PARTÍCULAS ALFA

PARTÍCULAS ALFA
La vida media de los elementos pesados
que emiten partículas alfa, varía sobre
20 órdenes de magnitud, desde 0.1
microsegundos hasta 10 billones de años.
Este
amplísimo
rango,
depende
fuertemente de la energía cinética
observada, que varía entre 4 y 9 Mev.
Esta dependencia sugiere un proceso
exponencial, el cual es modelado por el
EFECTO TÚNEL, a través de la barrera
de Coulomb....
62
MODELO DE GAMOW (EFECTO TÚNEL)
(1928)
En la figura se modela el
decaimiento de partículas α
provenientes del Polonio-212,
que son emitidas con 8.78 MeV,
y una vida media de 0.3
microsegundos. La barrera de
potencial de Coulomb que debe
enfrentar cada partícula es del
orden de 26 MeV, de modo que
no debería escapar. Dentro del
núcleo, la función de onda es la
de una partícula libre. Al salir del
núcleo, cuyo diámetro es del
orden de 10-14 m , penetra la
barrera con una probabilidad de
uno en 1038 !!
DETALLES DEL CÁLCULO
La altura máxima de la barrera, en el dibujo, se encuentra mediante la
expresión de Coulomb. La carga que queda en el núcleo se reduce en 2.
(La distancia entre las cargas se asume justo al tocarse las cargas)
Cuando el equilibrio entre las dos fuerzas de atracción y repulsión se rompe, hay
emisión de radioactividad.
La influencia nuclear (fuerza de corto alcance) se asume que se detiene cuando la
partícula α y el núcleo reducido justamente se tocan uno al otro.
El modelo establecido por Fermi establece
que el radio de un Núcleo es de la forma:
con
r = r0 A1 / 3
ro = 1.2 x 10-15 m = 1.2 fm
y en donde A = Z + N es el número de masa
atómica
63
La distancia de separación es:
Separación entre núcleos = 1.2 fm (41/3 + 2081/3) = 9.01 fm
(55)
Altura de la barrera = ENERGÍA POTENCIAL ENTRE LAS CARGAS,
A LA DISTANCIA r = 9.01 fm , con ZPo= 84
−19
1 2( Z Po − 2 )e 2
coul )2
9
2
2 2 x 82 x( 1.6 x10
= 9 x10 Nm / coul x
E=
4πε 0
r
9.01x10 −15 m
= 419.3 x10 −14 j = 41.9 x10 −15 x6.242 x1019 eV = 261.7 x10 4 eV = 26 MeV
(56)
La distancia a la cual el potencial se reduce al nivel de la energía (8.78 MeV)
observada en las partículas α, es:
8.78 MeV =
1 2( Z − 2 )e 2
4πε 0
r
r=
9 x10 9 Nm 2 / coul 2 x 2 x82 x 2.56 x10 −38 coul 2
8.78 MeV
r = 26.9 fm
anchura de la barrera es 26.9 – 9.01 = 17.9 fm
(57)
(58)
64
M
odelo m
atemático
Modelo
matemático
D
el ddecaimiento
ecaimiento
Del
∆N = − β N∆t
(59)
El cambio en el tiempo del número de partículas de una muestra, es proporcional al
producto del número inicial de partículas, por una constante llamada de “decaimiento”.
Esta constante es la “probabilidad por segundo” de que un núcleo decaiga
De aquí se llega a:
N = N 0 e − βt
(60)
La constante β está relacionada con la “vida media” del núcleo:
Para que N se reduzca a la mitad de No, se requiere:
N0
= N 0 e − βt / 2
2
Si T1/2 es conocido, la constante de decaimiento puede ser calculada:
β=
0.693
T1/2
(61)
Esta constante tiene dimensiones de 1/tiempo
El modelo de Gamow, establece que la partícula α se forma dentro del núcleo, y que
permanece confinada por la barrera de potencial. En una descripción clásica, si la
energía cinética de la partícula α es menor que la energía potencial representada por la
barrera, la partícula no puede dejar el núcleo. En una descripción cuántica, existe una
probabilidad finita de que la partícula deje el núcleo, mediante un “efecto túnel”. Este
tratamiento mecano-cuántico del decaimiento α, fue el primero que tuvo éxito en física
nuclear, y fue presentado en forma independiente por Gamow, y Condon-Gurney.
En este modelo, la constante de decaimiento β, está dada por:
 Vα 
P
 2R 
β =
(62)
en donde el término entre paréntesis se llama frecuencia de golpeo ó número de colisiones
de la partícula α contra las paredes del núcleo. Este número de “tunelajes posibles”
por unidad de tiempo, multiplicado por la Probabilidad de transmisión P, es
precisamente β, la constante de decaimiento.
65
La probabilidad de tunelaje está dada por (V>>E)
P=
T
2
A
2
4(V − E ) E
=
4(V − E ) E + V 2 senh 2
2mL2
h
2
(V − E )
(63)
Utilizando la energía medida para las partículas a (8.78 MeV), se puede calcular su
velocidad dentro del núcleo:
Vα = 2 x 107 m/seg
(64)
Utilizando ro = 1.2 x 10-15 m = 1.2 fm
Frecuencia de golpeo = 1.14 x 1021 / seg
(65)
Utilizando los valores numéricos dados en (56) y (58),
L = 17.9 fm
V = 26 MeV
E = 8.78 MeV:
P = 4 x 10-29
(66)
Y obtenemos finalmente:
β =1.14 x 1021 x 4 x 10-29 = 4.57 x 10-8/seg
Utilizando ahora (61):
T1 / 2 =
0.693
β
= 1.5 x107 / seg
El resultado experimental es 0.3 x 10-6 seg… Hay un error de 13 cifras ¡!!
66
Nuevo cálculo
En este nuevo cálculo se advierte que la barrera NO es de tipo cuadrado… De modo
que ahora se asume que el potencial que atraviesa la partícula α varía en la forma 1/r
Utilizando cinco segmentos de igual
anchura, y de altura igual al punto
medio de la curva V(r), donde r es la
separación de los centros entre ambas
partículas
Se debe calcular un coeficiente de transmisión para cada barrera cuadrada
Altura (MeV)
21.9
16.4
13.2
11.0
9.4
Producto
de
probablidades
Anchura
(fm)
3.58
3.58
3.58
3.58
3.58
Probabilidad de tunelaje P
1.20 x10
1.74 x 10^-4
1.43 x 10^-3
.98 x 10^-2
.85 x 10^-1
2.47 x 10-15
β = FRECUENCIA DE GOLPEO X PROBABILIDAD DE TUNELAJE
= 1.14 x 1021 x 2.47 x 10-15 = 2.82 x 106 / seg
T1/2 = 0.693/β = 0.693/(2.82x 10 6) = 0.248 x 10-6 seg
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