1 Mezclas. E: Un tanque de 100 gal se llena inicialmente con 40

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Mezclas.
E: Un tanque de 100 gal se llena inicialmente con 40% de solución colorante. Una solución colorante al 20% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. La mezcla sale del tanque a la
misma tasa y pasa a otro tanque de 100 gal que se había llenado inicialmente con agua pura.
La mezcla resultante sale del segundo tanque a una tasa de 5 gal/min. Obtener una expresión
para la cantidad de colorante en el segundo tanque. ¿Cuál es la concentración de colorante en
el segundo tanque después de 30 min?
D: H Sean A el primer tanque y B el segundo tanque, y sean A.t/ y B.t/ las cantidades de colorante, en dichos tanques, respectivamente, al tiempo t en minutos. Primero analizamos lo que
ocurre en el tanque A y luego en el tanque B. Notemos para empezar que A.0/ D 40 galones.
Además:
La rapidez con que entra solución al tanque A:
Re D 5 gal/min.
La concentración de colorante en la solución que
entra:
Ce D 0:20.
La rapidez con que entra colorante al tanque A:
Re Ce D 5.0:2/ gal/min.
La rapidez a la que se sale solución del tanque
A:
Rs D 5 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque A es constante:
V D 100 gal.
La concentración de colorante en la solución que
sale:
Cs .t/ D
A.t/
:
100
A.t/
gal/min.
100
La rapidez de cambio A 0 de la cantidad de colorante en el tanque, en cualquier instante t 0
es
A.t/
1
d
A.t/ D Re Ce Rs Cs .t/ D 5.0:2/ 5
D1
A.t/:
dt
100
20
La cantidad A.t/ está dada por la solución del PVI:
La rapidez a la que sale colorante del tanque A:
A 0 .t/ C
Rs Cs .t/ D 5
1
A.t/ D 1; con A.0/ D 40:
20
t
Resolvamos la ED lineal con factor integrante e 20 . Por lo tanto,
t
t
t
t
1
d
0
e 20 ŒA .t/ C A.t/ D e 20 )
e 20 A.t/ D e 20 )
20
dt
Z t
t
t
) e 20 A.t/ D e 20 dt D 20e 20 C C ) A.t/ D 20 C C e
t
20 :
Ahora usando la condición inicial encontramos la solución del PVI:
0
A.0/ D 40 ) 20 C C e D 40 ) C D 20 ) A.t/ D 20 C 20e
9. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
t
20
D 20 1 C e
t
20
:
2
A.t/
es la con100
centración instantánea de colorante en el mismo tanque que es a la vez la concentración de
colorante en la solución que entra al tanque B.
Aquí A.t/ es la cantidad instantánea de colorante en el tanque A, mientras que
Analicemos ahora lo que ocurre en el tanque B. Como éste contiene inicialmente agua pura,
entonces B.0/ D 0 gal. Además:
b
Re D 5 gal/min.
t
1
b
20
Ce D
1Ce
.
5
La rapidez con que entra la solución al tanque B:
La concentración de colorante en la solución que entra a B:
t
20
La rapidez con que entra colorante al tanque B:
b
be D 1 C e
Re C
La rapidez a la que sale solución del tanque B:
b
Rs D 5 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque B es constante:
V D 100 gal.
b s D B.t/ .
C
100
La concentración de colorante en la solución que
sale de B:
gal/min.
b
b s D 5 B.t/ gal/min.
Rs C
100
La rapidez de cambio de la cantidad de colorante en el tanque B, en cualquier instante t 0 es
La rapidez a la que sale colorante del tanque B:
d
be C
be
B.t/ D R
dt
t
20 /
bs C
b s D .1 C e
R
5
B.t/
D 1Ce
100
t
20
1
B.t/:
20
La cantidad B.t/ está dada por la solución del PVI:
B 0 .t/ C
1
B.t/ D 1 C e
20
Resolvemos la ED lineal:
B 0 .t/ C
t
20 ;
con B.0/ D 0:
1
B.t/ D 1 C e
20
t
20 ;
t
con factor integrante e 20 . Por lo tanto:
t
t
1
0
20
e
B .t/ C B.t/ D e 20 .1 C e
20
)
t
e 20 B.t/
t
20 /
D
) B.t/ D e
Z
t
20
t
t
d
20
)
e B.t/ D e 20 C 1 )
dt
t
t
.e 20 C 1/ dt D 20e 20 C t C C )
t
20e 20 C t C C :
Ahora, B.0/ D 0 ) e 0 .20e 0 C 0 C C D 0 ) 20 C C D 0 ) C D 20. Luego:
t
t
t
t
t
B.t/ D e 20 20e 20 C t 20 D 20 C te 20 20e 20 D 20 C .t 20/e 20
Por lo tanto, la cantidad de colorante en el tanque B, en el instante t 0, es
B.t/ D 20 C .t
20/e
t
20
gal.
gal.
3
Después de 30 min la cantidad de colorante en el tanque B es
B.30/ D 20 C 10e
30
20
D 22:2313 ) B.30/ D 22:2313 gal
y la concentración de colorante en el tanque B es
Cs .30/ D
que representa el 22:2313%.
B.30/
22:2313
D
D 0:222313:
100
100