LINEAS DE ESPERA

LECTURA 6.2
SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Azarang M., Garcia E.
Mc. Graw Hill. México
CAPITULO 2
LINEAS DE ESPERA
2.1
INTRODUCCIÓN
Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio
supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un
conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que
aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades
pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones
pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las
entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación
que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace
necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de
sistemas.
Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable
aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el
conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos
tiene asociada una probabilidad de ocurrencia
2.2
OBJETIVO
En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las
transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar
recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de
proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por
cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo.
De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel de
servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para
minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio
como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo de la siguiente
forma:
Estos conceptos se pueden representar gráficamente de acuerdo con el esquema mostrado
en la figura 2.1.
Figura 2.1
Esquema de
optimización de una
línea de espera.
2.3 ESTRUCTURA
Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un sistema con el
fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades dispuestas para ello,
conocidas como servidores. En caso de que todas las entidades se encuentren ocupadas, la
transacción permanece en espera en la fila hasta que decide abandonar la fila sin ser
atendido, o bien, es seleccionado de acuerdo con cierta regla para recibir atención. Una vez
que el servicio ha sido completamente proporcionado, la transacción sale del sistema y se
convierte de nuevo en una transacción potencial.
Servidores
Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el
servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal
manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de
dicho servicio. Las dos características principales de los servidores son: la cantidad
asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de
atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más
comunes están la exponencial, la Erlang, la hiperexponencial, la degenerada.
Transacciones potenciales
Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por
el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos; la
primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en
consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos.
La segunda caracterísitica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas o bien a la tasa de entrada promedio. Es común encontrarse la suposición de tasas
de llegada que siguen un proceso Poisson, el cual ocurre cuando las llegadas a un sistema se
llevan a cabo de forma aleatoria; es importante hacer notar que una de las propiedades de
esta distribución es su relación con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa
en forma paralela, de acuerdo con un proceso de tipo exponencial. Existen algunos sistemas
donde la tasa de llegadas se ve afectada por la decisión de una transacción de rehusar su
entrada al sistema por razones diversas, por ejemplo del tamaño de la fila.
Fila
Is el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del
sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o
sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo
instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer
notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de
encontrar a partir
Figura 2.2
Estructura general de
un sistema de líneas
de espera.
de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones
simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados,
mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución
del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series
geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda
característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese
caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y,
por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien,
mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera.
2.4
S
n
N
A,,t
NOMENCLATURA
número de servidores
número de clientes en el sistema
número máximo de clientes permitidos en el sistema
flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema
u,7l
E(t)
V(t)
E(á)
V(a)
CQ
capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema.
tiempo promedio de proceso por cliente
variancia del tiempo de proceso
tiempo promedio entre llegadas
variancia del tiempo entre llegadas
coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al
sistema
C2S
coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio
Cp
coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del
sistema PIJ
probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y
después de un intervalo de tiempo
Pn
probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema
L
número promedio de clientes en el sistema
Lq
número promedio de clientes en la fila
W
tiempo promedio de permanencia en el sistema
Wq
tiempo promedio de permanencia en la fila
p
utilización promedio del servicio
Ct
costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Ce
costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq
costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
2.5 CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE
En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de
espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera,
expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde:
a
distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las
transacciones. b
distribución de probabilidad del tiempo de servicio.
Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
D: constante.
Ek: distribución Erlang con parámetro k.
G: cualquier tipo de distribución.
GI: distribución general independiente.
H: distribución hiperexponencial.
M : distribución exponencial. c
número de servidores d
orden de atención a los
clientes.
Los símbolos utilizados en este campo son:
FCFS: primeras entradas, primeros servicios.
LCFS: últimas entradas, primeros servicios
SIRÓ: orden aleatorio.
PR:
con base en prioridades.
GD:
en forma general.
e
número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.
/
número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera.
Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde
existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes
potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo
entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar
todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo
(M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo
de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio
exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al
llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una
distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse
en una fila común.
Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la forma
mostrada en la figura 2.3, donde se separan principalmente los modelos markovianos de los no
markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con capacidad finita y modelos con
capacidad infinita, los no markovianos, a su vez, se clasifican en modelos con tiempos entre
llegadas exponenciales y tiempos de servicio con cualquier función de probabilidad, y en modelos
con tiempos entre llegadas y tiempos de servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación
se realiza en función del procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo.
Figura 2.3
Agrupación de los
modelos de
acuerdo con el
procedimiento
matemático de
solución.
2.6
ECUACIONES GENERALES
Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes:
Utilización del servicio
Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la
razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el
servicio.
Tasa de entrada promedio
Es el valor ponderado de las tasas de entrada a un sistema y representa el número promedio de
clientes que, efectivamente, ingresan al sistema convirtiéndose de clientes potenciales en clientes
reales. A su vez, esta variable es la tasa de salida del sistema; en el caso de sistemas de manufactura
esta variable representa la producción que en promedio está logrando el sistema.
Número promedio de clientes en el sistema
Es el promedio ponderado de los diferentes estados del sistema, definiendo el estado del sistema
como el número de clientes que se encuentran acumulados tanto en espera como en servicio en
cualquier momento.
2.7 PROCESOS MARKOVIANOS
El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la propiedad
markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende
exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado
inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades condicionales se conoce como
probabilidades de transición de un paso y hay que considerar que son estacionarias, o sea
que no cambian con el tiempo. Estas probabilidades se expresan como p¿j. Hay que
recordar que en este caso, el estado se define como número de transacciones dentro del
sistema en un momento dado. La tabla 2.1 muestra la representación matricial del
comportamiento de una línea de espera, donde los índices de la primera columna
representan el estado actual del sistema y los del primer renglón los estados futuros,
relacionados entre ellos por la probabilidad condicional de que el sistema cambie del estado
actual al estado futuro.
Las probabilidades condicionales de la matriz deben de cumplir con:
Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilístico
de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de
transición de un paso de acuerdo con las ecuaciones siguientes:
Tabla 2.1
Matriz de
probabilidades de un
paso.
que forman un sistema de ecuaciones con N + 1 incógnitas, N + 1 ecuaciones
independientes y una ecuación rendundante que debe ser eliminada.
La solución de este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades
estacionarias independientes del estado en que se encuentre el sistema inicialmente; así
pues, estas probabilidades se representan conforme a la matriz de la tabla 2.2.
Tabla 2.2
Matriz de
probabilidades de
estado estacionario.
Una vez calculadas las probabilidades de estado estacionario, la solución del modelo
markoviano de líneas de espera se obtiene utilizando las ecuaciones generales descritas en
la sección anterior.
Ejemplo. Se desea encontrar el número de pacientes promedio en el consultorio de un
doctor, para ello se realizaron un total de 73 observaciones con intervalos de 5 minutos
entre cada observación, registrando en cada ocasión el número de pacientes en el
consultorio.
En la tabla 2.3 se clasifica la información en función de la relación existente entre
observacionest consecutivas distanciadas en el tiempo cada 5 minutos. Por ejemplo, de las
7^3 Observaciones totales, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado O (estado presente) y
5 minutos después (estado futuro) el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había
cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, cambiado a estado 2 en 2 ocasiones y no se observó
cambio a los estados 3 y 4; en 20 de ellas el sistema estuvo en estado 1 (estado presente) y 5
minutos después (estado futuro) el sistema permaneció sin cambio en 8 ocasiones, cambió a
estado 1 en 7 ocasiones, al estado 2 no se observó cambio alguno y, finalmente, cambió 1 y
4 veces a los estados futuros 3 y 4
respectivamente.
Tabla 2.3
Observaciones del sistema.
Calculando la probabilidad condicional de cambiar del estado presente i al estado futuro j,
puede asegurarse que:
tenemos la siguiente matriz de un paso,
Tabla 2.4
Matriz de probabilidades de un paso.
Con estas probabilidades se puede formar el siguiente diagrama de transición de un paso:
Figura 2.4
Diagrama de transición de un
paso
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario 2.15 y 2.16 a la matriz de la figura 2.4, se
genera el siguiente conjunto de ecuaciones:
P0 = 0.3P0 + 0.4PT + 0.2P2 + 0.33 P3 + 0.5P4
P! = 0.5P0 + 0.35P! + 0.2P2
P2 = 0.2P0 +
0.2P2 + 0.66 P3
P3 =
O.OSPi + 0.2P2
P4 =
0.2PX + 0.2P2
+ 0.5P4
P0 +
Pl +
P2
+
P4 - 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
P0 = 0.355
P! = 0.310
P2 =0.122
P3 =0.041
P4 =0.173
Al sustituir en la ecuación 2.6 se encuentra el número promedio de pacientes en espera:
En el ejemplo previo, las observaciones se realizaron cada 5 minutos, sin embargo es evidente
que en ese periodo pueden suceder cambios de estado que quedan fuera de la visión del
observador, por lo que se recomienda reducir al máximo el intervalo entre observaciones
consecutivas. Esta reducción permite que las observaciones de los cambios de estado se lleven a
cabo de manera continua y estén en función de la probabilidad de ocurrencia de una llegada o
una salida del sistema. Las observaciones se realizan ahora sobre estas dos últimas variables.
En el caso de los modelos markovianos M/M, la distribución de probabilidad que define la
llegada o salida de transacciones de un sistema y, por ende, los cambios de estado en un t + A£,
está dada por la distribución Poisson expresada como:
Si se define un intervalo Ai pequeño que asegure el cumplimiento de los siguientes postulados,
1. Solamente puede ocurrir una llegada entre £ y Ai.
2. Solamente puede ocurrir una salida entre £ y A£.
3. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre £ y A£.
Tabla 2.5
Matriz de
probabilidades de un paso para Ai -> O.
2.7.1
MODELOS (M/M/c)(d/N/f)
Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando éste llega a un cierto
estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la
falta de espacio, o bien a los clientes como en el" caso, por ejemplo, de que todos los
clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue
otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un
modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones
generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado
de la longitud promedio de fila o de la longitud promedio de clientes en el sistema. En este
caso, la solución se puede encontrar de la siguiente forma:
• Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para todos los estados posibles
del sistema.
• Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso.
• A partir de las ecuaciones 2.15 y 2.16, encontrar todas las ecuaciones de balance.
• Resolver el sistema de ecuaciones para la obtención de las probabilidades de estado
estacionario.
• Calcular la tasa efectiva de entrada de clientes al sistema.
• Calcular L, LQ, W, Wq y p a partir de las fórmulas generales.
• Si aplica, evaluar en términos de costo el rendimiento del sistema en estudio.
Ejemplo. Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al
sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por
una recepcionista en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega y el sistema
está lleno, se retira sin entrar. La clasificación de este sistema es (M/M/l)(FCFS/4/oo) con el
diagrama de probabilidades que se muestra en la figura 2.5.
Figura 2.5
Diagrama
probabilidades.
La matriz de un paso correspondiente al diagrama de transiciones se muestra en la tabla 2.6.
De la matriz de probabilidades de la tabla 2.6 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar las probabilidades de rstado estable:
de
Se requiere oí valor do /*> para la solución de P,,, por lo <|ur
ecuación 2.22:
.
u htuyen estos valores en la
Ahora es posible calcular las medidas de desempeño del sistema, empezando por la tasa
efectiva de entrada al sistema.
valor inferior a 8 personas/hora ya que el 32.76% del tiempo la sala de espeni está llena y se
pierden clientes.
Utilizando la ecuación 2.2 para calcular la utilización del servicio, esto o.-;, el porcentaje de
tiempo que la recepcionista se encuentra atendiendo clientes,
teniendo en mente que el servidor se encuentra ocupado en promedio el 89.6% del tiempo,
entonces el sistema tiene capacidad suficiente para atender a IOM 5.379 clientes que entran
por hora. Con la ecuación 2.4, calculamos el promedio j del número de clientes en la sala de
espera, incluyendo al que está siendo atendido por la recepcionista,
Por último, los factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el sistema
se calculan haciendo uso de las ecuaciones 2.7 y 2.9 respectivamente y los resultados son:
Para algunos clientes, probablemente parezca un tiempo de espera excesivo,
quizá esperen que su tiempo en este sentido pueda ser mejorado; una de las
-oluciones para lograrlo es, por ejemplo, contratar a una segunda recepcionista,
n este caso la clasificación del sistema es (M/M/2)(FCFS/5/oo) y tanto en el
Figura 2.6
Formas completa
y simplificada del
diagrama
de
probabilidades.
y por lo tanto,
Pl = 0.3167
P2 = 0.2111
P3 = 0.1407
P4 = 0.0938
La nueva distribución de probabilidad de estado estable nos indica un incremento en la
probabilidad de estar vacío, ya que de un 10.37% con una recepcionista ha pasado a un
23.76%. Otro dato interesante es que la probabilidad de que el sistema se encuentre lleno ha
disminuido de 32.74% a 9.38%, lo cual permite intuir que si antes el sistema permitía una
entrada efectiva de sólo 5.379 personas/hora, ahora este flujo debe aumentar, para
comprobarlo, tomamos la ecuación 2.3
con esto, el sistema ha permitido un aumento en el flujo promedio de 1.87 clientes/hora. A
pesar de tener una tasa de entrada efectiva más alta, la utilización del servicio disminuye,
principalmente por el hecho de haber duplicado la capacidad promedio de servicio; de
nueva cuenta, con la ecuación 2.2, se calcula el porcentaje de tiempo en que las
recepcionistas están atendiendo clientes:
Con los servidores trabajando un 60.4% se asegura que el sistema tiene la posibilidad de
llegar a estado estable. Con esta información y con la ecuación 2.6 se calcula el número
promedio de clientes en la fila:
La ecuación 2.5, permite calcular, de una manera más sencilla, el número de clientes
promedio incluyendo aquellos que están con cada una de las recepcionistas:
L = Lq + Sp = 0.3283 + (2)(0.604) = 1.5362
Por último, los nuevos factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el
sistema se calculan mediante las ecuaciones 2.9 y 2.8 respectivamente y los resultados son:
Como era de esperarse, se obtiene una disminución considerable en el tiempo de espera
promedio de 18.5 a 12.71 minutos/cliente.
No hay que olvidar que la decisión de agregar una recepcionista depende principalmente de
los costos en que incurra el sistema y del ahorro que se pueda generar con el cambio, por
ejemplo, si agregar esa nueva recepcionista incrementa los costos en $15/hy el ahorro
promedio, considerando el tiempo de espera en la fila de los clientes, es sólo de $10/h,
entonces no se justifica la contratación de otra recepcionista.
Ejemplo. En una oficina se cuenta con 5 impresoras. Cada una de ellas trabaja un promedio
de 2 horas con distribución exponencial antes de detenerse por falta de tinta, papel o
problemas mecánicos. Se asignaron dos personas para mantener las impresoras activas. Si el
tiempo para reactivar una impresora es de 15 minutos con distribución exponencial,
entonces, la clasificación de este sistema es: (M/M/2)(FCFS/5/5) y el diagrama de
probabilidades de estado estable se muestra en la figura 2.7, dando por consiguiente la
matriz de un paso, en la que es importante hacer notar la disminución progresiva en la
probabilidad al cambiar de un estado i a i + 1 puesto que al ir aumentando el número de
copiadoras descompuestas, la tasa promedio de entrada disminuye proporcionalmente.
Figura 2.7 Diagrama
de probabilidades de
estado estable.
Tabla 2.8
Probabilidades de un
paso de un modelo
(M/M/2MFCFS/5/5).
Este sistema de ecuaciones se resuelve de una forma similar a la de los ^emplos previos,
pero debido a que la probabilidad de que se descomponga una máquina depende del número
de máquinas ya descompuestas, las probabilidades de Pn quedan expresadas término a
término de acuerdo con:
La distribución de probabilidad para los 5 estados restantes queda:
Pl = 0.3444
P2 = 0.0861
P3 = 0.0161
P4 = 0.002
P5 = 0.00012
En este caso, la tasa de llegadas está ligada a la cantidad de copiadoras descompuestas, de
tal manera que si todas las copiadoras están trabajando, la tasa de llegadas es 5 veces más
alta que en el caso en que tengamos 4 máquinas ya descompuestas y solamente 1
trabajando; mediante la ecuación 2.3 el promedio en la tasa de entrada es:
hace que se pueda pensar en disminuir el número de servidores, en caso de que
económicamente sea adecuado.
Usando la ecuación 2.4, se calcula el número promedio de copiadoras descompuestas:
El resultado de aproximadamente 0.5 copiadoras, guarda una estrecha relación con la
utilización de los servidores, que al estar en un nivel del 27.66%. la mayor parte del tiempo
se encuentran disponibles para la reparación del equipo, consiguiendo así que las copiadoras
estén en servicio lo antes posible. Esta idea se ve reflejada también en el número promedio
de copiadoras esperando ser reparadas, valor que puede ser estimado a partir de la ecuación
2.6:
El tiempo de espera promedio antes de la reparación y/o mantenimiento calculado con la
ecuación 2.9 es:
y el tiempo promedio en el sistema incluyendo el tiempo de reparación de 15 minutos se
estima en:
W=Wq + E(t) = 0.55 + 15 = 15.55 min
2.7.2
MODELOS (M/M/c) (d/oo/oo)
En un gran número de sistemas, tanto la población potencial como la capacidad del sistema
se pueden considerar ilimitados, por ejemplo, la fila para comprar un boleto para ver un
juego de fútbol, la fila para utilizar un cajero automático, etcétera. A diferencia de los
modelos anteriores, la solución para estos casos hace necesaria la utilización de series
geométricas ya que la distribución de probabilidad de estado estable no tiene límite superior
en cuanto a la capacidad del sistema. Es importante recalcar que dada la ausencia de este
límite, se requiere asegurar la convergencia del sistema a un estado estable, para lo cual
debe cumplirse la condición de que p < 1, es decir, que la ta-sa promedio de entrada sea
estrictamente inferior a la capacidad promedio de servicio.
En este caso, la solución se puede encontrar mediante los pasos que a continuación se
expresan:
• Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para el conjunto de estados
que definan al sistema de la mejor manera posible.
• Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso.
• A partir de las fórmulas 2.15 y 2.16 definir las ecuaciones de balance.
• Representar las probabilidades de estado estacionario Pn mediante una expresión
algebraica.
• Calcular la utilización de los servidores y verificar que sea menor a 1 para asegurar la
convergencia del sistema.
• Calcular la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío (P0). En este tipo de
problemas, es necesario hacer uso de series geométricas para encontrar la convergencia de
los resultados.
• Encontrar L, Lq, W, WQ a partir de las fórmulas generales, considerando dentro del
procedimiento la utilización de las series geométricas.
• Si aplica, evaluar en términos de costo, el rendimiento del sistema en estudio.
Ejemplo. Se desea evaluar el costo promedio/hora en un sistema de producción en el cual la
entrada de materia prima a un proceso de taladrado sigue una distribución Poisson con una
tasa promedio de 9 piezas/hora. Se cuenta con un taladro manual en donde 6 minutos es el
tiempo promedio de proceso que sigue una distribución exponencial. Los costos de
funcionamiento del taladro y de inventario de piezas se estiman en $1.3/hora y $0.50
respectivamente.
Figura 2.8
Diagrama
simplificado de
probabilidades
de un paso.
El modelo queda clasificado como (M/M/l)(FCFS/oo/oo) y el diagrama de probabilidades
de un paso que se muestra en la figura 2.8, se emplea para evaluar en términos de costo se
utiliza la ecuación 2.1; sustituyendo los costos de espera y de servicio se obtiene:
lo que requiere el cálculo del número promedio de piezas en espera. Para esto se necesita
construir la siguiente matriz de estado transitorio:
Tabla 2.9
Probabilidades de un paso
para un modelo
(M/M/1MFCFS/00/00).
Aplicando las ecuaciones 2.15 y 2.16 para calcular las probabilidades de estado
estacionario, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejemplo. La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución Poisson con
una tasa promedio de 20 barcos/semana. El muelle cuenta con 3 espacios para las labores de
descarga y en cada espacio hay una grúa, con la cual es posible realizar las labores de
descarga en 1 día con distribución exponencial. Si un barco llega y los espacios están
ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de descarga. Considerando
semanas de 7 días se determinará el tiempo promedio de espera de un barco desde que llega
al puerto hasta que
empieza a ser descargado; el modelo se clasifica como (M/M/3)(FCFS/oo/oo) y se crea el
siguiente diagrama de probabilidades:
Con la expresión matemática de la distribución de probabilidad de estado estable, y la
ecuación 2.6, se calcula el número promedio de barcos en espera
Las equivalencias algebraicas son útiles para llevar a cabo el proceso para encontrar la
convergencia de la serie geométrica de Lq:
2.8 PROCESOS NO MARKOVIANOS
En algunos sistemas de líneas de espera no es posible explicar la variabilidad mediante un
proceso Poisson, lo que ocasiona que el cálculo de la distribución de probabilidad de estado
estable Pn sea difícil de obtener, dada la complejidad para encontrar la probabilidad de un
paso p¿7- Se han desarrollado ecuaciones particulares para procesos no markovianos donde
se utiliza el coeficiente cuadrado de variación Cv2 como una relación entre la media E(f) y
la variancia V(f) de las distribuciones involucradas. A continuación se presentan algunos
modelos que pueden llegar a ser de utilidad en el análisis de líneas de espera.
2.8.1 MODELO (M/G/1)(d/oo/oo)
El desarrollo de las ecuaciones para este modelo se realiza utilizando el análisis de líneas de
espera por medio de cadenas de Markov y desemboca en la obtención de la fórmula 2.30,
conocida como la ecuación de Pollaczek-Khintchine:
Ejemplo. Un sistema de manufactura cuenta, para su proceso de perforado, con un robot
programado para taladrar en 6 minutos/pieza de una manera constante. La entrada de piezas
sigue una distribución Poisson con media de 9.5 piezas/hora. Aunque se tiene suficiente
espacio para recibir todas las piezas que requieran de este proceso, se calculará el promedio
de piezas esperando ser taladradas y el tiempo promedio de permanencia en el sistema.
La clasificación del sistema es (M/G/l)(FCFS/oo/oo), donde:
A, = 9.5 piezas/hora
ILI = 10 piezas/hora
E(t) = 6 minutos/pieza
V(t) = O, por ser un proceso automatizado con tiempo constante (vea la tabla 2. 11).
Para comprobar si el sistema puede llegar a estado estable, calculamos la utilización
promedio del servicio con la ecuación 2.2:
que al ser menor a 1 asegura la estabilización. A partir de la ecuación 2.30, es posible
calcular el inventario promedio de piezas,
con este inventario promedio de 9.025, puede calcularse el tiempo de espera y el tiempo en
el sistema, utilizando las ecuaciones generales 2.9 y 2.8:
2.8.2 MODELO (M/G/S) (d/oo/oo)
Este modelo considera un conjunto de S servidores atendiendo a un número ilimitado de
clientes potenciales; no existe limitación sobre la capacidad del sistema por lo que es
preciso mantener p < 1 para lograr el estado estable. Las llegadas siguen una distribución de
probabilidad Poisson mientras que el servicio es de tipo general con media E(f) y variancia
V(t). Las fórmulas para este modelo son:
Ejemplo. La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución Poisson con
una tasa promedio de 20 barcos/semana. El muelle cuenta con 3 espacios para las labores de
descarga y en cada espacio hay una grúa, con la cual es posible descargar en promedio 1
barco/día con una varianza de 0.01. Si un barco arriba al puerto y los espacios están
ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de descarga. Si se trabaja los 7
días de la semana, el modelo se clasifica como (M/G/3) (FCFS/oo/oo). Después se
determina el número promedio de barcos esperando ser descargados.
La información relevante en el problema se resume a continuación:
K = 20 barcos/semana
fi = 7 barcos/semana
S = 3 grúas
E(f) = 1/7 semanas/barco
V(f) = 0.01 semanas/barco
Con estos datos se calcula la utilización de las grúas, para determinar si el sistema llega al
estado estable, entonces:
Del ejemplo (M/M/3)(FCFS/oo /oo) resuelto antes, se determinó que la longitud promedio
de espera es de 18.22 barcos. Al calcular el coeficiente cuadrado de variación del tiempo de
descarga con la ecuación 2.11, se obtiene:
2.8.3 MODELO (G/G/1) (d/oo/oo)
En este modelo existe un servidor y no hay un límite superior en cuanto al número de
clientes potenciales, así como tampoco sobre la capacidad del sistema. Dadas estas
condiciones el estado estable se conserva si y sólo si p < 1. El tiempo entre llegadas y el
tiempo de servicio son distribuciones generales con media E(f) y varianza V(t). Las
fórmulas siguientes se usan ampliamente para la modelación de sistemas conectados en red,
teniendo en cuenta que el manejo de la variabilidad y la conectividad entre cada elemento
de la red se debe realizar
usando las ecuaciones 2.10, 2.11 y 2.12 y que se debe respetar el balance en el flujo de
transacciones entre cada elemento de la red. Las fórmulas para el modelo (G/G/l)(d/oo/oo)
son:
Ejemplo. El tiempo entre llegadas de clientes a un taller de reparación de automóviles de
"servicio rápido" sigue una distribución Weibull con parámetros y = O horas, a = 4 horas, (3
= 2. El tiempo promedio de reparación se estima en 1.5 horas con una desviación estándar
de 0.8 horas y solamente se cuenta con un mecánico para este servicio. El dueño desea
comenzar una campaña publicitaria donde se establezca que los automóviles estarán listos,
en promedio, antes de 2 horas. ¿Debe iniciar su campaña publicitaria o tiene que replantear
su propuesta en cuanto al tiempo de entrega de los automóviles?
El modelo se clasifica como (G/G/l)(FCFS/oo/oo) y se calculan los coeficientes cuadrados
de variación para el tiempo entre llegadas y el tiempo de reparación. En el caso de las
llegadas y utilizando las fórmulas de la tabla 2.11 para una distribución Weibull, se obtiene
el tiempo esperado y su variancia. Para tal cálculo es necesario utilizar los valores de la
función gamma correspondientes a T(1.5) y F(2.0) de 0.88623 y 1 respectivamente:
Tomando la ecuación 2.32 para calcular la longitud promedio de fila para este modelo, con
el factor de ajuste k de la ecuación 2.33, correspondiente a un coeficiente cuadrado de
variación de llegadas menor a 1.
Este valor proporciona al dueño del negocio la base para lanzar su campaña publicitaria con
la confianza de poder cumplir con el plazo promedio de 2 horas.
2.9 RESUMEN
Los modelos de líneas de espera permiten analizar sistemas en los que un conjunto de
clientes llamados transacciones entran a recibir un servicio proporcionado por un conjunto
de entidades en paralelo llamados servidores. Con este análisis se obtiene un conjunto de
medidas de desempeño del sistema como la utilización de los servidores, el tiempo de
espera en la fila, la longitud promedio de transacciones en el sistema, que permitan
determinar si el servicio que se está proporcionando es adecuado.
Actualmente, este concepto se utiliza ampliamente en el modelado de sistemas de
manufactura, como una alternativa a los modelos de simulación; programas
computacionales como el MANUPLAN, permiten analizar cualquier sistema de
manufactura mediante líneas de espera conectadas entre sí formando
una red y obteniendo valores estimados en un plazo relativamente corto. Estos valores
pueden emplearse como una primera aproximación, antes de desarrollar formalmente un
modelo para la simulación del sistema.
2.10 PROBLEMAS
2.1.
Calcule la longitud promedio de la fila para un sistema (M/M/l)(FCFS/2/?), utilizando las siguientes
probabilidades de un paso:
1.2. Determine el tiempo promedio de espera en la fila para un sistema clasificado como (M/M/2) (FCFS/3/oo)
al que llegan 21 clientes/h. Las probabilidades de un paso se encuentran en la siguiente matriz:
En una construcción se está usando una flotilla de 5 camiones para transportar el
escombro hacia otro lugar. Se utiliza un trascavo para cargar los camiones y este
proceso tiene una duración de 1/4 de hora con distribución exponencial. El camión
cargado lleva el escombro y la descarga en otro lugar, el viaje redondo promedio es
de 1 hora con distribución exponencial. Calcule:
a) El número promedio de camiones esperando para ser descargados.
6) La probabilidad de que el trascavo esté ocioso.
c) El número de camiones que llegan a la construcción por hora.
2.4. A un sistema (M/M/l)(FCFS/5/oo) llegan los clientes con una tasa de 5 por hora con distribución Poisson.
El tiempo de servicio es de 15 minutos con distribución exponencial. Suponga que los clientes pueden
abandonar la fila sin recibir servicio. En general, cada cliente espera 10 minutos con distribución exponencial
antes de abandonar la fila.
a) Construya el diagrama de tasas.
b) Determine la longitud promedio de la fila.
2.5. Una pequeña bodega se surte de material usando una flotilla de 3 camionetas. Se contrata a un muchacho
para descargar las camionetas. El tiempo de descarga depende del número de camionetas en la bodega (ji) de
acuerdo a la función E(t)= l/7i horas, para n - 1, 2, 3 con distribución exponencial. Las camionetas descargadas
van por más material y el tiempo de viaje es de 2 horas con distribución exponencial. Determine:
a) El número promedio de camionetas esperando ser descargadas.
6) La probabilidad de que el muchacho esté ocupado.
c) La probabilidad de que todas las camionetas estén de viaje.
d) El número promedio de camionetas viajando.
2.6. El tiempo entre llegadas a un sistema de inspección visual es 2 minutos/pieza con distribución
exponencial. El tiempo de inspección se distribuye exponencialmente con media de 1.8 minutos/pieza.
a) Clasifique el modelo de acuerdo con la notación de Kendall y Lee.
b) Calcule el tiempo promedio de espera antes de inspección, considerando la clasificación realizada en
el inciso anterior.
c) Si el sistema se clasifica como (G/G/l)(FCFS/oo/oo), ¿cuál será el tiempo de espera promedio en este
caso?
d) ¿Qué se obtiene si se clasifica como (M/G/l)(FCFS/oo /oo) y se utiliza la ecuación del límite superior
de Lq para encontrar el tiempo de espera promedio?
2.7. Encuentre la expresión matemática para calcular P0 y LQ para un modelo (M/M/2) (FCFS/oo/oo)
con X = 10 y ja = 6.
2.8. Demuestre que para cualquier modelo (M/M/S)(FCFS/oo/oo) con tasa de entrada y tasa de servicio,
la expresión para calcular LQ es:
2.9. En UH taller existen dos secciones, cada una cuenta con una máquina que tiene capacidad de
producción de 5 piezas/h con distribución Poisson. La entrada de materia prima a cada sección es de 4.5
piezas/hora con distribución Poisson. El costo de funcionamiento de cada máquina es de $ I/hora. El
dueño del taller está interesado en cambiar las dos máquinas a una sola sección y hacer que toda la
materia prima llegue a ese lugar. Si el costo de tener la materia prima en espera de ser procesada se estima
en $ 0.50 y se consideran los sistemas (FCFS/oo/oo), determine cuál de las dos opciones genera menor
costo.
2.10. Una empresa tiene actualmente una máquina con una capacidad de producción de 10 piezas/hora
con distribución Poisson. El costo de funcionamiento de esta máquina es de $1.5 O/hora. La empresa está
interesada en sustituirla por una máquina completamente automática con una capacidad de producción de
10 piezas/h cuyo costo de funcionamiento se estima en $2.00/hora. El costo de tener la materia prima en
inventario es $0.60/hora/pieza. Si la entrada de materia prima es de 9 piezas/h con distribución Poisson y
se considera un modelo de tipo (FCFS/oo/oo), calcule:
a) El costo promedio por hora con la máquina actual. 6) El costo promedio por hora con la máquina
automática.
c) El costo unitario de mantener el inventario para que sea indiferente el seleccionar cualquiera de los
dos sistemas.
2.11. Un banco emplea 10 cajeras para atender a sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo con un
proceso Poisson con una media de 3 clientes/minuto. Si un cliente encuentra a todas las cajeras ocupadas
se coloca en una fila común. Si el tiempo de servicio es exponencial con una media de 1 minuto/cliente,
calcule:
a) La probabilidad de que el banco esté vacio.
b) La probabilidad de que haya 10 clientes en el banco.
c) La utilización de las cajeras.
d) El número promedio de clientes en el banco.
2.12. Una tienda emplea a un dependiente para atender a sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo con
una distribución Poisson con una media de 12 clientes/hora. El dependiente tiene que cobrar y empacar
los artículos comprados por los clientes. Cada uno de los procesos consume 2 minutos con distribución
exponencial por lo que el tiempo de servicio acumulado es Erlang con k = 2 y una media de 4
minutos/cliente. Calcule:
a) La probabilidad de que la tienda no tenga ningún cliente.
b) El número promedio de clientes en la fila.
c) Tiempo promedio de espera en la tienda.
2.13. A un sistema llegan 5 clientes/h con distribución Poisson. Si a las 5:00 llegó un cliente,
a) ¿cuál es la probabilidad de que llegue un cliente antes de las 5:05?,
¿>) ¿cuál es la probabilidad de que en ese mismo intervalo lleguen 5 clientes?
2.14. A la siguiente red de manufactura de tipo taller de producción intermitente (job-shop) entran 2
piezas/hora con distribución Poisson. Después de la primera operación, las piezas se distribuyen a las
demás operaciones de acuerdo con las proporciones mostradas en el diagrama.
determine:
a) El inventario promedio y la utilización de cada una de las estaciones.
¿>) La estación "cuello de botella".
Nota: La distribución de probabilidad de las llegadas a taladrado y a escariado se
conserva como Poisson, aunque con una media más baja en cada una ya que el flujo
de 2 piezas/h se divide.
2.15. Lalito tiene tres balones y durante todo el día se divierte entrando y saliendo con ellos del interior de la
casa hacia el jardín y viceversa. Debido a su edad, solamente puede manejar un balón al mismo tiempo, aunque
a veces entra o sale de la casa sin balón. El niño se mantiene un promedio de 3 minutos con distribución exponencial en el jardín y después entra a la casa donde permanece un promedio de 5 minutos con distribución
exponencial antes de volver a salir al jardín.
o) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más balones adentro de la casa que en el
jardín? 6) En promedio, ¿cuántos balones permanecen en el jardín?
2.15. Se tiene un sistema de producción al tipo (M/M/l)(FCFS/oo/oo) al cual llegan 12 piezas/hora y cada una
se procesa en un tiempo de 3 min/pieza. Indique de qué tamaño tiene que ser el almacén de espera para
que el 80% del tiempo todas las piezas que lleguen quepan en dicho almacén. Cada pieza mide un metro
cuadrado y no se pueden estibar.
2.17. A una máquina de torneado le llegan 10 piezas/hora de la operación anterior, el tiempo de torneado sigue
una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. Debido a problemas con el torno, algunas piezas
tienen que volver a ser torneadas por no cumplir las normas de calidad; en particular, se estima que el 15% de
la producción tiene que reprocesarse en el mismo torno. Una pieza que se reprocesa tiene que regresar al final
de la linea de espera para tornearse de nuevo. Si se considera que la entrada de piezas al torno (incluyendo las
que vienen del proceso anterior y las reprocesadas) sigue una distribución Poisson.
a) ¿Cuál es la tasa real de entrada al torno?
6)' ¿Cuál es la utilización del torno?
c) ¿Cuál es el número de piezas promedio en el inventario?
Nota: El proceso es (FCFS/oo/oo).
2.18. A la biblioteca de Ciudad Mecano llegan un promedio de 26 personas/año con distribución Poisson, a
pedir prestado el libro Líneas de Espera. Aquella persona que logra encontrarlo, lo mantiene en su poder
durante 4 días con distribución exponencial. Las personas que piden el libro y encuentran que está prestado se
van y nunca regresan.
a) Si la biblioteca sólo tiene una copia del libro, ¿cuál es el número esperado de personas que podrán leer el
libro durante el año?
b) Si cada persona que entra a la biblioteca y no encuentra el libro disponible ocasiona una pérdida de $1
como costo de imagen y mala voluntad. Además, cada libro cuesta $11. ¿Cuántos libros debe comprar la
biblioteca?
2.19. Un promedio de 10 personas/hora con distribución Poisson entran a los carriles centrales de una alberca
con el fin de nadar durante un rato. En promedio, cada persona nada 30 minutos con distribución exponencial.
En la alberca existen 3 carriles disponibles para este tipo de nadadores. Si un nadador se encuentra solo en un
carril, nadará pegado siempre al lado derecho del carril; en caso de que otra persona entre en ese carril, cada
nadador realizará su ejercicio por un extremo del carril. Debido a políticas de seguridad nunca puede haber más
de 2 nadadores en un mismo carril, por esto, si un nadador llega y están ocupados los carriles se retira enojado
y no regresa.
a) ¿Cuál es la proporción del tiempo en la que habrá 3 personas nadando?
b) ¿Cuántas personas en promedio se encuentran nadando en la alberca?
c) ¿Cuántos carriles es necesario asignar para asegurar que el 95% de este tipo de nadadores que llegan a la
alberca puedan entrenar?
2.20. Cinco estudiantes compraron un barril de cerveza y decidieron organizar un convivio. El tiempo para
llenar un vaso de cerveza sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos. El tiempo para beber la
cerveza sigue una distribución exponencial con media de 18 minutos. Después de terminarse su cerveza, cada
estudiante inmediatamente vuelve a llenar su vaso.
a) En promedio, ¿cuánto espera un estudiante en la fila del barril?
b) ¿Qué fracción de tiempo no se usa el barril?
c) Si el barril tiene una capacidad de 500 vasos de cerveza, ¿cuánto tiempo les tomará a los estudiantes
terminárselo?
2.21. Una caja tiene sólo un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de acuerdo con un proceso
Poisson con una tasa media de 30 clientes/hora. Cuando en el sistema hay menos de 5 clientes, la fila es
atendida por el cajero de tiempo completo, sin embargo, cuando en el sistema hay más de 5 clientes se abre una
caja adicional con otro cajero y entre ambos atienden a la fila. El tiempo de atención del cajero de tiempo
completo sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos/cliente. El tiempo de atención del cajero
de tiempo
a) Obtenga el número de clientes promedio en el sistema (L).
2.22. Una máquina procesa piezas con un tiempo que sigue una distribución exponencial, con media
de 20 minutos/pieza. Indique cuál es la probabilidad de que una pieza cualquiera sea procesada en un
tiempo mayor a 35 minutos.
2.23. Un banco tiene una caja de tipo autoservicio. Los carros llegan de acuerdo con un proceso
Poisson con media de 12 carros/hora. El tiempo de atención al cliente sigue una distribución
exponencial con media de 4 minutos/carro. Frente a la caja existe un techo que proporciona sombra
para 5 carros (incluyendo al que se encuentra en servicio). Indique cuál es la probabilidad de que al
entrar un cliente al sistema le toque sombra durante toda su estancia.
2.24. En una tienda se tienen 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo que sigue una distribución
exponencial con una media de 2 minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una
distribución de Poisson con parámetro de 1.0 clientes/minuto indique:
a) ¿cuál es la probabilidad de que 2 cajeras estén ociosas?
b) ¿cuál es el número de clientes promedio que se encuentran en la cola?
2.25. Un muelle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiempo de descarga es de 2
días/barco con distribución exponencial, y la tasa de llegadas sigue una distribución Poisson con una
media de 3 barcos cada 7 días. Si un barco llega y el muelle está ocupado se une a una linea de
espera para ser atendido en orden FCFS. Determine el tiempo promedio que transcurre desde que un
barco llega al sistema hasta que termina su descarga, la probabilidad de que el sistema esté vacio y la
longitud promedio de la fila.
2.26. Suponga que un sistema de colas tiene 2 servidores, el tiempo entre llegadas sigue una
distribución exponencial con una media de 2 horas y el tiempo de servicio sigue una distribución
exponencial con una media de 2 horas. El máximo número de personas que pueden estar en el
sistema es de 5. Determine:
a) la probabilidad de que el sistema esté vacio
b) la longitud promedio de la fila.
2.27. A un sistema llegan 10 transacciones/hora de acuerdo con un proceso Poisson. El sistema
cuenta con 3 servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una
distribución exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/hservidor y el costo de la espera se estima en $ 1000/h-transacción.
a) Determine p, L, Lq, Wy WQ.
2.28. El tiempo entre llegadas de las piezas a un sistema sigue una distribución normal (ja = 5, a =
3) minuto. Si el proceso de las piezas lo realiza un robot en 4.9 min/pieza. Determine:
a) el inventario de piezas antes de llegar al robot
b) ¿cuántos minutos de espera transcurren antes de que las piezas sean procesadas?
2.29. Obtenga el valor de Pn n = 1, 2, . . . para un sistema con un servidor, donde las llegadas son
Poisson con una media de X,;l= 15(1 - (?i/3)) y el tiempo de proceso es exponencial con media de 5
min/cliente.
2.30. Un sistema cuenta con 3 servidores. El tiempo de atención a los clientes sigue una distribución
exponencial con media de 10 minutos/cliente. La tasa de llegadas al sistema sigue una distribución
Poisson con una media que va disminuyendo conforme aumenta el
n
0
1
2
3
4
>5
X
35
30
25
20
15
10
Considerando que el sistema es de tipo ilimitado, encuentre el valor de Lq.
2.31. En una tienda hay 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo exponencial con una media de 2
minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson con parámetro de
1.5 clientes/minuto, indique
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cajeras estén ociosas?
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes que se encuentran en la cola?
2.32. El Centro de Salud de Monterrey es responsable de administrar la vacuna oral contra la
poliomielitis a los niños de edad escolar. El centro está organizado de tal forma que los padres con
sus hijos formen una sola fila para recibir atención. El servicio se ofrece una vez por semana y en ese
día las llegadas siguen una distribución Poisson con media de 30 niños/hora. El Director del Centro
sabe que la mayoría de los padres tienen que ausentarse de su trabajo para llevar los niños a
vacunarse, por eso el director desea limitar el tiempo de estancia en el Centro de Salud a no más de 1
minuto. Si una sola enfermera es capaz de vacunar de acuerdo con una distribución Poisson con tasa
de 20 niños/hora. ¿Cuántas enfermeras debe programar el Director ese día para lograr su objetivo?
2.35. A un sistema llegan 10 transacciones/hr de acuerdo con un proceso Poisson. Existen 3
servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una distribución
exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/hora-servidor y el
costo de la espera se estima en $1000/hora-transacción. Determine p, LQ y WQ.
Al sistema anterior llegó un nuevo servidor para sustituir a los 3 anteriores; se sabe que es capaz de
atender cada transacción de acuerdo con una distribución exponencial con media de 5 min, pero
cobra un sueldo de $1500/hora.
a) Determine p, Lq y Wq.
b) Determine con base en los costos, cuál de las dos políticas (S = 3 o S = 1) es mejor para la
empresa.