Cómo aprender significativamente el concepto de integral definida

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
53
3
Cómo aprender significativamente el concepto
de integral definida en tan sólo una clase
Bernardo Camou

Resumen
Hay conceptos que son claves en Matemática; lograr adquirirlos
es fundamental pero todos sabemos que no se adquieren de un día para
otro o dando tan sólo sus definiciones. Existe todo un proceso de conceptualización que Vergnaud ha denominado la formación de un campo
conceptual.
El concepto y la forma de calcular una integral definida es uno
de esos conceptos claves, tanto por las ideas implicadas en su definición
como por las múltiples aplicaciones que tiene al interior de la Matemática o al exterior de ella.
Además de su trascendencia, hay un obstáculo epistemológico a
vencer: ¿Cómo puede la suma del área de infinitos rectángulos tener un
valor finito? Este trabajo constituye una pequeña pero contundente ingeniería didáctica para superar este obstáculo, es decir, para abordar el
concepto y el cálculo de la integral definida de una forma significativa
para el alumno. Esto es: partiendo de herramientas que el alumno bien
maneja, llegamos, en un breve lapso de tiempo y con métodos convincentes, a un primer concepto de la integral definida y a un procedimiento exacto para su cálculo.
Capítulo 3
54
Introducción
Lo que se va a relatar a continuación sucedió efectivamente el
pasado 6 de octubre de 2006 en un liceo público de Montevideo con
alumnos del último año del Bachillerato de 17 o 18 años, durante una
clase de 80 minutos.
Los alumnos tenían un buen manejo del concepto y de la técnica
de derivación y conocían el Teorema de Lagrange o teorema del valor
medio. El objetivo era poder introducir el concepto de integral y obtener
la fórmula de Barrow rápida y significativamente para que los alumnos
captaran desde el comienzo, la importancia conceptual y la utilidad del
cálculo integral.
Ningún concepto se aprende en Matemática de una sola vez y para siempre; existe todo un proceso de aprehensión por parte del sujeto. La
Matemática es la ciencia de los resultados exactos; esto no debe llevar sin
embargo a olvidarse o mirar con desdén las aproximaciones ya que las
más de las veces, son el camino que nos hacen posible llegar a lo exacto;
son también quienes nos posibilitan comprobar resultados y cuando no
podemos obtener un resultado exacto, es lo único que tenemos.
Comienzo de la clase
Empezamos diciendo que la transformación inversa de la derivación es la integración.
Así si:
f ( x) = x 2 ⇒ f ′( x) = 2 x ⇒ ∫ 2 xdx = x 2
Quiere decir entonces que, si derivamos e integramos sucesivamente una función, obtenemos la función inicial.
De manera similar, si:
g ( x) = ln( x) ⇒ g ′( x) =
1
1
⇒ ∫ dx = ln( x) (fórmula Nº 1)
x
x
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
El símbolo
∫
55
es una “s” estirada, y dx se le llama “diferencial
x” y que veremos más adelante su significado.
Vemos como conceptualmente hallar una primitiva o la integral
indefinida de una función es sencillo, puesto que es el proceso inverso al
de derivar.
Pero así como la multiplicación y la división son operaciones
inversas y, sin embargo, aprender a dividir es más complejo que aprender a multiplicar, sucede lo mismo con la derivación y la integración.
Si para poder derivar prácticamente cualquier función, basta tener una tabla con una veintena de fórmulas, integrar implica manejar
mayor cantidad de fórmulas y diversas técnicas dependiendo de qué
función se trate.
A continuación, les propongo hallar un par de primitivas:
2
∫ x dx =
3
∫ x dx =
Sabiendo que la derivada de la primitiva debe ser x2 o x3, según
el caso, pueden encontrar fácilmente la respuesta.
Ahora, generalizamos:
(n + 1)
x
⌠ n
x dx = n + 1
⌡
(Fórmula Nº 2)
El cálculo aproximado
Se da a los alumnos la siguiente función cuadrática:
f ( x) = − x 2 + 3x + 4
Se les pide que la grafiquen sobre papel cuadriculado –tratando
de ser lo más precisos posible– mediante una tabla de valores, y hallando las raíces y el vértice.
Capítulo 3
56
Figura Nº 1: Ejemplo de gráfica producida por los alumnos
Se pide a continuación que estimen el valor del área rayada.
Les aclaro que al valor exacto lo hallaremos un momento más
tarde usando la “integral”, y les digo que quien más se aproxime al valor
exacto tendrá excelente como nota de oral.
La motivación está garantizada; es una tarea relativamente sencilla y quien la hiciera mejor sería recompensado.
La unidad de medida es 1 cm2 que equivale a 4 cuadraditos, o
sea que la tarea se reduce a graficar bien, a contar cuadraditos y luego
dividir por 4.
Los alumnos comienzan a dar su resultados:
11,25;
10,5;
11,75;
12;
11,3
Varios resultados se repiten siendo el más repetido: 11,25.
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
57
¿Quién estuvo más cerca del resultado exacto? ¿Quién se llevaría la nota prometida? Crece la expectativa… ¿Cuál será el valor exacto
de dicha área?
Adaptemos el Teorema de Lagrange o del Valor Medio
Si a una función f(x) la derivamos obtenemos su derivada f ’(x).
Pero si a una función f(x) la integramos obtenemos una primitiva F(x).
En notación simbólica escribimos:
F ( x) → f ( x) → f ′( x)
Las flechas hacia la derecha, como en el esquema, indican el
sentido de la derivación y si las dibujáramos hacia la izquierda indicarían el sentido de la integración.
Así, F(x) es una primitiva de f(x) y f(x) es la derivada de F(x) y,
de la misma forma, f(x) es una primitiva de f ’(x) como f ’(x) es la derivada de f(x).
Teorema de Lagrange
Hipótesis: f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Tesis: ∃c ∈ (a, b) / f ′(c) =
f (b) − f (a)
b−a
Apliquemos este teorema para una función F(x) que cumpla las
hipótesis de ser continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:
∃c ∈ ( a, b) / f (c) =
F (b) − F (a)
b−a
Transponiendo, la expresión anterior equivale a:
∃c ∈ (a, b) / f (c)(b − a) = F (b) − F (a)
Hicimos tan sólo un cambio de notación para el Teorema de Lagrange.
Capítulo 3
58
Deducción de la Fórmula de Barrow para calcular la integral definida
y
a x1 x2
xn-1 b
x
Figura Nº 2: Integral definida
Queremos calcular el área de la figura limitada por la curva de
ecuación f(x), el eje x y las rectas de ecuación x = a y x = b.
Comenzamos dividiendo el intervalo [a, b] en “n” intervalos
iguales:
[a, x1], [x1, x2], [x2, x3],…, [xn – 2, xn – 1] y [xn – 1, b].
La función f(x) es continua y derivable en cada uno de dichos
intervalos por lo que podemos aplicar el Teorema de Lagrange en cada
uno de ellos.
x1 – a = x2 – x1 = x3 – x2 = … = xn – 1 – x n – 2 = b – xn – 1
Por construcción y para simplificar, a cada uno de estos intervalos los llamaremos ∆x .
Aplicando Lagrange, y sumamos miembro a miembro, tenemos:
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
59
f(c1) . ∆x = F(x1) − F(a)
f(c2) . ∆x = F(x2) − F(x1)
f(c3) . ∆x = F(x3) − F(x2)
.
.
.
f(cn – 1) . ∆x = F(xn-1) − F(xn – 2)
f(cn) . ∆x = F(b) − F(xn-1)
∑Σ f(ci) . ∆x = F(b) − F(a) (ya que se simplifican los F(xi))
f(ci) . ∆x es el área de un rectangulito de base ∆x y altura f(ci).
Podemos ver 5 rectangulitos de este tipo en la Figura Nº 2. O sea que
∑ f (ci ).∆x es la suma del área de todos los rectangulitos, lo cual es una
aproximación del área que deseamos calcular.
A medida que aumentamos el número de rectangulitos, nos
aproximamos más al área buscada, la que obtendremos como el límite
de dicha expresión.
Efectuamos por lo tanto, el límite de ambas expresiones cuando
el número de intervalos tiende a infinito o lo que es lo mismo cuando
∆x → 0 :
lím (∑ f (ci ) ⋅ ∆x ) = lím (F (a) − F (b) )
∆x → 0
∆x → 0
El miembro de la derecha es constante, por lo que permanece
invariante con el pasaje al límite.
Cuando ∆x → 0 lo escribiremos como dx y lo llamaremos “diferencial x”.
Además, f(ci) al tomar ci infinitos valores, se transforma simplemente en f(x), y el símbolo de una suma finita ∑ se lo sustituye por
∫ , símbolo de una suma infinita.
Capítulo 3
60
Por lo tanto:
b
⌠ f( x ) dx = F( a ) − F( b )

⌡a
Esta fórmula es la llamada Fórmula de Barrow.
b
⌠ f( x ) dx se la llama integral definida, y los valores
A la expresión
⌡a
a y b son los límites de integración.
Tenemos así una fórmula para calcular en forma exacta el área
bajo una curva:
b
⌠ f( x ) dx = F( a ) − F( b )

⌡a
(fórmula Nº 3)
Esta fórmula, fundamental para el Cálculo Integral, se le atribuye al matemático inglés Isaac Barrow –quien fue profesor de Isaac Newton– el que junto al alemán Gottfried Leibniz son considerados los creadores del Cálculo Diferencial e Integral.
Apliquemos la fórmula para el cálculo exacto
O sea que para hallar el área rayada de la figura 1 debemos calcular:
3
⌠(−x 2 + 3 x + 4)dx

⌡1
Debemos para ello hallar una primitiva de f ( x) = − x 2 + 3x + 4 .
De acuerdo a la fórmula 2:
F ( x) = −
x3 3x 2
+
+ 4x
3
2
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
61
O sea:
3
⌠(−x 2 + 3 x + 4) dx = − x + 3 x + 4 x

3
2
⌡1
3
2
3
1
La línea vertical (corchete) con el 3 y el 1 se utiliza simplemente
para simbolizar F(3) − F(1).
3
3
2
3
2
⌠(−x 2 + 3 x + 4)dx = − 3 + 3.3 + 4 ⋅ 3 −  − 1 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 1

 3

⌡1
3
2
2


3
⌠ −x 2 + 3 x + 4)dx = 33 − 31 = 34 ≅ 11.3333
(
⌡1
2
6
3
Los valores que habían obtenido los alumnos, como vemos ahora, eran buenas aproximaciones pero la nota excelente de oral, la obtuvo
Hernán que dio un valor de 11,3.
Como los conceptos no se aprenden de una vez y para siempre,
me pareció importante y necesario repetir la experimentación de
aproximar el área de otra región y luego calcularla en forma exacta con
la integral y verificar así todo el proceso.
Fue así que propuse un segundo ejemplo.
Ejemplo de consolidación
9
. Graficar f(x) para x > 0 y calcular el área de la fix
gura determinada por la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 6.
Sea f ( x) =
Mariana fue la primera en hacerlo y dio el valor de 16,125 como
aproximación de esta área.
Capítulo 3
62
Figura Nº 3: Ejemplo de gráfica producida por los alumnos.
Para hallar el área en forma exacta, debemos calcular la siguiente integral:
6
Usando
las
6
⌠ 1
⌠
 9 dx = 9  1 dx




 x
 x
⌡1
⌡1
fórmulas 1 y 3:
6
⌠ 1
9
 dx = 9 ⋅ [ln( x)] 16 = 9 ⋅ (ln(6) − ln(1)) = 9. ln(6) ≅ 16,126

 x
⌡1
El valor del área es 9.ln(6), pero vemos que su valor aproximado es sorprendentemente cercano al dado por Mariana con su gráfica en
papel cuadriculado. Su error es menor a 1 milésimo de cm2 y porcentualmente no llega a ser la centésima parte de un 1%.
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
63
Los alumnos quedaron boquiabiertos de comprobar por sí mismos la contundencia de la concordancia de resultados y asombrados
también por el hecho de que el valor exacto, no era un número racional
como en el caso anterior sino un logaritmo.
Después de todo los logaritmos no son tan extraños y abstractos
¡te pueden dar el valor exacto de un área!
Epílogo
Esta experiencia de clase fue auténtica y hasta los nombres de
los alumnos citados coinciden con la realidad.
La primera vez que recibí un curso de Cálculo Integral, recuerdo
la larga introducción que se hizo al tema, y cómo la Fórmula de Barrow
era deducida luego de algunas clases y utilizando varios teoremas previos. Me cuestioné entonces si no se podía, en forma más directa, sencilla y rápida deducir esta fórmula que constituye la base de todo el Cálculo Integral. Fue así que me surgió su deducción usando directamente
el Teorema de Lagrange.
Consulté con el profesor universitario uruguayo, Víctor Martínez Luaces, quien avaló esta deducción (me mostró que otro autor hacía
algo similar) y me comentó que se trataba de la integral de Riemann lo
que se estaba definiendo con este procedimiento.
Dispuse, a partir de entonces, de una transposición didáctica
adecuada para poder enseñar este concepto vital del Análisis Matemático.
Otro aspecto didáctico al que quiero referirme es el siguiente:
normalmente los alumnos toman poco interés en las demostraciones,
que responden la mayoría de las veces a necesidades del propio docente,
en ocasiones, por la presión que siente por parte del sistema (programa,
inspectores, colegas) y en otras por la necesidad que tiene de probarse a
sí mismo las proposiciones y teoremas que utiliza.
La prueba, o la demostración, responden a preguntas del tipo
¿Por qué? Y nosotros como profesores, en el proceso de demostración,
muchas veces contestamos preguntas que ningún alumno plantea y lamentablemente dejamos sin responder muchas otras que los alumnos sí
hacen (como cuando decimos: “eso lo vamos a ver más adelante” o
64
Capítulo 3
cuando para probar algo usamos herramientas que son ininteligibles
para nuestros alumnos).
Sin embargo, en esta experiencia que relato, como pocas veces
me sucedió en más de 20 años de actividad como profesor, la atención y
el interés en la deducción de la Fórmula de Barrow fueron superlativos.
Si yo por azar hubiera querido “decretarles” esta fórmula, seguramente
lo hubieran rechazado tajantemente y no hubieran aceptado que les
prometiera una explicación para otro día. ¿Por qué? Ellos habían experimentado por sí mismos y tenían una buena idea de cuál debía ser el
resultado; o sea, tenían un modo de validar o no validar el resultado que
se propusiera como exacto. Además estaba el aspecto lúdico; pues querían saber quién ganaba, o sea, quien había estado más cerca del resultado y se llevaba la nota.
Por lo tanto, no alcanzaba de ninguna manera que les diera la
fórmula del cálculo exacto. Era necesario, además, convencerlos de que
esa fórmula era cierta.
Se dieron las condiciones para que una demostración de tipo
formal tuviera sentido para los alumnos y que ellos se interesaran y se
esforzaran por comprenderla.
Así, una fórmula fundamental para el Cálculo Integral irrumpió
con fuerza en el campo conceptual de los alumnos que fueron capaces
de comprobar su utilidad y veracidad experimentalmente, y que adquirieron conciencia de cómo surgió y cómo se relaciona con el resto de su
conocimiento matemático.
El método experimental utilizado no será desechado, a partir de
ahora que se tiene la posibilidad del cálculo exacto. Todo lo contrario,
se podrá volver a utilizar para estimar y comprobar nuevos resultados y
como herramienta de nuevas investigaciones.
Este sencillo método de graficar con precisión constituyó además el medio de validación de los resultados, de modo que la validez de
éstos, no provino del discurso del profesor sino de la actividad del
alumno; fue el carácter adidáctico (término acuñado por Brousseau)
vital que debe tener toda situación.
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
65
Por supuesto que esto es tan sólo el comienzo de la elaboración
del concepto de integral por parte del alumno, que se irá enriqueciendo
con las múltiples aplicaciones, propiedades y técnicas de integración.
Pero humildemente creo que es un buen comienzo, que sienta los cimientos del concepto, teniendo en cuenta a la vez las concepciones de
los alumnos y las concepciones matemáticas en juego.
Bibliografía recomendada
Artigue, M. (1998). Ingénierie Didactique. Recherche en Didactiques
des Mathématiques. Vol 9.3, pp. 281-308.
Chevallard, Y. (1991). La transposition didactique – du savoir savant au
savoir enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage.
Belcredi, L.; Zambra, M. & Deferrari, M. (2001). Análisis Matemático.
Montevideo: Ediciones de la Plaza.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La
Pensée Sauvage.
Dreyfus, T. & Hadas, N. (1996). Proof as answer to the question why.
Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. 28 (1) 1-5.
Lakatos, I. (1984). Preuves et Réfutations. Paris: Hermann.
Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels, Recherches en
Didactique des Mathématiques. Vol 10 Nº 2-3, pp. 133-170.
66
Capítulo 3