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CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE
BLACK & SCHOLES
Para la valuación de opciones hay dos modelos ampliamente reconocidos como son el
modelo binomial y el modelo de Black & Scholes, el modelo binomial surgió tiempo
después de que se desarrollara el modelo de Black & Scholes. En este capítulo se
mencionarán dichos modelos y se realizará un análisis de convergencia del modelo
binomial al de Black & Scholes para el cálculo de opciones.
Primero se hará la descripción de los dos modelos y después se hará el análisis de
convergencia citado anteriormente. Pero antes de hacer la descripción de estos dos
modelos se hará una breve introducción de los términos relacionados con las opciones.
Diferentes tipos de Opciones:
De acuerdo a la manera de ejercerse, se reconocen dos tipos básicos de opciones:
-
Europeas: Aquellas que sólo pueden ser ejercidas el día de la expiración
estipulada en el contrato.
-
Americanas: A diferencia de las anteriores, éstas pueden ser ejercidas en cualquier
momento dentro del período de vida de la opción.
De acuerdo al bien subyacente que se trate, las opciones se clasifican en:
-
Opciones sobre acciones: Con éstas se obtiene el derecho de comprar o vender un
determinado número de acciones a un período de tiempo establecido.
103
-
Opciones sobre divisas: Con éstas, se obtiene el derecho de comprar o vender
alguna divisa a un tipo de cambio establecido.
-
Opciones sobre índices: Se adquiere el derecho de dar o tener un cierto número de
veces un índice. Como un ejemplo, se puede tomar 50 veces el Índice de Precios y
Cotizaciones.
-
Opciones sobre futuros: Con estas se adquiere una posición larga o corta de un
contrato de futuros.
Algunos de los términos que se manejarán en este capítulo son:
ST
El precio de la acción en el tiempo T.
f
El precio de la opción.
E
El precio de ejercicio de la opción.
T
La fecha de expiración de la opción.
r
La tasa de interés libre de riesgo.
Recordando lo dicho en capítulos anteriores, una opción es un contrato que otorga el
derecho, más no la obligación de comprar o vender un bien denominado activo
subyacente a un precio y a una fecha determinados. Lo cual dice que si en la fecha de
expiración para una opción de compra el precio de la acción es inferior al precio de
ejercicio, esto es ST < E, la opción de compra está “fuera del dinero” y su valor es de
cero.
Si el precio de la acción es igual al precio de ejercicio, esto es ST = E, se dice que la
opción está “en el dinero” y su valor también es de cero.
104
Si por el contrario, el precio de la acción es superior al precio de ejercicio a la fecha de
vencimiento, esto es ST > E, se dice que la opción está dentro del dinero y el precio de la
opción en la fecha de expiración es igual a la diferencia que existe entre el precio de la
acción y el precio de ejercicio. Esto es:
f = ST – E, si ST > E
(5.1)
Para el caso de opciones de venta sucede exactamente lo contrario:
Si a la fecha de vencimiento el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio, esto
es ST < E, se dice que la opción está “dentro del dinero” y su precio al vencimiento será
la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción. Así:
f = E – ST, si ST < E
(5.2)
Por el contrario, si el precio de la acción es superior o igual al precio de ejercicio: ST > E
ó ST = E, la opción se encuentra “fuera del dinero” o “en el dinero” y su valor será de
cero, ya que no se ejerce el derecho otorgado por la opción.
Límites de los valores de las opciones:
Como otro tipo de mercancías o productos, las opciones también se encuentran entre
ciertos límites de precios y es importante conocer dichos límites para la valuación de
opciones.
105
El límite superior al inicio para una opción de compra se define como f ≤ S, ya que una
opción de compra otorga el derecho de comprar una acción, es por esto que el precio de
la opción no puede ser mayor al de la acción.
El límite inferior para una opción de compra se define como 0 o S – E según sea el caso
de que la opción sea o no ejercida, ya que para una opción de compra si el valor de la
acción es menor al precio de ejercicio, el límite inferior será de 0, en caso contrario de
que el precio de la acción sea mayor al precio de ejercicio, el límite inferior será de al
menos la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio.
Este límite inferior de la opción es llamado el valor intrínseco, y nos dice cuanto valdría
una opción si la fecha de expiración fuera hoy; es entonces que una opción de compra
tiene valor intrínseco si el precio de la acción en el mercado es mayor al precio de
ejercicio, por otra parte, la opción de venta tendrá valor intrínseco si es que el precio de la
acción en el mercado es menor al precio de ejercicio.
El valor extrínseco de una opción es también conocido como el valor en el tiempo o el
valor presente de la opción durante la vigencia de ésta; es por ello que a medida de que la
opción se acerca a su vencimiento el valor extrínseco de ésta disminuye. Este valor varía
de acuerdo a diferentes factores independientes al valor intrínseco de la opción.
A continuación se analizan diferentes determinantes que afectan al precio de una opción
de compra y el efecto que juegan en el precio, dichos efectos se podrán apreciar mejor
más adelante cuando se mencionen los modelos para el cálculo de opciones:
106
- El precio de la acción: Existe una relación positiva entre el precio de la acción y
el de la opción, por lo que si el precio de la acción aumenta, el precio de la opción
también lo hará.
- El precio de ejercicio: En este caso la relación que existe es negativa, ya que a
medida de que el precio de ejercicio sea mayor, el precio de la opción irá en
decremento.
- La tasa libre de riesgo: La relación que guarda con el precio de la opción es
positiva, por lo que si ésta aumenta, el precio de la opción también lo hará.
- Madurez de la opción: Para las opciones de tipo americano, un mayor tiempo de
expiración provoca que se tengan más oportunidades de ejercer la opción, por lo
tanto hay una relación positiva entre el tiempo de vida de la opción y su precio.
Para las opciones europeas, no existe la certeza en cuanto al efecto que causa la
fecha de vencimiento sobre estas, ya que solamente pueden ser ejercidas al
momento de expiración de la opción
- Volatilidad: A medida de que una acción presente mayor volatilidad el precio de
la opción será más grande, por lo que decimos que se guarda una relación positiva
entre dicho determinante y el precio de la opción.
El precio de las opciones de venta depende de los mismos determinantes que las opciones
de compra, ahora analizaremos el efecto que tienen estos factores en las opciones de
venta:
- El precio de la acción: A medida de que aumente el precio de la acción es menos
probable de que la opción tenga valor intrínseco, o acabe dentro del dinero, por lo
107
cual podemos decir que la relación que existe entre el precio de la acción y la
opción de venta es inversa.
- El precio de ejercicio: Mientras el precio de ejercicio sea mayor, las
posibilidades de que la opción termine dentro del dinero son mayores, por lo cual
podemos decir que se guarda una relación positiva entre el precio de ejercicio y el
precio de una opción de venta.
- Tasa de interés libre de riesgo: La relación que existe entre ésta y el precio de la
opción es negativa, esto quiere decir que a mayor tasa de interés menor será el
precio de la opción.
- Fecha de vencimiento: Mientras exista más tiempo para el vencimiento de la
opción, las posibilidades de que esta sea ejercida son mayores, esto es en el caso
de opciones de tipo americano, mientras que para las opciones europeas, no existe
la certeza en cuanto al efecto que causa la fecha de vencimiento sobre estas, ya
que solamente pueden ser ejercidas al momento de expiración de la opción.
- Volatilidad: Al igual que sucede con las opciones de compra, mientras una
acción presente una mayor volatilidad, el precio de la opción será más elevado,
por lo que la relación positiva se mantiene entre la volatilidad y la opción de
venta.
108
5.1 Modelo Binomial:
Esta técnica es muy conocida para la valuación de opciones u otros derivados, y consiste
en generar un árbol de decisiones, conformado por los diferentes caminos que puede
seguir el activo subyacente con el paso del tiempo, conforme transcurre la vida del
derivado financiero.
El supuesto de este modelo es el de que los movimientos de los precios son binomiales a
un período de tiempo denominado como ∆t, representando una parte del tiempo total de
vida de la opción.
En cada una de las divisiones de tiempo o subperíodos, el precio que puede tomar la
acción tiene dos posibilidades, puede ser a la alza o a la baja, es por esto que se denomina
como binomial. Para apreciar el modelo de una forma más clara se presenta el siguiente
ejemplo:
Considere que el precio de una acción es de $50, y suponga que el precio que podría tener
esta acción es de $52 ó $48, supóngase que es una acción que no paga dividendos17 y que
se quiere evaluar el precio de una opción de compra tipo Europea con un precio de
ejercicio de $51 al final de un período de tres meses.
La opción tendrá dos valores al final del vencimiento, ya que si el precio de la acción
resulta ser de $52 el precio de la opción al final del período será de $1, por lo que se
encuentra dentro del dinero; por el contrario, si el precio de la acción baja a $48 al final
del período, la opción no se ejerce y tendrá un valor de $0.
Lo anterior se puede apreciar en el siguiente diagrama:
17 Véase apéndice A
109
$52
Precio de la acción al día de hoy
$50
$48
Figura 5.1 Los dos posibles valores de la acción
Con este ejemplo se puede calcular el precio de la opción, asumiendo que no hay
oportunidades de arbitraje. El portafolio integrado por la acción y la opción va a ser de
forma tal que no haya incertidumbre en el precio de dicho portafolio al final del período
que dure la opción, por ello la ganancia esperada es la tasa de interés libre de riesgo.
Para calcular el precio de la opción, se considerará el portafolio anterior, el cual consiste
en una posición larga con ∆ partes de la acción y una posición corta para un call. El
propósito de calcular el valor de ∆ es el poder hacer que el portafolio se encuentre libre
de riesgo.
De esta forma, se tiene que, si el valor de la acción resulta ser de $52, lo cual es mayor
que el precio de ejercicio, el valor del portafolio es de 52∆ – 1. Este precio consiste en el
valor de las partes de la acción menos el precio de la opción al final del período.
Si por el contrario, el precio de la acción bajara a $48, entonces el valor de las acciones
sería de 48∆ y el precio de la opción sería de $0, ya que la opción no es ejercida. El valor
del portafolio es de 48∆.
Habiendo encontrado el valor del portafolio para las dos posibilidades de precio de la
acción se encuentra el valor de ∆ igualando sus respectivos precios del portafolio. De esta
forma se tiene que:
110
52∆ – 1 = 48∆
(5.3)
Por lo que después de realizar el despeje de ∆ en la ecuación 5.3, se tiene que el valor de
∆ es de 0.25, lo cual da la proporción que guarda el portafolio libre de riesgo, es decir, en
0.25 acciones por una opción, o bien, por cada acción se deben comprar cuatro opciones.
De esta forma se sabe que si el precio de la acción resulta ser de $52, entonces el valor
del portafolio al final del período de vida de la opción de compra es de
$52*(0.25) – $1 = $12
Ahora, si el valor de la acción resulta ser de $18, el valor del portafolio es de
$48*(0.25) = $12
De esta forma se aprecia que aunque el precio de la acción suba o baje el valor del
portafolio va a seguir siendo el mismo; en el caso de incorporar un portafolio libre de
riesgo, en ausencia de oportunidades de arbitraje, se debe ganar la tasa de interés libre de
riesgo, si se supone para este ejemplo que la tasa de interés anual libre de riesgo es del
15% se puede obtener el valor presente del portafolio, el cual es el siguiente:
$12e—0.15*.25 = $11.5583
111
Por otro lado, se sabe que el valor de la acción al día de hoy es de $50, por lo que el valor
presente del portafolio deberá de ser de
$50*(0.25) – f
(5.4)
Es entonces que igualando los dos valores al día de hoy del portafolio libre de riesgo de
las ecuaciones 5.6 y 5.7 se obtiene como resultado el precio de la opción al día de hoy.
De esta forma:
$50*(0.25) – f = $11.5583
(5.5)
donde:
f = 0.9417
(5.6)
Después de haber visto este ejemplo, la manera en que se puede llegar a la fórmula
general para el método binomial a un paso sigue el mismo proceso. Supóngase que el
precio de una acción, la cual no paga dividendos, es de S, y que el precio de la opción es
de f, el cual paga al final de un tiempo T. Al igual que el ejemplo anterior, el precio de la
acción puede ser de Su, si el precio de la acción sube, o Sd si el precio de la acción
disminuye al vencimiento de la opción.
El incremento proporcional de la acción cuando sube su precio se define como u – 1, y el
decremento proporcional de la acción cuando su precio disminuye se define como 1 – d.
112
Ahora se denotará a fu como el precio del derivado cuando la acción presenta un
incremento de precio, y fd como el precio del derivado cuando el precio de la acción
presenta un decremento.
Al igual que el ejemplo anterior, se considera un portafolio libre de riesgo, el cual
consiste en una posición larga de ∆ partes de la acción y una posición corta en un
derivado; el valor del portafolio al vencimiento de la opción en caso de que la acción
subiera de precio es
Su∆ - fu
(5.7)
De igual forma, el valor del portafolio al vencimiento del derivado en caso de que la
acción presente un decremento en su precio es
Sd∆ - fd
(5.8)
Para obtener el valor de ∆ que hace al portafolio libre de riesgo se igualan las ecuaciones
5.10 y 5.11, y despejando ∆ se obtiene
∆=
fu − fd
Su − Sd
(5.9)
Como se mencionó en el ejemplo anterior, el portafolio libre de riesgo debe obtener como
ganancia la tasa libre de riesgo. Con una tasa libre de riesgo r, el valor presente del
portafolio es de
(Su∆ − fu )e − rT
(5.10)
113
Sabiendo que el precio de la acción al día de hoy es de S, el valor del portafolio al día de
hoy será de:
S∆ – f
(5.11)
Igualando las dos expresiones anteriores obtenemos:
S∆ – f = (Su∆ − f u )e − rT
(5.12)
Al sustituir el valor de ∆ de la ecuación 5.12 en la ecuación 5.15 se obtiene


 f − fd 
 f − fd 
S u
 − f =  (Su ) u
 − f u e − rT
 Su − Sd 
 Su − Sd 


(5.13)
donde:
f = e − rT [ pf u + (1 − p ) f d ]
(5.25)18
El valor de p es:
p=
e rT − d
u−d
(5.26)
Con las fórmulas, 5.25 y 5.26, es posible calcular el precio de un derivado por medio del
modelo binomial a un paso. Sustituyendo los valores del ejemplo anterior, se obtuvo el
mismo resultado del precio de la opción de compra, el cual fue de $0.9417.
18 Véase Apéndice C
114
Como se puede apreciar, en la fórmula 5.25 para el cálculo del precio de la opción, el
valor de p representa la probabilidad “implícita” de que el precio de la acción sea mayor
y el valor de (1 – p) la probabilidad “implícita” de que el precio de la acción sea menor al
final del período de vida de la opción.
Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, se puede apreciar que el precio de la opción
no es otra cosa más que el valor futuro esperado de la opción traído a valor presente por
medio de la tasa de interés libre de riesgo.
Significado de un mundo neutral al riesgo o neutralidad al riesgo:
Para comprender este término, se analizará el valor esperado de la acción al tiempo T
cuando se asume que la probabilidad de que el precio de la acción suba sea p. Dicho valor
esperado es:
E (S T ) = pSu + (1 − p )Sd
(5.27)
Ahora, sustituyendo el valor de p, obtenido en la ecuación 5.26 se obtiene:
E (S T ) = Se rT
(5.28)
De esta forma se puede apreciar que el valor esperado de la acción no es más que el valor
futuro de la acción llevado con la tasa de interés libre de riesgo. Lo que significa que el
inversionista no tiene una compensación extra por arriesgarse a invertir en acciones
cubriéndose con opciones, ya que solamente recibirá la tasa de interés libre de riesgo, lo
cual es el significado del término neutralidad al riesgo o mundo neutral al riesgo, que
establece que cualquier dependiente del precio de una acción es valuado bajo dos
supuestos:
115
-
El rendimiento de los valores que son negociados es la tasa de interés libre de
riesgo.
-
Los flujos de efectivo pueden ser valuados descontando los flujos esperados con
la tasa de interés libre de riesgo.
Lo anterior muestra que al inversionista le da lo mismo el hecho de invertir o no en
acciones cubiertas con opciones, ya que su rendimiento esperado es la tasa de interés
libre de riesgo.
El término de neutralidad al riesgo es de suma importancia para un principio de valuación
de opciones conocido con el nombre de valuación de riesgo neutral, el cual establece que
el mundo es neutral al riesgo cuando se valúan precios de opciones y otros derivados.
Para ilustrar mejor este principio de valuación, se retomará el ejemplo trabajado
anteriormente, una acción cuyo precio actual es de $50, y este precio, al final de un
período de tres meses podría ser de $52 ó $48, el derivado a calcular es una opción
europea de compra con un precio de ejercicio de $51, a una tasa anual de interés libre de
riesgo del 15%.
En un mundo neutral al riesgo, debe cumplirse la igualdad de que el valor esperado de la
acción sea igual a la acción llevada a valor futuro con la tasa de interés libre de riesgo,
como se había visto anteriormente, es decir:
52 p + 48(1 − p ) = 50e 0.15*.25
(5.29)
Con lo que se obtiene el valor de p que es de 0.9777. El valor de la opción al día de hoy
se obtiene calculando el valor esperado de ésta y posteriormente trayéndolo con la tasa de
116
interés libre de riesgo, con una probabilidad de 0.9777 de que el precio de la opción al
final de los tres meses sea de $1, y probabilidad de 0.0224 de que el precio de la opción
sea de $0. El valor esperado de la opción al final del período es:
0.9777*1 + 0.3477*0 = 0.9777
Ahora, el valor presente de la opción europea de compra a una tasa libre de riesgo del
15% será de:
$0.9777e −0.15*.25 = $0.9417
Cuyo valor es el mismo obtenido anteriormente, ya que dice que en condiciones de
ausencia de arbitraje se obtiene el mismo valor al calcular el precio de la opción por
medio del principio de valuación de riesgo neutral. Siempre y cuando se cumpla con ∆
(Portafolio libre de riesgo).
Modelo binomial para valuar opciones a dos períodos:
Hasta ahora se ha visto la manera de valuar una opción por medio del modelo binomial a
un período, para extender el análisis a más de un período de tiempo se analizará el
cálculo de una opción al día de hoy con dos períodos de tiempo, hacerlo más general a
más períodos, y poder establecer una convergencia de este método con el modelo de
Black & Scholes.
Nuevamente, para comprender mejor el modelo binomial, se analizará un ejemplo, para
después ir a la generalización. Supóngase una acción con valor de $50, cuyo precio puede
117
variar un 4% hacia arriba o hacia abajo, para cada uno de dos períodos de tres meses en
que tiene validez una opción europea de compra con un precio de ejercicio de 51$ a una
tasa de interés libre de riesgo anual del 15%.
Como se hizo en el modelo anterior, el objetivo es encontrar el valor de la opción al día
de hoy, los precios de opciones al vencimiento son los más fáciles para calcular y se
muestran a continuación:
0
1
2
$54.08
$0.00
$52
Precio actual
(Acción)
$50
$50.00
$0.00
$48
$46.08
$0.00
Figura 5.2 Posibles precios de la acción a dos períodos de tiempo y precios de la opción
de compra al vencimiento.
Para calcular el precio de la opción en el período uno se procede a calcular el valor
presente de la opción para cada nodo.
En el nodo en el que el precio de la acción es $48, el precio de la opción de compra es de
$0, ya que ésta no es ejercida en ninguno de los dos casos correspondientes del período
dos. Por otro lado, cuando el precio de la acción es de $52 en el primer período, la opción
de compra se calcula trayendo a valor presente el valor esperado de la opción:
f = e − rT [ pf u + (1 − p ) f d ] , sustituyendo los valores del problema se obtiene
e −0.15*.25 (0.9777 * 3.08 + 0.0223 * 0 ) = 2.9005
118
Ahora, se repite el mismo proceso para calcular el valor de la opción al día de hoy con los
precios que obtuvimos para el primer período; de esta forma se obtiene:
f = e −0.15*.25 (0.9777 * 2.9005 + 0.0223 * 0) = 2.7315
El siguiente diagrama describe de una forma más general el ejercicio anterior
Su
f uu
2
Su
fu
S
f
Sud
f ud
Sd
fd
Sd
fdd
2
Figura 5.3 Diagrama general del modelo binomial a dos períodos
En la figura anterior se aprecia de manera general lo mostrado en el ejercicio anterior, se
observa que al principio la acción tiene un precio de S y el valor de la opción es de f. Al
primer período la acción puede moverse hacia Su o Sd, y el precio de la opción es fu ó fd.
En el tercer período la acción puede tomar tres diferentes valores, ya sea Su2, Sud o Sd2.
A diferencia del modelo a un período, se definirá a ∆t como el tamaño o longitud de cada
uno de los dos períodos en que se divida el período de vida del derivado, mediante la
fórmula para calcular el precio del derivado para un período podemos obtener de fu y fd,
f u = e − r∆t [ pf uu + (1 − p ) f ud ]
(5.30)
119
f d = e − r∆t [ pf ud + (1 − p ) f dd ]
(5.31)
Para encontrar el valor de f se utilizan los valores de fu y fd para obtener
f = e − r∆t [ pf u + (1 − p ) f d ]
(5.32)
Ahora, al sustituir los valores de fu y fd se obtiene la siguiente expresión
[
f = e −2 r∆t p 2 f uu + 2 p(1 − p) f ud + (1 − p) 2 f dd
]
(5.33)
donde p2, 2p(1- p) y (1 – p)2 son las probabilidades de que la opción sea fuu, fud o fdd a la
fecha de expiración de la opción.
Generalización del modelo binomial a tres períodos:
Ahora se analizará el modelo binomial a tres períodos aplicando los mismos principios
que se utilizaron para generalizar el modelo anterior. Al igual que la generalización del
modelo binomial a dos períodos, se define a ∆t como la longitud de los períodos de
tiempo en que se divide el período de vida de la opción, que en este caso serían tres. En la
figura 5.4 se muestra el diagrama del modelo binomial a tres períodos con los posibles
valores que puede tomar la acción de acuerdo a los valores u y d, junto con los valores
que puede tomar la opción en cada uno de los nodos.
120
3
Su
f uuu
Su2
f uu
2
Su d
f uud
Su
fu
S
f
Sud
f ud
Sud2
f udd
Sd
fd
Sd
f dd
2
3
Sd
f ddd
Figura 5.4 Diagrama del modelo binomial a tres pasos
Utilizando la fórmula obtenida anteriormente para calcular precio de la opción a un paso,
se pueden obtener los valores de fuu, fud y fdd
f uu = e − r∆T [ p ( f uuu ) + (1 − p ) f uud ]
(5.34)
f ud = e − r∆T [ p( f uud ) + (1 − p) f udd ]
(5.35)
f dd = e − r∆T [ p( f udd ) + (1 − p) f ddd ]
(5.36)
El valor de f es:
[
f = e −3r∆T p 3 f uuu + 3 p 2 (1 − p) f uud + 3 p(1 − p ) 2 + (1 − p) 3 f ddd
]
(5.51)19
Así se observa que el procedimiento para continuar con el modelo binomial a más pasos
es el mismo, utilizando los mismos principios que se manejaron para el modelo binomial
a un paso.
19 Véase Apéndice D
121
Se puede generalizar que el precio de una opción es el valor presente del valor esperado
de los precios futuros de la opción, considerando una probabilidad implícita de que suba
el precio de la acción de:
e rT − d
p=
u−d
Generalización del modelo binomial para n períodos:
Una vez que se ha visto la forma en que se calcula el precio de la opción para los tres
primeros períodos se hará la generalización para n períodos de tiempo en que se quiera
dividir la vida de la opción. Esto es de suma importancia, ya que como se vio
anteriormente, el procedimiento es bastante largo para tres períodos, además, en la
práctica se llegan a realizar períodos mas grandes para obtener una aproximación que sea
confiable para el cálculo del precio de una opción.
El procedimiento que se utiliza para calcular el precio de la opción mediante la
estimación de los posibles precios que puede tener la acción durante el período de vida de
la opción y la probabilidad de ocurrencia se puede resumir en una serie de pasos que se
muestran a continuación:
a) Determinar un rango que contenga a los posibles precios que pueda tener la
acción durante el tiempo de vida de la opción.
b) Con base en los diferentes precios que pudiera tener la acción, calcular el valor
intrínseco de la opción, y seleccionar sólo aquellos valores que estén dentro del
dinero.
c) Multiplicar cada valor intrínseco por su respectiva probabilidad de ocurrencia.
d) Sumar todos los valores obtenidos en el paso anterior.
122
e) Traer el valor de la suma a valor presente.
La fórmula que describe el proceso anterior para las opciones europeas de compra es la
siguiente:
[
n
n!
p k (1 − p) n − k Max Su k d n − k − E ,0
k = 0 ( n − k )!( k )!
c = e − rT ∑
]
(5.52)
Ahora, para una opción europea de venta, la fórmula es la siguiente:
[
n
n!
p k (1 − p ) n − k Max E − Su k d n − k ,0
(
n
−
k
)!
(
k
)!
k =0
p = e − rT ∑
]
(5.53)
Es importante mencionar el concepto de σ, en el que se representa la volatilidad en el
precio de la acción, y los valores de u y d están determinados por dicha volatilidad. Una
forma para calcular u y d en función de σ es:
u = eσ
∆t
y el valor de p es
,y d = 1
u
(5.54)
e r∆t − d
, donde el valor de ∆t sigue siendo el tamaño o la longitud de
u−d
cada uno de los intervalos de tiempo.
123
5.2 Modelo Black & Scholes:
Otro método utilizado para el cálculo de opciones es el modelo de Black & Scholes, el
cual fue desarrollado tiempo antes que el modelo binomial. La diferencia entre estos dos
radica en que en el modelo de Black & Scholes los períodos de tiempo evaluados son
instantáneos y es utilizado únicamente para opciones de tipo europeo.
Las fórmulas para el cálculo de precios de opciones que no pagan dividendos se muestran
a continuación:
-
Para la opción de compra, la fórmula es:
c = SN (d1 ) − Ee − rT N (d 2 )
(5.55)
Donde
c = Valor de la opción de compra tipo europeo
S = Valor actual de la acción u otro activo subyacente
E = Precio de ejercicio o de vencimiento
r = Tasa de interés libre de riesgo
T = Tiempo de expiración
N = Función de acumulación para la distribución normal estándar
d1 =
d2 =
(
)
ln( S / E ) + r + 0.5σ 2 T
σ T
(
)
ln( S / E ) + r − 0.5σ 2 T
σ T
σ = Volatilidad de la acción u otro activo subyacente
-
Para la opción europea de venta, la fórmula es la siguiente:
124
p = Ee − rT N (− d 2 ) − SN (−d1 )
(5.56)
Donde p es igual al valor de la opción europea de venta, los demás símbolos tienen el
mismo significado que para la opción europea de compra.
Analizando la fórmula de Black & Scholes, se ve que para una opción de compra, si
el precio de S se hace muy grande es muy probable que dicha opción de compra sea
ejercida ya que, los valores d1 y d2 se hacen muy grandes, por lo que el valor que va a
tomar N (d1) y N (d2) se acercan a uno.
Por otro lado, para el caso de una opción de venta tipo europeo, si el precio de S se
hace muy grande, el precio de la opción de venta tiende a cero, esto es debido a que
los valores de N (-d1) y N (-d2) se encontrarán muy cercanos a cero.
En el caso de la volatilidad, se observa que cuando el valor de σ es muy cercano a
cero, el valor d1 y d2 se acercan a infinito, por lo que los valores de N (d1) y N (d2) se
aproximarían bastante a uno.
Para apreciar mejor el funcionamiento de este modelo, veamos un ejemplo numérico
para una opción de compra tipo europeo que expira en un año. Su precio de ejercicio
es de $100 para una acción que tiene un precio al día de hoy de $90 con una
desviación estándar de 0.3 y una tasa de interés libre de riesgo del 10%.
Lo primero que se calcula son los valores de d1 y d2:
d1 =
ln(90 / 100) + (0.1 + 0.09 / 2) * (1)
= 0.132
0.3 *1
125
d2 =
ln(90 / 100) + (0.1 − 0.09 / 2) * (1)
= −0.168
0.3 * 1
Mediante los valores de una tabla Normal se obtiene:
N(0.132) = .5525
N(-0.168) = .4333
Por último queda solamente sustituir estos valores en la fórmula principal para
obtener:
c = (90) * (0.5525) − (100) * (e −0.1 ) * (0.4333) = 10.52
Es así que el valor de la opción de compra tipo europeo al final de un año es de
$10.52.
Ahora se muestra un ejemplo para el caso de una opción europea de venta,
suponiendo una acción cuyo valor actual es de $90, la cual tiene una volatilidad del
50% mensual, que el precio de ejercicio es de $95 y la tasa de interés es del 5%
mensual y con un tiempo de expiración de tres meses.
Al igual que el ejemplo anterior, primero es necesario calcular los valores d1 y d2, los
cuales son:
d1 = [ln(90 / 95) + (0.05 + (0.5 * 0.25)) * 0.25)] /(0.5 * 0.25 )
d1 = [− 0.05407 + (0.175) * 0.25] / 0.25
d 1 = −0.04128
126
El valor de d2 es de
d 2 = [ln(90 / 95) + (0.05 − (0.5 * 0.25)) * 0.25)] /(0.5 * 0.25 )
d 2 = [− .05407 + (−0.075) * 0.25] / 0.25
d 2 = −0.29128
Ahora, utilizando los valores de una tabla de la distribución Normal, se obtiene
N(d1) = N(.04128) = 0.5165
N(d2) = N(.29128) = 0.6179
La opción de venta es de
p = 95e −0.05( 0.25) (0.6179) − 90 * (0.5165)
p = 95(0.9876)(0.6179)-46.485
p = 57.9726-46.85
p = 11.4876
Es entonces que el valor de la opción europea de venta a tres meses es de $11.4876.
127
5.3 Análisis de Convergencia:
Una vez descritos estos dos modelos, se analizará la convergencia del modelo binomial
para un número de pasos considerable al modelo de Black & Scholes. Como se vio
anteriormente, el modelo binomial es otra herramienta para el cálculo de opciones, pero
para un número de pasos muy grande se vuelve extremadamente largo su cálculo sin la
ayuda de la computadora, por lo que para el desarrollo de esta parte se utilizarán
diferentes herramientas computacionales que faciliten el cálculo del modelo binomial
cuando el número de pasos se vuelve muy grande.
Para poder establecer el número de pasos óptimos para la aproximación del modelo
binomial al modelo Black & Scholes, se manejará un margen de error ε relativamente
pequeño que nos de la seguridad de que los resultados obtenidos en el modelo binomial
sean muy cercanos a los resultados obtenidos por el modelo Black & Scholes.
Además se analizará el efecto que tienen diferentes variables en el comportamiento del
modelo binomial como son la volatilidad, el precio de ejercicio, la tasa de interés y el
tiempo.
En esta parte se presentarán los resultados obtenidos en el análisis que se obtuvo en la
computadora, y más adelante, en el anexo A se mostrará el funcionamiento del programa
utilizado para el análisis de convergencia. Para establecer el análisis se seleccionará el
problema de calcular una opción europea que no paga dividendos sobre una acción con
un precio de $90, un precio de ejercicio de $100 con una tasa de interés libre de riesgo
del 10% y suponiendo una volatilidad en el precio de la acción del 30%. El plazo de vida
de la opción es de un año.
128
Calculando el precio de la opción por medio del modelo Black & Scholes se obtiene un
resultado de $10.51986, ahora se hará el cálculo por medio del modelo binomial para n =
1 hasta n = 10, donde n representa el número de pasos a realizar. A continuación se
muestra el precio de la opción para cada caso junto con la desviación absoluta entre el
resultado obtenido con el modelo Black & Scholes:
Tabla 5.1 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos
No. Pasos
Valor de la Opción
Dif. Absoluta
1
11.63129324
1.111433242
2
10.93082782
0.410967824
3
10.51238226
0.007477739
4
10.92909842
0.409238419
5
10.26050933
0.259350672
6
10.85067029
0.330810292
7
10.1513206
0.368539402
8
10.77922971
0.259369707
9
10.21501581
0.304844185
10
10.71973513
0.199875127
Fuente: Elaboración propia
Analizando los resultados obtenidos se observa que para los dos primeros períodos, el
precio de la opción va en descenso, y se pensaría que conforme se sigan realizando más
pasos los valores seguirán bajando hasta llegar a acercarse al resultado de $10.51986
obtenido con el otro modelo.
Sin embargo, el resultado obtenido a tres pasos es de $10.51238226, el cual ya es menor
que el valor obtenido con el modelo Black & Scholes, de igual forma, el valor obtenido
en el cuarto paso es de $10.92909842, el cual ahora es mayor al valor que queremos
llegar mientras que al quinto paso el precio de la opción es de $10.26050933, el cual es
mucho menor al valor obtenido en el tercer paso.
129
Analizando por separado los valores obtenidos en los números pares e impares se aprecia
un comportamiento muy diferente entre estos dos, parecería que a medida de que se van
haciendo más pasos el valor iría descendiendo hasta aproximarse demasiado al valor
obtenido en el modelo B & S, sin embargo, esto no ocurre así, por lo que sería
conveniente apreciar el comportamiento que tienen las series pares e impares a un
número de pasos más grande. A continuación se muestra gráficamente el comportamiento
de las series pares e impares haciendo n = 50 pasos:
Precio de la Opción
Método Binomial(Períodos Impares)
12
11.8
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2
10
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.5 Comportamiento de la convergencia para pasos impares
Fuente: Elaboración propia
Precio de la Opción
Método Binomial(Períodos Pares)
12
11.8
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2
10
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.6 Comportamiento de la convergencia para pasos pares
Fuente: Elaboración propia
130
En las figuras anteriores se puede apreciar el comportamiento que tiene cada serie, en las
dos figuras se nota una oscilación ascendente y descendente alrededor del valor que se
quiere aproximar. Lo que se hubiera esperado hubiera sido una similitud entre las dos
figuras, sin embargo, se observa un comportamiento muy diferente entre estas dos series.
Se muestra gráficamente el comportamiento que tienen las dos series juntas, aquí se
puede observar de una manera más clara la manera en que los valores se van acercando al
valor obtenido en el modelo de B & S.
Precio de la Opción
Método Binomial
12
11.8
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2
10
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.7 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se observa la manera en que los valores van oscilando alrededor del
valor que se quiere aproximar, sin embargo, la precisión con la cual se acercan estos
valores todavía no es la esperada si se considera un nivel de error ε de 0.005, por lo que
se requieren más pasos o iteraciones para poder llegar hasta ese nivel de exactitud.
Para observar a partir de que paso se obtendrán valores que se llegarán a aproximar al
valor obtenido en el modelo de B & S y se encontrarán dentro de nuestro intervalo, se
realizó el modelo binomial a 250 pasos. Los resultados obtenidos se muestran
gráficamente en la siguiente figura:
131
Precio de la Opción
Método Binomial
10.6
10.55
10.5
10.45
10.4
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.8 Comportamiento de la convergencia realizando 250 pasos
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se aprecia que ahora el nivel de oscilación de los precios de la
opción en cada paso ha ido bajando, aunque en esta figura no se puede apreciar
detalladamente si los valores obtenidos se encuentran dentro de nuestro margen estimado
de error ε, por lo que a continuación se muestra la figura 5.9, la cual ilustra a un intervalo
mucho menor, si la convergencia del modelo binomial está dentro del margen de error. Se
representa el valor absoluto de la diferencia entre el precio obtenido en cada paso del
modelo binomial con respecto al valor de $10.51986 obtenido en el modelo de B & S:
Desv. Absoluta
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0
50
100
150
200
250
Figura 5.9 Desviación absoluta de los valores obtenidos por el modelo binomial
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, hay una gran cantidad de valores que se
encuentran dentro del margen de error establecido, pero todavía no se puede asegurar que
132
los demás valores que se obtengan realizando más pasos sigan estando dentro del nivel de
error.
Por lo que se realizará el promedio de los precios obtenidos en la serie par y la serie
impar para observar si es que obteniendo valores intermedios se llegue a una
convergencia con nuestro margen de error establecido en un principio sin tener que
realizar un número mayor de iteraciones, los resultados obtenidos al realizar la desviación
absoluta del valor promedio entre cada valor par e impar fueron los siguientes:
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0
50
100
150
200
250
Figura 5.10 Desviación absoluta del promedio de las series par e impar
Fuente: Elaboración propia
Comparando la figura anterior con la figura 5.9, se puede apreciar perfectamente que
realizando esta técnica de aproximación los resultados obtenidos fueron mucho mejores
que los obtenidos solamente de la diferencia absoluta de cada valor que se obtuvo en cada
paso del modelo binomial con respecto al resultado obtenido por el modelo Black &
Scholes.
A continuación se verá de que manera la convergencia del modelo binomial para
opciones de compra y venta de tipo europeo, es sensible a cambios en el precio de
ejercicio, la volatilidad de la acción, la tasa de interés y el tiempo. Con este fin se
133
analizará cada variable por separado, es decir, se analizará el efecto que el cambio de una
variable causa en la convergencia dejando las demás variables constantes.
Análisis de la convergencia ante un cambio del precio de ejercicio, opción de compra:
Retomando el ejemplo anterior, y suponiendo que el precio de ejercicio se aleja aún más
del precio de la acción, es decir, que en lugar de ser el precio de ejercicio de $100 sea
ahora de $110, con una volatilidad del 30%, una tasa de interés del 10% y el período de
tiempo a un año, los resultados obtenidos son los siguientes realizando el modelo binomal
a 250 pasos:
Precio de la Opción
Método Binomial
7.2
7.15
7.1
7.05
7
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.11 Comportamiento de la convergencia aumentando el precio de ejercicio
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se puede apreciar la oscilación del precio de cada paso con respecto
al resultado obtenido al aplicar la fórmula de B & S, el cual es de $7.15833.
Para apreciar si los valores posteriores se encontrarán dentro del margen de error ε de
0.005 se muestra a continuación la figura con las diferencias absolutas y las diferencias
absolutas del promedio entre los precios de las opciones del modelo binomial en cada
paso con respecto al resultado obtenido por el modelo B & S:
134
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.12 Comparación de la desviación absoluta y desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, nuevamente la desviación absoluta del
promedio de las series par e impar resulta ser una mejor aproximación que la desviación
absoluta, ya que comparando las dos figuras se puede asegurar que con la desviación
absoluta del promedio se cumple con el margen de error establecido y que los valores
posteriores al paso 250 se encontrarán dentro de este rango, mientras que la gráfica que
muestra la desviación absoluta de los valores obtenidos en el modelo binomial con
respecto al valor obtenido en el modelo de B & S presenta todavía demasiados valores
fuera del intervalo de error manejado.
Análisis de convergencia con respecto a la volatilidad:
Suponiendo una volatilidad del 60% con los demás datos constantes los resultados
obtenidos se muestran en la siguiente figura:
135
Precio de la Opción
Método Binomial
21.2
21.15
21.1
21.05
21
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.13 Comportamiento de la convergencia al aumentar la volatilidad
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se muestra que la oscilación de los precios con respecto al precio de
$21.04004 obtenido con la fórmula de B & S es mucho mayor con respecto a los casos
anteriores. Y nuevamente, para poder apreciar si la convergencia obtenida es la esperada
se muestra la siguiente figura mostrando la desviación absoluta y la desviación absoluta
del promedio:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
Figura 5.14 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Para obtener un mejor resultado se realizó el modelo binomial a 500 pasos, sin embargo
aunque la gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio muestra un
comportamiento más próximo al nivel de confianza, todavía no se tiene la certeza de que
los demás valores se encontrarán también dentro del margen de error de 0.005, mientras
136
que la gráfica que muestra la desviación absoluta presenta todavía un comportamiento
demasiado errático, por lo cual se puede decir que nuevamente la técnica de la desviación
absoluta del promedio resulta ser una herramienta bastante importante para lograr una
mayor aproximación y obtener mejores resultados.
Ahora, con una volatilidad del 20% los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Precio de la Opción
Método Binomial
7
6.95
6.9
6.85
6.8
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.15 Comportamiento de la convergencia al disminuir la volatilidad
Fuente: Elaboración propia
A diferencia del caso anterior, aquí se observa que la oscilación es mucho menor, ahora
se muestra la figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta del promedio de
los valores obtenidos en cada paso con respecto al valor obtenido con la fórmula B & S:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.16 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
137
La figura anterior muestra que al bajar la volatilidad del precio de la acción, hay un
mayor número de valores observados dentro de nuestro nivel de error, lo cual es indicio
de que a una volatilidad menor se llega a una convergencia más rápidamente tomando un
margen de error establecido.
Convergencia relacionada a la variación en la tasa de interés libre de riesgo:
Al igual que en los análisis anteriores, se mostrará el efecto que causa alguna variación de
la tasa libre de riesgo en la convergencia del modelo binomial. Se ejecutará el modelo
para n = 250 con una tasa del 20%, la cual es mayor a la establecida en el ejemplo
anterior. Dejando los demás datos fijos, los resultados obtenidos se muestran en la
siguiente figura:
Precio de la Opción
Método Binomial
14.9
14.85
14.8
14.75
14.7
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.17 Comportamiento de la convergencia al aumentar la tasa de interés
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior nos muestra la oscilación que se presenta aumentando la tasa de interés
libre de riesgo, se observa como a medida de que se realizan más pasos la diferencia entre
los valores se va haciendo cada vez más pequeña, para apreciar que tanto es nuestro nivel
de aproximación con un margen de error igual a 0.005 se muestra la diferencia absoluta y
138
la desviación absoluta promedio de cada uno de los valores con respecto al precio
obtenido en el modelo B & S:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
0
250
50
100
150
200
250
Figura 5.18 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Con una tasa del 5%, los resultados fueron los siguientes:
Precio de la Opción
Método Binomial
8.7
8.65
8.6
8.55
8.5
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.19 Comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de interés
Fuente: Elaboración propia
Como muestra la figura anterior, a una tasa de interés menor a la establecida, no se puede
apreciar si el rango de oscilación es menor con respecto a la figura 5.17, donde se
muestra la convergencia con una tasa de 20%, a comparación de lo ocurrido con la
volatilidad por ejemplo. Para apreciar de una mejor forma el grado de convergencia se
muestra la siguiente figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta promedio:
139
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
0
250
50
100
150
200
250
Figura 5.20 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se puede apreciar que al bajar la tasa de interés hay un número
mayor de valores dentro de nuestro margen de error tomando en cuenta la gráfica que
muestra la desviación absoluta del promedio. Esto comparado con la gráfica de la figura
5.18, la cual muestra que empieza a haber valores que se encuentran dentro del nivel de
confianza establecido hasta llegar a ejecutar el modelo casi a 100 períodos manejando
una tasa de interés del 20%, tomando en cuenta la desviación absoluta del promedio.
Relación entre el tiempo y la convergencia:
A continuación se muestra el estudio realizado con respecto a la convergencia tomando
en cuenta un tiempo de medio año, los resultados fueron los siguientes:
Precio de la Opción
Método Binomial
5.6
5.55
5.5
5.45
5.4
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.21 Comportamiento de la convergencia al disminuir el tiempo
Fuente: Elaboración propia
140
La figura anterior muestra el comportamiento de los precios obtenidos en cada paso, se
observa que el nivel de oscilación es más pequeño, lo cual puede deberse a que a medida
de que el tiempo de vida de la opción es menor, el tamaño de cada uno de los intervalos
de tiempo en que es dividido el período de vida de la opción se hace más pequeño, para
observar si el nivel de convergencia requerido se cumple realizando 250 pasos se muestra
la siguiente figura que contiene a la desviación absoluta y desviación absoluta promedio:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.22 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra ahora que manejando un período de medio año los valores se
acercan de una forma más rápida al valor obtenido en el modelo de Black & Scholes, esto
en cuanto a la desviación absoluta promedio, ya que con la desviación absoluta los
valores todavía se encuentran muy dispersos y es difícil el poder apreciar un nivel de
convergencia como el mostrado con la desviación absoluta del promedio.
Ahora, para un período de tiempo de un año y medio, los resultados fueron los siguientes:
Mientras que el resultado obtenido en el modelo de B & S fue de $14.89019, los
resultados obtenidos por el modelo binomial se muestran a continuación:
141
Precio de la Opción
Método Binomial
15
14.95
14.9
14.85
14.8
0
50
100
150
200
250
Períodos
Figura 5.23 Comportamiento de la convergencia al aumentar el tiempo
Fuente: Elaboración propia
A diferencia del análisis anterior, se puede observar que ahora la oscilación es mayor a la
mostrada anteriormente cuando el tiempo de vida de la opción es menor, la desviación
absoluta y desviación absoluta del promedio de los valores encontrados en cada paso es la
siguiente:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.24 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, ante una subida en el tiempo de expiración
de la opción, el comportamiento de la convergencia al valor obtenido en el modelo de
Black & Scholes es un poco más errático que cuando se manejó un tiempo de medio año,
con lo que se observa aquí una relación negativa entre el tiempo y el nivel de
convergencia del modelo binomial.
142
Convergencia del método binomial con opciones de venta:
Para realizar este análisis, al igual que el análisis anterior, se trabajó con los mismos
datos manejados para las opciones de compra para el estudio de la convergencia del
modelo binomial al modelo de Black & Scholes.
Para una opción de venta sobre una acción con un precio actual de $90, un precio de
ejercicio de $100, una volatilidad del 30%, tasa de interés libre de riesgo del 10% con un
plazo de un año, el precio obtenido en el modelo Black & Scholes fue de $11.00360,
ahora, aplicando el modelo binomial a 10 pasos los resultados obtenidos se muestran a
continuación:
Tabla 5.2 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos
Período
Valor de la Opción
Desv. Absoluta
1
12.11503505
1.111431685
2
11.41456963
0.410966268
3
10.99612406
0.007479296
4
11.41284022
0.409236863
5
10.74425113
0.259352229
6
11.3344121
0.330808735
7
10.6350624
0.368540959
8
11.26297151
0.259368151
9
10.69875762
0.304845742
10
11.20347693
0.199873571
Fuente: Elaboración propia
Al igual que con las opciones de compra, se puede observar un comportamiento diferente
entre los valores obtenidos en los pasos pares y los valores obtenidos en los pasos
impares. Se observa que para este numero de pasos, la diferencia que existe entre los
valores obtenidos con el modelo binomial es grande, si consideramos un margen de error
143
ε de 0.005, por lo que será necesario hacer mas iteraciones para llegar a resultados que
sean favorables para el análisis.
Aplicando el modelo binomial con n = 50 los resultados obtenidos se muestran en las
siguientes figuras:
Precio de la Opción
Método Binomial
12.5
12
11.5
11
10.5
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.25 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se aprecia el comportamiento de los valores del modelo binomial
realizando 50 pasos, ahora, el comportamiento de los períodos pares con respecto a los
períodos impares se muestra a continuación en las siguientes figuras:
Precio de la Opción
Método Binomial(Períodos Pares)
12.5
12
11.5
11
10.5
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.26 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos (períodos pares)
Fuente: Elaboración propia
144
Precio de la Opción
Método Binomial(Períodos Impares)
12.5
12
11.5
11
10.5
0
10
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.27 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos (períodos impares)
Fuente: Elaboración propia
Aunque pareciera que los valores obtenidos realizando 50 pasos se acercan bastante al
precio obtenido con el modelo de B & S, no se encontró ningún nivel de convergencia
cuya diferencia absoluta estuviera dentro de nuestro nivel de confianza, por lo que se
decidió aplicar el modelo binomial con n = 250 para poder comparar los resultados
obtenidos con los resultados manejando opciones de compra.
A continuación se muestra gráficamente la convergencia del modelo binomial al modelo
B & S a 250 pasos:
Precio de la Opción
Método Binomial
11.1
11.05
11
10.95
10.9
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.28 Comportamiento de la convergencia realizando 250 pasos
Fuente: Elaboración propia
145
La figura anterior muestra las oscilaciones de los valores en cada uno de los pasos
alrededor del valor de $11.00360. Para apreciar si el nivel de convergencia es el esperado
al realizar las 250 iteraciones se presenta la siguiente figura:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.29 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Al igual que las opciones de compra, se observa que obteniendo la desviación absoluta
del promedio se llega a una mejor y más rápida aproximación que además se encuentra
dentro del nivel de confianza establecido. A partir de la iteración número 150
aproximadamente se puede observar que los valores obtenidos no rebasan el rango de
0.005.
Relación de la volatilidad con la convergencia del modelo binomial:
Al igual que con las opciones de compra se aplicó el modelo binomial, pero con una
volatilidad del 60%, los resultados obtenidos fueron los siguientes:
146
Método Binomial
Precio de la Opción
21.6
21.55
21.5
21.45
21.4
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.30 Comportamiento de la convergencia al aumentar la volatilidad
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra la gran variación de los precios ocasionada por una volatilidad
bastante elevada. El resultado obtenido utilizando B & S fue de $21.52378, por lo que se
necesitaría realizar un mayor número de pasos para poder lograr la convergencia del
modelo binomial requerida, al igual que ocurrió con las opciones de compra. Para
apreciar lo anterior se presentan las siguientes figuras que describen la desviación
absoluta y desviación absoluta del promedio:
Desv. Absoluta Promedio
Desv. Absoluta
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
Figura 5.31 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra un comportamiento igual o muy parecido en cuanto a los
valores obtenidos para las opciones de compra, por lo que se observa un efecto casi igual
147
al que presenta el modelo binomial en su convergencia ante cambios de sus parámetros
tanto para opciones de compra como de venta.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para una volatilidad menor a la
establecida, los resultados fueron los siguientes para una volatilidad del 20%:
Método Binomial
Precio de la Opción
5.7
5.65
5.6
5.55
5.5
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.32 Comportamiento de la convergencia al disminuir la volatilidad
Fuente: Elaboración propia
A diferencia de los resultados obtenidos con una volatilidad muy elevada, en este caso se
puede apreciar que la variación de los precios es mucho menor. Para poder apreciar si hay
algún resultado que se ajuste a nuestro nivel de confianza se muestran la siguiente figura:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.33 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
148
La figura anterior nos da una idea más clara de la forma en que la volatilidad afecta en la
convergencia, ya que mientras que con una volatilidad muy elevada, no se encontraron
resultados favorables, teniendo que realizarse el doble de pasos o más, ahora, con una
volatilidad más baja, se encontraron muchos valores muy cercanos a nuestro margen de
error con un número de iteraciones mucho menor.
Relación entre el precio de ejercicio y la convergencia del modelo binomial:
La oscilación de los precios obtenidos en cada paso al aumentar el precio de ejercicio a
$110 se muestra a continuación, el precio obtenido en el modelo Black & Scholes fue de
$16.69045:
Método Binomial
Precio de la Opción
16.8
16.75
16.7
16.65
16.6
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.34 Comportamiento de la convergencia al aumentar el precio de ejercicio
Fuente: Elaboración propia
Para poder apreciar mejor si la manera en que los valores obtenidos en el modelo
binomial se acercan al resultado obtenido en el modelo de B & S es buena, con un
margen de error establecido anteriormente de0.005, se presenta la siguiente figura, la cual
muestra la distancia que guardan los datos obtenidos al aplicar el modelo binomial con
respecto al valor obtenido al valuar la opción con el modelo de B & S:
149
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.35 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Se observa también que el comportamiento que se describe en la figura anterior es
bastante parecido a la desviación absoluta y desviación absoluta promedio mostrada en
las opciones de compra, además se puede apreciar que con este número de pasos podría
tenerse la certeza de que los demás valores se encuentren dentro del margen de error ε =
0.005 establecido.
Relación entre la tasa de interés y la convergencia:
Los resultados obtenidos aumentando la tasa de interés a 20% se muestran a
continuación, el precio obtenido por el modelo de Black & Scholes fue de $6.68464:
Método Binomial
Precio de la Opción
6.8
6.75
6.7
6.65
6.6
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.36 Comportamiento de la convergencia al aumentar la tasa de interés
Fuente: Elaboración propia
150
La figura anterior muestra que al duplicar la tasa de interés, el comportamiento de la
convergencia no parece presentar cambios tan visibles como los obtenidos al aumentar la
volatilidad como se pudo observar también en las opciones de compra. A continuación se
muestra la siguiente figura la cual contiene a la desviación absoluta y desviación absoluta
promedio, para poder apreciar si el nivel de convergencia mostrado es suficiente
contemplando nuevamente un margen de error de 0.005:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.37 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Aunque pareciera por la figura anterior que los cambios no eran tan visibles, al realizar la
desviación absoluta y desviación absoluta promedio se puede apreciar que los valores
obtenidos todavía se encuentran muy alejados del valor obtenido con el modelo de Black
& Scholes a aproximar.
Ahora, disminuyendo la tasa de interés libre de riesgo el comportamiento de la
convergencia se muestra a continuación en la siguiente figura:
151
Método Binomial
Precio de la Opción
13.9
13.85
13.8
13.75
13.7
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.38 Comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de interés
Fuente: Elaboración propia
Ahora, para poder apreciar si es que hay un valor que está dentro de nuestro nivel de
confianza se muestran las siguientes figuras. El valor obtenido en el modelo B & S fue de
$13.78399:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.39 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Al bajar la tasa de interés a un 5%, se puede observar en las gráficas anteriores que el
nivel de convergencia del modelo binomial fue mayor y mejor al obtenido con una tasa
de interés del 20%. A la vez que se muestra que la desviación absoluta del promedio de
las dos series siguió presentando los mejores resultados, ya que se obtuvo al igual que los
casos anteriores, una convergencia mucho mayor con un número menor de iteraciones.
152
Relación del tiempo con la convergencia:
Para un período de medio año, los resultados fueron los siguientes:
El modelo Black & Scholes arrojó un resultado de $10.64381, y la convergencia del
modelo binomial se muestra a continuación en la siguiente figura:
Método Binomial
Precio de la Opción
10.7
10.65
10.6
10.55
10.5
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.40 Comportamiento de la convergencia al disminuir el tiempo
Fuente: Elaboración propia
Al igual que en los casos anteriores, se muestra la figura que contiene las gráficas de la
desviación absoluta y desviación absoluta promedio:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.41 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Ahora, tomando en cuenta un plazo de 1.5 años los resultados fueron los siguientes:
El valor obtenido en el modelo B & S fue de $10.96098, y el comportamiento de la
convergencia del modelo binomial a 250 pasos es el siguiente:
153
Precio de la Opción
Método Binomial
11
10.95
10.9
10.85
10.8
0
50
100
150
200
250
300
Períodos
Figura 5.42 Comportamiento de la convergencia al aumentar el tiempo
Fuente: Elaboración propia
Se aprecia que a mayor plazo de tiempo para la expiración de la opción, las oscilaciones
presentadas por los diferentes precios alrededor del valor $10.96098, son mayores.
Ahora, para apreciar si el nivel de convergencia se encuentra dentro del nivel de error al
realizar un total de 250 pasos se muestra la figura de la desviación absoluta y desviación
absoluta promedio:
Desv. Absoluta
Desv. Absoluta Promedio
0.005
0.005
0.004
0.004
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
Figura 5.43 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Los resultados obtenidos que aparecen en la figura anterior muestran que aumentando el
plazo de vida de la opción, el grado de convergencia es menor, y que al disminuir el
tiempo se llega a tener una convergencia mayor en menos tiempo, por lo que se podría
154
decir que existe una relación negativa entre el tiempo y el nivel de convergencia obtenido
al realizar el modelo binomial.
También se pudo apreciar que no solo en las figuras anteriores el promedio de los valores
pares e impares resultó ser una herramienta bastante importante, sino que en cada
comparación que se hizo con respecto a las diferencias absolutas de cada valor
encontrado en el modelo binomial obtuvo mejores resultados y realizando un menor
número de pasos, por lo que para posteriores análisis será tomada en cuenta esta
herramienta de aproximación.
155
5.4 Aplicación del Modelo Binomial en la Práctica:
A continuación se analizará la convergencia del modelo binomial, pero con un nivel de
confianza de 0.05, en la práctica no se maneja un nivel de exactitud tan grande como el
descrito anteriormente, en las lecturas relacionadas referentes al modelo binomial hacen
referencia a un número aproximado de 30 pasos para decir que el nivel de aproximación
es bueno, sin embargo, para casos en los cuales hay una volatilidad en el precio de la
acción muy elevada, el margen de error es elevado.
El nivel de confianza que se encontró en promedio aplicando el modelo binomial a 30
iteraciones fue de 0.1, es por ello que se analizará el número de pasos necesario para
obtener un nivel de confianza de 0.05 del modelo binomial con respecto al modelo de
Black & Scholes para opciones de tipo europeo ya sean de compra o venta, para después
poder aplicar este análisis a opciones de otro tipo como son las americanas, las cuales
pueden ser ejercidas en cualquier momento en la vida de la opción.
En esta parte también se hará la comparación con opciones europeas entre la diferencia
absoluta de cada uno de los pasos del modelo binomial con respecto al valor obtenido por
el modelo B & S, así como la diferencia absoluta del promedio de las series par e impar,
para poder apreciar cual de las dos técnicas presenta los mejores resultados y así poder
aplicar esta técnica a los otros tipos de opciones en los cuales no existe un modelo como
el de Black & Scholes para poder comparar la exactitud de los resultados obtenidos al
realizar el modelo binomial.
¾ Opciones Europeas de compra:
Tomando en cuenta el ejemplo anterior, donde el precio de la acción es de $90, el precio
de ejercicio de la opción es de $100, hay una volatilidad anual del 30%, la tasa de interés
156
libre de riesgo que se maneja es del 10% anual, y el tiempo de vida de la opción es de un
año.
El comportamiento gráfico al realizar el modelo binomial ya ha sido mencionado en el
análisis de la convergencia manejando un nivel de confianza de 0.005, por lo que aquí se
presentarán únicamente el número de pasos requeridos para alcanzar un nivel de
confianza de 0.05 por medio de la desviación absoluta y la desviación absoluta promedio.
A continuación se muestran las siguientes figuras en donde se muestra la desviación
absoluta y la desviación absoluta promedio para opciones de compra:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.44 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, la convergencia del modelo binomial
utilizando el promedio de las dos series es mucho más rápida que si solamente se maneja
la diferencia absoluta entre cada uno de los valores de cada paso del método binomial.
Ahora se realizará el análisis cambiando diferentes parámetros como volatilidad, precio
de ejercicio, tasa de interés libre de riesgo y tiempo, para poder confirmar si la técnica del
promedio de las dos series resulta ser la más apropiada para análisis posteriores.
157
o Relación de la convergencia con respecto al precio de ejercicio:
A continuación se analizará el comportamiento que presenta la convergencia del modelo
binomial al cambiar el precio de ejercicio. Si el precio de ejercicio fuera de $110 la
convergencia del modelo binomial se comporta de la siguiente manera manejando un
mismo margen de error de 0.05:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.45 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
En la figura anterior se puede apreciar que los valores se encuentran un poco más
dispersos, si se empleara únicamente la desviación absoluta se pensaría en realizar más
pasos del modelo binomial para poder tener la seguridad de que los demás valores
también se encontrarán dentro de nuestro margen de error de 0.05, mientras que con la
desviación absoluta del promedio no sucede lo mismo, ya que se aprecia una mayor
continuidad en cada uno de los puntos que representan la desviación existente entre el
resultado obtenido en el modelo Black & Scholes y el valor intermedio existente entre los
pasos pares y los pasos impares.
158
Al igual que el caso anterior la técnica de la diferencia absoluta promedio resultó ser
mucho más acertada para llegar a la convergencia requerida en un tiempo mucho menor.
Ahora se analizará el efecto que tienen los demás parámetros en la convergencia.
o Relación de la convergencia ante cambios en la volatilidad:
Como se vio anteriormente, ante una mayor volatilidad en el precio de la acción, los
valores obtenidos en cada paso estaban más alejados del valor obtenido en el modelo de
Black & Scholes, a continuación se presenta el comportamiento de la convergencia
aumentando la volatilidad de la acción a un 60%:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.46 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, ahora los valores presentan una mayor
desviación, aunque con una volatilidad muy elevada, la técnica de la diferencia promedio
sigue presentando excelentes resultados para evaluar la convergencia del modelo
binomial, ya que si se tomara en cuenta únicamente la diferencia absoluta se tendrían que
realizar un mayor número de pasos para alcanzar los resultados requeridos, ahora se
muestran los resultados obtenidos con una volatilidad en el precio de la acción del 15%:
159
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
Períodos
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.47 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
A diferencia de la figura anterior donde la volatilidad era muy alta, los valores obtenidos
manejando una volatilidad menor son más continuos, y ahora desde los primeros pasos se
pueden apreciar valores que se encuentran dentro del margen de error establecido,
mientras que con una volatilidad muy alta, los valores que empezaban a encontrarse
dentro del margen de error en los pasos mayores a 20 períodos.
Se observa que al igual que las figuras anteriores se sigue mostrando un mejor
desempeño utilizando la diferencia del promedio de las series par e impar, a pesar de que
la figura que muestra la desviación absoluta presenta un comportamiento más moderado.
o Relación de la convergencia ante cambios en la tasa de interés libre de riesgo:
A continuación se muestran los resultados obtenidos con respecto a la convergencia
modificando la tasa de interés en la siguiente figura:
160
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
Períodos
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.48 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra el comportamiento de la convergencia con una tasa de interés
del 5%, los cambios al bajar la tasa de interés no son tan grandes como los que se
presentaron al bajar la volatilidad del precio de la acción a 15%, aunque se puede seguir
observando que la convergencia es mayor aplicando la técnica de la diferencia absoluta
del promedio de las dos series, ahora se muestran los resultados obtenidos en la siguiente
figura al aumentar la tasa de interés libre de riesgo a 20%:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.49 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra que al aumentar la tasa de interés libre de riesgo, el
comportamiento que sigue la convergencia es un poco más errático que al bajar la tasa de
161
interés, aunque nuevamente, al aumentar la tasa al doble no se tuvieron los mismos
resultados que se presentaron al duplicar la volatilidad del precio de la acción, lo cual
hace pensar que los cambios que presenta la convergencia ante cambios en la tasa de
interés libre de riesgo no son muy significativos comparándolos junto con otros
parámetros como el de la volatilidad.
o Relación de la convergencia ante cambios en la fecha de expiración:
Toca el turno de ver que pasa con el comportamiento de la convergencia del modelo
binomial si se llegaran a presentar cambios con respecto al tiempo de vida de la opción,
al igual que en los casos anteriores se manejó la posibilidad de que la fecha de expiración
fuera menor y mayor, estos fueron los resultados obtenidos manejando una fecha de
expiración de año y medio, en lugar de un año que se manejó anteriormente:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.50 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra que aumentando el plazo de tiempo para la opción, el
comportamiento que presenta la convergencia es un poco más errático comparado con los
parámetros originales, esto puede parecer lógico ya que se podría pensar que el hecho de
aumentar el tiempo de vida de la opción y realizando un mismo número de pasos con el
162
modelo binomial, el tamaño de los intervalos en que la opción es valuada es más grande
al manejado anteriormente.
Ahora se muestra el caso contrario, es decir, los resultados obtenidos al disminuir el plazo
de vida de la opción a medio año, a diferencia del año que se manejó anteriormente:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.51 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como era de esperarse, al disminuir el tiempo de vida de la opción, los valores obtenidos
utilizando el modelo binomial tuvieron una aproximación mayor en menos pasos, a pesar
de esto, se aprecia que en la gráfica que muestra la desviación absoluta, los valores
todavía se encuentran muy dispersos y no presentan un comportamiento muy continuo
como el mostrado en la gráfica de la desviación absoluta del promedio de la serie par e
impar, por lo que al momento de haber analizado los parámetros que intervienen en el
precio de la opción y en la convergencia de este, la técnica de hacer el promedio de las
series pares e impares muestra resultados mucho mejores, a comparación de los vistos en
la desviación absoluta.
163
A continuación se verá la manera en que la convergencia del modelo binomial se
comporta para el caso de opciones de tipo europeo de venta ante el cambio de los mismos
parámetros antes mencionados en el análisis de las opciones europeas de compra.
¾ Relación de la convergencia del modelo binomial para opciones europeas de
venta:
Con los datos originales manejados en el ejemplo anterior, los resultados obtenidos en la
realización del método binomial se muestran a continuación en la siguiente figura:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.52 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior nos muestra el comportamiento de la convergencia comparando las dos
desviaciones absolutas, cabe señalar que lo que se obtuvo fue algo muy similar a los
resultados obtenidos al aplicar el modelo binomial a las opciones de compra.
En la gráfica de la derecha se puede apreciar que aunque una gran cantidad de valores se
encuentran dentro de nuestro margen de error, se pensaría en realizar más pasos para
poder tener la seguridad de que a partir del paso 100 todos los demás valores seguirán
estando dentro del nivel de error establecido, ahora, la gráfica de la izquierda muestra una
convergencia mucho más rápida, ya que los valores no se encuentran tan dispersos, sino
164
que son mucho mas continuos y se aprecia que no harían falta realizar más pasos para
poder tener la certeza de que no habrá más valores que puedan estar fuera de nuestro
margen de error.
A continuación se seguirá con el análisis de la convergencia cambiando uno de los
parámetros que intervienen en el precio de una opción de venta, dejando los demás fijos
para poder apreciar el efecto que tiene en la convergencia del modelo binomial.
o Análisis de la convergencia al aumentar el precio de ejercicio:
Los resultados obtenidos al cambiar el precio de ejercicio de $100 a $110 se muestran en
la siguiente figura:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.53 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar, ahora la mayor parte de los datos obtenidos están más dispersos
del valor obtenido en el método de B & S, lo que nos muestra que con un mayor precio
de ejercicio la convergencia presenta ciertas variaciones, aunque no en un grado muy
elevado, la gráfica de la desviación estándar del promedio muestra una mayor variación,
aunque esta es muy ligera comparada con la gráfica de la derecha, en la cual tampoco se
165
tiene la seguridad de que los valores siguientes se seguirán encontrando dentro del
margen de error de 0.05.
o Análisis de la convergencia al variar la volatilidad de la acción:
Una vez visto el efecto que tiene la variación del precio de ejercicio sobre la
convergencia, se hará el estudio del efecto que causa la volatilidad, al igual que se hizo
con las opciones de compra, se manejará una volatilidad más alta y una más baja a la
establecida en un principio.
Al aumentar la volatilidad a 60% los resultados fueron los siguientes:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.54 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
A diferencia de otros parámetros, se puede observar que el impacto que presenta la
volatilidad en la exactitud del modelo binomial es bastante grande, ya que las variaciones
observadas en la diferencia absoluta son muy diferentes con respecto a las de los casos
anteriores, la gráfica que muestra la desviación absoluta promedio también sufrió fuertes
cambios, aunque a partir del paso 40 aproximadamente se observó un comportamiento
mucho más estable, lo cual muestra que no harían falta el realizar un mayor número de
pasos para estar seguros de que valores posteriores no se encontrarán dentro de nuestro
166
nivel de error. Al disminuir la volatilidad a 15%, los resultados obtenidos se muestran a
continuación:
De s viación Abs oluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
De s viación Abs oluta Prom e dio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
80
100
Pe ríodos
0
20
40
60
80
100
Pe ríodos
Figura 5.55 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Al disminuir la volatilidad del precio de la acción se puede observar un comportamiento
mucho más estable al mostrado en la figura anterior, la gráfica de la desviación absoluta
de los valores que se encuentran dentro del rango de error muestra una dispersión menor,
aunque comparada con la gráfica de la izquierda se puede apreciar que todavía presenta
un comportamiento más errático y menos controlado.
La gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio describe un comportamiento
muy controlado y con tendencias a la baja, por lo cual podemos decir que con un menor
número de iteraciones a las 100 que se realizaron se pudo haber alcanzado el nivel de
convergencia requerido.
o Relación de la convergencia al variar la tasa de interés libre de riesgo:
Después de apreciar el efecto tan considerable que presenta la volatilidad en la
convergencia, se verá el comportamiento de cada uno de los valores ante un incremento o
decremento de la tasa de interés libre de riesgo, para las opciones de compra se observó
un cambio significativo al variar en forma ascendente o descendente la tasa de interés y
ahora se mostrará el comportamiento que las opciones de venta presentan.
167
Los resultados obtenidos manejando una tasa de interés del 20% se muestran a
continuación:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.56 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura anterior, al duplicar la tasa de interés se presentó un
comportamiento un poco más errático en los valores obtenidos, viendo la gráfica de la
desviación absoluta se observa que aunque hay una gran cantidad de valores dentro del
margen de error establecido, no existe la seguridad de que a partir del paso 100 los demás
valores que se obtengan sigan estando a una distancia de al menos 0.05 con respecto al
valor obtenido en el modelo Black & Scholes, sin embargo, la gráfica que muestra la
desviación absoluta promedio muestra una tendencia bastante rápida al valor que se
quiere aproximar sin necesidad de tener que realizar un mayor número de iteraciones, por
lo que se puede decir que representa una técnica más efectiva para obtener una gran
exactitud.
Ahora, con una tasa de interés del 5% los resultados fueron los siguientes:
168
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
Períodos
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.57 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
A diferencia de la figura anterior, el comportamiento obtenido al disminuir la tasa de
interés libre de riesgo fue más estable, aunque la gráfica que muestra la desviación
absoluta sigue presentando una variación en los valores obtenidos más elevada y casi no
se aprecia una continuidad en los valores que haga pensar que se cuenta ya con un grado
de exactitud esperado, por lo que se tendrían que realizar un mayor número de pasos para
poder estar completamente seguros a diferencia de la gráfica que representa la desviación
absoluta promedio.
o Relación de la convergencia ante cambios en el tiempo de vida de la opción:
Los resultados obtenidos al aumentar el plazo de vida de la opción a 1.5 años fueron
De s viación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Des viación Abs oluta Prom edio
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Pe ríodos
Figura 5.58 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
169
Ahora, manejando un plazo de vida de medio año, los resultados obtenidos se muestran a
continuación:
Desviación Absoluta
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
Valores
Valores
Desviación Absoluta Prom edio
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
0
20
40
60
Períodos
80
100
0
20
40
60
80
100
Períodos
Figura 5.59 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio
Fuente: Elaboración propia
La relación que fue encontrada acerca del comportamiento de la convergencia ante una
variación, ya sea positiva o negativa con respecto al tiempo de vida de la opción fue
positiva, ya que como lo muestran las figuras anteriores, ante un plazo de tiempo mayor
al establecido originalmente, los valores obtenidos por el modelo binomial se encuentran
un tanto más dispersos al resultado que arrojó el modelo Black & Scholes, y
disminuyendo el tiempo a medio año, hay un mayor número de valores encontrados
dentro del margen de error establecido, y el comportamiento que presentan estos puntos
es mucho más estable.
Opciones Americanas:
A continuación se muestran los resultados obtenidos al aplicar el modelo binomial para el
cálculo de opciones americanas de compra y venta, al igual que con las opciones
europeas, se desarrolló un programa para calcular el precio de la opción con un número
de pasos considerable, la elaboración de este programa para valuar opciones americanas
170
sirvió como parte fundamental para un mejor análisis, ya que sin esta herramienta no se
hubieran podido realizar este tipo de cálculos a un nivel de exactitud elevado.
Aplicación del modelo binomial para evaluar opciones de tipo americano de compra y
venta:
Como se mencionó anteriormente, por la manera de ser ejercidas las opciones se
caracterizan principalmente en americanas y europeas. En esta parte se presentará la
manera en que una opción americana es calculada, así como los resultados obtenidos por
el programa creado para su cálculo.
En cuanto al grado de exactitud del cálculo de opciones americanas, se mostrarán los
resultados obtenidos gráficamente con respecto al promedio de las series par e impar, ya
que como se mostró en los análisis anteriores, esta técnica presentó resultados excelentes
con un número de pasos mucho menor se logró un nivel de exactitud bastante
considerable.
En este tipo de opciones no se puede mostrar la diferencia que se presenta en cada valor
obtenido con respecto al modelo Black & Scholes, debido a que este modelo solamente
es utilizado para calcular opciones de tipo europeo, por lo que solamente se hará una
interpretación tomando como base el análisis hecho anteriormente de la convergencia del
modelo binomial para las opciones americanas, ya que a partir de este análisis se puede
tener un panorama bastante amplio en cuanto al número de pasos necesarios para obtener
una exactitud considerable.
En la interpretación se conserva el margen de error que se desea mantener de 0.05, y para
esto se aplicará el modelo binomial a 50 pasos, ya que como se vio anteriormente, a partir
171
de este número de pasos, los valores posteriores encontrados se siguieron manteniendo
dentro del nivel de error marcado.
Las opciones de tipo americano se distinguen de las de tipo europeo por el hecho de que
las opciones americanas pueden ser ejercidas en cualquier momento comprendido en el
período de vida de la opción, mientras que las opciones europeas solamente pueden ser
ejercidas al momento de la expiración de la opción, ya sea de compra o venta. Es por esto
que la manera en que son valuadas las opciones americanas es diferente al método de
valuación de opciones europeas.
Las opciones americanas son valuadas a través del modelo binomial con el siguiente
procedimiento:
Se utiliza un árbol binomial como el descrito para las opciones europeas, solamente que
aquí se procede período por período, calculando cada uno de los nodos dependiendo si es
conveniente o no el ejercicio de la opción hasta llegar al nodo inicial.
Para apreciar mejor lo descrito anteriormente se muestra el siguiente ejemplo, en el cual
se quiere calcular una opción americana de venta sobre una acción que tiene un precio
actual de $50, el precio de ejercicio de la opción es de $52, el precio de la acción se
puede mover hacia arriba y hacia abajo en un 20%, la tasa de interés libre de riesgo para
este caso es del 5%.
La manera de calcular las probabilidades de que suba o baje el precio de la opción es
igual que con las opciones de tipo europeo, en este caso el valor de p es de 0.6282, y el
valor de 1 – p es de 0.3718. A continuación se muestra una comparación entre la manera
de valuar opciones europeas y americanas por medio del modelo binomial.
172
El árbol binomial utilizado para valuar una opción europea sería el siguiente:
$72.00
$0.00
$60
$1.41
$50
$4.19
$48.00
$4.00
$40
$9.46
$32.00
$20.00
Figura 5.60 Árbol binomial para opciones europeas
Fuente: Elaboración propia
Para poder encontrar el valor de la opción americana se evalúa cada nodo, desde los
últimos hasta el primero para poder apreciar si es óptimo o no el ejercicio de la opción. El
valor que tiene cada nodo es el máximo entre la ecuación:
f = e − r∆T ( pf u + (1 − p) f d )
y el pago obtenido por ejercer la acción antes de la expiración.
El árbol binomial empleado para valuar la opción americana es el siguiente:
$72.00
$0.00
$60
$1.41
$50
$5.09
$48.00
$4.00
$40
$12.00
$32.00
$20.00
Figura 5.61 Árbol binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
El precio de la opción en este caso fue mayor, y se debe a que en el nodo donde el precio
de la acción es de $40, el pago obtenido por ejercer la opción antes de tiempo es mayor al
173
valor esperado de ejercer un período anterior, por lo que el valor de la opción en ese nodo
es de $12, y el valor de la opción en el nodo principal es de $5.09.
Cabe señalar, que el número de operaciones necesarias para calcular el valor de una
opción americana se incrementa bastante, ya que es necesario evaluar cada uno de los
nodos en cada período para apreciar si es conveniente o no ejercer la opción antes de
tiempo, y para el cálculo de opciones europeas no era necesario, ya que en éstas no es
permitido ejercer la opción antes de su fecha de vencimiento.
A pesar de que con la ayuda de la computadora se reduce bastante el tiempo empleado
para hacer todo tipo de cálculos, el tiempo de CPU que le ocupa al programa
computacional hecho para calcular opciones americanas es mucho mayor al tiempo que
tarda el programa creado para evaluar opciones de tipo europeo.
¾ Presentación y descripción de los resultados obtenidos aplicando el modelo
binomial para valuar opciones americanas:
Al igual que lo hecho con las opciones de tipo europeo, se analizará la manera en que
cambia el comportamiento de los valores obtenidos por medio del promedio de la serie
par e impar de valores obtenidos en cada paso del modelo binomial, ya que como se vio
anteriormente, esta técnica resulta ser mucho mejor para lograr una mayor exactitud
realizando menos iteraciones. El margen de error ε que se estableció fue de 0.05, y el
número de pasos a realizar fue de 50.
En el análisis se supone que se quiere evaluar una opción de venta americana sobre una
acción cuyo precio actual es de $50, el precio de ejercicio de la opción es de $50, la
volatilidad experimentada de la acción es de 40%, la tasa de interés libre de riesgo es de
10% y el período de expiración para la opción es a 5 meses.
174
Al igual que el procedimiento descrito anteriormente, se presentan los árboles de valores
obtenidos por medio del programa computacional realizado para el cálculo de opciones
americanas.
El árbol binomial a un paso se muestra a continuación, el cual nos da un valor de
$5.268097:
5.268097
0
11.37792
Realizando el modelo a más pasos, el árbol binomial se ve de la siguiente forma:
En dos pasos:
3.989349
0
8.343858
0
0
15.29532
A tres pasos:
4.644075 1.620105
0
0
7.918081 3.349418
0
12.89022 6.924611
18.02963
A cuatro pasos:
4.137928 1.434401
0
0
0
7.019846 2.947247
0
0
11.37792 6.055672
0
16.05557 11.37792069
20.1666998
A cinco pasos:
4.488459 2.162519 0.635984
0
0
0
6.959743 3.771142 1.301666
0
0
10.36129 6.378043 2.66411557
0
14.63888 10.31064968 5.452637
18.49510943 14.63888
21.9308
Al igual que en las opciones de tipo europeo, se observan las mismas diferencias en
cuanto a los valores obtenidos en los pasos impares y pares, por lo que se ve un mismo
175
comportamiento que el mostrado en las opciones europeas, es por eso que los resultados
obtenidos realizando 50 pasos serán tomados en cuenta del valor intermedio de las dos
series de valores para tener una mejor aproximación.
Los resultados obtenidos realizando un total de 50 pasos se muestran en la figura 5.62:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
5.3
5.3
5.1
5.1
4.9
4.9
4.7
4.7
4.5
4.5
4.3
4.3
4.1
4.1
3.9
3.9
3.7
3.7
3.5
3.5
3.3
3.3
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.62 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
La figura anterior muestra ahora la manera en que los valores se van aproximando a un
valor, el cual parece ser de $4.29, a diferencia de las gráficas donde se muestra el
comportamiento de los valores sin tomar en cuenta los valores intermedios, aquí se
aprecia un comportamiento más continuo y sin tantas oscilaciones alrededor de un valor
determinado.
A continuación se muestran las diferencias encontradas en el comportamiento del modelo
binomial para opciones de venta americanas al variar parámetros como el precio de
ejercicio, volatilidad, tasa de interés y tiempo de expiración.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en el precio de ejercicio:
Ante un precio de ejercicio de $60, los resultados obtenidos se muestran en esta figura:
176
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
11.85
11.85
11.65
11.65
11.45
11.45
11.25
11.25
11.05
11.05
10.85
10.85
10.65
10.65
10.45
10.45
10.25
10.25
10.05
10.05
9.85
9.85
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.63 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar en la figura 5.63, con un precio de ejercicio más elevado hay una
mayor oscilación en los datos obtenidos en el modelo binomial como lo muestra la
gráfica del método binomial, mientras que la gráfica que muestra la convergencia
promedio, el grado de oscilaciones es mucho menor y presenta una mayor continuidad en
sus puntos, aunque a diferencia de los resultados obtenidos anteriormente, la gráfica que
muestra la convergencia promedio de la figura 5.62, donde se manejó un precio de
ejercicio de 50, muestra un menor grado de oscilación que la gráfica de la figura 5.63
donde se muestra la convergencia promedio manejando un precio de ejercicio de $60.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la volatilidad:
Con una volatilidad mayor a la establecida principalmente de un 60% se muestra a
continuación la siguiente figura que describe la forma en que los precios se fueron
comportando a lo largo de los 50 pasos realizados:
177
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
7.7
7.7
7.5
7.5
7.3
7.3
7.1
7.1
6.9
6.9
6.7
6.7
6.5
6.5
6.3
6.3
6.1
6.1
5.9
5.9
5.7
5.7
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.64 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Como se puede observar en la gráfica del método binomial de la figura 5.64 que muestra
el comportamiento de los resultados obtenidos en cada paso establece una mayor
oscilación, esto ocasionado por un aumento en la volatilidad. En la gráfica que muestra la
convergencia del promedio se puede apreciar que hay una oscilación mínima en los
valores obtenidos.
Manejando una volatilidad del 20% los resultados obtenidos se muestran en la figura
5.65:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
2.85
2.85
2.65
2.65
2.45
2.45
2.25
2.25
2.05
2.05
1.85
1.85
1.65
1.65
1.45
1.45
1.25
1.25
1.05
1.05
0.85
0.85
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.65 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
178
Analizando la figura anterior, se puede observar que ahora la oscilación que presentan
cada uno de los valores es mucho menor comparada con la figura 5.64, lo cual muestra
que con una volatilidad mayor la convergencia es más lenta.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la tasa de interés:
Una vez analizado el comportamiento ante un movimiento positivo o negativo de la
volatilidad del precio de la acción se muestra a continuación el comportamiento que
muestra el modelo binomial realizando 50 pasos, pero ahora ante variaciones tanto
positivas o negativas de la tasa de interés libre de riesgo.
Manejando una tasa de interés libre de riesgo del 15% los resultados fueron los
siguientes:
Método Binomial
Valores
Convergencia Promedio
4.95
4.95
4.75
4.75
4.55
4.55
4.35
4.35
4.15
4.15
3.95
3.95
3.75
3.75
3.55
3.55
3.35
3.35
3.15
3.15
2.95
2.95
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.66 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Con una tasa de interés mayor a la establecida, se puede apreciar que el precio de la
opción es menor al precio estimado de la opción con los datos originales, aunque el
comportamiento que presentan los valores obtenidos no presenta una variación muy
179
significativa en cuanto a la oscilación de los valores obtenidos del promedio de las dos
series.
Ahora, disminuyendo la tasa de interés a un 5%:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
5.7
5.7
5.5
5.5
5.3
5.3
5.1
5.1
4.9
4.9
4.7
4.7
4.5
4.5
4.3
4.3
4.1
4.1
3.9
3.9
3.7
3.7
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.67 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
La figura 5.67 muestra que al bajar la tasa de interés, el valor estimado de la opción es
mayor, en este caso la diferencia en el comportamiento de los valores no varía mucho con
respecto a los valores obtenidos por el modelo binomial con los datos originales.
También se aprecia aquí que el comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de
interés presenta un rango un poco más grande en el cual se encuentran los valores
obtenidos de las 50 iteraciones y la oscilación de los datos es un poco mayor que cuando
se manejó una tasa del 15%.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en la fecha de
vencimiento de la opción:
Tomando en cuenta un tiempo de 7 meses, los resultados obtenidos fueron los siguientes:
180
Método Binomial
Valores
Convergencia Promedio
5.9
5.9
5.7
5.7
5.5
5.5
5.3
5.3
5.1
5.1
4.9
4.9
4.7
4.7
4.5
4.5
4.3
4.3
4.1
4.1
3.9
3.9
0
10
20
30
40
50
0
60
10
20
30
40
50
60
Figura 5.68 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Disminuyendo el tiempo de vida de la opción a dos meses, los resultados obtenidos se
muestran en la siguiente figura:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
3.9
3.9
3.7
3.7
3.5
3.5
3.3
3.3
3.1
3.1
2.9
2.9
2.7
2.7
2.5
2.5
2.3
2.3
2.1
2.1
1.9
1.9
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.69 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Como se muestra en las figuras 5.68 y 5.69, el comportamiento del modelo binomial ante
cambios positivos en el tiempo de vida de la opción provoca una oscilación mayor en los
datos obtenidos, aunque el comportamiento del promedio de las series es muy estable, a
comparación del comportamiento en los valores obtenidos en cada paso realizado.
Variando negativamente el tiempo de vida de la opción, el comportamiento del modelo
181
binomial es lo contrario, es decir, la oscilación de los datos obtenidos es menor, como se
puede observar en la figura 5.69.
Hasta ahora se ha visto la manera en que los distintos parámetros afectan el
comportamiento del modelo binomial para las opciones americanas de venta, por lo que a
continuación se presentan los resultados obtenidos con las opciones americanas de
compra.
La figura número 5.70 muestra el comportamiento del modelo binomial realizando un
total de 50 pasos, para encontrar el precio de una opción sobre una acción con un precio
actual de $50, la volatilidad que presenta la acción es de 40%, la tasa de interés libre de
riesgo es del 10%:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
7.12
7.12
6.92
6.92
6.72
6.72
6.52
6.52
6.32
6.32
6.12
6.12
5.92
5.92
5.72
5.72
5.52
5.52
5.32
5.32
5.12
5.12
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.70 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Analizando el efecto que presenta cada variable que interviene en el modelo binomial,
para poder apreciar el comportamiento que presenta dicho modelo realizando un total de
50 pasos, se tienen los siguientes resultados:
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en el precio de ejercicio:
Ante un precio de ejercicio de $60, los resultados obtenidos se muestran en la figura 5.71:
182
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
3.55
3.55
3.35
3.35
3.15
3.15
2.95
2.95
2.75
2.75
2.55
2.55
2.35
2.35
2.15
2.15
1.95
1.95
1.75
1.75
1.55
1.55
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.71 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
En esta figura se puede apreciar que al aumentar el precio de ejercicio, el
comportamiento del modelo binomial no es tan estable, ya que presenta oscilaciones más
pronunciadas que las vistas anteriormente, y no se puede apreciar de una manera muy
clara el número al cual tienden los demás valores obtenidos por el modelo binomial y por
la convergencia promedio, a comparación de lo que se muestra en la figura 5.70 con un
precio de ejercicio de $50.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la volatilidad:
Ahora se verá el comportamiento que presentó el modelo binomial ante incrementos y
decrementos en la volatilidad, el cual, como ya se ha visto antes, es un factor muy
importante en el comportamiento de este modelo.
Con una volatilidad del 60% los resultados fueron los siguientes:
183
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
9.6
9.6
9.4
9.4
9.2
9.2
9
9
8.8
8.8
8.6
8.6
8.4
8.4
8.2
8.2
8
8
7.8
7.8
7.6
7.6
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.72 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Con una volatilidad del 20% los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
4.67
4.67
4.47
4.47
4.27
4.27
4.07
4.07
3.87
3.87
3.67
3.67
3.47
3.47
3.27
3.27
3.07
3.07
2.87
2.87
2.67
2.67
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.73 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Después de observar las figuras 5.72 y 5.73 que muestran el comportamiento del modelo
binomial ante una subida o bajada en la volatilidad del precio de la acción, se puede
concluir que hay cambios considerables, ya que el rango de oscilación de los valores
obtenidos con una volatilidad del 60% es mucho mayor al rango de los datos obtenidos al
manejar una volatilidad de solo 20%.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la tasa de interés:
184
Al aumentar la tasa de interés libre de riesgo a 15% y dejando los demás datos fijos los
resultados fueron los siguientes:
Convergencia Promedio
Método Binomial
7.65
7.45
7.25
Valores
Valores
7.05
6.85
6.65
6.45
6.25
6.05
5.85
7.65
7.45
7.25
7.05
6.85
6.65
6.45
6.25
6.05
5.85
5.65
0
5.65
0
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
60
40
50
60
Períodos
60
Figura 5.74 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Con una tasa del 5%:
Convergencia Promedio
Método Binomial
6.6
6.4
6.2
Valores
Valores
6
5.8
5.6
5.4
5.2
5
4.8
6.6
6.4
6.2
6
5.8
5.6
5.4
5.2
5
4.8
4.6
0
4.6
0
10
20
30
40
50
60
10
20
30
Períodos
Figura 5.75 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
A diferencia de los resultados obtenidos al variar la volatilidad del precio de la acción
que se muestran en las figuras 5.72 y 5.73 donde al subir o bajar la volatilidad de la
acción las oscilaciones de los datos eran muy notorias, al aumentar o disminuir la tasa de
interés libre de riesgo, las variaciones observadas en cuanto a la oscilación de los valores
obtenidos en cada uno de los pasos del modelo binomial es muy poco significativa.
o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en la fecha de
vencimiento de la opción:
185
Tomando en cuenta un tiempo de 7 meses, los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Valores
Convergencia Promedio
Método Binomial
8.4
8.4
8.2
8.2
8
8
7.8
7.8
7.6
7.6
7.4
7.4
7.2
7.2
7
7
6.8
6.8
6.6
6.6
6.4
6.4
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Figura 5.76 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Ahora, con un tiempo de 2 meses:
Convergencia Promedio
Método Binomial
4.65
4.45
4.25
Valores
Valores
4.05
3.85
3.65
3.45
3.25
3.05
2.85
4.65
4.45
4.25
4.05
3.85
3.65
3.45
3.25
3.05
2.85
2.65
0
2.65
0
10
20
30
40
50
10
60
20
30
40
50
60
Períodos
Figura 5.77 Convergencia del método binomial para opciones americanas
Fuente: Elaboración propia
Las figuras 5.76 y 5.77, referentes al comportamiento del modelo binomial muestran que
ante un tiempo de expiración mayor de la opción el rango en el cual se encuentran los
datos obtenidos al realizar un total de 50 iteraciones es mayor al obtenido cuando se
reduce el tiempo de vida de la opción, lo cual se puede apreciar mejor en las gráficas de
los valores obtenidos por el modelo binomial en cada paso, que muestran la oscilación de
los valores ante cambios en la fecha de expiración de la opción.
186