Guía Nº 5

Práctica 5: Estimación de parámetros. Una población.
1. Considere el conjunto f1; 3; 5; 7; 9g
(a) Enumere todas las muestras de tamaño 2 que pueden ser seleccionadas con reposición de
ese conjunto. Calcule la media de cada una de ellas
(b) Describa la distribución de la media muestral x
(c) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria x. Compare estos valores con
los de la media poblacional y la varianza poblacional 2 .
2. Si una población normal tiene un desvío estándar de 25, cuál es el desvío de las medias
muestrales si se hacen respectivamente 16, 50 y 100 observaciones? ¿Qué puede concluir con
respecto al desvío de las medias muestrales a medida que aumenta el número de observaciones?
3. Las alturas de una clase de plantas están distribuidas en forma normal, con media
dispersión = 2.
= 39 y
(a) Si se observa una planta al azar, cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 38 y
40 cm?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que su altura supere los 40 cm?
(c) Si se registran las alturas de 30 plantas, cuál es la probabilidad de que la altura promedio
esté entre 38 y 40 cm?
(d) Si se registran las alturas de 30 plantas, cuál es la probabilidad de que la altura promedio
exceda los 40 cm?
4. Una variable aleatoria tiene distribución normal con media desconocida y desvío estándar
= 5. Calcule la probabilidad de que x diste de menos de una unidad si el tamaño muestral
es de 25, 100 y 225 respectivamente. ¿Qué puede concluir?
5. Si se especi…ca que la esperanza de la variable aleatoria "cantidad de kilómetros recorridos
por litro" de un vehículo es 12 y tiene una desviación estándar de 2. ¿Es posible calcular
la probabilidad de que la media de una muestra de 10 recorridos sea menor o igual que 10
km/lt si el vehículo funciona de acuerdo a las especi…caciones? De no ser posible establezca
los supuestos necesarios para poder calcular dicha probabilidad.
6. Si la distribución de la variable aleatoria producción de leche de un establecimiento lácteo (en
cientos de litros) se aproxima a una distribución normal con media 70.35.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 5 exceda el valor
75? Se sabe por estudios previos que el desvío poblacional es 3.19.
(b) ¿Cuál es la producción promedio sólo superada por un 5% de las producciones promedio
de muestras de tamaño 5?
7. Cierta población tiene media 400 y desvío estándar 40. Se seleccionan muchas muestras de
tamaño 46 y se calculan las medias.
(a) ¿Qué valor es de esperar que tenga la media de todas esas medias muestrales?
1
(b) ¿Qué valor se esperaría para el desvío estándar de todas las medias muestrales?
(c) ¿Qué forma es de esperar tenga la distribución de todas las medias muestrales?
8. Si en una población de abejas el 15% está parasitado, calcule la probabilidad de que una
muestra aleatoria de tamaño 100 tenga las siguientes proporciones de individuos parasitados:
(a) mayor o igual a 0,2
(b) entre 0,1 y 0,2
(c) no más de 0,12
9. Calcule el valor de
(a) P (
2
(b) P (
2
(c) P (
2
2
0)
2
0)
2
0)
2
0
tal que:
= 0:05, para 10 grados de libertad
= 0:025, para 18 grados de libertad
= 0:01, para 12 grados de libertad.
10. Los diámetros de los tallos de determinada clase de forrajeras se distribuyen en forma normal,
con media = 40 y varianza 2 = 8: Determine la probabilidad de que la varianza de una
muestra de tamaño 16 sea mayor a 5.
11. En un experimento diseñado para estimar el número medio de latidos del corazón por minuto
se examinaron 49 personas seleccionadas al azar de la población en estudio y el promedio de
estas observaciones fue de 63. Suponiendo que el número de latidos es una variable aleatoria
con distribución normal con = 10, calcule intervalos de 90, 95 y 99% de con…anza para .
Compare las amplitudes de los intervalos.
12. Repita el ejercicio anterior, suponiendo que la muestra fue de 500 observaciones. Compare las
amplitudes de los intervalos; justi…que las diferencias entre estas amplitudes.
13. Se desea obtener un intervalo de con…anza para el peso medio de cierta especie del cual se
supondrá que se distribuye normalmente con una varianza de 400. Si se toma una muestra de
10 individuos y el promedio resulta de 16, cuál sería el intervalo de 95% de con…anza?
14. Con los datos del ejercicio anterior, cuál será el intervalo si la varianza es igual a 25? Compare
las amplitudes de ambos intervalos y justi…que la diferencia.
15. Para estimar la longitud promedio de ciertos peces se tomó una muestra aleatoria de 50
ejemplares adultos y se obtuvo x = 36 cm. Si se supone que = 12 cm:
(a) calcule un intervalo de 95% de con…anza para ,
(b) suponga que se desea un intervalo de amplitud 4, de qué tamaño deberá ser la muestra?
(c) qué tamaño deberá tener la muestra si se desea una amplitud igual a 2?
16. En un estudio de medidas de los picos de los papamoscas vespertinos se estimó con un 90% de
con…anza que la longitud del pico de los machos tenía una media de 8:14 0:021. Suponiendo
que el coe…ciente de variación es de 4:67%, deduzca cuántos individuos se utilizaron en el
estudio.
2
17. En un estudio diseñado para establecer la relación entre un medicamento y cierta anomalía
en los embriones de pollo, se inyectaron con el medicamento 50 huevos fecundados al cuarto
día de incubación. En el vigésimo día de incubación se examinaron los embriones y se observó
la presencia de la anomalía en 12 de ellos. Calcule los intervalos de 90, 95 y 99% de con…anza
para el verdadero valor de la proporción de embriones con anomalía.
18. Un epidemiólogo desea saber qué proporción de adultos que viven en una gran área metropolitana tienen el subtipo AY del virus B de la hepatitis. Determinar el tamaño de la muestra
para estimar una proporción real cercana al 0.03 con una con…anza del 95% sabiendo que la
amplitud del intervalo para la proporción es de 0.024.
19. Se está estudiando cierta característica en una población con un nivel de 95% de con…anza en
las estimaciones. Se toma una muestra de la cual se obtienen los siguientes valores: 66, 46, 54,
58 y 55. Obtenga un intervalo para la varianza poblacional, suponiendo que la distribución
es normal.
20. Calcule un intervalo de con…anza para la varianza de una variable aleatoria normal de la que
se han observado los siguientes valores
xi 1 2 3 4 5 6
ni 1 4 6 8 3 2
trabajando con un 10% de riesgo.
21. Se toma una muestra aleaoria de 21 estudiantes y se obtienen una media muestral de 65 kg y
una varianza muestral de 7.5 kg.. Suponiendo que los pesos tienen una distribución normal:
(a) encuentre un intervalo de 90% de con…anza para
2
.
(b) ¿cómo resolvería el ejercicio si el valor 7,5 correspondiera al estimador sesgado de la
varianza?
22. Calcule el valor de t0 tal que:
(a) P (t t0 ) = 0:025, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 8
grados de libertad
(b) P (t t0 ) = 0:01, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con 15
grados de libertad
(c) P (jtj t0 ) = 0:01, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con
15 grados de libertad
(d) P (jtj t0 ) = 0:80, dónde t es una variable aleatoria con distribución t de Student con
22 grados de libertad.
23. A partir de una muestra aleatoria simple de 16 individuos se obtuvieron los siguientes valores
3
de arsénico en orina:
paciente
1
2
3
4
5
6
7
8
0:007
0:030
0:025
0:008
0:030
0:038
0:007
0:005
paciente
9
10
11
12
13
14
15
16
0:012
0:006
0:010
0:032
0:006
0:009
0:014
0:011
construya un intervalo de 95% de con…anza para la media de la población.
24. El archivo de datos PIG describe el peso inicial y la ganancia en peso de un grupo de cerdos
que fue dividido en cuatro subgrupos. A cada uno de estos grupos se le asignó un dieta
diferente. Se registró también la edad de cada animal.
(a) Obtenga intervalos del 95% y 99% de con…anza para las medias de las variables ”PESO
INICIAL”y ”GANANCIA”en cada subgrupo.
(b) Obtenga intervalos del 95% y 99% de con…anza para las varianzas de la variable ”GANANCIA”en cada subgrupo.
(c) Determine la mediana de “EDAD”y de…na una variable categórica que divida los datos
en un subgrupo cuya edad es menor o igual a la mediana y otro con edades mayores que
la mediana. Describa grá…camente los pesos iniciales de estos dos subgrupos, obtenga
los parámetros descriptivos y calcule intervalos de 95% de con…anza para las medias
correspondientes.
25. Utilizando el lenguaje R:
(a) Genere 1000 datos de una variable normal con media 10 y varianza 4, use para esto la
función rnorm.
(b) Seleccione una muestra de tamaño 50 del conjunto de datos utilizando la función sample.
(c) Teniendo en cuenta el punto 2, calcule un intervalo para la media poblacional con una
con…anza del 95% y complete la primera …la del cuadro.
(d) Repita los puntos 2 y 3 dos veces más para completar la segunda y tercera …la del cuadro.
(e) Complete el resto del cuadro generando las muestras necesarias, variando el tamaño de
las muestras y el nivel de signi…cación e interprete.
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5%
5%
5%
5%
5%
5%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
n Mín. intervalo Máx. intervalo Amplitud
50
50
50
15
15
15
50
50
50
15
15
15
50
50
50
15
15
15
50
50
50
15
15
15
Resultados
2. 6.25; 3.53; 2.5
3. a) 0.383; b) 0.3085; c) 0.9938; d) 0.0031
4. 0.6826; 0.9544; 0.9974
6.a) 0.00056; b) 75.58
7. a) 400; b) 5.89
8. a) 0.0808; b) 0.8384; c)0.2005
9. a) 18.307; b) 8.231; c) 26.217
10. P 0:85
11. a) (60.64; 65.36); b) (60.20; 65.80); c) (59.33; 66.67)
12. a) (62.26; 63.73); b) (62.12; 63.87); c) (61.85; 64.15)
13. (3.6; 28.39)
14. (12.9; 19.1)
15. a) (32.67; 39.33); b) n ' 138; d) n = 553
16. n '882
17. a) (0.141; 0.339); b) (0.122; 0.358); c) (0.085; 0.395)
18. n ' 777
5
19.
20.
21.
22.
23.
(18.81; 431.4)
(1.079; 2.899)
a) (4.77; 13.76); b) (5.016; 14.45)
a) 2.306; b) 2.602; c) 2.967; d) 1.321
(9.63 x 10 3 ; 0.02156)
6