Ejercicio 1 2 3 4 5 6 Total Puntos

Ejercicio
Puntos
1
2
3
4
5
6
Total
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Economı́a
Examen de Matemáticas para la Economı́a 22/01/10
CADA APARTADO VALE 0,5 PUNTOS
APELLIDOS:
DNI:
NOMBRE:
Grupo:
Grado:
1. a) Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular
¯
¯ 1
a
b+c
3
¯
¯ 1
b
c+a
0
¯
¯
¯ 1
c
a+b
0
¯
¯ −2 −2a −2b − 2c a
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
b) Las matrices A y B son cuadradas de orden 3, invertibles y satisfacen
1
A2 B = B 2 A−1 .
2
Demostrar que |B| = 8|A|3 .
Solución:
a) Restando la primera fila a la segunda y a la tercera y sumándola multiplicada por 2 a la cuarta fila, se
obtiene
¯
¯
¯ 1
a
b+c
3 ¯¯
¯
¯
¯
¯ 0 b − a a − b −3 ¯
¯ b−a a−b ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = (a + 6) ¯
¯ = 0.
¯ 0 c − a a − c −3 ¯
¯ c−a a−c ¯
¯
¯
¯ 0
0
0
a+6 ¯
b) Tomando determinantes,
1
1
|A2 B| = | B 2 A−1 |, es decir, |A|2 |B| = |B|2 |A|−1 .
2
8
Teniendo en cuenta que |B| =
6 0 se obtiene el resultado.
2. Se considera el sistema lineal dependiente del parámetro a ∈ R:

x +y
= −1 


−2x −y −z =
0 
.

x
+z =
1 


3x +2y +az = −1
a) Discutir el sistema según el valor de a.
b) Resolver el sistema en el caso a = 1.
Solución:
a) Tras las transformaciones elementales f2 +(2×f1 ), f3 −f1 y f3 −(3×f1 ) se obtiene el sistema equivalente

x +y
= −1 


y −z = −2 
.
−y +z =
2 



−y +az =
2
Sobre este sistema, las operaciones elementales f3 + f2 y f4 + f2 permiten obtener el sistema triangular
equivalente

x +y
= −1 


y
−z = −2 
.
0 =
0 



(a − 1)z =
0
Luego el rango de la matriz A del sistema y el de la ampliada coinciden. Es 3 si a 6= 1, y 2 si a = 1.
Por tanto el sistema es:
-: compatible determinado, si a 6= 1;
-: compatible indeterminado si a = 1.
b) La solución se obtiene fácilmente a partir del sistema escalonado obtenido:
S = {(1 − z, −2 + z, z) : z ∈ R}.
3. Se considera la función
ln x2
.
x−1
a) Obtener razonadamente el dominio de f . ¿Es f una función par?
b) Estudiar la existencia de ası́ntotas para f .
f (x) =
Solución:
a) dom (f ) = R − {0, 1}. No es par, dado que f (x) 6= f (−x) =
b) Ası́ntota vertical en x = 0, no en x = 1, ya que
ln x2
−x−1 .
ln x2
= −∞
x→0 x − 1
lim
ln x2
0
2
= = lim
= 2,
±
±
0 x→1 x
x→1 x − 1
donde hemos aplicado la regla de L’Hospital. Tiene ası́ntota horizontal y = 0 en x = ±∞, ya que
lim
∞
2
ln x2
=
= lim
= 0.
x→±∞
x→±∞ x − 1
±∞
x
lim
4. Se considera la función



√
−x, si x < 0;
f (x) =
x, si 0 ≤ x < 1;


3 − 3x, si x ≥ 1.
a) Estudiar la continuidad de f .
b) Estudiar la derivabilidad de f .
Solución:
a) Continua en todo R excepto x = 1, pues los lı́mites laterales en x = 1 no coinciden.
b) No derivable ni en x = 0, pues f 0 (0− ) = −∞, ni en x = 1, pues no es continua.
√
f (0 + h) − f (0)
−h
1
lim
= lim
= − lim p
= −∞.
h
h
h→0−
h→0−
h→0−
|h|
x3
.
(x − 1)2
a) Hallar los extremos globales de f en el intervalo [2, 4].
b) Estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f en toda la recta real R.
5. Se considera la función f (x) =
Solución:
2 (x−3)
a) dom (f ) = R − {1}. La función es derivable en todo su dominio y su derivada es x(x−1)
3 . El único punto
crı́tico que pertence al intervalo [2, 4] es x = 3. Aplicando el Teorema de Weierstrass, los extremos
están entre los puntos 2, 3 y 4. Como
f (3) = 27/4 < 64/9(= f (4)) < 8 = f (2),
tenemos que 3 es mı́nimo global y 2 es máximo global.
b) La derivada es positiva en (−∞, 1) y en (3, ∞), y negativa en el complementario. Por tanto, f es
creciente en (−∞, 1) ∪ (3, ∞) y decreciente en (1, 3).
6. a) Representar el subconjunto del plano
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 4 ≤ y ≤ x − 2}.
b) Calcular el área del conjunto A.
Solución:
a) La recta y la parábola coinciden en los puntos de abcisa x = −1 y x = 2. El conjunto A es la región
por encima de la parábola y bajo la recta.
5
4
x2 −4
3
2
1
0
−1
−2
−3
x−2
−4
−5
−3
−2
−1
0
b)
Z
2
área(A) =
Z
2
(x − 2) − (x − 4) dx =
−1
1
2
3
µ 3
¶ ¯2
¯
9
x
x2
−x + x + 2 dx = − +
+ 2x ¯¯ = .
3
2
2
−1
2