70, 08) + Z0,05
+
42
32
42
32
³
´
p
p
(−11, 03) − (1, 64) 4, 6518 < µ1 − µ2 < (−11, 03) + (1, 64) 4, 6518
(−18, 66 < µ1 − µ2 < −3, 40)
Estamos 90% seguros de que el precio promedio por acción es mucho menor en la bolsa de Nueva York.
¤
OBJ. 2
PTA 2 Una comunidad urbana quiere demostrar que la incidencia de cáncer de seno es mayor en ella que
en área rural vecina. Si se encuentra que 20 de 200 mujeres adultas en la comunidad urbana tienen cáncer
de seno y 10 de 150 mujeres adultas en la comunidad rural tiene cáncer de seno, ¿podrı́amos concluir con
un nivel de significancia de 0, 05 que este tipo de cáncer prevalece más en la comunidad urbana?
Solución :
Sean pu y pr las proporciones reales de incidencia de cáncer de seno en la comunidad urbana y la rural,
respectivamente. La prueba de hipótesis correspondiente es
H0 :
Ha :
pu = pr
pu > pr
Con nivel de significancia 0, 05 la región de rechazo para la prueba viene dada por
z > z0,05 = 1, 645.
1
Sean pbu y pbr las proporciones estimada de incidencia de cáncer de seno en la comunidad urbana y la rural, y
pb la proporción combinada estimada de estas proporciones.
20
xu
=
= 0, 1000
nu
200
xr
10
=
= 0, 0667
nr
150
pbu
=
pbr
=
pb =
xu + xr
30
=
= 0, 0857
nu + nr
350
Entonces,
z
=
=
=
pbu − pbr
³
pb (1 − pb) n1u +
r
1
nr
´
0, 1000 − 0, 0667
p
0, 0857 · 0, 9143 · (0, 0050 + 0, 0067)
0, 0333
= 1, 099.
0, 0303
Como z = 1, 099 no tenemos evidencia suficiente para concluir que el cáncer de seno es más frecuente en las
comunidades urbanas.
¤
OBJ. 3
PTA 3 El gerente de una compañı́a desea saber si el tiempo de entrega de materias primas es más largo
en una compañı́a de transportes A que en otra B. Se tomaron muestras aleatorias de nA = 50 y nB = 30
remesas de entre las miles de recibidas por mes, el nivel de significancia desea es de 0, 10. Las muestras
indican tiempos medios de entrega de X̄A = 14 y X̄B = 12 dı́as, con desviación estándar maestrales de
SA = 1 dı́a y SB = 0, 4 de dı́a. Construya la respectiva prueba.
Solución :
Debemos aplicar una prueba de una cola,
H0
H1
:
:
µA ≥ µB
µA < µB
Para α = 0, 10 el valor obtenido en la tabla es de 1, 29 entonces rechazar la hipótesis H0 si Z < −1, 29.
s
2
SA
S2
SxA −xB =
+ B
nA
nB
r
(0, 4)2
(1)2
+
= 0, 159164485
=
50
30
xA − xB
Z =
SxA −xB
14 − 12
= 12, 56561725
=
0, 159164485
como 12, 5656 > −1, 29 no se puede rechazar H0 . No existe evidencia de que el tiempo de entrega sea mayor
para la compañı́a de transporte A que la B.
¤
2
OBJ. 4
PTA 4 Una agencia de publicidad solicita que una muestra aleatoria de 500 personas pruebe cinco marcas
de café y registre la preferida. Desea probar, con nivel de significancia del 10%, si las preferencias de
quienes toman café en general están uniformemente distribuidas entre las marcas. Construya la prueba
correspondiente, con los siguientes resultados obtenidos:
Marca Preferida
A
B
C
D
E
Frecuencia Observada
91
109
85
100
115
Solución :
Con la información de la tabla se obtiene:
Marca Preferida
A
B
C
D
E
Frecuencia Observada (fo )
91
109
85
100
115
Frecuencia Esperada (fe )
100
100
100
100
100
(fo − fe )2
−9
9
−15
0
15
Total
500
500
0
(fo −fe )2
fe
0, 89
0, 74
2, 65
0
1, 96
χ2 =
P (fo −fe )2
fe
= 6, 24
La Formulación de hipótesis es la siguiente:
H0 : Las preferencias de quienes toman café están uniformemente distribuidas entre las 5 marcas.
H1 : Las preferencias de quienes toman café no están uniformemente distribuidas entre las 5 marcas.
Para α = 0, 10 el valor obtenido en la tabla es de χ20,10;4 = 7, 779 entonces rechazar la hipótesis H0 si χ2 > 7, 779.
Como 6, 24 < 7, 779 no se rechaza H0 , por lo tanto no existe evidencia de que las preferencias estén uniformemente distribuidas.
¤
3