Teor´ıa BCS Abstract - Instituto de Física UNAM

Teorı́a BCS
Rosario Paredes y Vı́ctor Romero-Rochı́n
Instituto de Fı́sica, Universidad Nacional Autónoma de México,
Apartado Postal 20-364, México D. F. 01000, México.
Abstract
En estas notas se revisará el modelo BCS propuesto en 1957 por Bardeen, Cooper y Schrieffer,
que describe entre otros el mecanismo responsable del fenómeno de superconductividad en metales
a bajas temperaturas. Sin embargo debe recalcarse que el estado BCS es muy general en el sentido
que el mismo estado cuántico de pares de fermiones participa en la superposición de todos los
posibles pares para los electrones que son parte de la esfera de Fermi. La existencia de los pares
se basa en el hecho que es posible formar de pares de electrones como resultado de la presencia de
los fonones en una red cristalina. Para entender como ocurre el mecanismo de formación de pares
se puede consultar el trabajo de L. Cooper (Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys.
Rev. 104, 1956). El artı́culo original de la teorı́a BCS puede consultarse en Phys. Rev. 108, 1957.
Como antecedente del modelo BCS se encuentra el estudio de un gas degenerado de Fermi
sin interacciones, dicho estudio es un ejercicio de libros de texto de Fı́sica Estadı́stica y en particular actualmente resulta relevante el estudio de fermiones ideales confinados por potenciales
inhomogéneos.
Por otro lado se encuentra el estudio del gas de Fermi degenerado (casi ideal) con interacciones
repulsivas, también conocido como lı́quido de Fermi. A bajas temperaturas se pueden calcular los
eigenvalores de dicho sistema usando teorı́a de perturbaciones.
El interés es un gas de Femi con interacciones atractivas a bajas temperaturas. En primer lugar
se establecerá el Hamiltoniano que describe el sistema, posteriormente, basado en el hecho de la
existencia de formación de pares en presencia del gas degenerado de Fermi, BCS propone la función
de onda de muchas partı́culas y trabajando en forma variacional se establece la existencia de un
gap que explica la existencia del estado superconductor.
Como se verá a temperatura T = 0 el modelo BCS permite entender el no solo el fenómeno
de superconductividad, sino también las otras observaciones experimentales. Sin embargo, hasta
ahora no se ha conseguido entender la superconductividad de alta temperatura.
1
I.
HAMILTONIANO EN SEGUNDA CUANTIZACIÓN: FERMIONES
El ejercicio que se realizó para el caso de bosones, que es escribir el Hamiltoniano de
un sistema de muchas partı́culas en segunda cuantización, debe hacerse también para un
conjunto de fermiones tomando en cuenta la naturaleza de estos, es decir, que sus funciones
de onda son antisimétricas. Esto, a su vez, da lugar al principio de exclusión de Pauli.
La función de onda de muchos cuerpos Ψ se desarrolla como sigue:
1
X
Ψ(x1 , ..., xN , t) =
f (n1 , ..., n∞ , t)Φn1 ,...,n∞ (x1 , ..., xN )
(1)
n1 ,...,n∞ =0
donde las funciones de onda de la base Φ están dadas por el determinante normalizado
φE 0 (x1 ) φE 0 (x2 )
1
1
1/2 φE20 (x1 ) φE20 (x2 )
n1 !, ..., n∞ !
Φn1 ,...,n∞ (x1 , x2 , . . . , xN ) =
..
..
N!
.
.
φEN0 (x1 ) φEN0 (x2 )
...
...
..
.
...
φE10 (xN ) φE20 (xN ) ..
.
φEN0 (xN ) (2)
Los números cuánticos de una sola partı́cula de los estados ocupados se consideran ordenados,
0
i.e. E10 < E20 , ..., EN
. En la notación de Fock , la notación de números de ocupación, se
puede reescribir a Ψ(x1 , ..., xN , t) = hx1 , ..., xN |Ψ(t)i como sigue:
|Ψ(t)i =
X
f (n1 , ..., n∞ , t)|n1 , ..., n∞ i
(3)
n1 ,...,n∞
Los coeficientes f satisfacen las relaciones análogas para el caso de los bosones, y que se
derivan de la ecuación de Schrödinger, difieren del caso de los bosones por factores de fase
y por la restricción de que los números de ocupación pueden ser solamente 1 o 0. Esta es
la restricción que refleja la estadı́stica de la partı́culas y debe ser incorporada en el espacio
abstracto de de números de ocupación. Para fermiones es necesario que los operadores de
creación y aniquilación satisfagan las siguientes reglas de conmutación:
{ar , a†s } = δrs
(4)
{ar , as } = {a†r , a†s } = 0
(5)
y
2
Estas reglas de conmutación garantizan:
† †
1. a2s = a†2
s = 0, con lo que as as |0i = 0, que evita que dos partı́culas puedan ocupar el
mismo estado.
2. a† a = 1 − aa† donde se han considerado oparadores en el mismo modo, y por lo tanto
(a† a)2 = 1 − 2aa† + aa† aa† = 1 − 2aa† + a(1 − aa† )a† = 1 − aa† = a† a
(6)
a† a(1 − a† a) = 0
(7)
o
Esta última relación implica que el operador de número del modo s ns = a†s as tiene eigenvalores 0 o 1. Además también se puede demostrar en forma directa que el conmutador
[ns , nr ] = 0, aun que los los operadores de ceración y aniquilación anticonmuten.
3. Las reglas de anticonmutación mismas dan lugar a
a† |0i = |1i a|1i = |0i a† |1i = 0 a|0i = 0
(8)
La anticonmutación en el caso de los fermiones implica que debe tenerse mucho cuidado con
el ”signo menos” en la representación de Fock. Para ello es conveniente adoptar la siguiente
definición:
n1 n2
n∞
|n1 n2 , ...n∞ i ≡ a†1
a†2
... a†∞
|0i
(9)
El efecto de as , si ns = 1, sobre este estado es
n1
n∞
as |n1 n2 , ...n∞ i = (−1)Ss a†1
... as a†s ... a†∞
|0i
(10)
donde el factor de fase Ss se define como sigue:
Ss = n1 + n2 + ... + ns−1
(11)
Si ns = 0, el operador as se puede mover libremente sobre el vacı́o, y el resultado de su
acción es cero. Si hay una partı́cula en el estado ns , conviene primero usar la relación de
anticonmutación as a†s = 1 − a†s as y entonces tomar la as del segundo término sobre el vacı́o
donde da cero.
3
De esta forma se tiene que:

 (−1)Ss (n )1/2 | . . . n − 1 . . . i si n =1
s
s
s
as | . . . ns . . . i =
0
si ns 6= 1.
(12)

 (−1)Ss (n + 1)1/2 | . . . n + 1 . . . i si n =0
s
s
s
†
as | . . . ns . . . i =
0
si ns 6= 1.
(13)
a†s as |...ns ...i = ns |...ns ...i
(14)
Tomando en cuenta estas reglas de los operadores de creación y aniquilación, y procediendo
en forma análoga que para el caso de bosones para el término cinético y el de interacción,
se llega a que la ecuación de Schrödinger en segunda cuantización para el caso de fermiones
es:
i~
∂
|Ψ(t)i = H|Ψ(t)i
∂t
(15)
con
H=
X
a†r hr|T |sias +
rs
1X † †
a a hrs|U |tuiau at .
2 rstu r s
(16)
Es importante señalar que los subı́ndices en este Hamiltoniano son etiquetas de los estados
cuánticos de la base escogida y por lo tanto cada etiqueta tiene para propósitos prácticos
cuatro números cuánticos si se hace referencia al caso de 3 dimensiones y se toma en cuenta
el spin. Más aun, dichas etiquetas pueden ser numeradas en forma ”arbitraria” tomando
en cuenta la degenarción, y una vez que las etiquetas han sido numeradas u ordenadas, es
importante respetar ese orden para tomar en cuenta correctamente la prescripción de la
ecuación (9).
A.
Orden de los operadores
El Hamiltoniano (16) tiene un orden preestablecido por los operadores de creación
y aniquilación.
Dicho orden debe tenerse en cuenta al escribir el elemento de matriz
hk1 k2 |U |k3 k4 i. Para saber como llevar este orden consideremos el ket |k1 , k2 , . . . kN i proyectado en el bra hr1 , r2 , . . . rN |. En primera cuantización dicho braket se escribe usando un
determinante de Slater como
4
hr1 |k1 i hr2 |k1 i
1/2 hr1 |k2 i hr2 |k2 i
1
hr1 , r2 , . . . rN |k1 , k2 , . . . kN i =
..
..
N!
.
.
hr1 |kN i hr2 |kN i
...
...
..
.
...
hrN |k1 i hrN |k2 i ..
.
hrN |kN i (17)
El conjugado de este braket es
hk1 |r1 i∗ hk2 |r1 i∗
1/2 hk1 |r2 i∗ hk2 |r2 i∗
1
hk1 , k2 , . . . kN |r1 , r2 , . . . rN i∗ =
..
..
N!
.
.
hk1 |rN i∗ hk2 |rN i∗
...
...
..
.
...
hkN |r1 i hkN |r2 i∗ ..
.
∗ hkN |rN i ∗
(18)
En segunda cuantización el ket |k1 , k2 , . . . kN i tiene un equivalente, dado por la ecuación (9)
como sigue:
|k1 , k2 , .., kN i ↔
a†k1
n1 n2
nN
†
†
ak 2
|0i
. . . ak N
(19)
El conjugado de este ket también en segunda cuantización es
h0| (akN )nN . . . (ak2 )n2 (ak1 )n1 ↔ hk1 , k2 , .., kN |
(20)
Esta es la relación que indica cual es el orden que debe tenerse en cuenta en el elemento de
matriz hk1 k2 |U |k3 k4 i.
Es importante notar que la antisimetrı́a expresada en la ecuación (48) corresponde a un
conjunto de fermiones indistinguibles. Sin embargo, si se considera una mezcla formada por
átomos de dos especies diferentes y por lo tanto distinguibles, la función de onda resultante
tomará en cuenta esta naturaleza distinta. Para ejemplificar este hecho consideremos el
caso más simple que es dos fermiones con coordenadas r1 y r2 , tal que dichas coordenadas
denotan las coordenadas espaciales y de spin. Sea χ la función de onda mono electrónica
(en el caso en el que tales partı́culas sean electrones), conocida como spin-orbital. Para un
par de fermiones indistinglibles la función de onda es:
1
ψ(r1 , r2 ) = √ [χ1 (r1 )χ2 (r2 ) − χ1 (r2 )χ2 (r1 )]
2
(21)
Si por el contrario, las partı́culas involucradas fueran de naturaleza distinta, digamos
especies A y B, la función de onda del par serı́a
ψ(rA , rB ) = χ1 (rA )χ2 (rB )
5
(22)
donde los indices en las χ0 s denotan en qué estado cuántico está cada una de las partı́culas.
Más adelante generalizaremos para N partı́culas de tipo A y de tipo B. Pregunta: Cómo se
ve en segunda cuantización?.
B.
Energı́a de Fermi
El número de estados con energı́a menor que F es igual al número de estados que caen
dentro de una esfera de radio nF en la región del espacio generado por nx , ny , nz (si son
> 0 se debe considerar 18 ). La función de onda de una partı́cula en un volumen V , con
condiciones periódicas es
eikṙ
2π
ϕk (r) = √ , ~k =
~n, ~n = (nx , ny , nz )
L
V
(23)
N y V t.q. N = N↑ + N↓
1 4
N = 2 × × πn3F , nF =
8 3
3N
π
1/3
(24)
Por lo que
~2 π 2 2
~2 π 2
F =
n
=
F
2mL2
2mL2
Reescribiendo
~2
F =
2m
3π 2 N
V
donde se identifica
kF =
II.
3π 2 N
V
3N
π
1/3
(25)
2/3
(26)
1/3
(27)
GAS DE FERMI CON INTERACCIONES ATRACTIVAS
En segunda cuantización, el Hamiltoniano que describe un conjunto de fermiones con
spin 21 , etiquetados σ =↑ y σ =↓, interactuando por pares es
H=
X
k,k0 ,σ,σ 0
hkσ|h0 |k 0 σ 0 ia†kσ ak0 σ0 +
1 X
2k k k k
1 2 3 4
X
hk1 σ1 , k2 σ2 |U |k3 σ3 , k4 σ4 ia†k1 σ1 a†k2 σ2 ak3 σ3 ak4 σ4
σ1 ,σ2 ,σ3 ,σ4
(28)
6
donde a†kσ y akσ son los operadores de creación y aniquilación de una partı́cula con momento
k y componente de spin σ = 1 . Note k es vectorial k ≡ ~k. El primer término toma en cuenta
2
la energı́a cinética de las partı́culas y el segundo la energı́a de interacción.
Tomamos como base completa las funciones de onda planas para la parte espacial, asi
1
hr|kσi = √ eik·r |σi.
V
(29)
Ahora calculamos el elemento de matriz de la parte cinética,
hkσ|h0 |k 0 σ 0 i =
~2 k 2
δk,k0 δσ,σ0 .
2m
(30)
Para la parte de interacción haremos una suposición importante, aunque válida en general,
es que el operador de interacción por pares no depende del spin de los átomos. Supondremos
además que la interacción es de la forma,
U = U (|~ri − ~rj |) ∀ ~ri , ~rj ,
(31)
es decir, que sólo depende de la distancia entre cualquier par de átomos. Estas suposiciones
sobre la interacción traen varias consecuencias. Veámos.
Primero, escribimos en su totalidad el elemento de matriz,
hk1 σ1 , k2 σ2 |U |k3 σ3 , k4 σ4 i = δσ2 ,σ3 δσ1 ,σ4 hk1 , k2 |U |k3 , k4 i
Z
Z
1
0
0
3
= δσ2 ,σ3 δσ1 ,σ4 2 d r d3 r0 e−ik1 ·r e−ik2 ·r eik3 ·r eik4 ·r U (|~r − ~r0 |)
V
1
(32)
= δσ2 ,σ3 δσ1 ,σ4 δk1 +k2 ,k3 +k4 Ũ (k2 − k3 )
V
La primera igualdad es consecuencia de que el potencial no depende del spin. En la segunda
usamos la forma de las funciones de onda, y para la tercera usamos coordenadas relativas y
centro de masa, e idenficamos la transformada de Fourier del potencial,
Z
Ũ (q) = e−iq·r U (~r)
(33)
El que el potencial sólo dependa de la distancia relativa entre cada par de átomos, da lugar
a interpretar el factor δk1 +k2 ,k3 +k4 como la conservación del momento en la colisión.
Sustituyendo en el Hamiltoniano, obtenemos,
H=
X ~2 k 2
k,σ
2m
a†kσ akσ +
1
2V
X X
k1 k2 k3 k4
Ũ (k1 − k3 ) δk1 +k2 ,k3 +k4 a†k1 σ a†k2 σ0 ak3 σ0 ak4 σ
σ,σ 0
7
(34)
En forma análoga al caso de un gas de Bose a muy bajas temperaturas, la primera aproximación es considerar que la transformada de Fourier del potencial de interacción entre pares
de partı́culas Ũ (k2 − k3 ), se puede sustituir, de acuerdo con el análisis hecho para la matriz
de dispersión T (k 0 , k, Ek ), por el coeficiente Ũ (0). Solo bajo esta aproximación, existe una
simplificación adicional en el término de interacción, que se considera de importancia profunda. Supongamos que los valores (k1 , k2 , k3 , k4 ) están fijos, es decir, tomamos un término
de la suma. Notamos que podemos hacer la suma sobre las componentes de spin,
X
a†k1 σ a†k2 σ0 ak3 σ0 ak4 σ = a†k1 ↑ a†k2 ↑ ak3 ↑ ak4 ↑ + a†k1 ↑ a†k2 ↓ ak3 ↓ ak4 ↑ +
σ,σ 0
a†k1 ↓ a†k2 ↑ ak3 ↑ ak4 ↓ + a†k1 ↓ a†k2 ↓ ak3 ↓ ak4 ↓
(35)
Considere el caso de los cuatro spines para “arriba”, a†k1 ↑ a†k2 ↑ ak3 ↑ ak4 ↑ . Este término aparece
para los valores (k1 , k2 , k3 , k4 ). En la suma de tales valores, aparecerá una sóla vez también
(k1 , k2 , k4 , k3 ). Esto implica que los dos siguientes términos aparecerán,
a†k1 ↑ a†k2 ↑ ak3 ↑ ak4 ↑ + a†k1 ↑ a†k2 ↑ ak4 ↑ ak3 ↑ = 0
(36)
La suma es cero porque {ak3 ↑ , ak4 ↑ } = 0, i.e. por la anticomutación de los operadores para
diferentes estados. Esto implica que si los cuatro espines son “up” o los cuatro son “down”,
no contribuyen a la suma. Es decir, está prohibido que colisionen átomos con el mismo
estado de spin. A esto se le llama bloqueo de Pauli. Note que en los restantes casos con
diferente spin, por el mismo argumento de las reglas de conmutación, hallamos que por cada
(k1 , k2 , k3 , k4 ), tenemos tambén en la suma el caso (k2 , k1 , k4 , k3 ). Por lo tanto, de manera
efectiva obtenemis
X
a†k1 σ a†k2 σ0 ak3 σ0 ak4 σ → 2a†k1 ↑ a†k2 ↓ ak3 ↓ ak4 ↑ .
(37)
σ,σ 0
Lo anterior nos lleva a la forma más general del Hamiltoniano de un sistema de fermiones
con dos estados internos cada uno,
H=
X ~2 k 2
k,σ
2m
a†kσ akσ +
X
2
Ũ (0)
δk1 +k2 ,k3 +k4 a†k1 ↑ a†k2 ↓ ak3 ↓ ak4 ↑ .
2V
k k k k
(38)
1 2 3 4
Esta última ecuación es el Hamiltoniano de un conjunto de fermiones con spin 21 , interactuando por pares a muy baja temperatura, i.e. describe el sistema fı́sico involucrado en el
8
fenómeno de la superconductividad, efecto Meissner, dependencia del calor especı́fico con la
temperatura y efectos asociados con conductividad infinita.
OJO: Si no se considera la aproximación de contacto, no existe el bloqueo de Pauli. Es
decir, hay interacciones del tipo ↑ − ↑ y ↓ − ↓. Dicha consideración tiene como consecuencia
que si la aproximación de contacto se hace antes del proceso variacional de BCS, no habrá
término tipo Fock. Conversamente, si primero se hace el proceso variacional y después la
aproximación de contacto sı́ aparecerá el término de Fock. Este es un punto muy importante
en el contexto de los átomos ultrafrı́os.
III.
FUNCIONES DE ONDA DE PARES: SCHAFROTH-BLATT
Antes de revisar la teorı́a BCS estudiaremos la forma en la que Schafroth y Blatt visualizaron el estado base de un gas de Fermiones con interaccción atractiva, y que dió lugar a
la misma función de onda que Bardeen, Cooper y Schrieffer propusieron.
Consideremos primero el caso de dos fermiones y su función de onda en el espacio de las
coordenadas ϕ(|~rA − ~rB |), donde A y B etiquetan dos especies distintas. Dichas especies
son ↑ y ↓. En este momento no se conoce quien es ϕ(|~rA − ~rB |), i.e. no sabemos cual es la
estructura de esta función, solo pedimos que sea una función normalizable
Z
d3 rϕ∗ (|~r|) ϕ(|~r|) < ∞
(39)
pedimos esta condición para garantizar que su transformada de Fourier existe. Sea |kA kB i
un estado de momentos kA de A y kB de B, es decir el ket que etiqueta la función de onda
del par sin interacción
h~rA , ~rB |kA , kB i =
1 ikA ·~rA ikB ·~rB
e
e
V
(40)
donde hemos escogido como base de cada una de las especies al conjunto de ondas planas.
Notación: ϕ(|~rA − ~rB |) ≡ h~rA , ~rB |ϕi, |ϕi ∈ HA ⊗ HB (pertenece al espacio de Hilbert de
pares).
9
h~rA , ~rB |ϕi =
XX
kA
h~rA , ~rB |kA , kB ihkA , kB |ϕi
kB
1 X X ikA ·~rA ikB ·~rB
=
e
e
ϕ̃kA kB
V k k
A
~ =
Sean R
~
rA +~
rB
,
2
(41)
B
~ = kA + kB y ~k =
~r = ~rA − ~rB , K
kA −kB
.
2
En estas variables reescribimos
h~rA , ~rB |ϕi:
ϕ(|~r|) =
1 X X iK·
~
~ ~
e R eik·~r ϕ̃Kk
V K k
tomando la transformada de Fourier inversa:
Z
Z
Z
Z
1 X
~ ~0
~ ~0 ~
~ 0 ·R
~ −i~k0 ·~
3
3
3
−iK
r
ϕ̃Kk d R d3 rei(K−K )·R ei(k−k )·~r
d R d re
e
ϕ(|~r|) =
V K,k
ϕ̃Kk
1
=
V
Z
Z
(43)
~
~ ~
d R d3 r e−iK·R e−ik·~r ϕ(|~r|)
Z
~
= δK,0
d3 r e−ik·~r ϕ(|~r|)
~
3
(42)
(44)
pero
„
Z
−i
d3 r e
ϕ̃kA kB = δ~kA +kB ,0
~
kA −~
kB
2
«
·~
r
ϕ(|~r|)
(45)
En resumen
ϕ(|~rA − ~rB |) =
1 X X ikA ·~rA ikB ·~rB
ϕ̃kA kB
e
e
V k k
A
(46)
B
y
„
Z
ϕ̃kA kB = δkA ,−kB
3
−i
dr e
~
kA −~
kB
2
«
·~
r
(47)
Renombremos: k = kA ⇒ ϕ̃kA kB = ϕ̃k,−k ≡ ϕ̃k , que es la función de onda de un par en el
espacio de momentos, con k una de ellas y con −k la otra.
Observamos que
Z
ϕ̃k =
d3 r e−ik·r ϕ(|~r|) ⇒ ϕ(|~r|) =
1 X ik·r
e ϕ̃k
V k
tiene la estructura de un par de Cooper, aunque estrictamente no lo es pues no tiene la
presencia del mar del gas degenerado de Fermi.
10
Conclusión: Partiendo de una función de onda de un par de átomos con interacción,
tal que no se conoce su estructura, pero si que su dependencia en las coordenadas de cada
partı́cula va como |~r| = ~ra − ~rB , es decir, es una función de onda de un par, tipo onda s, o
sea que sólo depende de la distancia relativa, ϕ(|~rA − ~rB |), en el espacio de Fourier, vemos
que es la superposición de todos los posibles pares k y −k pesados por ϕ̃k .
Consideremos ahora el caso de NA y NB partı́culas tal que N = NA = NB . Sea la
siguiente propuesta la función de onda que representa el estado base de las 2N partı́culas,
tal que solo ocurren interacciones entre pares con diferente especie.
ϕA1B1 ϕA1B2
ϕA2B1 ϕA2B2
N
ΨSB (rA1 , rA2 , . . . , rAN ; rB1 , rB2 , . . . , rBN ) = .
..
..
.
ϕAN B1 ϕAN B2
. . . ϕA1BN
. . . ϕA2BN
..
..
.
.
. . . ϕAN BN
(48)
Es decir, es la función de onda de N pares, todos en el mismo estado ϕ(|~rA − ~rB |) de un
par. La función debe y es antisimétrica en A y en B por separado tomando en cuenta la
indistinguibilidad de los fermiones A y de los B. La notación es
ϕAiBj = ϕ(|~rAi − ~rBj |)
(49)
que es la función entre los pares i de A y j de B. Note que tiene un significado de “condensación” de pares en el mismo estado, sólo que debe respetar la antisimetrı́a. Esta función
de onda no está normalizada. El proceso variacional consiste en buscar φ(r), tal que
N
hΨN
SB |H|ΨSB i
N
hΨN
SB |ΨSB i
(50)
sea un mı́nimo (en el espacio de todas las funciones φ(r)). Este procedimiento no es posible
realizarlo por la restricción de que N es fijo. Como es usual, nos pasamos al Gran Canónico.
En ese ensemble es donde BCS hicieron su análisis. Abajo veremos que es equivalente
a hacerlo a la Schafroth-Blatt. El aspecto de “condensación” no es evidente en el gran
canónico como lo es en el canónico. Leggett le llama a esto, precisamente, la “condensación
de Schafroth”. Es importante señalar que dicha identificación la hace en virtud de que el
mismo estado de par esta ocupado en forma macroscópica. En otras palabras, en forma
análoga a la condensación ideal de Bose en la que un estado cuántico se ocupa en forma
macroscópica, en este caso la ocupación macroscópica es de los pares ideales de fermiones.
11
IV.
TEORÍA BCS
La esencia de la teorı́a BCS es proponer una función de onda variacional para el estado base de fermiones interactuantes, que permita explicar los fenómenos observados. La
propuesta es:
|ΨBCS i =
Y
(uk + vk a†k↑ a†−k↓ ) |0i
(51)
k
donde |0i representa el vacı́o y los coeficientes uk y vk deben ser determinados en forma
variacional y satisfacer
hΨBCS |ΨBCS i = 1
(52)
Es decir, esta función de onda se normaliza desde el inicio.
La interpretación de la propuesta BCS es que es una función de onda que representa la
superposición de todos los posibles pares, con un par, dos pares, N pares, etcétera. Notamos
que esta propuesta no conserva el número de partı́culas. Nos adelantamos a decir que el
valor de expectación del Hamiltoniano al realizar el proceso variacional deberá tomarse en el
gran canónico para tomar el cuenta la conservación del número de partı́culas. Por lo tanto
deberá tomarse que N↑ y N↓ varı́an, a potenciales quı́micos dados µ↑ y µ↓ respectivamente.
Por simplicidad, denotemos los operador de creación y aniquilación de un par con momento k, βk† y βk como
βk† = a†k↑ a†−k↓
y
βk = a−k↓ ak↑
(53)
Note que aunque los operadores ak y a†k0 obedecen reglas de anticonmutación, los operadores
βk y βk†0 conmutan si k 6= k 0 , chéquelo. Sin embargo, si k = k 0 los operadores no obedecen la
regla de conmutación de bosones, sino,
h
i
βk , βk† = 1 − a†k↑ ak↑ − a†−k↓ a−k↓
Esto indica que los pares de Cooper no son bosones.
12
(54)
Desarrollando unos cuantos términos de la función de onda BCS, eq.(51):
|ΨBCS i = (u0 + v0 β0† )(u1 + v1 β1† )...(un + vn βn† ) · · · |0i
!"
X vk vk † †
Y
X vk †
1
2
1
βk1 +
β β + ···
=
uk
1+
uk1
uk1 uk2 k1 k2
k1 <k2
k
k1
#
X
vk1 vk2 · · · vkN † †
+
βk1 βk2 · · · βk†N + · · · |0i
u
k1 uk2 · · · ukN
k1 <k2 <···<kN
!"
Y
X vk †
1 X vk1 vk2 † †
1
=
uk
1+
βk1 +
βk1 βk2 + · · ·
u
2!
u
k1
k1 uk2
k
k1
k1 ,k2
#
X
1
vk1 vk2 · · · vkN † †
†
+
β β · · · βkN + · · · |0i
N ! k ,k ,··· ,k uk1 uk2 · · · ukN k1 k2
1
2
(55)
N
donde la última igualdad es posible hacerla porque los operadores βk conmutan para diferente k y porque la acción βk† βk† sobre el vacı́o |0i es cero. Asi, las sumas en (55) no tienen
ninguna restricción. Hace falta convencerse de que en efecto la función de onda BCS representa la superposición de todos los posibles pares con momentos k y −k. Esto requiere de
trabajo. Baste decir ahora (chéquelo) que el término con N pares es la expresión en segunda
cuantización del
ϕA1B1
ϕA2B1
..
.
ϕAN B1
estado Schafroth-Blatt,
ϕA1B2 . . . ϕA1BN ϕA2B2 . . . ϕA2BN ⇔
..
..
..
.
.
.
ϕAN B2 . . . ϕAN BN X
k1 ,k2 ,··· ,kN
vk1 vk2 · · · vkN † †
βk1 βk2 · · · βk†N |0i
uk1 uk2 · · · ukN
(56)
con la identificación
ϕ̃k =
vk
.
uk
(57)
Veámos las propiedades del estado BCS. Primero, aplicamos varios de los términos entre
paréntesis al vacı́o |0i.
Con respecto a la normalización tenemos que hΨBCS |ΨBCS i = 1 implica que:
Q
hΨBCS |ΨBCS i = h0| kk0 (u∗k0 + vk∗0 βk0 )(uk + vk βk† ) |0i
Q
Q
= kk0 u∗k0 uk + kk0 h0|vk∗0 vk βk0 βk† |0i
Q
Q
= k u2k + kk0 vk∗0 vk h0|βk0 βk† |0i
Q
Q
= k u2k + k vk2 h0|βk βk† |0i
Q
= k (u2k + vk2 ) = 1 ⇐⇒ u2k + vk2 = 1 ∀ k
13
donde hemos identificado βk† = a†k↑ a†−k↓ y βk = a−k↓ ak↑ El número de partı́culas con momento
k y spin ↑ en el estado BCS es:
nk = hΨBCS |a†k↑ ak↑ |ΨBCS i
Y
= h0|
(u∗k1 + vk∗1 βk1 )(a†k↑ ak↑ )(uk2 + vk2 βk†2 ) |0i
k1 k2
= h0|(u∗k + vk∗ βk )(a†k↑ ak↑ )(uk + vk βk† )
Y
(u∗k0 + vk∗0 βk0 )(uk0 + vk0 βk†0 )|0i
k0 6=k
= h0|(u∗k + vk∗ βk )(a†k↑ ak↑ )(uk + vk βk† )|0i
= h0| u2k a†k↑ ak↑ + uk vk (βk a†k↑ ak↑ + a†k↑ ak↑ βk† ) + vk2 βk a†k↑ ak↑ βk† |0i
= vk2
(58)
Lo que indica que escrito en términos de los parámetros variacionales vk y uk el número
total de partı́culas es
N = nk↑ + nk↓ = 2
X
|vk |2
(59)
k
Antes de calcular el valor de expectación del Hamiltoniano (??) en el estado BCS, identificamos el valor de expectación del operador βk† en el estado BCS de la siguiente forma:
Fk = hΨBCS |a†k↑ a†−k↓ |ΨBCS i
Dicho valor de expectación es igual a:
Fk = hΨBCS |βk† |ΨBCS i
= h0| (u∗k + vk∗ βk )(βk† )(uk + vk βk† ) |0i
= vk∗ uk h0|βk βk† |0i
= vk∗ uk
Si suponemos que ϕ(r) es una función real, necesariamente los coeficientes variacionales que
la definen uk y vk lo son también. Por lo tanto Fk = uk vk En segunda cuantización se
trabaja en el ensemble gran canónico para tomar en cuenta la restricción de que el número
total de partı́culas es constante, de tal forma que es posible fijar N y ajustar el potencial
quı́mico µ, o dado µ encontrar hN i. Por lo tanto calcularemos el valor de expectación de
H 0 = H − µ↑ N↑ − µ↓ N↓ en el estado BCS:
14
hΨBCS |H 0 |ΨBCS i = hΨBCS |H0 − µ↑ N↑ − µ↓ N↓ + H1 |ΨBCS i
donde hemos identificado el primer término de (38) como H0 y el segundo término como H1 .
Para el término cinético tenemos que
†
∗
∗
k2 h0|(uk1 + vk1 βk1 )akσ akσ (uk2
vk∗ vk h0|βk a†kσ akσ βk† |0i
hΨBCS |a†kσ akσ |ΨBCS i =
Q Q
k1
=
+ vk2 βk†2 )|0i
= vk2 δσ↓
Con respecto al término de interacción nos damos cuenta que debido a que el momento se
conserva en la colisión y que solamente pueden ocurrir colisiones entre partı́culas en estados
diferentes de spin, se tiene que el término de la colisión da lugar a tres contribuciones.
Comenzamos con el Hamiltoniano (38),
H=
X ~2 k 2
k,σ
2m
a†kσ akσ +
Ũ (0) X †
ak+q↑ a†k0 −q↓ ak0 ↓ ak↑
V kk0 q
(60)
Supongamos además que los indices σ =↑ y σ =↓ denotan dos especies distintas A y B.
Esto quiere decir que si chocan un átomo de especie A con un átomo de especie B no se
pierde la identidad de cada uno. La regla de anticonmutación que considera que cada átomo
es fermión se preserva solamente en el otro indice cuántico, i.e. en la parte espacial detonada
con k. Asi, las reglas de anticonmutación que se obedecerán son
{ak , a†k0 } = δk,k0 {ak , a†k0 } = δk,k0
(61)
{ak , ak0 } = {a†k , a†k0 } = 0 {bk , bk0 } = {b†k , b†k0 } = 0
(62)
más
[ak , bk0 ] = 0
i
h
ak , b†k0 = 0
(63)
donde hemos identificado al operador de creación de la especie A (B) con a† (b† ) y al operador
de aniquilación de la especie A (B) con a (b).
Ası́, el Hamiltoniano (60) queda como sigue
H=
X ~2 k 2 k
2m
Ũ (0) X
a†k ak + b†k bk +
a† b † 0 b k 0 ak
V kk0 q k+q k −q
15
(64)
fı́sicamente el término de interacción quiere decir que dos átomos que inicialmente tenı́an
momentos k y k 0 terminan con momentos k + q y k 0 − q, i.e. uno pierde un momento −q y
el otro lo gana.
Nos concentramos en el valor de expectación del término de interacción HI =
a†k+q b†k0 −q bk0 ak
en la función de onda BCS
hΨBCS |a†k+q b†k0 −q bk0 ak |ΨBCS i = hHI i
(65)
Debido a que el término de colisión conserva el número de partı́culas debe estar balanceado
el número de términos del tipo uk + vk βk a la izquierda y a la derecha de HI . En otras
palabras, debe haber el mismo número de términos uk + vk βk y u∗k + vk∗ βk† a la izquierda
y derecha respectivamente. La pregunta ahora es, de todos los productos de la función de
onda BCS cuántos conservamos en cada lado?. La respuesta nos la da también el término
de interacción. Solamente será necesario considerar dos a la derecha y dos a la izquierda en
el caso en que k y k 0 sean diferentes. Si k = k 0 solo hay que considerar un término del lado
izquierdo y un término del lado derecho. Sin embargo, nos convenceremos que esta última
opción no contribuye pues no sobrevive en el lı́mite termodinámico. Por lo tanto nos queda
por determinar lo siguiente:
hHI i = h0|(uk1 + vk1 βk1 )(uk2 + vk2 β21 )HI (u∗k1 + vk∗1 βk†1 )(u∗k2 + vk∗2 βk†2 )|0i
(66)
= uk1 vk1 uk2 vk2 h0|βk1 a†k+q b†k0 −q bk0 ak βk†2 |0i + vk21 vk22 h0|βk1 βk2 a†k+q b†k0 −q bk0 ak βk†1 βk†2 |0i
donde se tomó en cuenta que los términos cruzados en realidad son un solo término. El
primer término de la derecha es el término que involucra los coeficientes Fk , mientras que
el primer término da lugar a la llamada corrección de Fock, que no es importante para la
determinación del gap como veremos mas adelante. Cabe mencionar que la presencia de
este término es motivo de debate en el ámbito de los gases atómicos ultrafrı́os.
Reescribiendo el valor de expectación del gran potencial en la función de onda de prueba
Ω = hΨBCS |Ω|ΨBCS i
Ω=2
X
k
(k − µ) vk2 + 2
Ũ (0) X
Ũ (0) X 2 2
vk vk0 +
Fk Fk∗0
V k,k0
V k,k0
(67)
Recordamos que Ω debe ser una cantidad extensiva, i.e debe ser proporcional al volumen V .
Por otro lado notamos que en lı́mite termodinámico las sumas sobre k son proporcionales al
16
volumen
X
k
V
→
(2π)3
Z
d3 k.
(68)
Por lo tanto, el término de interacción solo contribuye si tiene dos sumas. Es decir, en
realidad existen términos adicionales, pero que sólo tienen una suma y por lo tanto son
despreciables en el lı́mite termodinámico, con respecto a los anteriores.
P
Haciendo uso de la ecuación (59), es decir considerando k,k0 vk2 vk20 = N 2 /4, y tomando
en cuenta que ϕ(r) es una función real conduce a
Ω=
X
Ũ (0) X
Ũ (0)N 2
+2
Fk Fk0
(k − µ) vk2 +
2V
V k,k0
k
(69)
Comezamos ahora el proceso de minimización tomando ∂Ω/∂vk = 0 ∀ k. Recordemos que
debido a que u2k + vk2 = 1, solo es necesario minimizar con respecto a un solo parámetro.
Definiendo
∆=−
Ũ (0) X
uk vk
V
k
(70)
se encuentra que
4(k − µ0 )vk + 2∆
(vk2 − u2k )
Ũ (0)N
= 0 con µ0 = µ −
uk
V
(71)
Que es una ecuación algebraica para vk , considerando u2k +vk2 = 1. Resolviendo esta ecuación
se llega a
vk2
#
"
1
k − µ0
=
1− p
2
(k − µ0 )2 + ∆2
(72)
y
"
0
1
k − µ
1+ p
2
(k − µ0 )2 + ∆2
u2k =
#
(73)
Sustituyendo ambas expresiones en la ecuación para ∆ (Ec. 70) se encuentra
∆=−
Ũ (0) X
∆
p
V
2 (k − µ0 )2 + ∆2
k
(74)
donde la cancelación de la ∆ en ambos lados nos conduce a la afamada ecuación del gap
1=−
Ũ (0) X
1
p
V
2 (k − µ0 )2 + ∆2
k
La ecuación para N esta dada por (59) i.e.
17
(75)
N =2
X1
k
2
"
1− p
#
k − µ0
(k − µ0 )2 + ∆2
(76)
Antes de seguir es importante hacer una simplificación adicional hecha por Leggett en su
artı́culo de 1980
ρg 3 =
N
N 3
|g| 1;
Ũ (0) ' ρg = ρ2/3 ρ1/3 g
V
V
(77)
por lo tanto
N
Ũ (0) → 0
V
(78)
De esta forma todos aquellos términos que tienen µ0 pueden ser reemplazados por µ.
En la teorı́a BCS las ecuaciones (75) y (76) cierran el problema en el sentido que todas
las propiedades pueden ser obtenidas en términos de ambas. Las sumas en cada ecuación
se transforman en integrales considerando una densidad de estados apropiada (tomado en
cuenta la dimensionalidad del sistema). En tres dimensiones la ecuación para el gap se
transforma en
Z
2m
1/2
1 m 3/2 ∞
√
p
=−
d
2
4π~2 a
2π 2 ~
( − µ)2 + ∆2
0
(79)
donde se ha sustituido que
Ũ0 =
4π~2 a
m
Pero esta ecuación tiene un problema, diverge en infinito!!. Para ”curar” esa divergencia hay dos opciones. Por un lado la teorı́a BCS estrictamente hablando no tiene dicho
problema pues la suma no es sobre todas las k 0 s, es solamente sobre aquellas dentro de una
banda centrada en la k de Fermi. Dicha banda esta definida, al pasar las sumas a integrales
pesadas con una densidad de estados, por F ± ~ωD con ωD la frecuancia de Debye de los
fonones dispersados en la colisión de cada para de partı́culas. Asi, al restringir esta suma
el problema de la divergencia ya no aparece. Sin embargo si la sumas si son sobre todas
las k 0 s se debe recurrir al procedimiento hecho por Leggett en su artı́culo de 1980, que consiste en introducir la segunda corrección en teorı́a de perturbaciones cuando se considera la
aproximación de contacto
4π~2 g
1
Ũ0 ≈
+
m
V
18
4π~2 g
m
2 X
k
1
2k
(80)
Con esta ecuación, es necesario reescribir nuevamente a Ω y proceder al proceso de minimización para obtener las ecuaciones para el gap ∆ y para N , y constatar que ya no tienen
divergencias.
Las ecuaciones (75) y (76) tomando en cuenta (80) son
2π(2m)2/3
m
=
4π~2 a
2h3
Z
N
2π(2m)2/3
=
V
2h3
∞
Z
∞
1/2 1 − p
0
1/2
0
Identificando a la variable adimensional ξ =
( − µ)2 + ∆2
1
1
−p
( − µ)2 + ∆2
1
,
kF a
!
−µ
d
(81)
!
d
(82)
estas dos últimas ecuaciones se pueden
resolver para
ξ → −∞ y ξ → ∞
(83)
dichos casos corresponden a los lı́mites BCS y BEC, es decir, a regiones para las cuales la
interacción entre las partı́culas es atractiva y muy pequeña y el lı́mite en el cual se observa
la formación de pares ligados, que son moléculas formadas por dos fermiones. Las soluciones
en estos extremos son

 ∆ ≈ 8e−2 e−π/2KF |a| estado
F
ξ → −∞,
 µ = F
BCS.
(84)
y
ξ → ∞,

∆=0=
µ=−
8
3(1+π)
~2
2ma2
19
<0
µ2 ξ −1 BEC
molecular.
(85)