1 Mezclas. E: Un tanque de 100 gal contiene inicialmente agua pura

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Mezclas.
E: Un tanque de 100 gal contiene inicialmente agua pura. Una solución de colorante al 30% fluye
hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min y la mezcla resultante sale a la misma tasa. Después
de 15 min el proceso se detiene y se hace fluir agua pura al tanque a una tasa de 5 gal/min (la
mezcla sale a la misma tasa). Encuentre la cantidad de colorante en el tanque después de 30
min.
D: H Si X.t/ es la cantidad de colorante (en galones) en el tanque al cabo de t minutos, con
0 t 15, entonces X.0/ D 0. Además:
La rapidez con que entra solución al tanque:
Re D 5 gal/min.
La concentración de colorante en la solución que
entra:
Ce D 30% D 0:3
La rapidez con que entra colorante al tanque:
Re Ce D 5.0:3/ gal/min.
La rapidez a la que se sale solución del tanque:
Rs D 5 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque es constante:
V D 100 gal.
La concentración de colorante en la solución que
sale:
Cs .t/ D
X.t/
:
100
X.t/
gal/min.
100
La rapidez de cambio de la cantidad de colorante en el tanque, en cualquier instante 0 t 15
es
d
X.t/
1
X.t/ D Re Ce Rs Cs .t/ D 5.0:3/ 5
D 1:5
X.t/:
dt
100
20
La cantidad X.t/ está dada por la solución del PVI:
La rapidez a la que sale colorante del tanque:
X 0 .t/ C
Rs Cs .t/ D 5
1
X.t/ D 1:5; con X.0/ D 0:
20
t
Resolvemos la ED lineal con factor integrante: e 20 . Por lo tanto
t
t
1
1
0
0
20
X .t/ C X.t/ D 1:5 ) e
X .t/ C X.t/ D 1:5e 20 )
20
20
Z
t
t
t
t
d
)
e 20 X.t/ D 1:5e 20 ) e 20 X.t/ D 1:5 e 20 dt )
dt
t
t
t
) e 20 X.t/ D .1:5/.20/e 20 C C ) X.t/ D 30e 20 C C e
) X.t/ D 30 C C e
t
20 :
La anterior es la solución general de la ED. Ahora:
X.0/ D 0 ) 30 C C e 0 D 0 ) C D 30:
8. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
t
20
)
2
Luego es la solución al PVI:
X.t/ D 30
t
20
30e
D 30.1
e
t
20 /:
Al cabo de t D 15 minutos, la cantidad de colorante en el tanque es
X.15/ D 30.1
e
15
20 /
D 15:829 gal.
Ahora bien, a partir del minuto 15 se tiene lo siguiente:
Si y.t/ es la cantidad de colorante (en galones) en el tanque al cabo de t minutos, entonces
y.0/ D 15:829. Además:
La rapidez con que entra solución al tanque:
b
Re D 5 gal/min.
La concentración de colorante en la solución que
entra:
b e D 0:
C
La rapidez a la que entra colorante al tanque:
b
b e D 5.0/ D 0 gal/min.
Re C
La rapidez a la que sale solución del tanque:
b
Rs D 5 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque es constante:
V D 100 gal.
La concentración de colorante en la solución que
sale:
b s .t/ D y.t/ :
C
100
b
b s .t/ D 5 y.t/ gal/min.
Rs C
100
La rapidez de cambio de la cantidad de colorante en el tanque, en cualquer instante t 0,
medido a partir de los 15 primeros minutos, es
La rapidez a la que sale colorante del tanque:
d
be C
be
y.t/ D R
dt
b
b s .t/ D 0
Rs C
5
y.t/
D
100
1
y.t/:
20
La cantidad y.t/ está dada por la solución del PVI:
y 0 .t/ D
1
y.t/; con y.0/ D 15:829:
20
Resolvemos la ED:
0
y .t/ D
1
y 0 .t/
y.t/ )
D
20
y.t/
Z 0
Z
1
y .t/
1
)
dt D
dt )
20
y.t/
20
t
t
1
) ln y.t/ D
t C C ) y.t/ D e 20 CC D e 20 e C D C e
20
) y.t/ D C e
t
20
que es la solución general de esta ED. Ahora:
y.0/ D 15:829 ) C e 0 D 15:829 ) C D 15:829:
t
20
)
3
Luego:
y.t/ D 15:829e
t
20 :
La cantidad de colorante después de 30 min (15 min después del minuto 15) es
y.15/ D 15:829e
15
20
D 7:477 gal.